MÓDULO DE ENSEÑANZA: “CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS”

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CIENCIA DE LA COMPUTACIÓN
MÓDULO DE ENSEÑANZA:
“CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS”
Autores: Marco Cornejo Torres
Fabiola Fernández Márquez
SANTIAGO – CHILE
2013
Contenido
PRESENTACIÓN DEL MÓDULO: “Congruencia de triángulos” ............................................................... 3
ESQUEMA .......................................................................................................................................... 5
PRESENTACIÓN DE LAS ACTIVIDADES ............................................................................................... 6
ACTIVIDAD 1 .......................................................................................................................................... 9
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS: “Gonzalo y su Rampa” .......................................................... 10
Actividad 1: Gonzalo y su Rampa .................................................................................................... 13
ACTIVIDAD 2 ........................................................................................................................................ 20
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS: “De un plano a otro” ............................................................ 21
Actividad 2: De un plano a otro....................................................................................................... 23
ACTIVIDAD 3 ........................................................................................................................................ 29
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS: “Congruencias y algo más” ................................................... 30
ACTIVIDAD 3: Congruencia y algo más ............................................................................................ 32
ACTIVIDAD 4 ........................................................................................................................................ 38
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS: “Aplicando lo Aprendido” ..................................................... 39
ACTIVIDAD 4: “Aplicando lo aprendido” ......................................................................................... 41
MÓDULO DE ENSEÑANZA: “Congruencia de Triángulos”
AUTORES: Marco Cornejo y Fabiola Fernández
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PRESENTACIÓN DEL MÓDULO: “Congruencia de triángulos”
La geometría ha sido considerada fundamental en la formación académica y cultural de las
personas, ya que contribuye en el desarrollo de habilidades que permiten visualizar, pensar
críticamente, intuir, resolver problemas, conjeturar, razonar deductivamente y argumentar
de manera lógica. Es la rama de la Matemática más próxima a la realidad y su enseñanza es
imprescindible.
Sin embargo, en la enseñanza de la Geometría, en la educación media, es frecuente
subestimar la dificultad de adquisición de conocimientos espaciales propiamente dichos y
dejar al alumno la tarea de establecer las relaciones adecuadas entre el espacio y los
conceptos geométricos que se le enseñan, y que suponen le otorgan un dominio sobre este
ámbito de la realidad.
Por lo tanto, esta enseñanza debe centrarse en desarrollar, en los alumnos, habilidades
para la exploración, visualización, argumentación y justificación, donde más que memorizar
pueda descubrir, aplicar y obtener conclusiones. El docente debe asumir que en este
proceso no es el principal actor, es el alumno quien debe ser promotor de su propio
aprendizaje, a partir de un material elaborado (Modulo).
El siguiente módulo está diseñado para apoyar el proceso de enseñanza y aprendizaje, de
los alumnos de primer año medio, en el eje de geometría y en el contenido “congruencia
de triángulos”, poniendo el énfasis en criterios de congruencia y su aplicación, la relación
que existe entre la congruencia y las transformaciones isométricas.
La metodología para desarrollar el módulo, que considera al docente un guía que ayuda al
estudiante a descubrir el conocimiento, se fundamenta en la teoría “aprendizaje por
descubrimiento” propuesta por el psicólogo norteamericano Jerome Bruner en el libro
“Desarrollo Cognitivo y Educación”. En esta teoría Bruner afirma “El aprendizaje no debe
limitarse a una memorización mecánica de información o de procedimientos, sino que
debe conducir al educando al desarrollo de su capacidad para resolver problemas y pensar
sobre la situación a la que se le enfrenta. La escuela debe conducir al educando a descubrir
caminos nuevos para resolver los problemas viejos y a la resolución de problemáticas
nuevas acordes con las características actuales de la sociedad” (Bruner. j, 2001).
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AUTORES: Marco Cornejo y Fabiola Fernández
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El módulo está formado por cuatro actividades. Cada una de ellas cuenta con Orientaciones
Metodológicas para el docente, las cuales pretenden guiar al profesor en las posibles
situaciones que puedan surgir durante la aplicación del módulo en el aula.
Las Orientaciones Metodológicas tienen la siguiente estructura:

Fundamento de la Actividad
o Propósito
o Relación con el Marco Curricular
o Conductas de Entradas



Inicio
Desarrollo
Síntesis
Para desarrollar este módulo son necesarias las siguientes conductas de entrada.





Transformaciones Isométricas en el plano euclideo y cartesiano
Plano cartesiano
Ángulos y lados de polígonos
Correspondencia de lados y ángulos
Concepto de congruencia.
Cumpliendo con el programa de estudio, este módulo cubre los siguientes aprendizajes
esperados:



“Establecer el concepto de congruencia a partir de las transformaciones
isométricas”.
“Formular y verificar conjeturas acerca de criterios de congruencia en triángulos”.
“Resolver problemas relativos a cálculos de vértices y lados de figuras geométricas
del plano cartesiano y a la congruencia de triángulos”.
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ESQUEMA
Módulo: Congruencia de Triángulos
Las conductas de entrada son:
Concepto de
congruencia,
correspondenci
a de lados y
ángulos.
Transformacion
es Isométricas,
Plano
Cartesiano y
criterios de
congruencia.
Criterios de
congruencia,
lados y
ángulos de
triángulos.
Actividad 1:
"Gonzalo y su
rampa"
Actividad 2: "De
un plano a otro
Actividad 3:
"Congruencia
y algo más"
Actividad 4:
"Aplicando lo
aprendido”
Conocen los
criterios de
congruencia.
Identifican la
congruencia
tanto en el
plano euclideo,
como en el
cartesiano.
Establecen el
concepto de
congruencia a
partir de las
transformacion
es isométricas.
Aplican los
criterios de
congruencia a
problemas en
contexto.
Congruencia,
criterios de
congruencia,
transformaciones
isométricas y
plano cartesiano.
Al finalizar el módulo los estudiantes estarán en condiciones de:
 Reconocen que dos figuras son congruentes cuando existen
transformaciones isométricas que aplicadas en una de ellas
permiten obtener la otra figura.
 Conjeturan acerca de criterios de congruencia.
 Resuelven problemas relativos a la congruencia en triángulos
utilizando los criterios establecidos.
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PRESENTACIÓN DE LAS ACTIVIDADES
El módulo está dividido en cuatro actividades:
Actividad I: “Gonzalo y su rampa”
Objetivo:
Identificar y conjeturar acerca de los criterios de congruencia.
Tiempo:
3 horas pedagógicas
Estructura de la actividad:

Inicio (Conociendo Rampas): En esta sección se presenta una situación cuya
problemática es replicar rampas. El objetivo, es que los estudiantes noten que el
lado lateral de la rampa corresponde a un triángulo, identifiquen sus
características tales como lados, ángulos y vértices; y además señalen la
correspondencia entre el lado lateral de la rampa y su representación
geométrica.

Desarrollo (Construyendo, Competencia de Skate, Piensa Gonzalo Piensa): Se
espera que el alumno analice conjuntos de datos para determinar cuáles son
útiles para replicar la rampa.

Cierre (Sintetiza junto a tu Profesor): En este punto el estudiante establece la
cantidad y orden que deben tener los datos para determinar cuándo dos figuras
son congruentes. También se formaliza el concepto de criterio de congruencia.
Actividad II: “De un plano a otro”
Objetivo: Naturalizar el paso de la congruencia de triángulos del plano Euclideo al
Plano Cartesiano, además de recordar las Transformaciones Isométricas, conceptos
necesarios para el desarrollo de la actividad “Congruencia y algo más”.
Tiempo:
3 horas pedagógicas
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Estructura de la actividad:

Inicio (Buscando los datos): En esta sección se recuerda el problema de la
actividad “Gonzalo y su rampa” y se evidencia la necesidad de utilizar el plano
cartesiano.

Desarrollo (En busca de la solución, Recordando): En este punto los estudiantes
deben recordar el plano cartesiano y determinar la información que este les
otorga al utilizarlo. También recuerdan las transformaciones isométricas y las
aplican.

Cierre (Sintetiza): Se espera que los estudiantes recuerden algunas
características de los tipos de transformaciones estudiadas.
Actividad III: “Congruencia y algo más”
Objetivo:
Establecer el concepto de congruencia a partir de las transformaciones
isométricas.
Tiempo:
3 horas pedagógicas
Estructura de la actividad:

Inicio (Analizando triángulos): Se muestran dos figuras con las cuales el alumno
debe completar dos cuadros, estos son necesarios para el desarrollo de la
actividad.

Desarrollo (Relacionando): El estudiante debe identificar transformaciones
isométricas entre dos triángulos y además, determinar la congruencia de ellos, a
través de criterios de congruencia.
Cierre (¿Son iguales?): El estudiante completa un cuadro comparativo con el fin
de evidenciar que las características de las transformaciones isométricas son
iguales a las características de la congruencia, en cuanto a la forma, ángulos y
lados.

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Actividad IV: “Aplicando lo aprendido”
Objetivo:
Poner en práctica todo el trabajo desarrollado anteriormente sobre
criterios de congruencia y su relación con las transformaciones isométricas.
Tiempo:
3 horas pedagógicas
Estructura de la actividad:

Inicio (Practica en el Plano Cartesiano): Se presentan ejercicios en el plano
cartesiano. En esta sección los estudiantes deben justificar la congruencia de
triángulos con las transformaciones isométricas.

Desarrollo (Congruencia en la vida cotidiana): En esta sección se proponen
problemas en contexto donde el estudiante debe aplicar los criterios de
congruencia para encontrar la solución.

Cierre (Acepta el Reto): En este punto los estudiantes analizan situaciones y
deben justificar con los criterios de congruencia.
Se espera que al finalizar este módulo, los estudiantes:
 Reconocen que dos figuras son congruentes cuando existen transformaciones
isométricas que aplicadas en una de ellas permiten obtener la otra figura.
 Conjeturan acerca de criterios de congruencia
 Resuelven problemas relativos a la congruencia en triángulos utilizando los criterios
establecidos.
Tiempo Total:
12 horas pedagógicas.
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ACTIVIDAD 1
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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS: “Gonzalo y su Rampa”
Tiempo Estimado: 3 horas pedagógicas.
FUNDAMENTO DE LA ACTIVIDAD
El propósito de esta actividad es que los estudiantes conozcan los criterios de
congruencia. Para ello, se presenta un problema, el cual consiste en copiar rampas
(triángulos), los estudiantes deben ir analizando si es posible la réplica de esta a medida
que se van dando a conocer más datos.
Cumpliendo con el programa de estudio, luego de realizar esta actividad los alumnos
estarán en condiciones de conocer los criterios de congruencia.
Esta actividad supone que los estudiantes ya han estudiado la correspondencia, el
concepto de congruencia (Dos figuras son congruentes, si tienen sus lados y ángulos
correspondientes congruentes), segmento, longitud y ángulos.
CONSTRUYENDO RAMPAS




Se sugiere al docente que los alumnos vayan respondiendo de forma individual y
luego comparen con sus compañeros.
Es importante, antes de comenzar la actividad, que el profesor dé un tiempo
razonable para que los estudiantes identifiquen la rampa y luego entiendan el
problema sobre la copia de esta.
La pregunta 1 es de suma importancia, ya que es aquí cuando los estudiantes deben
visualizar la figura geométrica representativa de la rampa, el triángulo. Si esto no
ocurre, se sugiere al docente enfatizar, que la pregunta apunta al lado que da la
altura a la rampa.
En la pregunta 2 se espera que el estudiante responda a partir de la figura
geométrica encontrada detrás de la rampa, por lo tanto se refiere a que dé las
características de los triángulos, como ángulos, lados y vértices.
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CONSTRUYENDO…
 Se sugiere al docente en la pregunta 4, en el caso de que el estudiante pensara que
es posible la copia de la rampa sólo con dos datos, que muestre con palos de
maqueta (con las medidas que se encuentran en la actividad) la situación. Podría
preguntar ¿Qué figura encontramos detrás de la rampa? ¿Cuántos lados tiene esa
figura? ¿Con la información de los lados puedo replicar la rampa?
 Si presenta dificultad la pregunta 5, nuevamente es muy útil representar la situación
con los palos de maqueta. Se propone al docente analizar la situación con las
medidas de los lados y variar el tamaño del ángulo entre ellos (45° y 100°), para
luego preguntar, ¿Qué relación hay entre el ángulo de 45° y el lado que falta?, ¿Qué
sucede con el ángulo de 100° y el tercer lado?. Se espera que el estudiante note que
si hay una variación en el ángulo, el lado opuesto a este también tiene un cambio
similar. Esto será útil para el énfasis que el profesor debe dar cuando en la situación
se presenta el ángulo entre los dos lados, el cual es “fijo”, no cambia, al igual que los
lados (conocemos las medidas 40 y 50 cm) y su relación con el lado faltante, el cual
también tendrá una medida que no varía.
 En la pregunta 10, Si existe dificultad se sugiere al profesor dibujar la situación en
pizarra. En primer lugar, debe dibujar el lado (80 cm.), luego dibuja los ángulos en
cada extremo (50° y 88°). El profesor pregunta: ¿Qué le falta a la figura para crear la
rampa? Entonces se propone trazar rectas, según la abertura de cada ángulo. Luego
el docente pregunta: ¿Al trazar estas rectas qué sucedió con ellas?, ¿Estas rectas
podrían intersectarse en otro punto? Y en ese instante el profesor puede recordar la
situación de la pregunta 5, sobre el ángulo y su lado opuesto. Dar énfasis que dos
ángulos y el lado comprendido entre ellos son conocidos, por esa razón al conocer
los ángulos, los lados que faltan no varían.
 El profesor debe tener claro que la actividad propuesta es un trabajo guiado por lo
que los estudiantes pueden compartir sus interrogantes con el profesor para que
este los oriente y les recomiende caminos a seguir.
 También como consideración es necesario dejar registros en pizarra de todas las
respuestas realizadas por los estudiantes (correctas e incorrectas). Esto es de suma
importancia para realizar las conclusiones finales de la actividad.
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SINTETIZA JUNTO A TU PROFESOR
 Se sugiere tratar con especial cuidado la pregunta 17, ya que los estudiantes pueden
pensar que es importante conocer el orden de los lados, por el contexto presentado,
puesto que las rampas necesitan de un orden para que sea congruente a otra, la
altura de los saltos depende de esto. En nuestro caso, no es necesario dar este
énfasis, el fin de esta pregunta es solo para que respondan según los criterios de
congruencia.
 Se proponen al docente las siguientes definiciones:
Primer Criterio de Congruencia (LAL): Un triángulo ABC es congruente con un
triángulo A’B’C’ en el caso de que sean válidas las congruencias:
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅
Segundo Criterio de Congruencia (ALA): Un triángulo ABC es congruente con un
triángulo A’B’C’ en el caso de que sean válidas las congruencias:
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
Tercer Criterio de Congruencia (LLL): Si en dos triángulos ABC y A’B’C’ los lados
correspondientes son congruentes, los triángulos son congruentes.
Hilbert, D. (1996). Fundamentos de la Geometría. CSIC (De la traducción, a la
Alemana.
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edición
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Actividad 1: Gonzalo y su Rampa
Nombre: _________________________________ Curso: 1° __ Fecha: __/__/__
PRESENTACION
Esta guía tiene como propósito establecer las condiciones necesarias y suficientes para
encontrar una figura congruente a otra, para ello deberás utilizar lo aprendido en clases
anteriores sobre la correspondencia de lados y ángulos congruentes en figuras planas de
tres lados.
Palabras Claves: Congruencia, Correspondencia de Lados y Ángulos, Longitud y Segmento
CONSTRUYENDO RAMPAS
Benjamín y Gonzalo son primos que viven en distintas ciudades pero siempre hablan por
teléfono. Benjamín le cuenta que construyó una rampa para practicar skate, ya que muy
pronto se realizará un campeonato nacional en el cual participará. Gonzalo se entusiasma
y decide construir una rampa idéntica a la de Benjamín, pues también competirá.
¿Encontrará Gonzalo la forma de copiar la rampa de su primo?
CONOCIENDO RAMPAS
Gonzalo solo quiere realizar una rampa idéntica a la de Benjamín pero tiene un pequeño
problema, no conoce cómo es una rampa ni como construirla. Buscando información en la
web, encontró la siguiente imagen.
1. ¿A qué figura geométrica se asemeja el lado lateral de la rampa?
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2. Según la respuesta anterior, ¿qué elementos característicos podríamos obtener de
la rampa?
Al representar la rampa como la figura geométrica tenemos:
3. Registra los vértices, lados y ángulos correspondientes entre la rampa y su
triángulo congruente representativo.
Vértices
Lados
Ángulos
̅̅̅̅
CONSTRUYENDO…
Gonzalo ya resolvió su duda, ahora conoce rampas, sabe que estas se representan
geométricamente por un triángulo y que poseen elementos característicos tales como
lados, ángulos y vértices, ahora llegó el momento de copiar la rampa de su primo.
Para ello Gonzalo le pide información a Benjamín acerca de la rampa. Benjamín piensa en
su rampa y le comenta que uno de los lados mide 40 cm y el otro 50 cm. Gonzalo pensó en
lo siguiente.
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4. ¿Es posible reproducir la rampa de Benjamín con los dos datos entregados? ¿Por
qué? Comenta con un compañero.
Una semana después vuelven a comunicarse, Benjamín le comenta que sigue practicando
en su rampa, que ha logrado saltos de hasta 3 metros de altura. Gonzalo le explica que su
rampa pareciera estar mal construida, pues sus saltos no sobrepasan los 2 metros.
Gonzalo le solicita a su primo que le envíe una foto de su rampa, y además que agregue
información adicional a la ya enviada.
Benjamín envía la foto de su rampa, pero no con toda la información, pues considera que
su primo no está capacitado para realizar saltos tan altos.
5. ¿Es posible reproducir la rampa de Benjamín con los tres datos entregados? ¿Por
qué? Comenta con un compañero.
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Benjamín manda un mensaje de texto a Gonzalo, en el cual especifica otro dato que le
podría ser de mucha ayuda para la construcción de la rampa: “Debes considerar también
que el último lado de mi rampa es igual a 35 cms. Saludos tu primo.”
6. ¿Es posible reproducir la rampa de Benjamín con los cuatro datos entregados? ¿Por
qué? Comenta con un compañero.
Gonzalo recibe un nuevo mensaje de texto: “¿Te resulta?, olvida la información anterior y
sólo utiliza los ángulos interiores de mi rampa, ojala te sea de ayuda
”.
7. Construye una rampa sólo con los ángulos entregados. Utiliza regla y transportador.
Compara con un compañero.
8. ¿Es posible reproducir la rampa de Benjamín solo con los ángulos dados? ¿Por qué?
Comenta con un compañero.
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Competencia de Skate
Cada vez más entusiastas, Gonzalo junto con su primo Benjamín decidieron participar del
próximo concurso de skate. En el concurso, según la información que obtuvieron, existen
rampas fabricadas para realizar saltos profesionales. Estas poseen un ángulo de 50° a un
lado y de 88° al otro, ángulos que dan la gran altura a esta rampa (ver figura)
9. ¿Podrán replicar la rampa con la información entregada? ¿Por qué? Comenta con
un compañero.
10. Considera como información adicional el lado comprendido entre los dos ángulos
igual a 80 cms. ¿Podrán replicarla?
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Piensa Gonzalo Piensa
Al desarrollar las preguntas anteriores, Gonzalo notó que con cierta información es posible
replicar rampas. A continuación analizaremos estas condiciones.
11. ¿Es siempre posible construir una rampa congruente a otra si se conocen las
medidas de dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos?
12. ¿Es siempre posible construir una rampa congruente a otra si se conocen las
medidas de tres de sus ángulos?
13. ¿Es siempre posible construir una rampa congruente a otra si se conocen las
medidas de tres de sus lados?
14. ¿Es siempre posible construir una rampa congruente a otra si se conocen las
medidas de dos de sus ángulos y el lado comprendido entre ellos?
Gonzalo pudo copiar la rampa de su primo y además construyó junto con él otra para la
competencia. En este proceso observó que no todas las combinaciones de datos
entregadas eran útiles para replicar una rampa, pues al analizar la correspondencia de
lados y ángulos estos no eran completamente congruentes.
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SINTETIZA JUNTO A TU PROFESOR
15. ¿Cuántos datos son necesarios como mínimo para construir rampas congruentes?
16. ¿Qué conjunto de datos o criterios fueron útiles para que Gonzalo construyera las
rampas?
17. ¿Es siempre posible construir una rampa congruente? ¿Por qué?
18. ¿Qué se entiende por criterio de congruencia?
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ACTIVIDAD 2
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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS: “De un plano a otro”
Recursos: Regla y transportador.
Tiempo Estimado: 3 horas pedagógicas.
FUNDAMENTO DE LA ACTIVIDAD
El propósito de esta actividad es naturalizar el paso del estudio en el plano euclideo, al
plano cartesiano. Para ello, se continúa con la problemática de las rampas similar de la
actividad anterior, en donde se crea la necesidad de utilizar el plano cartesiano.
Esta actividad supone que los estudiantes conocen concepto de congruencia, los criterios
de congruencia, el plano cartesiano y transformaciones isométricas (simetrías,
traslaciones y rotaciones).
Al finalizar la actividad, los estudiantes serán capaces de reconocer la importancia que
tiene el plano cartesiano en la resolución de problemas sobre transformaciones
isométricas.
BUSCANDO LOS DATOS

Se sugiere dar unos minutos para que los estudiantes puedan responder la
primera pregunta, ya que es de suma importancia para que surja la necesidad de
utilizar un sistema de referencia.
EN BUSCA DE LA SOLUCIÓN




Se sugiere nombrar con letras mayúsculas cada vértice de la representación de la
rampa, esto ayudará a tener un orden para el desarrollo de las preguntas.
Si los estudiantes tienen dificultad en la pregunta 2, se le sugiere al docente
relacionar la distancia del salto (2 metros) presente en la figura 1, con el
segmento que se presenta en la figura 2, por lo que el profesor a través de
preguntas tales como: ¿Qué relación hay entre la distancia del salto y los
cuadrados de la malla? ¿Es posible saber cuánto miden los lados de la rampa? Los
alumnos deberán identificar la relación que existe entre el lado del cuadrado con
un metro de distancia.
En el caso que los estudiantes no recuerden los criterios de congruencia, se
sugiere al profesor nombrarlos.
En la pregunta 4, lo más factible es que los estudiantes evidencien el criterio de
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congruencia LLL, es por esto que el profesor puede proponer que encuentren
otro criterio. Para encontrar el criterio LAL, los alumnos deben notar que por
trabajar en el plano cartesiano el triángulo presenta un ángulo recto, el profesor
puede explicar que esto ocurre porque los lados del triángulo son paralelos a los
ejes y estos por definición son perpendiculares.


En el caso extremo que los estudiantes no recuerden los tipos de
transformaciones isométricas, el profesor puede recordar junto a ellos sus
principales características.
En la pregunta 11, El profesor debe dar unos minutos para que los estudiantes
encuentren los pares de figuras, en donde una es la transformación isométrica de
la otra. Un triángulo puede tener más de una transformación isométrica asociada,
si los estudiantes no notan esta situación, el docente debe dar el énfasis
preguntando: ¿Este triángulo podría tener otra transformación asociada?
SÍNTESIS


En la pregunta 12, 13 y 14 si los estudiantes presentan dificultades para
responder, se sugiere al docente retomar el ejercicio de la pregunta 11, analizar la
respuesta y sacar conclusiones a partir de las siguientes preguntas: Al tener el
vector de traslación y considerando las coordenadas de la figura de inicio, ¿Qué
procedimiento utilizarías para obtener la figura de llegada?, considerando el
y
¿A qué distancia del eje de la ordenada se encuentran el vértice
A con el vértice G’?, el
lo rotamos en el origen, en sentido anti horario en
90° y analizamos cada uno de los puntos de inicio y con los de llegada, así los
estudiantes notarán la regularidad. Realizar el mismo procedimiento para 180°,
270° y 360°. Es preciso utilizar regla y transportador para este trabajo.
Si el estudiante presenta problemas al responder la pregunta 15, el profesor
puede proponer: Al inicio de la actividad ¿Qué información obtuvo al trabajar la
rampa en el plano cartesiano?
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Actividad 2: De un plano a otro
Nombre: ____________________________________ Curso: 1° ___ Fecha: _________
Presentación
El propósito de esta actividad es recordar las transformaciones de figuras en el plano, y
naturalizar el paso de la congruencia de triángulos desde el plano euclideo al plano
cartesiano, esto es necesario para retomar posteriormente el trabajo de la congruencia.
Ya conociste a Benjamín y Gonzalo, quienes participarían en un campeonato de skate, ellos
notaron que las rampas tenían forma de triángulos, por lo tanto podían utilizar los criterios
de congruencia para replicarlas.
Palabras claves: Congruencia, transformaciones isométricas, plano cartesiano, vector,
criterios de congruencia.
Buscando los datos
Gonzalo sigue motivado por aprender acerca de deportes extremos y rampas. Ahora decide
practicar saltos en un parque, saltos tan largos que necesitará de una rampa de aterrizaje,
la cual debe ser congruente.
Para realizar esta práctica, solo cuenta con una rampa por esto necesitará construir la
segunda. La información que tenemos es que Gonzalo decide dar un salto de 2 metros de
distancia. Observa la figura.
Figura 1
1.- Con la información entregada, ¿podrá Gonzalo construir una rampa congruente a la
primera? Justifique.
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En busca de la solución
Gonzalo no encuentra la solución y decide retornar a su casa, guarda la rampa y la cubre
con una malla cuadriculada, para que no se dañe. La observa y en ese momento piensa en
una idea, la cual plasma en el siguiente diseño.
Figura 2
2.- ¿Con la utilización de esta malla obtuviste mayor información? ¿Cuál?
3.- ¿Con la nueva información es posible replicar la rampa? Comenta con tu compañero el
procedimiento que utilizarías.
Encuentra la rampa de llegada que necesita Gonzalo para realizar su salto. Nota: el largo de
cada cuadro corresponde a un metro.
Figura 3
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4.-¿Podrías relacionar el procedimiento utilizado con algunos de los criterios estudiados?
¿Cuál?
5.- ¿Esta malla te recuerda algún plano estudiado? ¿Cuál?
Recordando
Ya recordaste el plano estudiado en clases anteriores y su utilidad para la obtención de
datos acerca de los lados en figuras.
Ahora te invitamos a observar nuevamente la figura 3.
6.- ¿Qué cambia?
7.- ¿Qué se mantiene?
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Ahora te invitamos a analizar otra figura, observa y responde.
Figura 4
8.- ¿Qué cambia?
9.- ¿Qué se mantiene?
10.- ¿Qué concepto estudia transformaciones de figuras en el plano, donde no varía la
forma ni el tamaño sino solo su posición?
Ahora que recordaste este concepto, te invitamos a caracterizar estas transformaciones.
Para ello, te presentamos lo siguiente.
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Observa y encuentra las diferentes transformaciones isométricas generadas por los
siguientes triángulos.
Figura 5
11.- Si encontraste traslaciones indica el vector, si encontraste rotaciones indica el ángulo y
centro; y si encontraste reflexiones indica el eje de simetría. En todos los casos especifica la
figura inicial y la final.
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SINTESIS
12.- Si un punto
se traslada según el vector
después de la traslación?
¿Cuáles son las coordenadas
13.- ¿Cuáles son las características que determinan una Reflexión?
14.-Si a un punto
se rota en el origen, en sentido anti horario en 90°, 180°, 270° y
360°, ¿cuáles son las coordenadas resultantes en cada caso?
15. ¿Cuál es el beneficio que se tiene al replicar una figura en el plano cartesiano?
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AUTORES: Marco Cornejo y Fabiola Fernández
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ACTIVIDAD 3
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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS: “Congruencias y algo más”
Tiempo Estimado: 3 horas pedagógicas.
FUNDAMENTO DE LA ACTIVIDAD
El propósito de esta actividad es que los estudiantes establezcan el concepto de
congruencia a partir de las transformaciones isométricas.
Cumpliendo con los requisitos del programa de estudio, los estudiantes luego de realizar
esta actividad estarán en condiciones de reconocer que dos figuras son congruentes
cuando existen transformaciones isométricas que aplicadas en una de ellas permiten
obtener la otra figura e Identifican las transformaciones isométricas que transforman
una figura en otra que es congruente a ella.
La actividad supone que los estudiantes conocen lados y ángulos en polígonos, el
concepto de congruencia, los criterios de congruencia, las transformaciones isométricas y
plano cartesiano.
ANALIZANDO TRIÁNGULOS
 Es importante destacar que en este caso, nuestra actividad no está presentada en
contexto de la vida cotidiana, por ello se hace necesario que los estudiantes estén
atentos, ya que de esta forma no perderán la continuidad del trabajo.
 Uno de los errores más frecuentes en los estudiantes es el orden de las coordenadas
cartesianas, se sugiere al docente recordar los ejes y el cómo registrar un par
ordenado. Esto es necesario para encontrar la regularidad en la pregunta 2.
RELACIONANDO
 Si el alumno presenta dificultad al responder la pregunta 3, se sugiere al docente
destacar que la coordenada
corresponde a un vértice de la figura inicial,
entonces puede preguntar: ¿Cómo quedaría el vértice de la figura transformada al
aplicar la regularidad?
 En el caso que el estudiante no identifique el vector de traslación, se recomienda al
profesor la siguiente actividad anexa para los alumnos: a los vértices del
de la
figura 2, sume el par ordenado encontrado en la pregunta 9 (vector
). ¿Qué
obtuvo?
 En la pregunta 13, el profesor debe recordar, si fuera necesario, que: dos figuras
presentan una simetría axial, si cada uno de los vértices de la figura y su imagen,
están a la misma distancia del eje de simetría.
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¿SON IGUALES?
 Si el paralelo entre las características de transformaciones isométricas y congruencia
triángulos no puede ser desarrollado por los alumnos el profesor debería retomar las
figuras 1,2 y 3 y analizarlas en cuanto a ¿Qué cambia? ¿Qué se mantiene?
 En la pregunta 16, el docente puede recomendar la utilización de la tabla de
características entre trasformaciones isométricas y congruencia de triángulos.
 Se sugiere al profesor sintetizar:
Dos figuras son congruentes si una de ellas se puede obtener por medio de
transformaciones isométricas aplicadas a la otra. Por tanto, dos figuras congruentes
mantienen su forma y tamaño.
Baeza P, Angela et al. Libro Santillana Bicentenario (2010). Editorial Santillana.
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ACTIVIDAD 3: Congruencia y algo más
Nombre: ____________________________________ Curso: 1° ____ Fecha: _________
Presentación
El propósito de esta actividad es que establezcas el concepto de congruencia a partir de las
transformaciones Isométricas. Para ello, debes aplicar todo lo aprendido en clases
anteriores sobre criterios de congruencia y transformaciones isométricas.
Palabras claves: Lados y ángulos en triángulos, Congruencia, Criterios de Congruencia,
Plano Cartesiano y Transformaciones Isométricas
ANALIZANDO TRIÁNGULOS
Observa la siguiente figura y responde.
Figura 1
1.- ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de cada triángulo? Complete la siguiente
tabla según los datos de la figura 1.
Triángulo ABC
Vértice A
Vértice B
Vértice C
Triángulo DEF
Vértice D
Vértice E
Vértice F
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2.- Ahora que ya has encontrado las coordenadas de los vértices, completa la tabla con la
medida de los lados.
Triángulo ABC
Lado AB
Lado BC
Lado AC
Triángulo DEF
Lado DE
Lado EF
Lado DF
RELACIONANDO
3.- ¿Qué regularidad observas entre los vértices A y D, C y F, B y D?
4.- En base a la respuesta anterior, ¿Podrías determinar una regularidad para un punto
? Comenta con un compañero.
5.- ¿Qué transformación relaciona esta regularidad?
6.- ¿Cuál es el ángulo de giro? Comenta con un compañero.
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7.- ¿Podría afirmar que
? Justifique.
Observa la figura 2. Cabe destacar que estos triángulos son isósceles.
Figura 2
8.- Con los datos de la figura anterior completa el siguiente cuadro.
Triángulo ABC
Vértice
A
B
C
Triángulo XYZ
Vértice
X
Y
Z
9.- Resta las coordenadas del vértice X y A, haz lo mismo con Y y B, Z y C? ¿Qué observas?
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10.- Según la respuesta anterior, ¿qué nombre recibe este nuevo par ordenado obtenido
de la diferencia de los vértices?
11.- ¿Qué transformación utiliza este nuevo par ordenado?
12.- ¿Podría afirmar que
? Justifique.
A continuación te presentamos la figura 3. Observa:
Figura 3
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13.- “La figura 3 muestra una reflexión, respecto al eje de la ordenada”. ¿Es verdadera la
afirmación? Justifica. Comenta con un compañero.
14.- ¿Puedes afirmar que los triángulos son congruentes? Justifica. Considera
y
. Comenta con un compañero.
¿SON IGUALES?
Ya hemos estudiado las transformaciones isométricas y la congruencia. Como te habrás
dado cuenta estas cumplen ciertas características.
A continuación te presentamos dos tablas para que completes, tanto con las
características de las transformaciones isométricas, como la congruencia.
Características
Características
Transformaciones Isométricas
Congruencia de Triángulos
Al aplicar una transformación ¿Qué sucede Al replicar una figura ¿Qué sucede con esta
con la figura y su imagen? Respecto a:
y su imagen congruente? Respecto a:
Forma
Forma
Ángulos
Ángulos
Lados
Lados
Posición en el Plano
Posición en el Plano
15.- ¿Qué puedes concluir con respecto a las características de las transformaciones
isométricas y las características de la congruencia de triángulos? Explica.
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16.- Entonces, si a una figura le he aplicado una transformación isométrica y he obtenido su
imagen ¿Qué puedo afirmar inmediatamente de estas dos figuras?
Sintetiza junto a tu profesor
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ACTIVIDAD 4
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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS: “Aplicando lo Aprendido”
Recurso: Regla y transportador.
Tiempo Estimado: 3 horas pedagógicas.
FUNDAMENTO DE LA ACTIVIDAD
El propósito de esta actividad es poner a prueba todo lo aprendido durante las clases
anteriores. El énfasis está puesto en recordar los criterios de congruencia y aplicarlos en
situaciones de la vida cotidiana, además de reconocer pares de figuras congruentes,
donde a una de ellas se le aplicó un movimiento en el plano para conseguir su imagen.
Cumpliendo con los requisitos del programa de estudio, los estudiantes luego de realizar
la actividad, estarán en condiciones de utilizar los criterios de congruencia para la
resolución de problemas de la vida cotidiana.
La actividad supone que los estudiantes conocen la congruencia, los criterios de
congruencia, las transformaciones isométricas, ángulos y lados de polígonos, el plano
cartesiano y el euclideo, rectas perpendiculares.
PRACTICA EN EL PLANO CARTESIANO

Una vez presentada la actividad se sugiere pasar rápidamente por las palabras
claves. Si es necesario, se recomienda recordar concepto claves como
perpendicularidad y ángulos opuestos por el vértice, conceptos necesarios para el
desarrollo del problema número 3.

En la pregunta 3, se sugiere la representación gráfica del problema, esto será útil
para su análisis.
LA CONGRUENCIA EN LA VIDA COTIDIANA
 El profesor puede sugerir a los estudiantes realizar un esquema de los datos que
entrega el problema para facilitar la interpretación y comprensión.
 Si fuera necesario, se sugiere al profesor recordar que un segmento es congruente
a sí mismo.
 Un error frecuente al representar la información del problema 4, es que los
estudiantes asuman el ángulo que se forma como recto. Se recomienda al
profesor destacar que no se puede asumir información si esta no está especificada
en el problema.
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 Se sugiere al docente, en el caso que los estudiantes no sean capaces de
responder la pregunta 5, proponer una actividad complementaria: Dibuja un
triángulo con los ángulos 30°, 70° y 80° (utilizar regla y transportador). Luego
compara con un compañero ¿Los triángulos son congruentes?
ACEPTA EL RETO
 Si los alumnos presentan dificultades al responder la pregunta 1, se sugiere para el
análisis las siguientes preguntas: ¿Qué sucede con la banca del lado derecho si
más personas se sientan sin que esta se rompa? ¿Sucede lo mismo con la banca
que posee una tabla diagonal? ¿Cómo lo justificarías según lo visto en clases
anteriores?
 El docente puede recordar que el suplemento de ángulos congruentes también es
congruente.
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ACTIVIDAD 4: “Aplicando lo aprendido”
Nombre: ______________________________________ Curso: 1° ___
Fecha: __/__/__
PRESENTACION
A continuación se presenta una actividad en la cual debes poner a prueba todo lo
aprendido en la unidad de Congruencia de Triángulos, como los criterios de congruencia,
y su relación con las transformaciones isométricas. Tu puedes!
Palabras Claves: Transformaciones Isométricas, Congruencia, Criterios de Congruencia.
Practica en el Plano Cartesiano
En esta sección trabajarás la congruencia en el plano cartesiano.
Observa atentamente la figura.
1.- Describe y corrige el error de la figura anterior.
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Observa la figura 2
2.- ¿Puedes afirmar que el
Justifica.
, sin utilizar los criterios de congruencia?
3.- Es posible afirmar que el triángulo formado por las coordenadas
y
es congruente con el triángulo
utilizar criterios.
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No
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LA CONGRUENCIA EN LA VIDA COTIDIANA
i.
1.
2.
Lee atentamente cada problema y responde.
El servicio forestal utiliza fuego vigías ubicados en torres para vigilar los incendios
forestales. Cuando los vigías detectan un incendio, miden el ángulo de su visión hasta
la torre más cercana. El despachador recibe esta información, y además conoce la
distancia entre estas dos torres. ¿Cuántos miradores son necesarios para localizar un
incendio? Explica.
El colegio “Kichasca” es el organizador de la 14
edición del inter-escolar de la comuna. Una
de las pruebas, es la carrera de relevos, la
cual es realizada en el gimnasio del
establecimiento. El recorrido está marcado
en el piso. El equipo Uno parte desde el
punto A avanza hacia B, luego C y regresa a
A. El otro equipo empieza en C, va hacia D,
luego A y regresa a C. Considerando que
y
. Es
posible afirmar que los dos equipos
recorrerán la misma distancia. Justifica.
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Página 43
3.
La distancia entre un barco B y el punto más cercano P, situado en tierra, se puede
determinar así: Coloque una marca en un punto conveniente Q, situado en la recta a lo
largo de la orilla, y otro punto R más distante de la misma recta, de tal manera que
̅̅̅̅
̅̅̅̅ .En la perpendicular a la recta PR, en el punto R, localiza un punto A tal que
̅̅̅̅ ? Justifica.
el punto A, B y Q sean colineales. ¿Por qué ̅̅̅̅
4.
Don Pedro acaba de comprar un terreno triangular en el sur de Chile, Cabrero, Octava
región. Antes de todo decide enrejar su terreno. Los datos que le dieron acerca de las
dimensiones fueron: “desde el naranjo al rio en línea recta le corresponden 1000
metros (en dirección Sur), para luego desde el rio en dirección Este avanzar 600 metros
hasta llegar a los rosales”.
a. ¿La información entregada le servirá a Don Pedro para enrejar su terreno?
b. Si necesitara información adicional ¿Qué otro dato le sería útil?
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5.
La constructora Manquehue realizará la segunda etapa de sus casas. Matías está a
cargo de construir los techos, para ello necesita replicarlos tomando como referencia
los datos de la primera etapa. Matías considera que sólo es necesario conocer los 3
ángulos interiores para la construcción. ¿Podrá Matías replicar el techo con esta
información? Explica.
ACEPTA EL RETO
1. Observa la imagen y luego responde.
¿Por qué la banca con el apoyo diagonal es más estable que la otra? Explica.
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2. Observa la figura.
Explica cómo se puede utilizar la información dada para demostrar que las partes del
parapente son congruentes. Sabemos que
y ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅, prueba que
.
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