Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga Instituto de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos Definición (Transformación lineal sobreyectiva) Sean V y W espacios vectoriales y T : V −→ W una transformación lineal, 1. Definimos la imagen de T , denotada por Im(T ), como el conjunto Im(T ) = {T (v) | v ∈ V } = {w ∈ W | existe v ∈ V tal que w = T (v)}. 2. Decimos que T es una trasformación lineal sobreyectiva si Im(T ) = W . Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos Teorema Sean T : Rn −→ Rm una transformación lineal y A =E TE la matriz de T , entonces Im(T ) = Col(A). Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos Teorema ea T : Rn −→ Rm una transformación lineal y A la matriz de T , entonces T es sobreyectiva si y solo si rango(A) = m = número de filas de A. Ejemplo 1 0 Sea A = 1 −2 y T : R2 −→ R3 la transformación lineal definida por 3 0 T (x) = Ax, calcular la imagen de T . Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos Teorema ea T : Rn −→ Rm una transformación lineal y A la matriz de T , entonces T es sobreyectiva si y solo si rango(A) = m = número de filas de A. Ejemplo 1 0 Sea A = 1 −2 y T : R2 −→ R3 la transformación lineal definida por 3 0 T (x) = Ax, calcular la imagen de T . Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos Definición (Isomorfismo) Sean V y W espacios vectoriales y T : V −→ W una transformación lineal, decimos que T es un isomorfismo si es una función biyectiva. También diremos que V es isomorfo a W si existe un isomorfismo entre ellos, lo cual denotaremos por V ∼ = W. Teorema Sea T : Rn −→ Rm una transformación lineal y A =E TE la matriz de T , entonces T es un isomorfismo si y solo si rango(A) = m = n. Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos Definición (Isomorfismo) Sean V y W espacios vectoriales y T : V −→ W una transformación lineal, decimos que T es un isomorfismo si es una función biyectiva. También diremos que V es isomorfo a W si existe un isomorfismo entre ellos, lo cual denotaremos por V ∼ = W. Teorema Sea T : Rn −→ Rm una transformación lineal y A =E TE la matriz de T , entonces T es un isomorfismo si y solo si rango(A) = m = n. Corolario Rn ∼ = Rm si y solo si m = n. Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos Definición (Isomorfismo) Sean V y W espacios vectoriales y T : V −→ W una transformación lineal, decimos que T es un isomorfismo si es una función biyectiva. También diremos que V es isomorfo a W si existe un isomorfismo entre ellos, lo cual denotaremos por V ∼ = W. Teorema Sea T : Rn −→ Rm una transformación lineal y A =E TE la matriz de T , entonces T es un isomorfismo si y solo si rango(A) = m = n. Corolario Rn ∼ = Rm si y solo si m = n. Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos Teorema Sea T : Rn −→ Rn un isomorfismo y A =E TE la matriz de T , entonces su función inversa T −1 es una transformación lineal y su matriz de transformación es A−1 . Ejemplo 1 1 , 1 −1 determinar si T es un isomorfismo. En caso afirmativo calcular T −1 . Sea T : R2 −→ R2 la tranformación lineal cuya matriz es A = Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos Teorema Sea T : Rn −→ Rn un isomorfismo y A =E TE la matriz de T , entonces su función inversa T −1 es una transformación lineal y su matriz de transformación es A−1 . Ejemplo 1 1 , 1 −1 determinar si T es un isomorfismo. En caso afirmativo calcular T −1 . Sea T : R2 −→ R2 la tranformación lineal cuya matriz es A = Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos Teorema Sea V un espacio vectorial y X = {v1 , . . . , vn } una base para V , entonces V ∼ = Rn . Un isomorfismo entre estos espacios está dado por la función α1 . n T : V −→ R definida por T (α1 v1 + · · · + αn vn ) = .. , a esta función se αn le conoce como el isomorfismo canónico o estándar. Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos Ejemplo El conjunto {1, t, t2 , t3 } es una base del espacio V = R3 [t], por tanto V es isomorfo a R4 y el isomorfismo está dado por a0 a1 2 3 T (a0 + a1 t + a2 t + a3 t ) = . a2 a3 Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos Teorema Sea V un espacio vectorial y sean {v1 , . . . , vn } y {w1 , . . . , wm } bases para V, entonces m = n. Definición Sea V un espacio vectorial, definimos la dimensión de V, denotada por dim V , como el número de vectores en una base de V. Es decir, si {v1 , . . . , vn } es una base para V entonces dim V = n. Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos Teorema Sea V un espacio vectorial y sean {v1 , . . . , vn } y {w1 , . . . , wm } bases para V, entonces m = n. Definición Sea V un espacio vectorial, definimos la dimensión de V, denotada por dim V , como el número de vectores en una base de V. Es decir, si {v1 , . . . , vn } es una base para V entonces dim V = n. Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos Ejemplo 1. El conjunto {1, t, . . . , tn } es una base para Rn [t], tenemos que dim Rn [t] = n + 1. 2. Una base para 1 0 0 , 0 0 0 M22(R) está por dada 1 0 0 0 0 , , , por tanto dim M22 (R) = 4. 0 1 0 0 1 3. En general tenemos que dim Mmn (R) = mn. Una base para este espacio está dada por {Eij | i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m}, donde Eij es la matriz m × n con un 1 en la posición ij y cero en las demás posiciones. Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos Teorema Sean V y W espacios vectoriales, T : V −→ W un isomorfismo, {v1 , . . . , vn } ⊆ V y v ∈ V . Entonces se tiene lo siguiente: 1. El conjunto {v1 , . . . , vn } es linealmente independiente si y sólo si el conjunto {T (v1 ), . . . , T (vn )} es linealmente independiente. 2. El conjunto {v1 , . . . , vn } genera a V si y sólo si el conjunto {T (v1 ), . . . , T (vn )} genera a W . 3. El conjunto {v1 , . . . , vn } es una base para V si y sólo si el conjunto {T (v1 ), . . . , T (vn )} es una base para W . 4. dim V = dim W . 5. v ∈ gen{v1 , . . . , vn } si y sólo si T (v) ∈ gen{T (v1 ), . . . , T (vn )}. Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga Transformaciones Sobreyectivas e Isomorfismos