Números índice para datos económicos y administrativo.

Unidad V
Números índice
para datos
económicos
y estadísticos
Esta dística infer enci a l
Esquema conceptual: Unidad V
Fundamento de la existencia
de los índices agregados a precio
Índice Laspeyres
Índice Paasche
Índice ideal de Fisher
Característica de los índices
Definición de precio relativo
Cálculo de índices simples
2. Elaboración de índices
agregados a precios
1. Elaboración
de índices simples
Fundamento del cambio
del periodo base
Obtención de una nueva
serie de índices
3.Cambio del periodo base
Enlaces técnicos
140
4.Fusión de dos series
de números índice
UNIDAD V
Números índice para datos
económicos y estadísticos
5.El índice de precios
al consumidor (ipc)
8. Índices de producción
industrial
Objetivo
Características
6. Índice de precios
al productor (ipp)
7. Los promedios de
precios bursátiles
Dow Jones
Historia del Dow Jones
Los índices del Dow Jones
Definición
Facultades del Banco
de México
Relevancia del INPP
Aplicaciones del INPP
Historia de la
determinación del
INPP en México
Definición
Cálculo
Componentes de INPC
Construcción del INPC
Información para determinar
la canasta
Cómo calcular
la canasta básica
Ponderaciones
Integrantes del sistema INPC
Semana 12
Unida d v. Números índice pa r a datos económicos y a dministr ativos
Presentación
L
os índices o números índice son medidas estadísticas que resumen en un solo
valor la información de diversos indicadores de un fenómeno social o económico. Los índices se calculan para medir los cambios que pueden presentarse en
variables que evolucionan a través del tiempo.
Algunos de los índices más relevantes que son analizados y comentados con
frecuencia en los medios informativos son:
•
•
•
•
•
Índice Nacional de Precios al Consumidor (inpc)
Índice de Precios y Cotizaciones (ipyc) de la Bolsa Mexicana de Valores
Índice Metropolitano de la Calidad del Aire (Imeca)
Índice Nacional de Precios al Productor (inpp)
Índice de Producción Industrial (ipi)
Objetivos específicos
• El estudiante aplicará sus habilidades en la solución de problemas de números
índice para datos económicos y estadísticos.
Tema y subtemas
I.
V Números índice para datos económicos
y estadísticos
V.1
Elaboración de índices simples
V.2
Elaboración de índices agregados a precios
V.3
Cambio del periodo base
V.4
Fusión de dos series de números índice
141
Esta dística infer enci a l
V.1 Elaboración de índices simples
Definición
de precio relativo
De manera formal, el precio relativo se define como la razón geométrica —o cociente— del precio de cierto año a respecto de un año inicial b, que se denomina
año base o periodo de referencia. En consecuencia, el precio relativo, denotado
por Pa|b , se calcula mediante la fórmula:
Pa|b =
Donde:
Pa
Pb
• Pa = Precio del producto en el año a.
• Pb = Precio del producto en el año b (año base).
Ejemplo
Ejemplo de cálculo
de precio relativo
Supóngase que en el año 2000 el precio en pesos de un determinado modelo
de automóvil al momento de salir de la agencia era de $120 mil. En el año 2007,
su precio de venta se valúa en $70 mil. Calcular el precio relativo del automóvil
tomando como año base el 2000.
142
Solución
Con base en el planteamiento del problema, se tienen los siguientes datos:
•
•
•
•
a = 2007
b = 2000
Pa = 70000
Pb = 120000
Al sustituir estos datos en la fórmula respectiva se tiene que:
P2007|2000 =
=
P2007
P2000
70000
120000
= 0.5833
Si esta cantidad se multiplica por 100% se obtiene 58.33%, cifra que puede
redondearse a 58%. Este resultado es un referente sobre la evolución del precio
del automóvil (es decir, saber si subió o bajó y en qué porcentaje lo hizo).
Unida d v. Números índice pa r a datos económicos y a dministr ativos
Dado que el valor obtenido es menor que 100%, esto quiere decir que el valor del producto disminuyó. En nuestro ejemplo, 58% significa que el valor de
ese mismo automóvil en el año 2007 disminuyó en 42 puntos porcentuales con
respecto al año 2000.
Por otra parte, si al calcular un precio relativo respecto a un cierto año se
obtiene un valor exacto del 100%, ello implicará que el precio del producto no ha
variado con respecto al año de referencia.
Finalmente, si el precio relativo es mayor al 100%, esto significa que el precio
del producto se ha incrementado con respecto al año base.
V.2 Elaboración de índices
agregados a precios
Al realizar investigación en ciencias sociales y exactas, es fundamental contar
con referentes sobre el comportamiento de la economía pues ésta es uno de los
ejes en torno a los cuales se desarrollan las naciones y suele ser origen de serias
problemáticas de orden político y social.
En este contexto, los gobiernos de los distintos países han diseñado y desarrollado indicadores que resumen de manera general, en un solo valor conocido
como índice, el comportamiento y evolución de diversas variables económicas.
Entre los índices más importantes pueden mencionarse:
Fundamento de la
existencia de los índices
agregados a precio
143
• Índice de Laspeyres, denotado por L.
• Índice de Paasche, denotado por P.
• Índice ideal de Fisher, denotado por F.
Las fórmulas para la construcción de estos índices son:
1. Índice de Laspeyres
∑
L=
∑
Donde:
n
(i )
i =1 n
n
(i )
i =1 0
P q0(i )
P q0(i )
• Pn(i ) = Precio del producto i en el año n.
(i )
• q0 = Cantidad producida del producto i en el año base.
• P0(i ) = Precio del producto i en el año base.
Fórmula para construir
índices Laspeyres
Esta dística infer enci a l
2. Índice de Paasche
Fórmulas para
construir índices
Paasche
∑
P=
∑
Donde:
n
(i )
i =1 n
n
(i )
i =1 0
P qn(i )
P qn(i )
• Pn(i ) = Precio del producto i en el año n.
• P0(i ) = Precio del producto i en el año base.
• qn(i ) = Cantidad producida del producto i en el año n.
3. Índice ideal de Fisher
 ∑ n Pn(i )q0(i )   ∑ n Pn(i )qn(i ) 
F =  in=1 (i ) (i )   in=1 (i ) (i ) 
 ∑ P0 q0   ∑ P0 qn 

  i=1
 i=1
Donde:
Fórmulas para
construir índices Fisher
144
• Pn(i ) = Precio del producto i en el año n.
• P0(i ) = Precio del producto i en el año base.
• qn(i ) = Cantidad producida del producto i en el año n.
• q0(i ) = Cantidad producida del producto i en el año base.
Características
de los índices
Obsérvese que el índice de Paasche es una variante del índice de Laspeyres
y, de igual manera, el índice ideal de Fisher es una combinación de los dos primeros, por lo que la fórmula de este último puede expresarse en forma compacta de
la siguiente manera:
F = LP
Donde:
• L = índice de Laspeyres
• P = índice de Paasche
Unida d v. Números índice pa r a datos económicos y a dministr ativos
Ejemplo
Considérese la siguiente tabla de precios de productos y en qué cantidades fueron producidos en diversos años:
Producto (i) \ año
Leche
Mantequilla
Queso
2005
8.91
16.08
16.25
2006
9.17
16.53
16.95
2007
9.95
17.21
17.60
Producto (i) \ Año
Leche
Mantequilla
Queso
2005
9 705
8 122
6 724
2006
9 740
8 315
6 826
2007
10 575
8 355
6 982
Problemas sobre
cálculo de índices
agregados a precios
Precio en pesos
Cantidades producidas
Con los datos de la tabla anterior, calcula los índices L, P y F para el año
2007.
Solución
145
Se deben calcular los correspondientes índices para el año 2007, por lo tanto,
n = 2007. Asimismo, el año inicial consignado en la tabla es 2005, por lo que éste
es el año base. Entonces:
1. Se calcula el índice de Laspeyres:
L=
=
9.95(9705)+17.21(8122)+17.60(6724)
8.91(9705)+116.08(8122)+16.25(6724)
354686.77
326338.31
= 1.08686
que redondeado a tres decimales arroja el valor: 1.087.
Cálculo del índice
Laspeyres en el
problema
Esta dística infer enci a l
2. Se calcula el índice de Paasche:
Cálculo del índice
Paasche en el problema
P=
=
9.95(10575)+17.21(8355)+17.60(6982)
8.91(10575))+16.08(8355)+16.25(6982)
371894
342029.15
= 1.08731668
que redondeado a tres decimales arroja el valor: 1.087.
3. Finalmente, se calcula el índice ideal de Fisher:
Cálculo del índice
Fisher en el problema
146
F = 1.08686(1.08731668)
= 1.087088316
que redondeado a tres decimales arroja un valor de 1.087.
Debe destacarse que los índices agregados a precios se aplican en la construcción de otros índices de carácter económico, como el Índice Nacional de
Precios al Consumidor (inpc).
V.3 Cambio del periodo base
Fundamento del cambio
del periodo base
Conforme se aleja el año base, se produce pérdida de representatividad de los
índices, particularmente al ponderar magnitudes actuales utilizando pesos relativos referidos al año base. Este problema se remedia practicando un cambio de
base a un periodo más cercano al actual, con base en la propiedad de inversión
de los números índice:
• Si se designa a I t 0 como un número índice con base 0 y periodo actual t,
al realizar el intercambio entre sí de los periodos (es decir, I 0 t ), el nuevo
índice debe cumplir la condición I 0 t =
1
, lo que implica que I t 0 ⋅ I 0 t = 1 .
It 0
Considérese la serie de números índice referidos al periodo base 0. Al realizar un cambio de periodo base desde el periodo 0 al h, se genera una nueva serie
referida al mencionado periodo base h como se muestra a continuación:
Unida d v. Números índice pa r a datos económicos y a dministr ativos
Periodo
Índice base 0
Índice base h
0
I0|0
I0|h
1
I1|0
I1|h
·
·
·
·
·
·
i
Ii|0
Ii|h
·
·
·
·
·
·
h
Ih|0
Ih|h
·
·
·
·
·
·
t
It|0
It|h
Ii h =
=
147
La nueva serie de índices se obtendrá considerando que:
Ii 0
Ih 0
⋅ Ih h
Ii 0
Ih 0
En donde Ih|0 es el enlace técnico entre las dos series.
Cómo obtener
una nueva serie
de índices
Esta dística infer enci a l
V.4 Fusión de dos series
de número índice
Función
de los enlaces técnicos
Para relacionar series de índices referidos a periodos base distintos, se emplean
los denominados enlaces técnicos entre las dos series.
Ejemplo
Considérese la siguiente serie de números índice cuyo periodo base es el año
2000. Realizar el cambio de base al periodo 2006.
Año
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
148
Índice (base 2000)
98
100
105
107
109
116
121
123
Solución
Para este ejemplo, se procede a dividir la serie de índices en base 2000 entre
el valor del índice para el año al que se desea trasladar la base —en nuestro
caso 121, que corresponde al año 2006— y que conforma el denominado enlace técnico, obteniéndose la serie de índices en la nueva base como se muestra a
continuación:
It 6 =
It 0
I6 0
(100)
Unida d v. Números índice pa r a datos económicos y a dministr ativos
Sustituyendo valores:
I0 6 =
I1 6 =
I2 6 =
I3 6 =
I4 6 =
I5 6 =
I6 6 =
I7 6 =
I0 0
I6 0
I1 0
I6 0
I2 0
I6 0
I3 0
I6 0
I4 0
I6 0
I5 0
I6 0
I6 0
I6 0
I7 0
I6 0
(100) =
98
(100) = 80.99173554
121
(100) =
100
(100) = 82.6446281
121
(100) =
105
(100) = 86.7768595
121
(100) =
107
(100) = 88.42975207
121
(100) =
109
(100) = 90.08264463
121
(100) =
116
(100) = 95.8677686
121
(100) =
121
(100) = 100
121
(100) =
123
(100) =101.6528926
121
Redondeando, la nueva serie de números índice queda como sigue:
Año
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
Índice (base 2006)
81
83
87
88
90
96
100
102
149
Esta dística infer enci a l
Reactivos de autoevaluación
Selecciona la respuesta correcta
1. El precio relativo Pa|b se calcula mediante la fórmula:
a) Pa|b =
Pa
Pb
b) Pb|a =
Pa
Pb
c) Pa|b =
Pb
Pa
2. El índice de Laspeyres se calcula con la expresión:
∑
a) L =
∑
n
(i )
i =1 0
n
(i )
i =1 0
P q0(i )
P q0(i )
∑
b) L =
∑
n
(i )
i =1 n
n
(i )
i =1 0
P qn(i )
P q0(i )
n
∑
c) L =
∑
n
∑
c) P =
∑
(i )
i =1 n
n
(i )
i =1 0
P q0(i )
P q0(i )
3. El índice de Paasche se calcula con la fórmula:
150
∑
a) P =
∑
n
P (i )qn(i )
i =1 n
n
P (i )qn(i )
i =1 n
∑
b) P =
∑
n
P (i )qn(i )
i =1 n
n
P (i )q0(i )
i =1 0
(i )
i =1 n
n
(i )
i =1 0
P qn(i )
P qn(i )
4. El índice ideal de Fisher se calcula con la expresión:
a) F = LP b) F = LF c) F = FP
5. Considérese la siguiente tabla de precios de productos y en qué cantidades fueron producidos en diversos años:
Producto \ año (i)
Leche
Mantequilla
Queso
2005
8.40
16.15
16.55
2006
9.21
16.35
17.05
2007
9.58
17.26
17.65
Producto \ Año
Leche
Mantequilla
Queso
2005
9 700
8 109
6 745
2006
9 750
8 321
6 832
2007
9 989
8 362
6 985
Precio en pesos
Cantidades producidas
Unida d v. Números índice pa r a datos económicos y a dministr ativos
5.1 Calcula el índice de Laspeyres:
a) 1.08598908
b) 1.07598908
c) 1.8098908
b) 1.08594188
c) 1.8094188
5.2 Calcula el índice de Paasche:
a) 1.07594188
5.3 Calcula el índice ideal de Fisher:
a) 1.08596548
b) 1.07596548
c) 1.8096548
6. Sea It|0 un número índice con base 0 y periodo actual t. La propiedad de inversión establece que:
a) I t 0 =
1
It 0
b) I t 0 =
1
I0 t
c) I 0 t =
1
It 0
7. La propiedad de inversión cumple la siguiente igualdad:
a) I t 0 ⋅ I t t = 1 b) I t t ⋅ I 0 t = 1 c) I t 0 ⋅ I 0 t = 1
8. Considérese una serie de números índice referidos al periodo base 0. Para realizar el cambio de periodo
base desde el periodo 0 al h, se genera una nueva serie referida al mencionado periodo base h expresada
por:
a) I i 0 =
Ii t
Ih 0
b) I i h =
Ii 0
Ih 0
c) I h 0 =
Ii t
Ii 0
151
Esta dística infer enci a l
Glosario
Indicador: Medida estándar observable y verificable respecto de un atributo o
característica de un fenómeno. Por lo general, un conjunto de indicadores
conforman un índice.
Inverso: Sea x una cantidad diferente de cero. Su inverso se define con la razón
1
1
. En consecuencia, x ⋅ = 1, es decir, el producto de una cantidad mulx
x
tiplicada por su inverso es igual a la unidad.
Ponderar: Proceso en el que se asignan pesos o valores a los indicadores que
componen un índice con el objetivo de obtener un resultado equilibrado.
Razón geométrica: Sean x y y dos cantidades. Su razón geométrica es el cociente de x entre y, que se denota
x
, en donde y ≠ 0.
y
Representatividad: Dentro del contexto de números índice o índices estadísticos, la representatividad es una propiedad que mide en qué grado un
índice refleja el verdadero comportamiento y evolución de una variable
objeto de estudio.
152
Fuentes de información
García, M. (2005). Introducción a la teoría de la probabilidad. México: Fondo de
Cultura Económica.
Hernández, A. y O. Hernández (2003). Elementos de probabilidad y estadística.
México: Sociedad Matemática Mexicana.
Meyer, P. (1986). Probabilidad y aplicaciones estadísticas. E.U.: Addison-Wesley
Iberoamericana.
Ulloa, V. y V. Quijada (2006). Estadística aplicada a la comunicación. México:
unam.
Lipschutz, S. (1988). Probabilidad. México: McGraw-Hill.
Unida d v. Números índice pa r a datos económicos y a dministr ativos
Panel de verificación
Selecciona la respuesta correcta
1. El precio relativo Pa|b se calcula mediante la fórmula:
a) Pa|b =
Pa
Pb
b) Pb|a =
Pa
Pb
c) Pa|b =
Pb
Pa
2. El índice de Laspeyres se calcula con la expresión:
∑
a) L =
∑
n
(i )
i =1 0
n
(i )
i =1 0
P q0(i )
P q0(i )
∑
b) L =
∑
n
(i )
i =1 n
n
(i )
i =1 0
P qn(i )
P q0(i )
n
∑
c) L =
∑
n
∑
c) P =
∑
(i)
i =1 n
n
(i)
i =1 0
P q0( i )
P q0( i )
3. El índice de Paasche se calcula con la fórmula:
∑
a) P =
∑
n
P (i )qn(i )
i =1 n
n
P (i )qn(i )
i =1 n
∑
b) P =
∑
n
P (i )qn(i )
i =1 n
n
P (i )q0(i )
i =1 0
(i)
i =1 n
n
(i)
i =1 0
P qn( i )
P qn( i )
4. El índice ideal de Fisher se calcula con la expresión:
a) F = LP b) F = LF c) F = FP
5. Considérese la siguiente tabla de precios de productos y en qué cantidades fueron producidos en diversos años:
Producto (i) \ año
Leche
Mantequilla
Queso
2005
8.40
16.15
16.55
2006
9.21
16.35
17.05
2007
9.58
17.26
17.65
Producto (i) \ Año
Leche
Mantequilla
Queso
2005
9 700
8 109
6 745
2006
9 750
8 321
6 832
2007
9 989
8 362
6 985
Precio en pesos
Cantidades producidas
153
Esta dística infer enci a l
5.1 Calcula el índice de Laspeyres:
a) 1.08598908
b) 1.07598908
c) 1.8098908
b) 1.08594188
c) 1.8094188
5.2 Calcula el índice de Paasche:
a) 1.07594188
5.3 Calcula el índice ideal de Fisher:
a) 1.08596548
154
b) 1.07596548
c) 1.8096548
6. Sea It|0 un número índice con base 0 y periodo actual t. La propiedad de inversión establece que:
a) I t 0 =
1
It 0
b) I t 0 =
1
I0 t
c) I 0 t =
1
It 0
7. La propiedad de inversión cumple la siguiente igualdad:
a) I t 0 ⋅ I t t = 1 b) I t t ⋅ I 0 t = 1 c) I t 0 ⋅ I 0 t = 1
8. Considérese una serie de números índice referidos al periodo base 0. Para realizar el cambio de periodo
base desde el periodo 0 al h, se genera una nueva serie referida al mencionado periodo base h expresada
por:
a) I i 0 =
Ii t
Ih 0
b) I i h =
Ii 0
Ih 0
c) I h 0 =
Ii t
Ii 0