expresión decimal de los números racionales

Matemática II 2do Magisterio
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EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS
RACIONALES ABSOLUTOS:
Vamos a clasificar los números racionales absolutos en dos conjuntos disjuntos DE y DP
( DE ∩ DP = φ ).
DE
Qa
DP
Sea a/b el representante canónico de un número racional , es decir que a/b es irreducible:
1)
a
∈ DE ⇔ b = 2α .5 β (es decir que el denominador admite como divisores primos sólo al 2 y/o
b
Completar con ∈ o ∉
1
.......DE
2
2)
al 5)
3
.......DE
4
3
.......DE
20
7
.......DE
25
1
.......DE
10
1
.......DE
6
a
∈ DP ⇔ su denominador b admite algún divisor primo distinto de 2 y de 5 (puede admitir al
b
2,al 5 y a otro)
Indicar si los siguientes racionales pertenecen a DE o a DP.
3
∈ ........
7
4
∈ .........
15
9
∈ .......
6
3
∈ .......
10
9
∈ ........
12
3
∈ .......
5
La clasificación que hicimos es una partición de Qa porque:
1) DE ≠ φ
2) DE ∩ DP = φ
DP ≠ φ
3) DE ∪ DP = Qa
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Posibilidades en DE
a
∈ DE ⇔ b = 2α .5 β
b
1)
α = β ⇒ b = 2α .5α ⇒ b = (2.5) ⇒ b = 10α ( es decir b es una potencia de 10)
2)
α < β ⇒ ∃n ∈ N / n = β − α
α
a
a
a.2 n
a.2 n
a.2 n
a.2 n
= α β ≈ α β n = α + n β = β β = β (el denominador es una potencia de 10)
b 2 .5
2 .5 .2
2 .5
2 .5
10
Ejemplo:
3)
3
3
3.2
6
6
=
=
=
=
50 2.5 2 2.5 2.2 2 2.5 2 10 2
α > β ⇒ ∃n ∈ N / n = α − β
a
a
a.5 n
a.5 n
a'
a'
a'
= α β = α β n = α β +n = α α =
= α
α
b 2 .5
2 .5 .5
2 .5
2 .5
(2.5)
10
Conclusión de los tres puntos anteriores:
Todo número racional que pertenece a DE se puede representar o expresar como una fracción
cuyo denominador es una potencia de 10.
Fracción decimal:
Se llama fracción decimal a todo número racional que puede expresarse mediante una fracción
que tenga como denominador una potencia de 10.
7
no es fracción decimal ya que 6= 2x3
6
7 14
≈
es fracción decimal
5 10
9
32
32.5 2
225
= 3 ≈ 3
=
2
40 2 .5 2 .5.5 1000
Expresiones decimales de las fracciones decimales:
a
∈ DE
b
a
a'
≈ α
b 10
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a’ = rn rn-1 ……r2 r1 r0 = r0 + r1.10 + r2.102 + ........+ rn.10n
r0
rn .10 n
r1 .10 r2 .10 2
a r0 + r1 .10 + r2 .10 2 + ........ + rn .10 n
≈
= α + α +
+ ...... +
b
10α
10
10
10α
10α
Puede pasar n>α .
Ejemplo: n=3 y α = 2
3427 6854 4 + 5.10 + 8.10 2 + 6.10 3
4
5.10 8.10 2 6.10 3
≈
=
= 2 + 2 +
+
=
50
100
10 2
10
10
10 2
10 2
4
5
5
4
+ + 8
+
6
.
10 = 6
.10
+8 + + 2 = 68
,
54
2
10
10
10
10
parte entera
parte entera
exp resión
parte decimal
parte decimal
decimal de
3427
50
Puede pasar n <α .
Ejemplo: n=2 y α = 3
3 375 5 + 7.10 + 3.10 2
5
7.10 3.10 2 3
7
5
≈
=
=
+
+
=
+
+
= 0,375
2
3
8 1000
10 3
10 3 10 3
10 3
10
10
10
parte decimal
Puede pasar n =α
Ejemplo: n = α = 1
5 25 5 + 2.10 2.10 5
5
≈
=
=
+ = 2 + = 2,5
2 10
10
10 10
10
5
es la fracción generatriz de 2,5.
2
Fracción generatriz de una expresión decimal: es el racional que la generó
Ejercicios
1) Dados los siguientes racionales
13 17 3
; ;
.Determinar si son fracciones decimales y
626 8 200
en caso afirmativo hallar su expresión decimal.
2) Hallar el racional que generó cada una de las siguientes expresiones decimales: 0,013;
13,013; 0,2; 2,102; 22,01.
3) Colocar la coma para que en cada caso la cifra tres represente los milésimos: 1213 ;
523000; 139.
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Racionales de DP
Teorema:
Un racional que pertenece a DP (cuyo denominador admite algún divisor primo distinto de 2 y 5)
no puede expresarse en forma de expresión decimal con un número finito de cifras decimales.
Sea
a
a
∈ DP ,suponemos por absurdo que = rm rm−1 ........rh , rh −1 ........r0
b
b
h cifras decimales
h es un número finito
Pero rm rm −1........rh , rh−1........r0 ∈ DE (lo cual es absurdo)
h cifras decimales
h es un número finito
a
∈ Qa
b
a b
r q
a b.q
a

≈ q ∈ N ⇒ ∈ DE
r = 0 ⇒ a = b.q ⇒ =
a = b.q + r , r < b 
b b
b
r ≠ 0
1
Si r ≠ 0 , lo multiplicamos por 10 y lo dividimos entre b (hasta encontrar resto 0)
10r l b
r1 q1
10r = bq1 + r1
r1< b
2
Si r1=0 ⇒ 10r = bq1 ⇒ r =
bq1
b.q
a
a = b.q + 1 ⇒ =
⇒
10 ensustituyo
10
b
1
b.q1
10 = q + q1 ⇒ a = q, q ∈ D
1
E
b
10
b
b.q +
Si r1 ≠ 0 , lo multiplicamos por 10 y lo dividimos entre b.
10r1 l b
r2 q2
10r1 = bq 2 + r2
r 2< b
Si r2=0 ⇒ 10r1 = b.q 2 ⇒ r1 =
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b.q2
b.q
10r = b.q1 + 2 ⇒ r =
⇒
10 ensustituyo
10
2
b.q2
10
10
b.q1 +
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⇒r=
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b.q1 b.q2
+
10 10 2
Sustituyo en 1
a = b.q +
b.q1 b.q 2
a
+ 2 ⇒ =
10 10
b
b.q +
b.q1 b.q 2
+
10 10 2 ⇒ a = q + q1 + q 2 ⇒ a = q, q q ∈ D
1 2
E
b
b
10 10 2
b
Si al reiterar el procedimiento en algún paso el resto es igual a cero, entonces a/b es una
fracción decimal y su expresión decimal tiene un número finito de números decimales,
denominado expresión decimal exacta.
Si nunca se llega a un resto cero la expresión decimal tiene infinitas cifras decimales que
necesariamente han de repetirse periódicamente porque como cada uno de los sucesivos restos
son menores que b y sólo hay b-1 números naturales menores que b, dichos números empiezan a
repetirse.
A partir de ese momento, comienzan a repetirse los sucesivos cocientes, que son las cifras de la
expresión decimal. Se denomina como expresión decimal periódica.
Ejemplo:
13
∈ Qa
7
1) 13 l 7
6
1
q=1 r=6
2) 60 l 7
4
8
q1 = 8 r1 = 4
3) 40 l 7 q2 = 5
5 5
4) 50 l 7 q3 = 7 r3 = 1
1
7
5) 10 l 7
3
1
q4 = 1 r4 = 3
7) 20 l 7 q6 = 2 r6 = 6
6
2
A partir de este momento se comienzan a repetir
6) 30 l 7
2
4
q5 = 4
r2 = 5
r5 = 2
13
= 1, 857142
857142.....
7
período
Otros ejemplos :
5
20
2
l 3
⇒
⌢
5
= 1, 6
3
período
1,6....
⌢
1,6 es periódica pura
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5
l
6
⇒
5
= 0, 8
6
anteperíodo
⌢
3
período
50
0,83....
20
2
⌢
0,83 es periódica mixta
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Calcular:
1) 0,01 × 2 +
0,01 + 3 ÷ 10 4
2) 2 ÷ 10 + 14,4 ÷ 5 + 1,2 × 0,1 + 0,1 +
4
2
0,0001
Expresiones decimales (DP)
Puras: son aquellas donde el período comienza enseguida de la coma decimal.
Mixtas: cuando el período comienza después de un número finito de cifras decimales.
Puras:
Si
5
3
Mixtas:
5
6
a
es una fracción irreducible.
b
-Si b no admite como divisores primos ni al 2 ni al 5, entonces
a
genera una expresión decimal
b
periódica pura.
-Si b admite como divisores primos al 2 y/o al 5 y algún otro , entonces
a
genera una expresión
b
decimal periódica mixta.
Fracción generatriz de una expresión decimal periódica
1) Periódica Pura
a
= 2,34343434.......
b
a l b
⇒ a = 2b + r
*
r
2
con r ≠ 0
10r l b ⇒ 10r = 3b + r1 ⇒ r1 = 10r – 3b **
r1
3
con r1 ≠ 0
b ⇒ 10r1 = 4b + r
10r1 l
⇒
10(10r – 3b ) = 4b + r ⇒ 100r – 30b = 4b + r
por **
r
4
con r ≠ 0
100r – r = 30b + 4b ⇒ 99r = 34b ⇒ r =
34b
99
Sustituyo en * , entonces
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34 
232
a 232
34b

⇒ a = b 2 +  = b.
⇒ =
99 
99
b 99
99

a = 2b +
En general:
a
= E , mnmnmnmnmnmn..........
b
a l b
r
E
con r ≠ 0
⇒ a = b.E + r
*
10r l b ⇒ 10r = b.m + r1 ⇒ r1 = 10r – b.m **
r1
m
con r1 ≠ 0
b ⇒ 10r1 = b.n + r
10r1 l
⇒
10(10r – bm ) = bn + r ⇒ 100r – 10bm = bn + r
por **
r
n
con r ≠ 0
100r – r = 10bm + bn ⇒ 99r = (10m+n)b ⇒ r =
(10m + n)b
99
Sustituyo en * , entonces
(10m + n)b
10m + n 

 99 E + 10m + n 
 100 E − E + 10m + n 
⇒ a = b E +
 = b.
 = b.

99 
99
99
99





a 100 E + 10m + n − E
a Emn − E
⇒ =
⇒ =
b
99
b
99
a = b.E +
En el ejemplo anterior : 2,343434... =
234 − 2 232
=
99
99
Regla Práctica:
A una expresión decimal periódica pura le corresponde una fracción que tiene como numerador la
diferencia entre el número formado por las cifras de la parte entera y el período menos el
número formado por las cifras de la parte entera y como denominador el números formado por
tantas cifras 9 como cifras tenga el período.
Ejemplo: 28,342342342.... =
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28342 − 28 28314
=
999
999
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Fracción generatriz de una expresión decimal mixta
a
= E , mp⌢
b
⇒
a = b.E + r *
10r l b ⇒
r1
m
10r = b.m + r1 **
al b
r
E
con r ≠ 0
con r1 ≠ 0
10r1 l
r1
b ⇒ 10r1 = b.p + r1 ⇒ 10r1 – r1 = b.p ⇒ 9r1 = b.p ⇒ r1 =
b. p
9
p
Sustituyo en **
10r = bm +
b.p
p
b
p

⇒ 10r = b.  m +  ⇒ r =  m + 
9
10 
9
9

Sustituyo en *
a= b.E +
m
p
a
m
p
b
p

 m +  ⇒ a = b.  E + +  ⇒ = E + +
10 
9
10 90 
b
10 90

a 90 E + 9m + p
a (100 − 10) E + (10 − 1)m + p
a 100 E + 10m + p − (10 E + m)
=
⇒ =
⇒ =
b
90
b
90
b
90
a Emp − Em
=
b
90
A una expresión decimal periódica mixta le corresponde una fracción que tiene como numerador
la diferencia entre el número formado por las cifras de la parte entera, anteperíodo y período
menos el número formado por las cifras de la parte entera y anteperíodo y como denominador el
número formado por tantas cifras 9 como cifras tenga el período y tantos ceros como cifras
tenga el anteperíodo.
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Ejemplo: 14,34521212121……..=
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1434521 − 14345 1420176
=
99000
99000
Ejercicios:
I)A) Investigar sin efectuar las divisiones si los siguientes racionales admiten expresiones
decimales exactas, periódicas puras o periódicas mixtas:
31 13 11 15
, , ,
14 20 21 6
B) Determinar las expresiones decimales correspondientes verificando la parte anterior.
II) Determinar la fracción generatriz de las siguientes expresiones decimales periódicas:
5,0101010101….; 5,242424242424…..; 0,0111111111….; 2,222222222 ; 3,141414141414…..;
1,9999999999….; 2,19999999…….
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