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Revista Colombiana de Física, vol. 44, No. 3, 2012
Efecto de un campo electrostático axialmente simétrico sobre un haz de electrones
de baja intensidad en condiciones de autoresonancia ciclotrónica espacial
Axisymmetric Electrostatic Field Effect on a Low Density Electron Beam
under the Spatial Cyclotron Autoresonance Conditions
1
1
1*
H. Gutiérrez Amaya , E. A. Orozco , V. Dugar-Zhabon
1
Escuela de Física, Universidad Industrial de Santander
A.A. 678 Bucaramanga, Colombia
Recibido abril 2 de 2010; aceptado febrero 21 de 2011.
Resumen
Se estudia la dinámica relativista de un haz de electrones de baja densidad, acelerado en condiciones de resonancia
ciclotrónica por ondas tipo TE11P en presencia de campos magnético y eléctrico estacionarios y no homogéneos. El campo
magnético se incrementa en la dirección de propagación del haz de tal modo que los electrones se encuentran en
condiciones de autoresonancia ciclotrónica espacial. El campo electrostático tiene una configuración apropiada para
oponerse a la fuerza diamagnética asociada al efecto espejo. Una simulación se realiza a partir de la solución numérica de
la ecuación de movimiento de Newton-Lorentz utilizando el esquema Leap-frog de Boris. Los campos eléctrico y
magnético en las posiciones de las partículas se calculan utilizando interpolación bilineal. Se muestra que la interacción
resonante entre el haz y la onda electromagnética puede prolongarse por más tiempo en presencia del campo eléctrico
estacionario, lo cual conduce a que el haz alcance una mayor energía. Los experimentos numéricos se realizan con los
campos de microondas TE111 y TE112 de 0.1 GHz y 2.45 GHz, respectivamente, con una amplitud de 6 kV/cm.
Palabras claves: resonancia ciclotrónica electrónica, fuerza diamagnética, campo axialmente simétrico.
Abstract
Relativistic dynamics of a low density electron beam, accelerated in the cyclotron resonance conditions by TE11P waves in
the stationary and inhomogeneous electric and magnetic fields is studied. The magnetic field is increased in the direction of
the beam propagation, so that the electrons are in the spatial cyclotron autoresonance conditions. The electrostatic field has
a suitable profile, which opposes the diamagnetic force associated with the mirror effect. By using a numerical solution of
the Newton-Lorentz equation of motion, with the Leap-frog Boris scheme, a simulation of the system was made. The
electric and magnetic fields at particle positions are calculated by using a bilinear interpolation method. It is shown that the
resonant interaction of the electron beam with the electromagnetic wave can be prolonged in the static electric field; as a
result the beam gets a larger energy. The numerical experiments are carried out with the TE111, and TE112 microwave fields
of 0.1 GHz and 2.45 GHz, respectively, of 6 kV/cm amplitude.
Keywords: electron cyclotron resonance, diamagnetic force, axial-symmetric field.
1. Introduction
El fenómeno de resonancia ciclotrónica ha sido estudiado
desde los años 60 y con base en éste se han ideado varios
mecanismos para acelerar partículas cargadas. Uno de estos
mecanismos es el de la aceleración por autoresonancia
ciclotrónica espacial, SARA [1,2]. El principal factor
limitante del mecanismo SARA es la fuerza diamagnética
* vdougar@uis.edu.co
que surge debida a la inhomogeneidad longitudinal del
campo magnetostático. Dicha fuerza actúa principalmente
en la dirección axial, lo cual causa la desaceleración de la
partícula en esta dirección hasta que finalmente se detiene,
limitando así la interacción resonante. Con el fin de
contrarrestar dicha fuerza se propone superponer un campo
electrostático apropiado de simetría axial, obtenido
mediante un par de electrodos con forma de anillo. En este
Rev. Col. Fís., 44, No.3, 2012
trabajo se estudia el efecto de dicho campo sobre el
movimiento de la partícula en condiciones SARA, para el
cual se encuentra una configuración favorable del campo
electrostático.
magnético producido por las bobinas. El campo de las
bobinas se describe por la expresión:
2. Esquema físico y campos electromagnéticos
donde
⃗
[
] ̂
[
Fig 1. Modelo de sistema físico: 1-cavidad cilíndrica, 2bobinas, 3-guía de onda para la entrada de microondas (una
de dos), 4-sistema de electrodos tipo anillo, 5-cañón de
electrones.
̂
]
(2)
(3)
y
representa el campo magnético
correspondiente a la resonancia ciclotrónica exacta para la
masa en reposo del electrón
,
es el factor relativista
en
y
es una función adimensional que determina
el perfil del campo magnético, asumiendo
.
El potencial eléctrico
generado por los
electrodos en los puntos de la malla, se encuentra a partir de
la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas
cilíndricas, expresada en diferencias finitas, usando el
método de sobrerelajación sucesiva (SOR) [3]. El mapa 3D
de la distribución del potencial en la malla computacional
permite
calcular
las
componentes
y
del campo eléctrico en los puntos de malla
utilizando diferenciación numérica:
(4-a)
El esquema físico para la realización del fenómeno SARA
se muestra en Fig. 1. La cavidad resonante (1), excitada con
una onda
con polarización circular, está en un campo
magnético axialmente simétrico que es producido por las
bobinas con corrientes (2). El sistema de electrodos (4),
cuyos ejes coinciden con el de la cavidad, produce un
campo eléctrico apropiado para contrarrestar el efecto de la
fuerza diamagnética sobre el haz de electrones inyectado
por el cañón de electrones (5) a lo largo del eje magnético.
Para ello se ajustan los parámetros geométricos del sistema
y los potenciales eléctricos de cada anillo.
El haz interactúa con el campo eléctrico de microondas que
se aproxima mediante la expresión:
⃗
̂
̂
(4-b)
3. Modelo numérico
El experimento numérico bajo estudio se realiza con un haz
de electrones de baja densidad que permite despreciar los
efectos de la carga espacial y en este caso, en la ecuación de
movimiento del electrón, se encuentran los campos
eléctricos de microondas y de los electrodos y el campo
magnético de las bobinas. El movimiento de los electrones
del haz se describe por la ecuación relativista de NewtonLorentz que, en diferencias finitas del esquema de
Buneman-Boris, tiene la forma:
, (1)
donde
es la amplitud del campo eléctrico,
frecuencia de la onda, es el índice del modo
la longitud de la cavidad.
⃗
es la
y es
En las simulaciones, el campo magnético de microondas se
desprecia debido a que es mucho menor que el campo
⃗
⃗
⃗
⃗ ,
(5)
donde ⃗ – cantidad de movimiento del electrón en unidades
⃗
, ⃗⃗⃗
– campo eléctrico adimensional, ⃗⃗⃗ –
campo magnético normalizado en unidades de
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,
– factor relativista y
– paso temporal adimensional.
En nuestro caso corresponde a la superposición del campo
eléctrico del modo TE11p y el campo electrostático
producido por los electrodos y ⃗ al campo magnético
producido por las bobinas, el cual se calcula en los puntos
donde se encuentra el electrón utilizando el método de
interpolación bilineal. Con estos valores y con el de las
coordenadas transversales del electrón, se obtienen las
componentes rectangulares
y
. En forma análoga se determinan las componentes del
campo eléctrico de los electrodos.
La evolución de la coordenada del electrón, normalizada
con el radio de Larmor relativista
, se encuentra
usando la técnica de Boris [2], a partir de:
⃗
.
(a)
(6)
4. Resultados
En el primer experimento numérico se aprovechan los
parámetros del haz y del sistema de microondas que fueron
utilizados en [1]:
, el modo de microondas
de una frecuencia
y la amplitud de
, la cavidad de radio
y de
una longitud
. Los parámetros de los electrodos
de forma de anillo que producen un campo axialmente
simétrico estacionario son los siguientes: los radios interior
y exterior del primer anillo son
,
y su potencial es
, su posición axial
es
los datos referentes al segundo anillo son:
,
,
. La anchura de ambos anillos es
.
El radio interno de cada electrodo es mayor que el radio de
la trayectoria de la partícula en la posición de los anillos.
En la práctica los electrodos deben ser elaborados de un
material no metálico pero conductor, transparente a las
microondas, por ejemplo de grafito.
(b)
Fig 2. (a) Potencial eléctrico producido por los electrodos
en el plano y=0, (b) líneas equipotenciales y líneas de
fuerza eléctrica.
Las figuras 2a y 2b muestran el potencial eléctrico y las
líneas de campo eléctrico producidas por el sistema de
electrodos en el plano y=0. Debido a que el primer
electrodo se encuentra bajo el potencial menor que el
segundo, el campo electrostático en la región antes del
primer electrodo es opuesto al movimiento longitudinal del
electrón. Sin embargo en la región ubicada al otro lado de
los electrodos el electrón experimenta un campo mucho más
intenso.
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Fig 3. Energía del electrón como función de la coordenada
z: - sin electrodos según datos de [1], --- con electrodos.
La figura 3 muestra que el campo electrostático axialmente
simétrico de los electrodos favorece al movimiento
longitudinal y por esta razón se logra contrarrestar la fuerza
diamagnética, permitiendo prolongar el tiempo de la
interacción resonante. Como consecuencia de este efecto el
haz aumenta su energía total a cuenta de la energía de
microondas. Tanto en presencia del campo electrostático
como en su ausencia, las partículas no logran alcanzar el
extremo de la cavidad pues su velocidad longitudinal se
vuelve cero en los planos z = 18 cm y z = 19 cm,
respectivamente, por la acción de la fuerza diamagnética. Es
importante mencionar lo siguiente: en el caso de ausencia
del campo electrostático no es posible alcanzar mayores
energías variando los parámetros del experimento, sin
embargo, el sistema con los electrodos permite elevar la
energía del haz mediante optimización de la geometría de
los electrodos y sus potenciales, de tal manera que se puede
usar todo el espacio de la cavidad para la aceleración
autoresonante de los electrones.
A continuación se presentan los parámetros de otro
experimento numérico: la energía inicial del haz
, el modo utilizado es
de una frecuencia
y una amplitud
, las
dimensiones geométricas de la cavidad:
y
. El perfil longitudinal del campo magnético es
lineal,
, donde
y
.
Los parámetros del sistema de electrodos:
,
,
,
,
,
. La anchura de los anillos es la misma que en el caso
precedente
.
Fig 5. Energía del electrón como función de la coordenada
z: - sin electrodos [1], --- con electrodos.
En este caso se encontró que la influencia del campo
electrostático sobre la efectividad de la aceleración es
mucho más eficiente, debido a que la partícula recorre una
distancia considerablemente mayor (ver Fig. 5). El efecto
acelerador del campo electrostático se muestra claramente
en la Fig. 6. La aplicación del campo electrostático aumenta
significativamente la longitud de la trayectoria del electrón
y su energía transversal en el plano de detención del
movimiento longitudinal alcanza 0.85 MeV mientras que,
sin tal campo la energía máxima no supera 0.6 MeV.
Fig 4. Componente longitudinal de la velocidad del
electrón como función de la coordenada z: - sin electrodos
[1], --- con electrodos.
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Fig 6. Componente longitudinal de la velocidad del
electrón como función de la coordenada z: - sin electrodos
[1], --- con electrodos.
5. Conclusiones
La inclusión del campo electrostático axialmente simétrico
al mecanismo SARA permite obtener mejores condiciones
para aceleración del haz de electrones. El hecho de que el
haz no alcanza la pared lateral de la cavidad evidencia que
el campo electrostático todavía no es óptimo. Se planea
optimizar el sistema de los electrodos para hacer más
efectiva la aceleración del haz por microondas.
Agradecimientos
Este trabajo fue apoyado por la UIS. Uno de los autores
(E.A.O) agradece a Colciencias por el apoyo financiero.
Referencias
[1] V. D. Dugar-Zhabon, E. A. Orozco and A. M. Umnov,
Phys. Rev. ST. Accel. Beams, 11, 2008, 041302.
[2] V. D. Dugar-Zhabon and E. A. Orozco, Phys. Rev. ST.
Accel. Beams, 12, 2009, 041301.
[3] M. N. Sadiku, Numerical Techniques in
Electromagnetics, CRC Press, 2000, Sec. 3.10.
[4] C. K. Birdshall and A. B. Langdon, Plasma Physics Via
Computer Simulation, Bristol and Philadelphia, Institute of
Physics Publishing, 1991, p. 356.
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