prob resueltos

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (Especialidades: Civil-Eléctrica-Mecánica-Química)
Ejercicios resueltos – Distribuciones discretas y continuas
1) La resistencia a la compresión de una muestra de cemento es una variable aleatoria que se distribuye
normalmente con media 6000 kilogramos por centímetro cuadrado y desviación estándar de 100
kilogramos por centímetro cuadrado.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra de cemento tomada al azar, sea
menor a 6250 Kg/cm2?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra de cemento se encuentre entre
5800 y 5900 Kg/cm2?
c) ¿Cuál es el valor de la resistencia que es superado por el 95% de las muestras de cemento?
2) Para cortar corchos destinados a usarse en botellas de vino, se utilizan dos máquinas. La primera
produce corchos cuyos diámetros se distribuyen normalmente con media 3 cm y desviación estándar 0.1
cm. La segunda produce corchos cuyos diámetros también se distribuyen normalmente con media 3.04
cm y desviación estándar 0.02 cm. Un corcho es aceptable si su diámetro se encuentra en el intervalo
[2.9 ; 3.1]. ¿Un corcho producido por cuál de las dos máquinas tiene mayor probabilidad de ser
aceptado?
3) La duración, en horas, de una lámpara es una variable aleatoria con distribución N (1200 horas; σ). El
97 % de las lámparas dura entre 1178.3 y1221.7 horas.
a) Calcule la probabilidad de que una lámpara adquirida en dicha fábrica dure por lo menos 1215
horas.
b) Calcule la probabilidad de que, en una muestra aleatoria de 10 lámparas que se adquieren en
dicha fábrica, a lo sumo una dure más de 1215 horas.
c) Si se observan en forma sucesiva la duración de 10 lámparas seleccionadas al azar, calcule la
probabilidad de que las primeras 5 duren más de 1200 horas y las siguientes 5 duren a lo sumo
1200 horas.
4) La resistencia de una aleación de aluminio varía aleatoriamente con distribución normal, siendo la
media y la desviación estándar igual a 10 y 1.4 gigapascales respectivamente.
a) Determine el recorrido intercuartílico.
b) Se realizan 5 observaciones independientes de la variable aleatoria resistencia de una aleación de
aluminio. Calcule la probabilidad de que al menos 4 de las observaciones se encuentren dentro
del intervalo [Q1 ; Q3].
5) La duración en años de un fusible es una variable aleatoria T con distribución exponencial con
λ=0,25.
a) Calcule la probabilidad de que un fusible dure más de tres años.
b) Calcule la probabilidad de que un fusible dure más de 4 años, si ya ha durado 1 año.
c) Pruebe: Si T es una variable aleatoria exponencial de parámetro λ entonces:
P(T > t + s / T > s ) = P(T > t )
6) El tiempo (en minutos) que transcurre entre las llegadas consecutivas de dos coches a una estación
de peaje, es una variable aleatoria cuya función de densidad es:
4 е-4x
si x > 0
f(x)=
0
caso contrario
a) Calcule el tiempo medio transcurrido entre las llegadas consecutivas de dos coches.
b) Calcule la probabilidad de que el tiempo transcurrido entre dos llegadas consecutivas sea inferior
a un minuto, si se sabe que al cabo de 30 segundos aún no ha llegado el segundo coche.
7) La velocidad (en Km/h) de los coches que pasan por determinado punto de una carretera es una
variable aleatoria con función de densidad:
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f(x) =
x
10000
si 0< x < 100
200 − x
10000
si 100< x < 200
0
caso contrario
a) Calcule la probabilidad de que un vehículo circule a más de 120 Km/h si se sabe que circula a
más de 100 Km/h.
b) En ese punto de la carretera se encuentra ubicado un radar que controla la velocidad de los
vehículos. Si la velocidad es inferior a 100 Km/h el importe de la multa es de $0 (no hay multa),
en cambio si la velocidad está comprendida entre 100 y 120 Km/h la multa es de $100 y si la
velocidad supera los 120 Km/h la multa es de $200.
c) Calcule e interprete el valor de la esperanza matemática de la variable aleatoria importe de la
multa que tiene que pagar un vehículo elegido al azar.
8) La demanda diaria de un determinado artículo es una variable aleatoria X con distribución uniforme
en el intervalo [0 ; 6] donde X viene expresada en miles de unidades.
a) Determine la cantidad de unidades que hay que tener disponibles a la venta, diariamente, para
poder satisfacer la demanda con probabilidad 0.95.
b) Si se producen 5000 unidades diarias y cada día sólo se pueden consumir las unidades
producidas ese día, calcule la probabilidad de que durante 20 días, en ninguno de ellos haya una
demanda superior a las unidades producidas en ese día.
9) Un sistema consta de dos dispositivos (A y B) que funcionan simultánea e independientemente. La
duración en horas del dispositivo A es una variable aleatoria con distribución exponencial de parámetro
α = 0.02 horas-1, en cambio la duración en horas para el dispositivo B es una variable aleatoria con
distribución normal de parámetros µ=10 horas y σ=1 hora.
a) Calcule la probabilidad de que falle al menos un dispositivo antes de las 12 horas de
funcionamiento.
b) Si al menos uno de los dispositivos ha fallado antes de las 12 horas de funcionamiento, calcule la
probabilidad de que sea el dispositivo B.
c) Calcule la probabilidad de que el dispositivo A funcione al cabo de 20 horas sabiendo que
funciona al cabo de 8 horas.
10) El tiempo en horas para fallar de ciertas componentes, es una variable aleatoria distribuida
normalmente con esperanza matemática 50 horas y desvío estándar 5 horas. En una agrupación en serie
se conectan n de dichas componentes que funcionan independientemente.
a) Si n=4, ¿cuál es la probabilidad de que el sistema funcione después de 52 horas de trabajo?
b) Si n componentes se conectan en paralelo, ¿cuál deberá ser el valor de n a fin de que la
probabilidad de fallar durante las primeras 55 horas sea a lo sumo 0.01?
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1) sea X: resistencia a la compresión de una muestra de cemento
X modeliza las infinitas observaciones de resistencia a la compresión de todas las posibles muestras de
cemento
X ~ N ( µ x = 6 000 Kg/cm2;
En consecuencia
a)
Z=
σ x = 100 Kg/cm2)
X − 6000
~ N (0;1)
100
 X − 6000 6250 − 6000 
P ( X < 6250) = P
<
 = P (Z < 2,5) = 0.9938 (valor que se obtiene de la
100

 100
tabla normal estándar reducida).
En las gráficas que siguen se representan las curvas de densidad de las variables aleatorias X y Z
respectivamente. El área de la superficie rayada, en ambos casos, representa el valor de la probabilidad
calculada.
X
6000
6250
Z
0
2.5
b)
 5800 − 6000 X − 6000 5900 − 6000 
<
<
P(5800 < X < 5900 ) = P
=
100
100
100


5900 − 6000 
5800 − 6000 


P Z <
 = P( Z < −1) − P ( Z < −2) = 0.1587 − 0.0228 = 0.1359
 − P Z <
100
100




( los valores se obtienen de la tabla normal estándar)
c)
0.95
x
x − 6000 

 X − 6000 x − 6000 
P( X > x ) = 0.95 ⇔ P ( X ≤ x) = 0.05 ⇔ P
≤
 = 0.05
 = 0.05 ⇔ P Z ≤
100 
100 

 100
x − 6000
De la tabla normal estándar se obtiene Z =
= −1.64 , de donde resulta x=5836 Kg/cm2.
100
El 95 % de “todas las posible muestras de cemento” tiene una resistencia a la compresión superior a
5836 Kg/cm2.
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2) D1: diámetro de un corcho producido por la máquina 1
D2: diámetro de un corcho producido por la máquina 2
D1 − 3
~ N (0;1)
0.1
D − 3.04
D2 ~ N ( µ D2 = 3.04 cm; σ D2 = 0.02 cm) ⇒ Z = 2
~ N (0;1)
0.02
D1 ~ N ( µ
D1
= 3 cm;
σ
D1
= 0.1 cm) ⇒
Z=
3 .1 − 3 
3 .1 − 3 
2 .9 − 3 


 2 .9 − 3
P(2.9 < D1 < 3.1) = P
<Z<
=
 − P Z <
 = P Z <
0 .1 
0 .1 
0 .1 


 0 .1
= P( Z < 1) − P ( Z < −1) = 0.8413 − 0.1587 = 0.6826
3.1 − 3.04 
3.1 − 3.04 
2.9 − 3.04 


 2.9 − 3.04
P(2.9 < D2 < 3.1) = P
<Z<
=
 − P Z <
 = P Z <
0.02 
0.02 
0.02 


 0.02
= P ( Z < 3) − P ( Z < −7) = 0.9987 − 0.0000.... = 0.9987
Un corcho producido por la máquina 2 tiene mayor probabilidad de ser aceptado.
3) sea T: duración en horas (o tiempo transcurrido hasta la falla) de una lámpara
T ~ N ( µ T = 1200 hs;
σ T = ¿?) ⇒ Z =
T − 1200
σT
P(1178.3 < T < 1221.7 ) = 0.97
 1178.3 − 1200 T − 1200 1221.7 − 1200 
 =
P
<
<
σT
σT
σT


~ N (0;1)
 − 21.7
21.7 
 = 0.97
P
<Z<
σ T 
 σT
0.97
0.97
T
1178.3
1200
1221.7
−21,7êσT
0
21,7êσT
Z
 − 21.7

21.7 
21.7 
 = 0.97 es equivalente a P Z <
 = 0.985 .
P
<Z<
σT 
σ T 
 σT

21.7
De la tabla normal se obtiene
= 2.17 . Luego σ T =10 horas.
σT
a)
1215 − 1200 

P(T > 1215) = 1 − P(T < 1215) = 1 − P Z <
 = 1 − P ( Z < 1.5) = 1 − 0.9332 = 0.0668
10


b) sea Y: número de lámparas que duran más de 1215 horas en una muestra de 10
Y ~ Binomial(10, p=0.0668)
(Las diez lámparas constituyen una muestra aleatoria de tamaño 10 extraída sin reposición de una
población “infinita”).
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10 
10 
P(Y ≤ 1) = P(Y = 0) + P(Y = 1) =  0.933210 +  0.0668 × 0.9332 9 = 0.5009 + 0.3585 = 0.8594
0 
1 
c) notemos con A: una lámpara dura a lo sumo 1200 hs
P( A) = P (T ≤ 1200) = 0.5
Se pide calcular la probabilidad de que en 10 pruebas repetidas ocurra la siguiente secuencia de
sucesos:
AAAAAAAAAA
Siendo los ensayos independientes resulta P( A A A A AAAAAA) = ( P( A)) 5 ( P ( A)) 5 = (0.5) 10
¿ le sorprende el bajo valor de la probabilidad ?
a) sea R: resistencia de una aleación de aluminio
4)
R ~ N (µ
R
= 10;
σ R = 1.4)
Notemos con FR a la función de distribución acumulada. Para determinar el recorrido intercuartílico hay
que calcular los cuartiles Q1 y Q3 donde FR (Q1)=0.25 y FR (Q3)=0.75
Q − 10 

FR (Q1 ) = P ( R < Q1 ) = 0.25 ⇔ P Z < 1
 = 0.25
1.4 

Q − 10
De la tabla normal estándar o reducida se obtiene 1
= −0.67 de donde Q1 = 9.062
1. 4
De modo análogo:
Q − 10 

FR (Q3 ) = P ( R < Q3 ) = 0.75 ⇔ P Z < 3
 = 0.75
1.4 

Q − 10
= 0.67 de donde Q3 = 10.938
De la tabla normal estándar o reducida se obtiene 3
1.4
El recorrido intercuartílico es Q3 - Q1= 10.938 - 9.062 = 1.876
0.50
0.25
Q1
0.25
Q2
Q3
b) sea A: una observación se encuentra dentro del intervalo [Q1, Q3] y P(A)=0.5
sea Y: número de observaciones sobre un total de 5 que se encuentran dentro del intervalo [Q1, Q3].
Y ~ Bi (5; 0.5)
5
5
P(Y ≥ 4) = P(Y = 4) + P (Y = 5) =  0.5 4 × 0.5 +  0.5 5 = 0.15625 + 0.03125 = 0.1875
5
 4
5)
λ = 0.25
E(T)
=
1
λ
=
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por año (nº promedio de fusibles rotos por año)
1
= 4 años de duración promedio
0.25
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a)
sea T: duración (en años) de un fusible
T ~ Exp (0.25)
⇒ f (t ) = 0.25e −0.25t para t ≥ 0
+∞
P(T > 3) = ∫ 0.25e − 0.25t dt = e − 0.25×3 = 0.4724
3
+∞
b) P (T > 4 / T > 1) =
∫ 0.25e
4
+∞
∫ 0.25e
− 0.25t
dt
=
− 0.25t
dt
e −0.25×4 0.3679
=
= 0.4724
e −0.25×1 0.7788
1
+∞
P(T > t + s )
=
c) P (T > t + s / T > s ) =
P(T > s )
∫ αe
−αt
∫ αe
−αx
t +s
+∞
dx
=
dx
e −α (t + s ) e −αt e −αs
=
= e −αt = P(T > t )
−αs
−αs
e
e
s
Comentario: los resultados obtenidos en a) y b) muestran que la probabilidad de que un fusible dure por
lo menos otros 3 años si ya ha durado un año, es igual a la probabilidad de que dure por lo menos 3
años desde el instante en que ha sido puesto en funcionamiento. En c) se generaliza el resultado
obtenido en a) y b). La propiedad demostrada en c) se conoce por “propiedad de carencia de memoria”.
En la misma se ha probado que la probabilidad de que un fusible sobreviva el instante t + s cuando
sobrevive el instante s es igual a la probabilidad de que sobreviva el instante t desde el momento en que
ha sido puesto en funcionamiento.
6) sea X: tiempo (en minutos) que transcurre entre la llegada de dos coches consecutivos a una
estación de peaje.
Siendo la función de densidad de X:
4 е-4x
si x > 0
f(x)=
0
caso contrario
resulta que X tiene distribución exponencial con parámetro
a) E(x)
=
1
α
=
α =4.
1
= 0.25 min .
4
El tiempo medio que transcurre entre la llegada de dos coches consecutivos es 0.25 minutos, es decir 15
segundos.
b)
P( X < 1 / X > 0.50) =
Observación:
(
) (
)
P(0.50 < X < 1) 1 − e −4×1 − 1 − e −4×0.50
e −2 − e −4
=
=
= 1 − e − 2 = 0.8646
P( X > 0.50)
e − 4×0.50
e −2
1 − e −2 = P ( X < 0.50)
Sabiendo que el tiempo transcurrido entre la llegada de dos coches consecutivos es mayor a 30
segundos (medio minuto), la probabilidad de que el tiempo transcurrido sea inferior a un minuto es igual
a la probabilidad de que el tiempo sea inferior a medio minuto.
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7)
fH xL
1
100
x
100
200
a) sea X: velocidad (en Km/h) de un coche
P( X > 120 / X > 100 ) =
P ( X < 120) 0.32
=
= 0.64
P( X > 100) 0.50
P( X > 120 ) =
200 − x
dx = 0.32
10000
120
P( X > 100 ) =
200 − x
dx = 0.50
10000
100
200
∫
200
∫
Entre los coches que circulan a más de 100 Km /h el 64 % de los mismos circula a más de 120
Km/h.
b) sea Y: importe de una multa
0
Y=
si x< 100
100
200
si 100 ≤ x ≤ 120
si x > 120
P(Y = 100 ) = P(100 < X < 120 ) =
120
200 − x
∫ 10000
dx = 0.18
100
P(Y = 200) = P( X > 120) = 0.32
E (Y ) = 100 × 0.18 + 200 × 0.32 = $82
Importe promedio pagado en concepto de multa
8) sea X: demanda diaria de un artículo
X ~ U ( 0.6 ), luego la gráfica de la función densidad de X es la que sigue,
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1
6
6
a) sea c: cantidad de unidades disponibles para la venta en un día
P ( X < c ) = 0.95 ⇒
c
= 0.95 ⇒ c = 5.7
6
Para satisfacer la demanda el 95 % de los días, hay que tener 5700 unidades diarias disponibles
para la venta.
b) sea Y: nº de días sobre un total de 20 en que la demanda diaria es de a lo sumo 5000 unidades.
P(Y < 5) =
5
= 0.83
6
Y ~ Bi (n = 20; p = 0.83)
P (Y = 20 ) = (0.83) 20 = 0.024
9) sean las variables aleatorias
X: duración en horas de un dispositivo A
Y: duración en horas de un dispositivo B
Se conoce que:
X ~ Exp ( α = 0.02 hs -1)
Y ~ N ( µ = 10 hs;
σ = 1 h)
Sean los sucesos:
A: un dispositivo tipo A dura menos de 12 horas
B: un dispositivo tipo B dura menos de 12 horas
P ( A) = P ( X < 12) = 1 − e −0.02×12 = 0.21
 Y − 10 12 − 10 
P (B ) = P (Y < 12) = P
<
 = P (Z < 2 ) = 0.9772
1 
 1
a) Bajo el supuesto de que todos los dispositivos funcionan independientemente
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = P ( A) + P ( B ) − ( P ( A) P ( B ) = 0.21 + 0.9772 − 0.21 × 0.9772 = 0.98
b)
P (B / A ∪ B ) =
c)
P( X > 120 / X > 8) = P( X > 12) = e −0.02×12 = 0.786 (propiedad de carencia de memoria)
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0.9772
P( B)
=
≅ 0.997
0.98
P( A ∪ B )
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10) a) Sea T: tiempo transcurrido hasta la falla de una componente
T ~ N (µ
T
= 50 hs;
σ
T
= 5 hs)
Sea A: una componente funciona después de 52 horas
P(A) = P(T > 52) = 0.3446
Sea S: el sistema funciona después de 52 horas de trabajo.
El sistema (en serie) funciona al cabo de las 52 horas siempre y cuando funcionan los 4 componentes.
Dado que las componentes funcionan independientemente:
P(S) = [P(A)]4 = 0.014
b)
Sea B: una componente falla antes de las 55 hs.
P(B) = P(T < 55) = 0.8413
El sistema (en paralelo) falla antes de las 55 horas siempre y cuando fallen las n componentes antes de
las 55 horas.
Sea Y: nº de componentes sobre un total de n que fallan antes de las 55 hs.
Y ~ Bi (n ; 0.8413)
P(Y = n ) ≤ 0.01
P(Y = n ) ≤ 0.01 ⇔ (0.8413) n ≤ 0.01 ⇔ n ≥
log 0.01
log 0.8413
Conclusión: se necesitan como mínimo 27 componentes conectadas en paralelo.
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