MATRICES DE ROTACIÓN

MATRICES DE ROTACIÓN
A menudo es necesario convertir de un sistema a otro mediante rotaciones alrededor de los
ejes de coordenadas. Un ejemplo de esto es cuando en un momento dado representamos la
posición de un satélite artificial en el sistema ECEF. Un tiempo después , la posición del
satélite habrá variado debido al movimiento en su órbita, pero también la Tierra habrá
rotado, de modo que tendremos un nuevo sistema
, que no es igual al sistema
inicial (ver figura 2.17).
Figura 2.17: Rotación del sistema ECEF
Es por esto que debemos convertir las coordenadas del satélite a un sistema común para
conocer cómo se movió en realidad. En este ejemplo, si tenemos el tiempo transcurrido y
conocemos la velocidad angular de rotación de la Tierra2.15), sabremos el ángulo con el cual
difieren ambos sistemas (note que la rotación sólo sucede alrededor del eje
).
Figura: Rotación alrededor del eje
La figura 2.18 ilustra la rotación alrededor del eje
del sistema
en
. Note que
la distancia desde el origen al punto
es igual en ambos sistemas, de modo que las
respectivas coordenadas
y
se pueden escribir:
Por otra parte, tomando en cuenta las expresiones para diferencias de ángulos:
(2.7)
(2.8)
Las ecuaciones 2.7 y 2.8 se pueden escribir de manera matricial así:
(2.9)
La expresión 2.9 determina la rotación en dos dimensiones. Para obtener la expresión
tridimensional basta saber que en este caso la rotación es exclusivamente alrededor del eje
y por tando las coordenadas se mantienen constantes. Entonces la rotación alrededor
de es:
(2.10)
Siguiendo un procedimiento semejante se pueden deducir las expresiones de rotación
alrededor de
e . Como a los ejes coordenados
,
,
se les suele denotar como
,
y
, a las matrices de rotación correspondientes se les llama
,
y
:
(2.11)
(2.12)
(2.13)
La convención para el signo de es muy importante: el ángulo será positivo cuando la
rotación alrededor del eje correctamente se realiza en el sentido de la regla de la mano
derecha. Por ello en la figura 2.18 se consideraba la rotación como positiva.
En general, la rotación de un sistema de coordenadas
como:
a otro sistema
se puede expresar
(2.14)
Donde
y
es el vector definido en el sistema
es la matriz de rotación que convierte de
,
es el vector definido en el sistema
a
.
Las matrices de rotación así definidas son ortogonales y tienen por tanto unas importantes
propiedades:

Si
convierte de
).
en
, entonces
convierte de
en
(es decir,
,

El determinante es 1 (



= 1).
, donde
es la matriz identidad.
.
Cualquier rotación de en se puede realizar mediante la composición de
rotaciones sucesivas alrededor de los ejes , y (en ese orden):