Inducción completa - Matemática para todos

La inducción matemática como
método
de
demostración
o
comprobación
se
aplica
permanentemente en distintas áreas
del quehacer científico.
Leonhard
Euler
(Suiza, 1707–1783)
Euler estudió en la Universidad de Basilea
con el matemático suizo Johann Bernoulli, y se
licenció a los 16 años.
En 1727, por invitación de la emperatriz
Catalina I de Rusia, fue miembro del profesorado
de la Academia de Ciencias de San Petersburgo.
Fue nombrado catedrático de Física en
1730 y de Matemática en 1733. En 1741 fue
profesor de Matemática en la Academia de
Ciencias de Berlín, a petición del rey de Prusia,
Federico el Grande.
Euler regresó a San Petersburgo en 1766,
donde permaneció hasta su muerte. Aunque
obstaculizado por una pérdida parcial de visión
antes de cumplir 30 años y por una ceguera casi
total al final de su vida, Euler produjo numerosas
obras matemáticas importantes, así como reseñas
matemáticas y científicas.
Fue uno de los últimos hombres que pudo
tener un conocimiento acabado de todas las
matemáticas de su época.
En otros casos, a través de la
experimentación
u
observación
sistemática de un conjunto de casos
particulares, es posible extraer una
conclusión general (propiedad o ley).
Se llama inducción empírica y, como
método científico, implica ir de lo
particular
a
lo
general
(en
contraposición a la deducción).
Con
este
método
operan
comúnmente ciencias tales como la
biología, química, etc. (las ciencias
experimentales).
En
las
matemáticas,
la
comprobación de un cierto número
de casos será siempre insuficiente.
La
inducción
matemática
o
inducción completa exige ciertos
requisitos particulares, que son los
que se estudiarán en este capítulo.
Debe tenerse en cuenta que el
proceso
de
demostración
por
inducción completa es un método
general de demostración útil en
muchas ramas de la matemática.
En
este
curso
se
utilizará,
principalmente, para demostrar que
ciertas propiedades relacionadas con
la suma de números son ciertas.
Se debe conocer a fondo el símbolo de
sumatoria, su uso y sus propiedades. Es muy
importante saber diferenciar el proceso de
demostración por inducción completa y el
significado del signo de sumatoria.
La letra sigma s fue incorporada al idioma
matemático en 1755 por Leonhard Euler.
128
GUSTAVO A. DUFFOUR
7
INDUCCIÓN COMPLETA
1 – EL SÍMBOLO DE SUMATORIA
Cuando todos los sumandos de una suma finita o infinita se deducen de una misma
expresión algebraica, al darse valores sucesivos a un número indeterminado (que en general
se anota con la letra i), se puede representar más brevemente esta suma usando el signo de
sumatoria s (sigma), indicando debajo y encima de dicho signo los valores primero y último
respectivamente, del número indeterminado i.
EJEMPLO:
i=5
Calcular
∑
2i
i =1
Significa: sumas que tienen la forma de 2i
cuando i toma los valores naturales de 1 a 5.
i=5
∑ 2i = 2*1 + 2*2 + 2*3 + 2*4 + 2*5 = 30
i =1
EJEMPLO:
i=7
Calcular:
∑
i2 =
Todas las variables
utilizadas en este tema
son números naturales,
salvo que se indique
expresamente lo contrario.
i =1
ie`
ne`
he`
Significa: sumas que tienen la forma de i2
cuando i toma los valores naturales de 1 a 7.
i=7
∑ i2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 = 140
i =1
Antes de continuar, es conveniente hacer
el ejercicio 127, de la página 141.
MATEMÁTICA DE QUINTO
129
2 – PROPIEDADES DE LA SUMATORIA
El símbolo de sumatoria es utilizado para escribir en forma breve cierto tipo de suma.
Las propiedades de la sumatoria son las mismas que las de la adición.
2.1. PROPIEDAD ADITIVA
Se basa en la propiedad asociativa de los
números. Asocia todos los sumandos de la
forma ai en una sumatoria y los bi en otra
sumatoria.
i=n
∑
i =1
i=n
(a + b ) =
i
i
∑
i =1
a +
i
i=n
∑
b
i =1
Responder «verdadero»
o «falso», y justificar
la respuesta.
i
EJEMPLO:
i=n
Aplicar la propiedad aditiva en:
∑
i = 100
( i + 5)
∑
a)
∑
∑
( i + 5) =
i =1
i +
i =1
i=n
∑
∑
b)
i =1
i = 100
∑
i=0
2.2. PROPIEDAD HOMOGÉNEA
∑
i =1
Ka
i
= K
i=n
∑
i = 100
i =1
i=0
i
Se basa en la propiedad distributiva,
sacando a K como factor común.
i=n
∑
i =1
7i2
( 2 + i) = 2 +
=
i = 100
∑
i
i=0
i = 101
∑ i2
i =1
e)
i = 100
⎛ i = 100 ⎞ ⎛ i = 100 ⎞
3 ⎜
i
=
∑ ( ) ⎜⎜ ∑ i ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜ ∑ i2 ⎟⎟⎟
i =1
⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1
⎠
EJEMPLO:
Aplicar la propiedad homogénea en:
2 = 202
∑ ( i + 1)2
d)
a
i4
i=0
5
c)
i=n
∑
i =1
i = 100
i=n
i = 100
i=0
i =1
i=n
i4 =
3
⎛ i =100 ⎞
∑ ( i)3 = ⎜⎜⎜ ∑ i ⎟⎟⎟
i =1
⎝ i =1 ⎠
i =100
f)
Véanse los resultados en la página 477.
i=n
∑
i =1
130
7i2 = 7
i=n
∑
i2
i =1
GUSTAVO A. DUFFOUR
2.3. PROPIEDAD DE LINEALIDAD
Las propiedades distributiva y aditiva se pueden combinar en una sola propiedad
llamada de linealidad, que se expresa como sigue.
Siendo p e \ y k e \
dos constantes cualesquiera, se cumple:
i=n
∑
i =1
EJEMPLO:
(ka + pb ) = k
i
i
i=n
i=n
a
+
p
∑ i
∑ bi
i =1
i =1
i=n
∑
Aplicar la propiedad de linealidad en:
(5i2 − 3i)
i =1
i =n
∑
(5i2 − 3i) = 5
i =n
i =1
∑
i2 − 3
i =n
i =1
∑
i
i =1
2.4. PROPIEDAD TELESCÓPICA
Una propiedad importante de algunas sumas finitas es la propiedad telescópica,
aplicable a expresiones de la forma (ai – ai – 1)
i=n
∑
i =1
EJEMPLO:
(a − a
)
i
i −1
= a −a
n
0
i =n
Aplicar la propiedad telescópica en:
∑
i =1
i =n
∑
i =1
1⎞
⎛ 1
− ⎟ =
⎜
⎝ i +1 i ⎠
( 21 − 11) + ( 31 − 21 ) + ( 41 − 31 ) + ...
1⎞
⎛ 1
− ⎟
⎜
⎝ i +1
i⎠
=
1
− 1
n +1
2.5. PROPIEDAD ASOCIATIVA
Una de las propiedades de la sumatoria que resulta útil en el desarrollo de este tema,
está basada en la propiedad asociativa de la suma.
i = 10
∑
i3 = (13 + 23 + 33 + 43 + 53) + (63 + 73 + 83 + 93 + 103) =
i =1
i=5
∑ i3
i =1
+
i = 10
∑
i3
i=6
O sea que es posible asociar los sumandos en dos o más sumas. Obsérvese que si la
suma se efectúa en dos sumandos, la segunda sumatoria empieza en el siguiente término
hasta el último.
MATEMÁTICA DE QUINTO
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