Taller de Papiroflexia Matemática

Taller de Papiroflexia Matemática
Francisco Maíz Jiménez1
IES Dionisio Aguado
Fuenlabrada, Spain
maizz@mixmail.com
Sumario
¿Hacia quien va dirigido este taller?
El presente taller de papiroflexia matemática está preparado para profesores de matemáticas de secundaria y primaria.
También es recomendable para profesores que trabajen con alumnos problemáticos o desmotivados.
Motivación del taller
El uso del papel como elemento accesible y cotidiano para los alumnos hace del origami una herramienta a tener en
cuenta en la enseñanza de las matemáticas. Las actividades son muy llamativas y entretenidas tanto para los alumnos
como para el profesor. Además los alumnos comprueban que lo aprendido en la clase de matemáticas no es algo irreal,
sino tangible y que efectivamente se usa en la vida cotidiana.
Introducción
Desarrollo de habilidades y valores:
Percepción:
Tamaño y escalas. Utilizando diversas medidas de papel en figuras o modulares.
Composición: combinando elementos de diversa o similar naturaleza para producir efectos complejos.
Transición del plano al espacio: la educación transcurre normalmente en el plano, donde escribimos, dibujamos, etc.
Pero el mundo que nos rodea es tridimensional (desde la perspectiva de la geometría clásica). Al plegar el papel
agregamos una nueva dimensión a nuestro trabajo.
La mayoría de las piezas utilizan la simetría, difícil de explicar teóricamente y mucho más en el caso de simetrías
espaciales.
Motricidad fina:
La manipulación de papel requiere poder de observación, cuidado en los detalles,
diversos grados de fuerza en los pliegues y perfección en los mismos.
Valores individuales y sociales:
Autoestima: una pieza de papiroflexia que
logramos nos llena de satisfacción; hemos tenido que superar obstáculos, comprender
manipulaciones complejas, tolerar la frustración y aplicarnos. Además tiene un efecto
inmediato sobre el entorno, ya que si un niño ve a otro terminando una figura de
papiroflexia, normalmente le preguntará cómo lo ha hecho y querrá hacerlo por él
mismo.
Colaboración y trabajo en equipo: Aún con plegados muy sencillos pueden lograrse
efectos espectaculares si todos unen sus módulos en la creación de una obra
compleja. Los resultados pueden ser tan atractivos que se destinen a decorar el aula,
o la escuela, con el consiguiente incremento de la valoración social del trabajo.
Definición e Historia de la Papiroflexia
La papiroflexia es el arte de construir figuras doblando papel. Las reglas ortodoxas impiden usar pegamento o tijeras y
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Instituto GeoGebra de Cantabria, www.geogebra.es
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se parte de un único trozo de papel cuadrado.
La Historia de la papiroflexia comienza con el invento del papel en China en el siglo I-II dC y llega a Japón en el siglo
VI dC. La papiroflexia surgió en Japón, donde se denomina “Origami”. En principio era exclusivamente para las clases
más privilegiadas,ya que el papel era un artículo muy costoso.
Otro hito importante en la Historia de la papiroflexia es la incorporación de la simbología actual de instrucciones de
plegado inventado por Akira Yoshizawa (1956). Este sistema hace entendibles los modelos independientemente del
idioma.
Una ramificación de la papiroflexia moderna es la papiroflexia modular, en la que se pliegan varias piezas
independientes para acabar encajándolas.
Papiroflexia y Matemática
La papiroflexia está íntimamente ligada a las matemáticas.
Algunos alumnos pueden encontrar dificultades en la comprensión de conceptos geométricos tales como: punto medio,
mediatriz, bisectriz, simetrías, semejanzas... Sin embargo, usarán estos conceptos abstractos de forma intuitiva en el
plegado de una construcción.
Ejemplo: suma de ángulos de un triángulo.
Ejemplo: triángulos semejantes en el primer teorema de Haga.
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Los aspectos fundamentales que vamos a desarrollar en la relación entre papiroflexia y matemáticas son:
1.- Números: Construcción de puntos y rectas. Construcción de números. Fracciones. Raíces cuadradas. Trisección de
un ángulo
2.- Lugares geométricos: Parábola, elipse, hipérbola, paraboloide hiperbólico.
3.- Polígonos: Cuadrado, rectángulo áureo. Triángulo equilátero, hexágono, pentágono.
4.- Poliedros: (origami modular). Clasificación de mólulos
4.1. Sólidos platónicos
4.2. Sólidos arquimedianos y estrellados.
4.3. Simetrías.
4.4. Dualidades.
4.5. Estudio de la fórmula de Euler.
5.- Avanzados: Preparación de los dobleces mediante programas CAD o GeoGebra
1. Numeros: Construcción de puntos y rectas. Construcción de números. Fracciones. Raíces cuadradas.
Trisección del ángulo
Constructibilidad de puntos y rectas:
De forma análoga a los axiomas de constructibilidad con regla y compás, la papiroflexia cuenta con su propia
axiomática (axiomas de Huzita):
(O1) Dados dos puntos P1 y P2 podemos
construir la línea que los une.
(O2) Dados dos puntos P1 y P2 podemos llevar
P1 a P2 (construyendo su mediatriz)
(O3) Dados dos líneas L1 y L2 podemos
llevar L1 a L2 (construyendo su bisectriz)
(O4) Dados un punto P1 y una línea L1,
podemos construir una perpendicular a la
línea L1 pasando por el punto P1.
(O5) Dados dos puntos P1 y P2 y una línea L1
podemos llevar P1 a la línea L1 mediante un
doblez que pase por P2. Dicho doblez es una
línea constructible.
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(O6) Dados dos puntos P1 y P2 y
dos líneas L1 y L2 podemos hacer
un doblez que lleve P1 a L1 y P2 a
L2. Dicho doblez es una línea
constructible.
Recientemente ha sido añadido un 7º axioma por Atori:
(O7) Dados un punto P1 y dos líneas L1 y
L2 podemos hacer un doblez
perpendicular a L2 y que lleva P1 a L1.
Dicho doblez es una línea constructible.
Los axiomas del 1 al 5 construyen el mismo conjunto de puntos que los construidos con regla y compás (hasta
ecuaciones cuadráticas).
El axioma 6 permite la construcción de ecuaciones cúbicas.
Construcciones de números
Fácilmente se pueden construir números enteros, números fraccionarios (sobretodo los que tienen por denominador
potencias de 2). Veamos un ejemplo con otras fracciones:
Ejemplo: ½ y 2/3
También es fácil construir raíces cuadradas.
Ejemplo: rectángulo áureo
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No obstante, la auténtica potencia de la papiroflexia está en usar su 6º axioma, que resuelve dos de los problemas
clásicos en matemáticas: la duplicación del cubo y la trisección de un ángulo:
Ejemplo: duplicación del cubo.
Ejemplo: trisección de un ángulo
2. Polígonos
La papiroflexia nos permite la construcción de polígonos regulares tales como: triángulo, cuadrado, pentágono,
hexágono, heptágono...
Ejemplo: pentágono-nudo
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3. Lugares Geométricos
Aunque a primera vista parece que las construcciones en papiroflexia no pueden representar curvas, podemos
expresarlas mediante envolventes.
Ejemplo: parábola
Ejemplo: elipse
Ejemplo: hipérbola
Ejemplo: paraboloide hiperbólico
Este último ejemplo nos lleva a la 3ª dimensión, donde las figuras más representativas son los poliedros.
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4. Poliedros
Aunque existen algunas construcciones con una sola hoja de papel, en general se suelen usar módulos para la
construcción de poliedros. Estos módulos pueden clasificarse en tres grupos:
a) Según sus caras. Suelen ser los más débiles, pero más fácilmente reconocibles.
Ejemplo: cubo
b) Según sus aristas. Son muy fuertes, pero el encaje de los módulos es muy complejo.
Ejemplo: tetraedro
c)
Según sus vértices.
Ejemplo: dodecaedro
Ejemplo: octaedro
Los tipos de construcciones que podemos hacer nos permiten el estudio de:
4.1. Sólidos platónicos (como los ejemplos vistos anteriormente)
4.2. Sólidos arquimedianos y estrellados.
Ejemplos: rombocubioctaedro,
octaedro estrellado,
icosaedro estrellado
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4.3. Simetrías.
Ejemplos: esqueleto octaedro,
planos de simetría del cubo
4.4. Dualidades.
Ejemplos: cubo-octaedro,
dodecaedro-icosaedro
4.5. Estudio de la fórmula de Euler. Los poliedros construidos nos permiten estudiar la fórmula de Euler
(C+V=A+2) y comprobar cuándo se cumple.
Ejemplo: toro cuadrado no equivalente topológicamente a una esfera
5. Avanzados: Preparación de los dobleces mediante programas CAD o Geogebra
La preparación de las imágenes inicialmente las hice con programas de dibujo técnico y de arquitectura CAD (un
programa con licencia GNU y sencillo en su uso es Qcad). Pero en la actualidad realizo las imágenes con GeoGebra, ya
que además de realizar las construcciones desde el punto de vista de dibujo técnico, permite el estudio matemático e
incluso se pueden realizar demostraciones y animaciones.
En la actualidad existen numerosos estudios matemáticos acerca de la papiroflexia y las MV-asignaciones de dobleces.
También existen programas informáticos que realizan las marcas de plegado
para las construcciones de papiroflexia.
El más conocido es TreeMaker:
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Conclusiones
La papiroflexia contribuye al desarrollo de habilidades tales como Percepción espacial y Motricidad fina; así como
valores individuales y sociales.
Hemos estudiado la relación entre papiroflexia y matemáticas y algunos de sus principales puntos de encuentro.
Finalmente hemos señalado la posibilidad de incorporar las nuevas tecnologías, destacando el uso de GeoGebra, en la
papiroflexia.
Referencias bibliográficas
Las construcciones hechas con GeoGebra pueden visitarse en la siguiente dirección de carpeta de GeoGebra Upload:
http://www.geogebra.org/en/upload/index.php?&direction=0&order=&directory=fmaizjimenez/spanish/Papiroflexia
En la siguiente dirección se desarrolla la papiroflexia matemática usando GeoGebra (es una unidad didáctica del
seminario de GeoGebra de Madrid geogebramad):http://geogebramad.wikispaces.com/Unidad+did%C3%A1ctica+17
Página web de la Asociación Española de Papiroflexia, http://www.pajarita.org
Hull,T. “Project Origami. Activities for Explorin Mathematics”, A.K.Peters, Ltd (Wellesley, Massachusetts, 2006)
Lang, R. “Origami and Geometric Constructions” (1996-2003)
Royo, J.I. “Matemáticas y Papiroflexia”, Sigma Nº21 Octubre 2002
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