Expressions algebraiques

Recordes què és…?
Expressió algebraica
És una combinació de nombres
i lletres relacionats mitjançant
operacions aritmètiques.
Propietat distributiva
de la multiplicació
respecte de la suma
Si a, b i c són tres nombres
qualssevol, es compleix que:
a · (b + c) = a · b + a · c
Multiplicació de potències
El resultat de multiplicar
potències d’igual base és una
potència la base de la qual
és la mateixa i l’exponent és la
suma dels exponents.
an · am = am + n
Divisió de potències
El resultat de dividir potències
d’igual base és una potència
la base de la qual és la mateixa
i l’exponent és la diferència
dels exponents.
am
= am – n
an
Unidad_05_2ESO.indd Sec1:80
21/4/08 04:58:17
5
EXPRESSIONS
ALGEBRAIQUES
L’Àlgebra és la branca de les Matemàtiques
en què es fan servir lletres per a representar
relacions aritmètiques. De la mateixa
manera que en l’Aritmètica, les operacions
fonamentals de l’Àlgebra són l’addició,
la sostracció, la multiplicació i la divisió.
L’Aritmètica, no obstant això, no és capaç
de generalitzar les relacions matemàtiques,
com el teorema de Pitàgores, que diu
que en un triangle rectangle la suma dels
quadrats dels catets és igual al quadrat
de la hipotenusa. L’Aritmètica només dóna
casos particulars d’aquesta relació,
per exemple, 3, 4 i 5, ja que 32 + 42 = 52.
L’Àlgebra, per contra, pot donar
una generalització del tipus: a 2 + b 2 = c 2.
L’Àlgebra es considera l’idioma
de les Matemàtiques, i per això ha anat
evolucionant al llarg del temps gràcies
a l’estudi de molts matemàtics.
Els objectius d’aquesta Unitat són:
• Expressar algebraicament enunciats
verbals simples.
• Dominar la jerarquia d’operacions
aritmètiques i aplicar-la en operacions
amb expressions algebraiques.
Unidad_05_2ESO.indd Sec1:81
21/4/08 04:58:40
5
1
WEB
EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES.
EL LLENGUATGE ALGEBRAIC
L’Àlgebra és la branca de les Matemàtiques que es basa en l’ús de nombres i
lletres per a representar relacions aritmètiques. Per exemple, per a expressar
l’àrea d’un rectangle de costats a i b es té:
http://descartes.cnice.mecd.
es/materiales_didacticos/
Interpretacion_expresiones_
algebraicas_d3/indice.htm
Activitats interessants
per a familiaritzar-se
amb l’ús de lletres com una
generalització dels nombres,
visualitzant les operacions
algebraiques elementals.
A més, hi trobarem activitats
interactives per a treballar
altres aspectes del tema:
valors numèrics, identitats…
Àrea = costat × costat
b
A=a×b
a
Si a = 6 cm i b = 4 cm, l’àrea és 6 × 4 = 24 cm2.
Observa que hem generalitzat l’expressió del càlcul de l’àrea d’un rectangle
mitjançant lletres. Cada lletra representa un costat.
http://www.juntadeandalucia.
es/averroes/iesdiegogaitan/
departamentos/departamentos/
departamento_de_matemat/
recursos/algebraconpapas/
recurso/index.htm
Les expressions algebraiques, o llenguatge algebraic, s’utilitzen per a expressar
una situació qualsevol o per a generalitzar propietats matemàtiques.
Pàgina de José Antonio Ortega
amb activitats interactives molt
interessants per a treballar
tots els conceptes de la unitat.
a) Si considerem que x és la capacitat en litres d’un embassament, expressem
x
el doble d’aquesta capacitat com 2x i la meitat com .
2
Exemples:
b) L’àrea d’un cercle s’expressa com / · r 2, on r representa el radi del cercle.
CD
A la pestanya Activitats/
Unitat 1 trobaràs l’activitat
Relació unitat 5,
per a repassar el llenguatge
algebraic.
L’Àlgebra és la branca de les Matemàtiques que es basa en l’ús de nombres
i lletres per a representar relacions aritmètiques.
Una expressió algebraica és la combinació de nombres i lletres relacionats
mitjançant operacions aritmètiques per a expressar una situació qualsevol
o per a generalitzar propietats matemàtiques.
Exercicis
1 Si en una llibreria el preu d’un llibre és x euros
i el de cada bolígraf és 7 € menys, expressa algebraicament el que costen:
2 Si x és un nombre natural, escriu les expressions algebraiques que representen:
a) Quatre llibres.
b) La tercera part d’aquest.
b) Deu bolígrafs.
c) El seu cub.
c) La meitat del que costen sis llibres.
d) El seu anterior.
d) Cinc llibres més tres bolígrafs.
e) El seu posterior.
e) Cinc llibres amb un descompte de 3 €.
f) El seu triple més tres unitats.
f) Dos bolígrafs i sis llibres.
g) La meitat del seu triple.
g) Tres bolígrafs i dos llibres.
h) El quàdruple més quatre unitats.
h) Sis llibres i un bolígraf.
i) El doble del seu posterior.
a) El doble d’aquest nombre.
82
Unidad_05_2ESO.indd Sec1:82
21/4/08 04:58:44
2
VALOR NUMÈRIC
D’UNA EXPRESSIÓ ALGEBRAICA
L’expressió algebraica següent descriu la suposada despesa que puc fer en
una fruiteria en funció del nombre de quilos de tomàquets que compri i si
demano el lliurament a domicili:
2,3 `/kg
Tomàquets
Comanda a domicili
1€
2 €/kg
1,9 `/kg
2 `/kg
2x + 1
1,6 `/kg
Anomenem x la quantitat de tomàquets que compro. L’expressió algebraica
associada a aquesta situació és: 2x + 1.
En substituir x per un nombre i fer operacions s’obté un altre nombre, que
s’anomena valor numèric de l’expressió algebraica. En el cas que siguin dos
quilos, és a dir, si x = 2:
WEB
2x + 1 = 2 · 2 + 1 = 5 €. El valor numèric és 5 €.
El valor numèric d’una expressió algebraica s’obté calculant les operacions
aritmètiques d’aquesta expressió i substituint les lletres per nombres.
Fixa’t bé en els exemples següents:
a) Si x = 2, el valor numèric de 3x 2 – 2x es: 3 · 22 – 2 · 2 = 8.
b) Si el costat d’un quadrat és 3 cm, la seva àrea és A = l · l = 3 · 3 = 9 cm2.
c) Si x = –2, el valor numèric de 2x 2 és: 2 · (–2)2 = 2 · 4 = 8.
http://descartes.cnice.mecd.es/
materiales_didacticos/potencia/
index.htm
http://descartes.cnice.mecd.
es/materiales_didacticos/
Potencias_y_raices/potencias2.
htm
Pàgines amb activitats per
a repassar les propietats de les
potències, que les introdueix
amb exemples per a obtenir-ne
l’expressió algebraica.
http://descartes.cnice.mecd.es/
materiales_didacticos/enteros2/
opcombin.htm
Valor numèric d’una expressió algebraica és el resultat que s’obté quan
se substitueixen les lletres de l’expressió per nombres.
Activitats per a repassar
la jerarquia d’operacions.
Exercicis
3 Calcula el valor numèric de les expressions
algebraiques següents per als valors que es donen:
a) 12x + y
xy
3
c) (2x)2
b)
2
si x = 2, y = 3
4 Troba l’expressió algebraica que representa l’àrea de la figura següent i calcula’n el valor
numèric, sabent que les bases mesuren 5 cm i que
l’altura dels dos triangles és 7 cm.
h
si x = 3, y = 4
h
si x = 2
a –b
si a = 4, b = 6
a
1
e) x 2 + 2y si x = 3, y = 2
3
b
b
d)
83
Unidad_05_2ESO.indd Sec1:83
21/4/08 04:58:45
5
MONOMIS I POLINOMIS
3
Les expressions algebraiques que estan formades només per la multiplicació
de nombres, lletres o nombres i lletres s’anomenen monomis.
Per exemple,
1
y 4Î x , no són monomis.
2x
Són monomios: 3x 2, 4x, 7x 2y 3.
Tingues en compte
En cada monomi hi ha una part numèrica que anomenem coeficient, i una part
expressada amb lletres que s’anomena part literal. Cadascuna de les lletres
d’un monomi s’anomena variable. La suma dels exponents de les variables
que formen la part literal és el grau del monomi.
2
En el monomi x y
el coeficient és 1, no 0.
Els monomis que tenen la mateixa part literal s’anomenen monomis semblants.
Definició
En un polinomi, el terme
que no té part literal s’anomena
terme independent.
Per exemple:
En el monomi: –7x 2y 3 es té:
Un polinomi format per dos
termes s’anomena binomi.
Si està format per tres termes
s’anomena trinomi.
— Coeficient: –7
— Part literal: x 2y 3
— Grau: 2 + 3 = 5
— –7x 2y 3 és semblant a –2x 2y 3.
— –7x 2y 3 no és semblant a 6x 3y 2.
WEB
Un polinomi és una expressió algebraica formada per sumes o restes de monomis no semblants anomenats termes. El grau d’un polinomi és el grau més
alt dels monomis que el formen.
http://descartes.cnice.mecd.
es/materiales_didacticos/
Polinomios/monomios.htm
Activitats interactives per
a la classificació i operacions
de monomis.
Per exemple, el polinomi P(x)= 3x 2 – 2x + 5, té tres termes i el seu grau és 2.
Un monomi és una expressió algebraica formada per la multiplicació de
nombres, lletres o nombres i lletres.
El coeficient d’un monomi és la part numèrica d’aquest.
La part d’un monomi expressada amb lletres s’anomena part literal.
El grau d’un monomi és la suma dels exponents de la part literal.
Dos monomis són semblants si tenen la mateixa part literal.
Un polinomi és una expressió algebraica formada per sumes o restes de
monomis no semblants anomenats termes.
El grau d’un polinomi és el més alt dels graus dels monomis que el formen.
http://www.mismates.net/
modules.php?name=Encyclope
dia&op=list_content&eid=1
Pàgina de Francisco Burzy
que pretén arribar a ser un
diccionari de les matemàtiques
que es veuen a l’ensenyament
secundari. L’alumne
pot investigar quines
de les defi nicions d’aquest
tema hi ha en aquest diccionari
i completar-les.
Exercicis
5 Assenyala quants termes hi ha en cadascuna
de les expressions algebraiques següents. En cas
de ser polinomis, concreta de quin tipus són:
6 Descriu aquestes expressions algebraiques
(monomi, binomi, trinomi, etc.), i indica la part
literal, el coeficient i el grau de cada terme:
a) 3mn 2
5
c) x + 1
2
e) 7x 2z + z + 2
b) 3y 2 + 2xy – 1
a) 9a 3b 4 + 3
d) 4ab – 2b + a
c) 8z + y – 2y 5
f) 2ya
e) 7a + 4b 2a – 2b + 1
b) 4y 2z 3 – 5y
3
d) m 4
4
f) x
84
Unidad_05_2ESO.indd Sec1:84
21/4/08 04:58:52
4
OPERACIONS AMB MONOMIS
Els monomis són les expressions algebraiques més senzilles. És important
conèixer com s’hi fan les operacions.
A
SUMA I RESTA DE MONOMIS
Dos monomis només es poden sumar o restar si tenen la mateixa part literal,
és a dir, han de ser semblants. Per a obtenir-ne el resultat se sumen o resten
els coeficients i es manté igual la part literal.
Reflexiona
Fixa’t bé en les parts literals:
No és el mateix 7x3y2 que 7x 2y3:
Exemples:
7x3y2 = 7 · x · x · x · y · y
— 7x + 2x = 9x: «7 vegades un nombre més 2 vegades aquest mateix nombre
és 9 vegades aquest mateix nombre, és a dir, 9x».
— 10n + 3n – n = 12n
7x 2y3 = 7 · x · x · y · y · y
Sí que és el mateix x · y
que y · x per la propietat
commutativa de la multiplicació.
— 5a2 + 3a2 – 2a2 = 6a2.
— 7x + 2y: aquesta suma de monomis no es pot fer perquè no tenen la
mateixa part literal, no són termes semblants.
Pot donar-se el cas que els coeficients siguin fraccions. La suma entre els
coeficients haurà de fer-se com una suma de fraccions.
Tingues en compte
5
3
1
x+ x= x
4
4
2
Si dins d’una suma o resta
hi ha algun monomi
no semblant, no s’operarà
i quedarà tal com està
en el resultat.
1 3 2 3 5
+ = + =
2 4 4 4 4
B
12y + 3y + x = 15y + x
MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ DE MONOMIS
Per a multiplicar o dividir monomis no cal que les parts literals siguin iguals.
El resultat en aquests casos sempre serà un monomi.
WEB
La multiplicació es fa de la manera següent:
1. Es multipliquen entre si els coeficients tenint en compte els signes dels
coeficients.
2. Per a obtenir la part literal, es multipliquen les parts literals dels monomis.
http://descartes.cnice.mecd.
es/materiales_didacticos/
Polinomios/monomios.
htm#opmon
Activitats per a practicar
les operacions amb monomis.
Exemple 1
a) 2x 2 · 4x 3 · x = 2 · 4 · x 2 + 3 + 1 = 8x 6
b) –2a · 5a3 · b = –2 · 5 · a · a · a · a · b = –10a4b
Regla dels signes
+
–
+
–
Unidad_05_2ESO.indd Sec1:85
·
·
·
·
+
–
–
+
=
=
=
=
+
+
–
–
+
–
+
–
:
:
:
:
+
–
–
+
=
=
=
=
+
+
–
–
85
21/4/08 04:58:53
5
Per a fer la divisió, els passos que cal seguir són:
1. Es divideixen entre si els coeficients tenint en compte el seu signe.
2. Per a obtenir la part literal, es divideixen les parts literals dels monomis,
tenint en compte com es fan les operacions amb potències.
WEB
Exemple 2
http://clic.xtec.net/db/act_
es.jsp?id=2205
Paquet d’activitats a Clic
propostes per Antonio
Francisco Devesa Botella,
Carmen Gutiérrez Vargas,
Fernando López Juárez i Rosa
Fargueta Calatayud per a
introduir el llenguatge algebraic
i exercitar les operacions
amb monomis i polinomis.
a) 2a3 : 6a =
2a3 2 3 – 1 2 2 1 2
= a = a = a
6a
6
6
3
b) 10x 4y 3 : (–2)x 2y 3 =
c)
10 4 – 2 3 – 3
= –5x 2 · y 0 = –5 · x 2 · 1 = –5x 2
x y
–2
4b 3 2 · 2 · b · b · b
= 2 · b · b = 2b 2
=
2b
2b
http://www.jesuitasperu.
org/almacen/archivos/arch171Polinomios%203.htm
A la secció de recursos
trobarem interessants enllaços
relacionats amb monomis
i polinomis.
Dos monomis només es poden sumar o restar si tenen la mateixa part
literal, és a dir, han de ser semblants. Per a obtenir el resultat se sumen o
resten els coeficients i es manté igual la part literal.
Per a multiplicar monomis, es multipliquen entre si els coeficients tenint
en compte els signes, i la part literal s’obté multiplicant les parts literals
dels monomis.
Per a dividir monomis, es divideixen els coeficients tenint en compte el
seu signe, i la part literal s’obté dividint les parts literals dels monomis.
Exercicis
7 Troba el resultat de les operacions amb monomis següents:
9 Indica quines d’aquestes igualtats són correctes i quines són incorrectes. Raona la teva resposta:
a) 5z + 6z + z
a) 3a + a = 4a2
b) 10x 2 – 7x 2 + x 2
b) 5x + x + x = 7x
c) 6yx + 4xy + yx
c)
1 2 1 2
x + x = x2
2
2
2
d) 2n + 3n2 – 5n2 = 0
d) 2n2m + 3n2m
e)
3
x – 2x + x
4
2
e) 3zy + 5zy = 8yz
f) 5x 2 + 2x = 7x 3
2
f) a + 3a + 9ab
10 Fes la divisió dels monomis següents:
8 Fes la multiplicació dels monomis següents:
a) 5x 2 · 3x
c) 2a2 · a · 5a
e) 4y · 2y 2
1
b) 3b2 · b
2
d) 4y · (–4)y 2
f) 6a3 · 2a
a)
24a4
6a2
b)
4ab
2b
c)
12m2
15m
d)
–9x 2y 2
3x
e)
12y 5
6y 2
f)
6y 8x
3x 3y
86
Unidad_05_2ESO.indd Sec1:86
21/4/08 04:58:54
5
OPERACIONS AMB POLINOMIS
Fer les operacions amb polinomis és molt senzill si es domina el càlcul amb
monomis.
A
Recorda
SUMA I RESTA DE POLINOMIS
No és 3a 2
3a + a
Per a sumar polinomis, se sumen entre si els termes semblants.
Sí és 4a
No és 4a 2 b2
Exemple 3
4ab + ab
Sí és 5ab
Si P(x) = 3x 2 + 10x – 7 y Q(x) = 2x 2 – 6x + 5
P(x) + Q(x) = (3x 2 + 10x – 7) + (2x 2 – 6x + 5)
No és 6ax 2
6ax + x
No són
monomis
semblants.
No es poden
sumar.
3x 2 + 10x – 7
2x 2 – 6x + 5
P(x) + Q(x) = 5x 2 + 4x – 2
Per a restar polinomis, els passos que cal seguir són:
Pas 1. S’ordenen els termes del polinomi de més gran a més petit en funció
del grau.
WEB
Pas 2. Restar és sumar l’oposat, després es canvien els signes del polinomi
subtrahend.
http://descartes.cnice.mecd.
es/materiales_didacticos/
Polinomios/polinomios1.
htm#suma
Pas 3. Se sumen els termes semblants dels polinomis.
Activitats interactives per a les
operacions amb polinomis.
Exemple 4
P(x) = 6x 3 + 5x – 7x 2 + 7
http://www.ejercitando.
com.ar/teormate/
suma%20de%20polinomios.htm
Q(x) = 2x 3 – 6x 2 + 3x – 2
P(x) – Q(x) = (6x 3 + 5x – 7x 2 + 7) – (2x 3 – 6x 2 + 3x – 2)
Activitats de suma de polinomis
acompanyades de les seves
propietats.
6x 3 – 7x 2 + 5x + 7
– 2x 3 + 6x 2 – 3x + 2
P(x) – Q(x) =
4x 3 – x 2 + 2x + 9
Exercicis
11 Donats els polinomis:
6
A(x) = 12x + 6x + 3x + 2
6
12 Fes la suma o resta dels polinomis:
4
a)
4
B(x) = 4x – 4x + 2
C(x) = 4x 4 – 5x 3 + x – 1
1 4 z + 6z + 5z – 3z2 + 1 2 z + 4z + z2
3
2
2
3
1
2
3
b) (3n5 – 4n2 + 5) – (2n5 + 6n2 + 3)
Calcula les operacions següents:
a) A(x) + B(x) + C(x)
b) A(x) – B(x)
c) B(x) + A(x)
d) C(x) – A(x)
c) (m3 + 3m + 7) – (m3 – 2m + 1)
d) (y 10 + 3y 3 – y) + ((y 5)2 – 4y 2 + 5y + 8)
87
Unidad_05_2ESO.indd Sec1:87
21/4/08 04:58:55
5
B
MULTIPLICACIÓ DE POLINOMIS
Multiplicació d’un monomi per un polinomi
Recorda
Per a multiplicar un monomi per un polinomi s’hi aplica la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma.
a · ( b + c) = a · b + a · c
En l’exemple, 3a · (a2 + 3a + 1) cal multiplicar el monomi «3a» per cadascun
dels termes del polinomi. S’opera com una multiplicació normal entre monomis: es multipliquen els coeficients respectant el seu signe i es multipliquen
les parts literals:
WEB
http://thales.cica.es/rd/Recursos/
rd99/ed99-0453-02/ed99-045302.html
3a · (a2 + 3a + 1) = 3a · a2 + 3a · 3a + 3a · 1 = 3a3 + 9a2 + 3a
En aquesta pàgina, Ignacio
del Pino ens proporciona
una interessant calculadora
per a operar amb polinomis.
Multiplicació de dos polinomis
Per a obtenir el resultat de la multiplicació de dos polinomis caldrà multiplicar
cadascun dels monomis del primer polinomi per cadascun dels monomis
del segon polinomi. Posteriorment, ens fixem si en el resultat es poden sumar monomis semblants per reduir el més possible l’expressió del polinomi
resultant.
http://www.fi sicanet.com.ar/
matematica/m2_polinomios.php
En aquesta pàgina hi ha
exercicis per a practicar
les operacions amb polinomis.
Exemple 5
Si A(x) = 3x + 4x 3 + 1 i B(x) = x + 2, calcularem A(x) · B(x)
Pas 1. S’ordenen els polinomis col.locant els termes de més gran a més petit segons el grau.
B(x) = x + 2
A(x) = 4x 3 + 3x + 1
Pas 2. Es col.loquen els dos polinomis un sota de l’altre. Si falta algun terme en el polinomi
que se situa sobre, es posa zero o s’hi deixa un espai.
4x 3 + 3x + 1
x+2
Pas 3. Es multiplica cada monomi del segon factor per tots els termes del primer, i s’hi colloquen adequadament els graus per després sumar-los. Finalment, se sumen els termes semblants.
4x 3 + 3x + 1
x+2
8x 3
4x
4
+ 6x + 2
+ 3x + x
A(x) · B(x) = 4x 4 + 8x 3 + 3x 2 + 7x + 2
2
4x 4 + 8x 3 + 3x 2 + 7x + 2
Exercicis
13 Calcula les multiplicacions següents i redueixne al màxim el resultat:
a) (–z)2 · (z 3 + z 2 – 5z)
b) 7y · (6y 2 + 3y – 3)
c) (–2m)2 · (3m2 + 2m)
d) x 6 · (2x 2 – 4x + 3)
e) 3x ·
13 x + x 2
1
2
f)
1
x · (9x 2 + 27)
3
14 Tenint en compte els polinomis:
1
A(x) = 5x 5 + 3x 4 – 4x 2 + x – 2 B(x) = 3x 2 + x – 2
2
1
2
C(x) = 7x – 10x + 10
D(x) = x 2 + 2x + 2
5
Calcula:
a) A(x) · B(x)
b) –A(x) · C(x)
c) C(x) · B(x)
d) B(x) · C(x)
e) A(x) · C(x)
f) D(x) · C(x)
g) D(x) · B(x)
h) –D(x) · B(x)
i) A(x) · (–D(x))
88
Unidad_05_2ESO.indd Sec1:88
21/4/08 04:58:56
WEB
6
IDENTITATS NOTABLES
Hi ha multiplicacions entre binomis que es poden expressar de manera senzilla sense necessitat d’operar pel procediment habitual. Aquestes multiplicacions s’anomenen identitats notables.
A
http://www.comenius.usach.cl/
webmat2/conceptos/encontexto/
productos_notables_contexto.
htm
Interessants comentaris
històrics i geomètrics sobre
les identitats notables.
http://sipan.inictel.gob.pe/
internet/av/pnotable.htm
QUADRAT DE LA SUMA DE DOS MONOMIS
2
El quadrat d’una suma (a + b) = (a + b) · (a + b) és la multiplicació de dos binomis, i el seu resultat és a2 + 2ab + b2. Ho comprovarem fent la multiplicació
entre els polinomis esmentats tal com hem après:
Interessants explicacions
interactives de les identitats
notables.
(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + ab + ba + b2
Recorda
a+b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a+b
Per exemple:
ab + b2
a2 + ab
(2x + 3)2 = (2x + 3) · (2x + 3) = (2x)2 + 2 · 2x · 3 + 32 = 4x 2 + 12x + 9
a2 + 2ab + b2
B
QUADRAT DE LA DIFERÈNCIA DE DOS MONOMIS
En el cas d’una diferència ocorre el mateix, però el resultat en aquest cas és:
(a – b)2 = (a – b) · (a – b) = a2 – ab – ba + b2, i agrupant termes semblants tenim
el resultat:
Recorda
a–b
a–b
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
–ab + b2
a2 – ab
Per exemple:
a2 – 2ab + b2
(7 – 5x)2 = (7 – 5x) · (7 – 5x) = 72 + 2 · 7 · (–5x) + (–5x)2 = 49 – 70x + 25x 2
C
PRODUCTE D’UNA SUMA DE DOS MONOMIS
PER LA SEVA DIFERÈNCIA
En aquest cas, el producte seria (a + b) · (a – b), i el resultat és a2 – b2. Ho comprovem fent la multiplicació:
a+b
(a + b) · (a – b) = a2 – a · b + b · a – b2 = a2 – b2
a–b
Recorda
–ab – b2
(a + b) · (a – b) = a2 – b2
a2 + ab
Per exemple:
a2
2
2
– b2
2
(6x + 2) · (6x – 2) = (6x) – 2 = 36x – 4
Exercicis
15 Calcula les identitats notables següents:
2
2
a) (x + 2)
b) (2x – 3)
c) (3x 2 – 4x)2
d) (x + 2) · (x – 2)
e)
1 3 x – 32
2
2
f) (2x – 5) · (2x + 5)
16 Indica si les igualtats següents són certes:
a) (5x + 8)2 = 5x 2 + 82
b)
1 2 y + 2z2 · 1 2 y + 2z2 = 4 y – 4z
1
1
1
2
2
c) (3m – m2)2 = 9m2 – 6m3 + m4
89
Unidad_05_2ESO.indd Sec1:89
21/4/08 04:58:57
5
EXERCICIS RESOLTS
1 Fes l’operació següent: (–2)x 2 · (x – 2 + 3x 2)
+
–
+
–
·
·
·
·
+
–
–
+
=
=
=
=
+
+
–
–
(–2)x 2 · (x – 2 + 3x 2)
A(x)
B(x)
El signe negatiu pertany al coeficient del monomi. No s’ha de confondre amb
una resta.
1) S’ordena el polinomi col.locant els termes de més gran a més petit segons
el grau.
A(x) = –2x 2
B(x) = 3x 2 + x – 2
2) Es col.loquen els dos factors un sota de l’altre. Si algun grau no existeix s’hi
deixa un espai.
3x 2 + x – 2
–2x 2
3) Es multiplica el monomi per tots els termes del polinomi i s’hi col.loquen
adequadament els graus.
3x 2 + x – 2
– 2x 2
A(x) · B(x) = –6x 4 – 2x 3 + 4x 2
2 Resol aquesta operació entre polinomis:
1
2
1
2
1
2 2
x·
x + 3x + 2
2
5
1
2 2
x·
x + 3x + 2
2
5
A(x)
B(x)
Recorda que per a la multiplicació de fraccions, no cal buscar el denominador
comú.
1) S’ordena el polinomi col.locant els termes de més gran a més petit segons
el grau.
A(x) =
1
x
2
B(x) =
2 2
x + 3x + 2
5
2) Es col.loquen els dos factors l’un sota de l’altre. Si algun grau no existeix
s’hi deixa un espai.
90
Unidad_05_2ESO.indd Sec1:90
2 2
x + 3x + 2
5
1
x
2
21/4/08 04:58:58
3) Es multiplica el monomi per tots els termes del polinomi, i s’hi col.loquen
adequadament els graus.
2 2
x + 3x + 2
5
1
x
2
A(x) · B(x) =
1 3 3 2
x + x +x
2
5
3 Fes l’operació següent entre polinomis:
16x + 3x + 2 x2 · (x – 2x + 7)
3
2
1
3
A(x)
B(x)
1) S’ordenen els polinomis col.locant els termes de més gran a més petit segons el grau.
A(x) = 6x 3 + 3x 2 +
1
x
2
B(x) = x 3 – 2x + 7
2) Es col.loquen els dos polinomis l’un sota de l’altre. Si hi falta algun grau
del polinomi que es col.loca sobre, s’hi posa zero o s’hi deixa un espai en
blanc.
6x 3 + 3x 2 +
1
x
2
x 3 – 2x + 7
3) Es multiplica cada terme del segon factor per tots els termes del primer
factor, i s’hi col.loquen adequadament els graus. Es fa després la suma dels
termes semblants.
6x 3 + 3x 2 +
1
x
2
x 3 – 2x + 7
42x 3 + 21x 2 +
–12x 4 – 6x 3 –
6x 6 + 3x 5 +
6x 6 + 3x 5 –
x2
1 4
x
2
23 4
7
x + 36x 3 + 20 x 2 + x
2
2
A(x) · B(x) = 6x 6 + 3x 5 –
Unidad_05_2ESO.indd Sec1:91
7
x
2
23 4
7
x + 36x 3 + 20 x 2 + x
2
2
91
21/4/08 04:58:59
5
EXERCICIS PROPOSATS
Expressions algebraiques. El llenguatge algebraic
6
Copia en el teu quadern i completa la taula
següent indicant el valor numèric de cada expressió:
1
La variable x representa un nombre natural.
Expressa en funció d’aquest:
x = –1
x=0
x=
a) El seu quàdruple.
b) El doble del seu posterior.
x3 – x
c) La meitat del seu anterior més quatre unitats.
6x –
2
Expressa algebraicament els enunciats següents:
x · (10 – 6x)
a) Les dues terceres parts del quadrat d’un nombre.
2 · (x – 1) – 3
1
2
x=2
x2
2
b) El quadrat del doble d’un nombre.
c) El triple d’un nombre més tres.
7
La velocitat d’un cos en moviment ve definida
e
per l’expressió següent: v = , on v és el valor de la velot
citat esmentada, e l’espai recorregut i t el temps que ha
estat en moviment. Si un cos ha recorregut 500 metres
en 30 segons, quina és la seva velocitat?
d) El triple d’un nombre, més tres.
3
Expressa algebraicament l’àrea del dibuix:
h
c
—
2
c
c
—
2
a
b
4
Expressa algebraicament el valor de la diagonal
següent:
a
d
8
Escriu les expressions algebraiques següents de
manera que quedin ordenades de més petita a més gran
en funció del seu valor numèric a x = –3.
a) x 2 + 2x – x
b) 3x 2 + 10x
c) x 3 + 2x – 7
9
Troba el valor numèric en cada cas:
a) m2 + nx – m + 7; si m = 4, n = –1, x = 2
b) 2xy – x + y 2 + 2y; si x = 3, y = 5
1 2
x – 12; si m = 2, x = 2
2
d) 8y 3 – 7y 2 + y – 2; si y = –2
c) 7m –
b
e) x 2 + 2xy + y 2; si x = 3, y = –2
Valor numèric d’una expressió algebraica
5
Troba el valor numèric de les expressions algebraiques següents:
Monomis i polinomis
a) x 2 + 2x; si x = 2
10
Explica amb les teves pròpies paraules el significat dels termes:
b) x 2 + 2x + mx; si x = 1, m = –1
92
1
c) 2m + mx; si x = 2, m =
2
3
d) xy – x ; si x = 4, y = 3
Unidad_05_2ESO.indd Sec1:92
a) Monomi.
b) Polinomi.
c) Terme.
d) Coeficient.
e) Binomi.
f) Factor.
21/4/08 04:59:01
11
Classifica les expressions algebraiques següents,
i indica el coeficient i la part literal de cadascun dels monomis. Quants termes té cadascun?
2
a) 12x y + 15y – 2
c) x 2 + x – 2
e)
–x 2y
+1
2
1
b) –2nm + x
2
3
d) x 2yz
5
3
f) ym5 – x
5
a) –
c)
x yz
2
3
xy + 5
4
1
2
x2 4
d) mnx +
–
2 5
b) (2xy)2 + x +
13
Descriu els polinomis següents, i indica el nombre de termes que el componen i quins són els coeficients i les parts literals de cadascun.
a) A(x) = 64x 3 + 24x 2
a) 6x 2 + 3x 2
b) 5y 2 + y 2
c) m3 + 10m3 + 3m3
d) –9x 6 + 3x 6 – x 6
18
Opera els monomis següents:
a) (7x) · y
b) (2x 5) · x 2
c) (–2x 2) · x
d)
19
c) C(x) = 8x – 28x 3 + 6x 3 – 49x 5 – 20
d) D(x) = 6x + 3x – 6x – 4
a) La part literal del terme independent és x.
b) El coeficient del monomi xy2 és zero.
c) Tots els binomis estan compostos per dos monomis.
d) Dos termes d’un polinomi són semblants si tenen la
mateixa part literal.
Fes les operacions següents:
(2z)
+ 3z 2
1
—z
2
3
– — xy
4
1
b)
+ xy
1
4
— xy
4
a)
c) 2z · z 2
–2m3 (3m)2
·
3
m2
e) 3m · m3 – m4
Opera:
7xy + 2xy
2xy
b) 2x · (5x + x 2) – x 3 + 5x 2
a)
c)
7
1 2 xy2 · (2xy)
d) 4x 3 + 5x 3
e) –6m2 + m2
21
1
Són certes les igualtats següents?
1
xy · (2x 2y) = –x 3y
2
2
Operacions amb monomis
a) –
15
Quines condicions han de complir dos monomis
perquè es puguin sumar o restar? Ocorre el mateix en el
cas de multiplicar o dividir monomis?
1
– — m2
4
b)
=1
1 2
—m
4
x2 · y2 · z2
c)
= x 3y 3z 3
xyz
d) 6x + 2x 2 – 6x · 2x 2 = 0
Redueix al màxim les expressions següents:
2
a) x + 3x + 5x 2 – x + 2
b) 2x 5 – x 2 + 7x 2 – x 5 – 1
c) 2x 3 – x 3 + 2
d) x 2 – 7x 2 + 30
Unidad_05_2ESO.indd Sec1:93
2
3
20
Són certes les afirmacions següents? Raona-
16
3y
1 4 2·y
d)
b) B(x) = 6x + 3x – 5x – 4
14
les.
Calcula:
3
12
Classifica les expressions següents i digues quin
és el coeficient i quina és la part literal de cada monomi.
2
17
93
21/4/08 04:59:02
5
22
EXERCICIS PROPOSATS
Copia en el teu quadern i uneix les columnes:
26
Opera:
a) 10x · (6x 2 + 3x)
1 2
xy
2
No és un monomi.
b) 6x 2 · (x 2 + x 4 + 3x 4)
–5
Encara que té igual variable no
es pot sumar amb 3m.
c) 3x 2 · (2x + 3x 2 – x)
8ab + b
La part literal d’aquest monomi
no existeix.
4m2
El coeficient d’aquest monomi
és un nombre fraccionari.
23
Contesta si és verdader o fals:
a) Un monomi amb coeficient negatiu no es pot multiplicar per un altre.
b) El resultat de la multiplicació entre dos monomis és
sempre un altre monomi.
d) 5x · (3x 2 –1)
27
Fes la multiplicació dels polinomis següents:
a) (3x + 2x 2 + 7) · (4x – 2x 2 + 3)
b) (2x 3 + x) · (5x 2 – 2x + 3)
c) (–3x 2 + 2) · (5x 2 + x 3 + 2)
d) (2x – 2) · (3x + 3)
e) (3x 4 – 2x + 5) · (x 2 – x)
28
Fes les operacions següents:
c) Per a sumar dos monomis, els coeficients han de ser
iguals.
a)
31 2
4
d) A l’hora de dividir polinomis, primer es divideixen els
coeficients i després, la part literal.
b)
1 2 + x + 5 2 – 1–x – 2x + 4 2
e) Per a multiplicar monomis, les parts literals han de ser
semblants.
c) 2(x + y) –
1 22
x – 2x 3 – x + (x 4 + 3x 3 + 2x)
2
x3
2
3
3
2
3
1
1
x– y+3
2
2
x2 1 2
– x +2
3 3
1
2
3
e) y 5 – y 5 + y 2 + 3 y 4 + y 5 – y 5
4
4
4
d)
24
Calcula mentalment:
a) 7mx 2 + x 2m – 5x 2m
b) 6y + 4y – 10y
29
c) 4x 2 + x 2 + 5x 2
3
m(m + n2) + mn2
8
1
1
b) –4x 2 + xy – 2 · x 2 – xy + 2
2
3
a)
d) 2 · (4xm + 5xm)
Operacions amb polinomis
25
Opera:
Fes la suma o resta dels polinomis següents:
a) (2x + 3x 2 + 2) + (4x 2 + 2x + 1)
b) (5m2 + 3m + m3) + (2m2 + 2m – m3)
1
21
2
c) [4(x + y) – 3x – y] · (2x + y)
d) [3(a · b)2 + 2] · (x – 2y)
30
Opera i redueix al màxim les expressions següents:
a) 5x · (x + 2) – x 2
2
4
2
4
c) (3x + 2x + 3x) – (–x + x + 2x)
94
d) (2x 3 – 2) – (3x 3 – 2x + 2)
Unidad_05_2ESO.indd Sec1:94
b) x 2 · (x + 1) + x 2
c) xy + 3y · (x + y)
21/4/08 04:59:04
31
1
a) y 3 –
Fes les operacions següents entre polinomis:
21
d)
a) (5a b + 2)2 = (5a2b)2 + 20a2b + 4
2
1
1
y · y2 + y
3
2
(2 + x)2
= 2 + 2x + x
2
c) (xy – 3x) · (xy + 3x) = x 2 y 2 – 9x 2
b)
1 2
2 2
x – 6x · (–2x)2 + 2x 2
3
1
Són certes les igualtats següents?
2
b) 2 · (6 – a) + 4a – 6 + a – 4 – 6a – 4
c) 12x ·
37
d) (x 2 + 1) · (x 2 – 1) = x 4 – 1
2
3
1
3
x · (–4x 2) · – x 2 – x · (–x 2)
4
2
2
38
Simplifica les expressions:
a)
x 2 + 2x + 1
x+1
b)
(a + b) · (–b + a)
a2 – b2
b) 10 · (2 – 4x) – 6 · (4x – 2)
c)
1
1
(x + 2) · (2x + 1)
2
2
d) (3x + 2)2 + 3x 3 – 10x – 2
9x 2 – 100
3x – 10
d)
25 – 2x + x 2
(5 – x)2
32
Fes les operacions següents i redueix al màxim
l’expressió algebraica resultant.
a) 4 · (x + b) + (–2) · (x + b)
c) 3(x 2 – 1) –
33
Donats els polinomis A(x) = x 2 + 4x + 4 i B(x) =
= 2x 2 + x – 2, comprova que la multiplicació de polinomis
compleix la propietat commutativa, és a dir, A(x) · B(x) =
= B(x) · A(x).
34
39
Basant-te en les identitats notables factoritza les
expressions següents:
a) a 2 + 2ax + x 2
b) 4a 2 + 4a + 1
c) 81 – 4x 2
d) 9 – 6y + y 2
Opera:
1
2
1
x
2
b) (5x 2 + 3x + 2) · (4x – 3) – x 3 + 5x 4
a) 3x · (4xy + 2x) – 2 · x 2y +
c) (3x 2y + yx 2 – y) –
1 2 y + 3x + 4x 2
1
2
40
a)
49a2 – 25
+ 5a
8a – a + 5
b)
(64 – 16xy + x 2y 2) · (8 – xy)
(8 – xy)3
4
d) (4a2 – b2) · (b2 + a) – (a3 + 2b4) · 3
Opera tenint en compte les identitats notables:
Identitats notables
35
Què són les identitats notables? Explica-ho ajudant-t’hi amb exemples.
36
Troba les identitats notables següents i comprova que, operant de la forma habitual, s’obté el mateix
resultat.
a) (3x 2 + 2)2
b) (4m2 – 2m) · (5m2 + 3m)
c) (5 – y 2)2
d) (5x – 2)2
e) (x – 4) · (x + 4)
f) (2a – 2)2
Unidad_05_2ESO.indd Sec1:95
+
4x 4 – 2x 3 + 3x 2 – 2x + 5
– 5x 3 – x 2 – 2x
4
3
4x + 3x + 2x
2
(x + 5)2 = x 2 + 10x + 25
+5
(2a + 3b)(2a – 3b) =
= 4a2 – 9b2
95
21/4/08 04:59:05
5
PER A REPASSAR
EN GRUP
Elabora amb el teu grup de treball un esquema amb els conceptes següents
de la Unitat i posa’n un exemple de cadascun.
CONCEPTE
CD
A la pestanya Activitats/
Unitat 1 trobaràs l’activitat
Resposta múltiple unitat 5,
per a repassar els conceptes
més importants.
CD
A la pestanya Mapa
del CD/Jocs matemàtics
trobaràs la fitxa El regal
de l’oncle Andreu,
per a repassar la unitat.
DEFINICIÓ
Àlgebra
Branca de les Matemàtiques que es basa en l’ús de símbols i lletres
per a representar relacions aritmètiques.
Expressions
algebraiques
És la combinació de nombres i lletres relacionats mitjançant
operacions aritmètiques per a expressar una situació qualsevol
o per a generalitzar propietats matemàtiques.
Valor numèric d’una
expressió algebraica
És el resultat que s’obté quan se substitueixen les lletres de
l’expressió per nombres.
Monomi
És una expressió algebraica formada per la multiplicació de
nombres, lletres o nombres i lletres.
Coeficient
És la part numèrica d’un monomi.
Part literal
És la part d’un monomi expressada amb lletres.
Grau d’un monomi
És la suma dels exponents de la part literal.
Polinomi
És una expressió algebraica formada per sumes o restes de monomis no semblants.
Operacions amb
monomis
— Suma
— Resta
— Multiplicació
— Divisió
Quadrat d’una suma:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Identitats notables
Quadrat d’una diferència:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Producte de suma per diferència:
(a + b) · (a – b) = a2 – b2
96
Unidad_05_2ESO.indd Sec1:96
21/4/08 04:59:12
CURIOSITATS,
JOCS I DESAFIAMENTS
FIXA-T’HI BÉ I ENCERTA!
Quin és el producte de la sèrie següent?
(x – a) · (x – b) · (x – c) … (x – z)
El resultat de la sèrie és «0», perquè té el terme (x – x), que anul.la tot el
producte.
APLICANT LÒGICA AMB LES FITXES DEL REVÉS
Les fitxes del revés tenen la mateixa forma que les fitxes del joc de dames,
però amb una cara blanca i l’altra negra. En una taula hi ha un nombre «x»
de fitxes del revés. Només 10 tenen la seva cara blanca cap per amunt. Ens
trobem davant la taula amb els ulls embenats, i el nostre objectiu és dividir
totes les fitxes en dos grups, de manera que en cada grup hi hagi el mateix
nombre de fitxes amb el costat blanc cap per amunt. Òbviament, no es poden
mirar les fitxes.
Com podem assolir l’objectiu?
Simplement, cal treure 10 fitxes i donar-los la volta. Suposem que les 10 fitxes separades són b blanques i (10 – b) negres. En donar-los la volta, el nou
conjunt tindrà (10 – b) blanques i b negres. A la pila originalment n’hi havia
10 de blanques i (x – 10) de negres. Per tant, com que en retirem 10 fitxes, de
les quals b són blanques, en quedaran (10 – b) de blanques.
DESAFIAMENT MATEMÀTIC
Posant valors a les variables
Has de col.locar els valors en els llocs que figuren les variables perquè es
verifiquin els resultats horitzontals i verticals.
8
×
+
a
= 10
Unidad_05_2ESO.indd Sec1:97
+
+
×
–
b
c
d
e
=8
= 12
+
+
×
×
f
g
= 10
+
×
h
= 16
= 12
97
21/4/08 04:59:13