ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES Universidad de Navarra Paseo Manuel de Lardizábal, 13 20018 San Sebastián Examen de Estadística 5-Febrero-2000 APELLIDOS..................................................................NOMBRE...............…. CUESTIONES 1. Comprobar que el coeficiente de asimetría no varía frente a una transformación lineal, es decir, que: Y X con Y aX b, a, b 2. ¿Cuál de los siguientes enunciados nunca podrá ser descrito por una distribución binomial? a. El número de artículos producidos por un proceso de montaje. b. La cantidad de agua usada diariamente por una sola familia. c. El número de alumnos que nunca contestan correctamente a esta pregunta. Explicar brevemente por que si o no, en cada caso. 3. La tienen 10 bolas numeradas en una urna, de manera que los números del 1 al 4 son bolas de color rojo y los números del 5 al 10 son bolas de color azul. ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero? a. P(bola 3 / bola de color rojo) = 0,1 b. P(bola 3 / bola de color rojo) < 0,1 c. P(bola 3 / bola de color rojo) > 0,1 d. P(bola de color rojo / bola 3 ) = 0,25 e. c y d Justifica tu respuesta. 4. ¿Cuál de los siguientes enunciados es una condición necesaria para utilizar una distribución Poisson? a. La tasa de llegadas por segundo es constante b. El número de llegadas en cualquier intervalo de 1 segundo es independiente de las llegadas en otros intervalos c. La probabilidad muchas llegadas en un mismo segundo es cero d. Todos los anteriores. Justifica brevemente tu respuesta. PROBLEMAS 1/ Un jurado de 3 miembros que deciden por mayoría lo forman dos personas que deciden de manera independiente el veredicto correcto con probabilidad p y una tercera persona que lanza una moneda. a) Si un juez individual tiene probabilidad p de dar el veredicto correcto ¿cuál de los dos métodos (jurado de tres o juez individual) tiene mayor probabilidad de acertar? b) Y si en el jurado de tres, los tres tuvieran la misma probabilidad p de acertar, ¿para qué valores de p es mejor jurado el juez) 2/ Un abogado que trabaja para una institución de ayuda legal estima que en promedio, 5 de los que acuden diariamente a su oficina son inquilinos cuyos caseros les aumentaron ilegalmente el alquiler. a. ¿Cuál es la probabilidad de que en un mes (22 días laborables) les hayan aumentado ilegalmente el alquiler a, al menos, 150 personas? 3/ Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad: f (x) xe x , x 0 Hallar la función de distribución y la esperanza de Y e X 4/ En un departamento de control de calidad se inspeccionan las unidades terminadas que provienen de una línea de ensamble. Se piensa que la proporción de unidades defectuosas es del 5%. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la vigésima unidad inspeccionada sea la segunda que se encuentra defectuosa? b) Y, en media, ¿cuántas unidades habrá que inspeccionar hasta encontrar dos unidades defectuosas?. Justificarlo estadísticamente. 5/ En la gerencia de la empresa con frecuencia se desea estimar los gastos indirectos basándose en el número de unidades producidas. Para hacer esta estimación, una empresa ha reunido información sobre estos gastos y las unidades producidas en diferentes plantas Gastos Unidades 191 40 170 42 272 53 155 35 280 56 173 39 234 48 116 30 153 37 178 40 y le gustaría predecir los gastos indirectos al producir 50 unidades. ¿Cuál es además el error de ajuste de la estimación? 6/ Sean X e Y los niveles de concentración en ppm de dos contaminantes en una determinada porción de un tanque de agua. Si la función de densidad conjunta está dada por: (x y) 8000 f ( x, y) 0 0 x, y 20 resto y si el nivel de concentración observado de Y es de 10 ppm, obtener la probabilidad de que el nivel de concentración de X sea, a lo más, 14 ppm. Obtener la media y la varianza condicional de X para Y = 10 ppm.