Mat 022 COMPLEMENTO sem1 com c1 c2

Mat 022 COMPLEMENTO sem1 com c1 c2
Semana 1
30 de Julio al 3 de Agosto 2007
C1: Presentación del curso, Capítulo VII 7.1 conceptos básicos de Matrices
C2: Capítulo VII 7.1 conceptos básicos de Matrices
Ejercicios Resueltos
1. Determine los valores de a, b y c para que la matriz
2 a − 2b + 2c b + c
A= 3
0
sea simétrica. (Certamen 3, 12/11/05).
2
3
5
−2
c
7
0
Como A t = a − 2b + 2c 5 − 2
b+c
c 7
a − 2b + 2c = 3
se tiene
b+c =0
c = −2
b=2 y
a = 3 + 4 + 4 = 11
1 2
satisface la ecuación A 3 + A 2 - 2A + A t - 2I = 0?
0 −1
Justifique. (Certamen recuperativo, 15/12/99).
2. ¿La matriz
1 2
0 −1
1 2
A2 =
0 −1
1
A3= A2 A =
0
Si A =
At =
1 0
;
2 −1
A=
entonces,
1 2
1 0
=
0 −1
0 1
0 1 2
1 2
=
1 0 −1
0 −1
2I =
2 0
;
0 2
2A =
2 4
0 −2
luego A 3 + A 2 - 2A + A t - 2I =
1 2
1 0
2 4
1 0
2 0
=
+
+
0 −1
0 1
0 −2
2 −1
0 2
−1 − 2
0 0
=
≠
2 −1
0 0
No satisface la ecuación.
3. ¿Qué relación deben cumplir los parámetros a, b, c y d ∈ R
a b
de modo que
c d
a b
c d
2
a b
c d
=
2
=
1 0
?
0 1
a b
a 2 + bc ab + bd
=
c d
ca + dc bc + d 2
1 0
a 2 + bc ab + bd
=
2
0 1
ca + dc bc + d
a 2 + bc = 1
ca + dc = 0
ab + bd = 0
bc + d 2 = 1
¿Es posible hallar los valores de a, b, c y d?
−2
4. Determine una constante k ∈ R tal que (kA) (kA) = (1), donde A =
t
(kA) t (kA) = kA t kA = k 2 A t A
−2
Si A =
1 ; A t = (− 2 1 − 1)
−1
−2
luego A A = (− 2 1 − 1) 1x 3
t
∴ 6k = 1
2
k= ± 1
1
−1
= (6)
3 x1
6
5.- Sean
A=
5
2
3
2 −3 4
2 −1
, B= 0
3
2
0
1
0
2 2
−1 3
1 0
2 −3
y C=
0 0
2 1
Encuentre A(BC) y (AB)C
0 3 7
5 2 3
43 16 56
A(BC) =
8 −4 6 =
2 −3 4
12 30 8
9 3 3
(AB)C =
19 − 1 6 13
16 − 8 − 8 6
1 0
2 −3
0 0
2 1
y
2
0
43 16 56
=
3
12 30 3
0
2
0
3
0
.
1
−1
5. Demuestre o refute:
a) Si A, B ∈ M 2 x 2 (R) y AB = 0, entonces A=0 ó B=0
b) Si A, B, C ∈ M 2 x 2 (R) y AB=AC entonces B=C
Ambas proposiciones son falsas para probarlo solo basta un contraejemplo:
1 2
2 4
para a) A =
AB =
y B=
4 −6
, entonces ni A ni B es la matriz cero, pero
−2 3
0 0
.
0 0
Para b) A =
AB = AC =
pero B ≠ C.
1 2
2 1
−2 7
, B=
, y C=
, entonces
2 4
3 2
5 −1
8
5
16 10
,