DETERMINACIÓN DEL TIPO DE DESCUENTO A

DETERMINACIÓN DEL TIPO DE DESCUENTO A
EMPLEAR PARA EL CÁLCULO DEL VALOR DE
RENDIMIENTO DE UNA EMPRESA
Salvador Cruz Rambaud - scruz@ualm.es
María del Carmen Valls Martínez - mcvalls@ualm.es
Universidad de Almería
Reservados todos los derechos.
Este documento ha sido extraído del CD Rom “Anales de Economía Aplicada. XIV Reunión ASEPELT-España. Oviedo,
22 y 23 de Junio de 2000”.
ISBN: 84-699-2357-9
1
DETERMINACIÓN DEL TIPO DE DESCUENTO A EMPLEAR
PARA EL CÁLCULO DEL VALOR DE RENDIMIENTO DE UNA
EMPRESA
Salvador Cruz Rambaud
Universidad de Almería
Departamento de Dirección y Gestión de Empresas
La Cañada de San Urbano s/n 04120
ALMERÍA
Tfno: 950-215-184 Fax: 950-215-178 E-mail: scruz@ualm.es
María del Carmen Valls Martínez
Universidad de Almería
Departamento de Dirección y Gestión de Empresas
La Cañada de San Urbano s/n 04120
ALMERÍA
Tfno: 950-215-535 Fax: 950-215-178 E-mail: mcvalls@ualm.es
RESUMEN
El objetivo de este trabajo es poner de manifiesto las distintas alternativas con las que se
encuentra el evaluador de una empresa a la hora de estimar el tipo de actualización o
descuento necesario para determinar el valor de la empresa en base a sus rentas futuras
estimadas (beneficios o cash-flows), esto es, para calcular el valor de rendimiento. En
este sentido se analiza, en primer lugar, la metodología que tradicionalmente se ha
venido empleando en este campo, así como algunas propuestas alternativas que han ido
surgiendo a lo largo del tiempo. A continuación, se estudian las mejoras realizadas
sobre el planteamiento clásico, las cuales han venido determinadas fundamentalmente
por la aplicación al mismo de tratamientos estadísticos. Por último, se exponen las
aportaciones que las teorías de valoración de activos financieros (CAPM) y de
valoración por arbitraje (APT) han realizado para la determinación del tipo de
descuento.
Palabras clave: Valoración de empresas, Valor de rendimiento, Tipo de descuento,
Renta, Riesgo, CAPM, APT.
2
DETERMINACIÓN DEL TIPO DE DESCUENTO A EMPLEAR
PARA EL CÁLCULO DEL VALOR DE RENDIMIENTO DE UNA
EMPRESA
1. INTRODUCCIÓN.
Los modelos de valoración de empresas basados en su capacidad de generación
de rentas futuras consideran la empresa como cualquier proyecto de inversión
individual, de modo que el valor de ésta, denominado valor de rendimiento (VR), se
calculará actualizando las rentas potenciales estimadas (Ri):
n
VR = ∑
i=1
Ri
i
,
∏(1 + k j )
j =1
siendo k j la tasa de actualización correspondiente al año j.
La formulación anterior puede adoptar diversas versiones. Así, los rendimientos
de los diferentes períodos pueden considerarse constantes o variables, el horizonte
temporal finito o perpetuo, la tasa de actualización constante o variable anualmente y,
por último, la renta es posible interpretarla como beneficios, dividendos o flujos de
tesorería.
La elección de esta tasa es quizás el mayor problema que el evaluador debe
resolver para estimar el valor de rendimiento de la empresa, debido a que pequeñas
variaciones en la cuantía de la tasa van a ocasionar grandes variaciones en el valor de la
empresa. Es en la determinación de la misma donde probablemente estribe la mayor
subjetividad que comporta esta forma de evaluación.
Si la tasa elegida es alta, obtendremos una infravaloración de la empresa, y si,
por el contrario, se utiliza una tasa baja se obtendrá una sobrevaloración de aquélla. Por
ello, los empresarios con aversión al riesgo elegirán una tasa más elevada, y los
propensos al riesgo optarán por un tipo más reducido.
La cuantía de k dependerá tanto de la coyuntura general del país en el que se
encuentre la firma, como de la situación futura estimada para la propia empresa. Cuando
las perspectivas propias o del entorno sean desfavorables, el tipo de actualización será
mayor, para recoger, como veremos a continuación, el riesgo.
El objetivo de este trabajo es presentar la variada metodología que puede utilizar
el evaluador para determinar la tasa de actualización necesaria para calcular el valor de
rendimiento de la empresa. En este sentido, en la Sección 2 se expone la formulación
clásica, esto es, el modo que tradicionalmente se ha venido utilizando para obtener k. A
3
continuación, en la Sección 3 se analizan una serie de metodologías que complementan
la formulación anterior, a través, fundamentalmente, de análisis de regresión y mediante
tratamiento estadístico. Asimismo se expone, en la Sección 4, la contribución de las
teorías financieras CAPM y APT a la determinación de la tasa de actualización y, por
último, en la Sección 5 se analizan las conclusiones más relevantes obtenidas.
2. FORMULACIÓN CLÁSICA.
La tasa de actualización representa la rentabilidad que el inversor exige a su
inversión. Una posibilidad es considerar que esta rentabilidad viene determinada por el
coste de capital. En este caso, para obtener el valor unitario objetivo de la empresa, el
tipo de interés que se debe emplear es el coste medio ponderado de capital que tendrá el
inversor, que es un indicador de la rentabilidad mínima que exigirá un empresario a sus
inversiones. La utilización de este coste supone ignorar las opciones de inversión más
rentables que pudiera tener dicho empresario.
Pero, si lo que el evaluador pretende obtener es el valor unitario subjetivo, en
este caso sí habrán de considerarse las inversiones alternativas que se le presentan al
sujeto concreto base de la valoración. Ahora el coste de capital será aquél que coincida
con la rentabilidad de las oportunidades de inversión, tal y como muestra el gráfico 1.
Rentabilidad
Coste de capital
k
Capital necesario
Gráfico 1.
Si usamos como tasa de actualización el coste de capital estaremos utilizando la
rentabilidad mínima que exigirá el inversor y obtendremos, en consecuencia, el máximo
valor de la empresa.
Ahora bien, otra alternativa es considerar que la rentabilidad exigida debe ser
superior al coste de capital, por lo que la tasa a emplear será, asimismo, más elevada. En
este caso nos encontramos con dos opciones a la hora de determinarla:
4
1. Estimar que k debe ser la rentabilidad de las inversiones alternativas. Así, si un
inversor puede obtener una rentabilidad colocando su dinero en otro tipo de
inversión, será éste el porcentaje que exigirá de su inversión en la empresa.
2. Obtener la tasa de actualización como la suma de un tipo base más una prima de
riesgo.
A) Tipo base.
El tipo base representa el tipo de interés exento de riesgo, y puede ser elegido
entre las siguientes alternativas:
1) Tipo de interés de las operaciones a largo plazo sin riesgo debido a la
solvencia del deudor:
1.1. Tipos básicos de interés: el tipo legal del dinero y el tipo de
redescuento del Banco de España.
1.2. Tipos de los mercados nacionales (para empresas con cotización en
el mercado nacional): el tipo de la deuda pública a largo plazo, tipo de las
operaciones a largo plazo de renta fija de las empresas estatales, interés
de la banca oficial en operaciones a largo plazo, interés de los
empréstitos de grandes empresas industriales, etc.
1.3. Tipos de los mercados internacionales (para empresas con cotización
en los mercados internacionales): Prime rate norteamericano, LIBOR,
MIBOR, etc.
2) Tipo de rendimiento medio del sector al que pertenece la empresa:
La utilización de este tipo de interés ha sido criticada, puesto que si el
rendimiento del sector es reducido obtendremos un valor elevado de la empresa, y
viceversa.
3) Tipo de interés medio del país y del sector:
Como supone la utilización del tipo del sector ha recibido las mismas críticas
que aquél.
4) Tipo de rendimiento medio de las acciones:
A la utilización de este tipo se le hacen las siguientes críticas:
1. La cotización, en su caso, en bolsa tiene más en cuenta razones
políticas y de especulación que las características de la propia empresa.
2. La cotización no tiene totalmente presente la parte de beneficio no
distribuible, que sí aumenta el valor intrínseco de las acciones y de la
empresa.
3. El mercado bursátil sólo afecta a un número reducido de acciones de la
empresa; la mayoría de las acciones no son objeto de continua
transacción (Peumans: 1972; p. 265).
4. Cuanto menor sea el rendimiento de las acciones mayor será el valor
que obtendremos de la empresa.
5. El tipo de rendimiento de las acciones ya incluye el riesgo.
El tipo base empleado debe encontrarse, en nuestra opinión, en el grupo 1, es
decir, debe ser el tipo de interés de las operaciones a largo plazo sin riesgo debido a la
solvencia del deudor, puesto que es el más objetivo y el que menos problemas plantea.
5
B) Prima de riesgo.
Es importante sumar al tipo base la prima de riesgo, puesto que de no hacerlo
estaríamos sobrevalorando la empresa. Hay quienes, como la Unión Europea de
Expertos Contables o Peumans, consideran el riesgo en las rentas (beneficios,
dividendos o flujos de tesorería), disminuyendo el valor de las mismas. No obstante,
otros autores prefieren considerar el riesgo en la tasa de actualización.
En nuestra opinión, aunque el valor de la empresa resultante sea el mismo, no
parece coherente, desde un punto de vista metodológico, disminuir el valor de las rentas
futuras estimadas de forma objetiva y rigurosa por el hecho de no tener seguridad plena
de que tales rentas lleguen realmente a producirse, como hace el procedimiento de
Stuttgart (que consiste en reducir las rentas futuras estimadas en un 30 % para
compensar el riesgo), ya que la disminución de su valor no las hace más ciertas. Por
tanto, el riesgo debería incluirse en la tasa de actualización. Es totalmente lógico y
normal que, ante la incertidumbre y riesgo que rodean al futuro, el inversor exija a sus
proyectos una rentabilidad superior, siendo ésta la norma que opera en el mercado:
rentabilidad y riesgo varían de forma directamente proporcional.
Pero, además de la inseguridad de obtención de las rentas futuras, hay otros
riesgos que afectan a la inversión que no están contemplados en la reducción de las
rentas anuales y que, por tanto, deberían incluirse como una prima de riesgo. En
definitiva, los riesgos susceptibles de ser contemplados en esta prima adicional son los
siguientes:
1. Riesgo económico: la inseguridad en la obtención de las rentas futuras estimadas
(debido a incumplimiento de objetivos, evolución desfavorable de la demanda, etc.),
así como el riesgo de pérdida de capital inherente a toda inversión en una empresa.
2. Riesgo financiero: derivado de la estructura financiera de la empresa. A mayor nivel
de endeudamiento menor será el valor de la empresa, puesto que mayor será el
riesgo asumido (pequeños niveles de endeudamiento no disminuyen el valor de la
empresa, pero cuando la proporción entre recursos ajenos y propios es importante
dicho valor se verá afectado a la baja).
3. Riesgo de iliquidez: la inversión en aquellas empresas que no coticen en Bolsa será
mucho menos líquida que la inversión en empresas con cotización oficial. La
inversión en empresas, al igual que el resto de las inversiones, exigirá una
rentabilidad inversamente proporcional al nivel de liquidez. Si bien estamos de
acuerdo en contemplar este riesgo en la tasa de actualización aumentando la cuantía
6
de la misma, no compartimos la teoría manifestada por la U.E.C. (1962; pp. 60-61)
y seguida por otros autores, de aumentar la tasa base en un 50% para considerar el
hecho de que los capitales invertidos en una empresa no estén disponibles más que a
largo plazo. Será el
evaluador en cada caso concreto el que deba determinar el
porcentaje de incremento.
C) Efecto de la inflación.
La existencia de inflación hará que la rentabilidad exigida a la inversión sea
mayor, para compensar la pérdida de poder adquisitivo de la moneda.
Siendo k la tasa de actualización en épocas de estabilidad monetaria (tipo
deflactado), la tasa k’ que contemple el efecto de la inflación (tipo no deflactado),
llamando g al nivel general de inflación, será:
(1+k’) = (1+k)(1+g),
de donde:
k’ = g + k + kg.
Por tanto, si las rentas vienen expresadas en unidades monetarias corrientes la
actualización debe realizarse utilizando un tipo no deflactado, y si las rentas vienen
dadas en unidades monetarias constantes entonces la tasa de actualización debe ser un
tipo deflactado.
Como sabemos, la tasa de actualización k está compuesta por el tipo base, al que
designamos por b, más una prima r de riesgo:
k = b(1+r).
Hemos de tener especial cuidado en aplicar la prima de riesgo al tipo deflactado,
puesto que de hacerlo al tipo no deflactado estaríamos aplicando dicha prima también a
la inflación, con lo que elevaríamos de forma incorrecta la tasa de actualización
(Brilman y Maire: 1990; p. 154). Veámoslo:
a) Aplicamos r al tipo deflactado:
k= b(1+r),
k’ = g + k + kg;
por tanto:
k’ = g + b(1+r) + b(1+r)g,
k’ = g + b + br + bg + brg
b) Aplicamos r al tipo no deflactado:
k’ = b’(1+r),
b’ = g + b + bg;
7
por tanto:
k’ = (g + b + bg)(1+r’),
k’ = g + b + bg + gr + br + brg.
Vemos cómo la diferencia está en que en el segundo caso obtenemos un
sumando más (gr) que representa la aplicación del riesgo a la tasa de inflación.
Cuadro nº 1.
TASA DE ACTUALIZACIÓN
Valor objetivo: coste medio ponderado de capital del inversor.
Rentabilidad
mínima:
coste de capital
Rentabilidad
superior
Valor subjetivo: coste de capital coincidente con la rentabilidad
de las oportunidades de inversión.
Rentabilidad de las inversiones alternativas.
Tipo base:
- Tipo interés operaciones a largo plazo
sin riesgo:
Tipo base
- tipos básicos de interés;
- tipos mercados nacionales;
+
- tipos mercados internacionales.
- Tipo de rendimiento del sector de la
Prima de riesgo
empresa.
- Tipo de interés medio del sector y del
+
país.
- Tipo de rendimiento medio de las
Inflación
acciones.
Prima de riesgo (r):
- Riesgo económico
- Riesgo financiero.
- Riesgo de iliquidez.
Inflación: aplicar r al tipo deflactado.
Fuente: elaboración propia.
La existencia de inflación es previsible que afecte también a la variación
monetaria de las rentas. Si los ingresos y gastos se ven afectados de igual manera, a un
tipo f i, la actualización de la renta del año s será:
s
Re nta s ∏ ( 1 + f i )
i =1
s
.
∏ ( 1 + k'i )
i =1
Pero, si los ingresos (o cobros) se ven afectados a un tipo ci y los gastos (o
pagos) a un tipo pi, la actualización ahora será:
8
s
s
Ingresos s ∏ ( 1 + ci ) − Gastoss ∏ ( 1 + pi )
i=1
i=1
s
∏( 1 + k'i
.
)
i=1
Hasta aquí, hemos expuesto la forma más extendida de calcular la tasa de
actualización, sintetizada en el cuadro nº 1.
3. METODOLOGÍAS COMPLEMENTARIAS.
Como alternativa a la formulación clásica, que acabamos de analizar, y con la
finalidad de paliar las deficiencias y limitaciones que ésta presenta, han ido surgiendo
en la literatura especializada una serie de procedimientos, tal y como veremos a
continuación.
En primer lugar, podemos citar el procedimiento de Orefice (1992), que
clasifica las empresas en tres grupos, en función de la estabilidad de los bienes y
servicios ofertados por las mismas:
1. Empresas de bienes y servicios con demanda notablemente estable (petroleras,
eléctricas, siderúrgicas, etc.): la tasa de actualización media es del 7 %, variando
entre un 5 y un 9 %.
2. Empresas de bienes y servicios con demanda limitadamente estable (empresas de
seguros, transporte, comunicación, etc.): la tasa de actualización media es del 11 %,
variando entre un 7 y un 16 %.
3. Empresas de bienes y servicios con demanda inestable (empresas de informática,
electrónica, etc.): la tasa de actualización media es del 16,5 %, variando entre un 8 y
un 25 %.
Una vez asignada la empresa a una categoría se parte del tipo medio, que se
modifica en función de tres variables, para obtener la tasa final: condiciones externas
(de mercado y de ambiente), condiciones de conjunto (de producción y distribución) y
condiciones internas (de estructura y financieras).
Por otra parte, la previsión futura de la tasa de actualización puede realizarse
también mediante una extrapolación simple de los valores pasados, que puede ser:
a) Directa: consiste en una prolongación simple de la línea de tendencia pasada,
es decir, en un análisis aislado de la evolución temporal de la tasa de actualización. Sólo
puede utilizarse para períodos breves de tiempo en los que la evolución de la tasa sea
regular.
b) Indirecta o regresión: consiste en relacionar el valor de la tasa de
actualización con el comportamiento de otra u otras variables de tipo económico. La
regresión, a su vez, puede ser:
9
1. Simple. Cuando se considera una única variable explicativa:
k = f(x).
2. Simple escalonada. Cuando la variable explicativa se determina a su vez por
regresión, y así sucesivamente:
k = f1 ( x 1 )
x1 = f 2 ( x 2 )
...
x n −1 = f n ( x n )
3. Simple por componentes. Cuando la tasa de actualización viene determinada
por la suma de varios componentes (por ejemplo, tipo base más prima de riesgo), los
cuales se determinan por regresión:
n
k = ∑ ci
i=1
c1 = f 1 ( x1 )
...
cn = f n ( xn )
4. Regresión múltiple. Cuando se consideran múltiples variables explicativas:
k = f(x1 , x 2 ,..., x n ) .
Hasta ahora hemos tratado la tasa de actualización futura de forma determinista,
es decir, hemos considerado un único valor posible para la misma en cada período. Sin
embargo, dado que el futuro no es conocido, será más razonable formular varias
hipótesis posibles, que posteriormente reduciremos a una con ayuda del tratamiento
estadístico. En definitiva, se trata de considerar la tasa de actualización de cada año
como una variable aleatoria.
Cuando intentamos prever la tasa de actualización de los años próximos nos
encontramos siempre en un ambiente de incertidumbre. Esto quiere decir que tendremos
distintos valores posibles para cada ejercicio, pero no sabremos exactamente con qué
probabilidad se va a presentar cada uno de estos valores. Podemos solucionar el
problema de dos formas distintas:
§
asignando probabilidades de forma subjetiva;
§
asignando probabilidades de forma objetiva.
10
a) Probabilidades subjetivas.
En este caso, asignamos a cada posible valor de la tasa de actualización una
probabilidad de forma subjetiva, basándonos en la experiencia y en las expectativas
futuras. El valor finalmente elegido podrá ser:
* El valor con una probabilidad mayor: esta forma de proceder no es adecuada
desde un punto de vista racional, puesto que se desprecia la forma de la distribución de
probabilidad, de modo que si ésta es asimétrica la posibilidad de que el valor real futuro
difiera del más probable no es mínima.
* La esperanza matemática de los distintos valores: ésta sería la forma correcta
de actuar racionalmente, puesto que la esperanza matemática es el valor para el cual el
conjunto de todas las desviaciones posibles es mínimo. Si llamamos k i a la tasa de
actualización del período i, el factor de descuento Fi correspondiente será igual a:
Fi =
1
.
1 + ki
Teniendo en cuenta que k i puede tomar los valores k i,1, k i,2, ..., k i,m con
probabilidades respectivas pi,1, pi,2, ..., pi,m , el factor de descuento Fi será una variable
aleatoria de media:
Fi = E[Fi ] =
m
1
∑ 1+ k
j =1
pi , j ,
i, j
y varianza:
2
 1

σ 2 [Fi ] = ∑ 
− Fi  pi , j .


j =1 1 + k i , j

m
Si consideramos, como es lógico, que las rentas futuras previstas son también
variables aleatorias, el valor de rendimiento esperado será igual a:
n
i
i =1
j =1
VR = R1 F1 + R2 F1 F2 + ... + Rn F1 ...Fn = ∑ Ri ∏ F j ,
donde, tanto Ri como Fi son variables aleatorias, de media y varianza conocidas,
supuestamente independientes entre sí. En particular, si consideramos también el
criterio de la esperanza matemática para las rentas, tendremos que:
Ri = E[Ri ] =
k
∑ Ri , j pi , j
j =1
y σ 2 [Ri ] =
∑ (R i , j − R i )
k
j =1
2
pi , j .
En consecuencia, el valor de rendimiento será, asimismo, una variable aleatoria
de la que interesará conocer, no sólo su valor esperado sino, también su varianza, ya que
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ésta nos proporciona una medida de la dispersión del valor de la empresa obtenido, que
nos llevaría a tomarlo con prudencia en el caso de encontrarnos con una desviación
grande.
Si expresamos el valor de rendimiento como:
VR = F1 [R1 + F2 [R2 + F3 [R3 + ... + Fn −1 [Rn −1 + Fn Rn ]...]]] ,
y llamamos Vn = Rn , podemos decir que:
Vi-1 = Ri−1 + FiVi , i = 1, 2, ..., n,
siendo R0 = 0. Esto es, calculamos el valor de rendimiento de forma recurrente de atrás
hacia delante, siendo finalmente V0 = VR.
De este modo, podemos obtener la esperanza matemática y la varianza del valor
de rendimiento, considerando que:
E[Vi-1 ] = E [Ri −1 ] + E [Fi ]E[Vi ]
dada la independencia entre las variables aleatorias, y:
σ 2 [Vi −1 ] = σ 2 [Ri −1 ] + E 2 [Fi ]σ 2 [Vi ] + σ 2 [Fi ]E 2 [Vi ] + σ 2 [Fi ]σ 2 [Vi ] ,
siendo:
E[R0 ] = σ 2 [R0 ] = 0 ,
donde, evidentemente, E[V0 ] = E[VR ] y σ 2 [V0 ] = σ 2 [VR].
b) Probabilidades objetivas.
Cuando el evaluador no pueda asignar probabilidades subjetivas razonables a
cada uno de los posibles resultados de cada año, siguiendo el principio de indiferencia,
los considerará equiprobables. Este procedimiento ha sido criticado, puesto que no es
muy lógico que ante la imposibilidad de asignar probabilidades a los diferentes valores
los consideremos todos ellos verosímiles por igual. Es más, cuantos más beneficios
posibles tengamos la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos disminuye.
No obstante, en este caso de incertidumbre objetiva, cuando no conocemos las
probabilidades de cada valor, también existen formas científicas de actuar, como son el
criterio de Wald, el de Hurwicz, el de Savage, etc. Ahora bien, en todos estos criterios
se llega a resultados distintos, lo que hace que nos tengamos que enfrentar a un nuevo
problema: elegir el criterio a utilizar.
Hay que señalar que algunos autores (Suárez: 1993, p. 124) consideran que esta
situación de incertidumbre no se va a dar en la práctica de la valoración de empresas,
puesto que si bien es cierto que el perito no va a conocer con exactitud las
12
probabilidades de ocurrencia de cada valor, no es menos cierto que sí tendrá una idea
subjetiva de cuáles serán aquéllos que se presentarán con una probabilidad mayor y
menor, de modo que siempre estará en situación de asignar a cada uno de ellos una
probabilidad subjetiva. De este modo pasaremos al punto anterior, donde la tasa de
actualización finalmente elegida para el período será la esperanza matemática de todas
las posibles.
Asimismo, podemos encontrarnos en una situación intermedia, en la que
conociendo, para cada uno de los períodos, sólo algunos de los posibles valores y las
distribuciones de probabilidad seguidas tanto por la tasa de actualización como por las
rentas, obtendremos la media a emplear y una medida de su dispersión a través de la
varianza. Por ejemplo, partiendo de los valores extremos (pesimista y optimista) puede
emplearse la distribución uniforme, en cuyo caso:
§
Para la renta, siendo Rio la mayor renta prevista y Rip la menor:
Rio + Rip
E[Ri ] =
2
σ
§
2
(R
(R ) =
o
i
i
− Rip
12
)
2
.
Para el factor de descuento (Pérez: 1997; p. 116), siendo k io la menor tasa
de actualización prevista y k ip la mayor:
E[Fi ] =
σ 2 [Fi ] =
 1 + kip
1

ln
k ip − k io  1 + k io
(
1 + k io




1
− E 2 [Fi ] .
p
1 + ki
)(
)
Si, además, se conoce el valor más probable, puede utilizarse la distribución
triangular, siendo:
§
Para la renta:
E[Ri ] =
σ
2
(R
(R )=
i
o
i
− Rip
Rio + Rim + Rip
2
) − (R
2
)(
− Rip Rio − Rim
m
i
18
donde Rim es el valor de la renta más probable.
§
Para el factor de descuento (Pérez: 1997; p. 117):
13
),
E[Fi ] =
σ 2 [Fi ] =
2
k ip − k io
2
p
k i − k io
 k ip + 1  1 + k ip
ln
 p
m
m
 k i + k i  1 + ki
 1
 1 + k im

ln
 m
o
 1+ k o
k
−
k
i

i
 i
 k io + 1  1 + k im
−

 k m − k o ln  1 + k o
 i
i

i

 1 + k ip
1
−

ln
 k p − km 1+ km

i
i

i



 

 - E 2 [Fi ] ,


donde k im es el valor de la tasa de actualización prevista más probable.
También es posible usar otras distribuciones como, por ejemplo, la distribución
beta simplificada (que pondera el valor más probable cuatro veces más que los otros dos
valores), la distribución beta generalizada, etc.
Combinando las dos metologías anteriores (técnicas de regresión y métodos
reductivos) obtenemos una forma mixta (Jaensch: 1969, pp. 81-83) para determinar la
tasa de actualización razonable futura. Según este método, a partir de los datos sobre el
pasado, mediante un análisis de regresión (fundamentalmente por componentes y
múltiple) se determinará la relación funcional existente entre k y una serie de variables
explicativas. Serán los valores futuros de estas variables explicativas los que el
evaluador tendrá que prever, recurriendo para ello a las técnicas de reducción.
4. CONTRIBUCIÓN DE LOS MODELOS FINANCIEROS CAPM Y APT A LA
DETERMINACIÓN DE LA TASA DE ACTUALIZACIÓN.
Las premisas en las que se basa el Capital Asset Pricing Model (CAPM) o
Modelo de Valoración de Activos Financieros son las siguientes:
1. Mercado eficiente y perfecto, es decir, toda la información disponible es descontada
inmediatamente en el mercado y conocida por todos los participantes en el mismo, y
ningún inversor individual puede influir sobre los precios de equilibrio.
2. Puesto que todos los inversores poseen la misma información tendrán iguales
expectativas en cuanto al rendimiento y riesgo de los activos negociados.
3. Conducta racional de los inversores: tratarán de maximizar los rendimientos y
minimizar el riesgo.
4. Los costes de transacción y los impuestos son iguales para todos los inversores, por
lo que pueden despreciarse. Así pues, se ignora su influencia sobre las políticas de
inversión.
5. Existencia de un activo libre de riesgo sobre el que se puede pedir prestado o prestar
cualquier cantidad de dinero que el inversor desee.
Cumpliendo estas hipótesis nos situamos en las condiciones del modelo de
Markowitz. Es cierto que el mundo real dista de esta idealización, pero los resultados
obtenidos al relajar las premisas de base han generado modelos más complicados cuya
capacidad explicativa de la realidad no aumentaba de forma significativa (Rosenberg:
1991, pp. 52-65). Todo modelo económico requiere para su formulación una
14
simplificación de la realidad, siendo lo importante del mismo su validez explicativa y
predictiva.
Un sujeto económico podrá invertir, durante un período t, todo su presupuesto en
un activo sin riesgo, que le proporcionará una rentabilidad rt. Pero también puede
invertir en activos con riesgo o en una cartera mixta, en cuyo caso exigirá una
rentabilidad superior suficiente como para compensar el riesgo asumido. Supuesta la
inversión en la cartera del mercado, a la diferencia entre la rentabilidad exigida Rm,t y la
rentabilidad libre de riesgo rt se le denomina prima por riesgo del mercado. En general,
para cualquier título individual o cartera i:
Ri,t = rt + βi,t (Rm,t - rt),
donde βi,t (Rm,t - rt) representa la prima por riesgo, estando éste determinado, en
definitiva, por el coeficiente beta, puesto que tanto rt como Rm,t son comunes para
cualquier inversión. Este es el llamado modelo CAPM, desarrollado inicialmente por
Sharpe (1964; pp. 425-442), pero después estudiado también por otros autores, como
Lintner (1965a; pp. 13-37 y 1965b; pp. 587-615), Fama (1968; pp. 29-40) y Mossin
(1966; pp. 768-783).
El coeficiente beta de la inversión i, en el período t, también denominado
coeficiente de volatilidad, se define como:
βi,t =
cov( Ri ,t , Rm ,t )
σ m2 ,t
,
donde i puede ser un activo individual o una cartera.
Si medimos el riesgo global de un activo a través de su varianza:
σi,2t = βi2,t σm2 ,t + σe2,t ,
vemos cómo el riesgo sistemático depende de beta. Además, podemos comprobar en la
expresión de Ri,t que éste es el único que efectivamente se remunera, pues es el que no
podemos eliminar mediante la diversificación.
El principal problema que se plantea en el modelo CAPM es la estimación del
parámetro beta. No hay una única forma de calcular su valor, ni siquiera podemos decir
que haya un método de aceptación preponderante. Vamos a exponer los dos caminos
más sencillos para estimarla (Fernández y García: 1992; pp. 267-270):
a) Mediante regresión lineal simple, a partir de los datos históricos de Ri,t y de
Rm,t:
Ri,t = αi,t + βi,t Rm,t + ei,t.
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Una vez obtenidos los valores de αi,t y βi,t, a partir de los datos futuros de Rm,t,
podremos saber el rendimiento esperado para el activo Ri,t.
b) A través de una relación lineal econométrica (regresión múltiple) del tipo:
βi = a0 + a1 x 1 + a2 x 2 + ... + an x n + ei,
siendo las x i las distintas variables que afectan a la determinación de beta.
Ambos métodos tienen el inconveniente de que pueden arrojar resultados
distintos, en función del horizonte temporal que se elija para la serie de datos histórica y
para el/los índice/s que se considere/n como representativo/s del mercado. Podemos
decir que cuanto mayor sea el horizonte la predicción será mejor, debido a que los
errores a corto plazo de signo opuesto se compensan. Igualmente, cuando se trata de
predecir la beta de una cartera los resultados obtenidos serán más fiables que cuando la
predicción se refiere a un activo individualizado, debido a que los errores de los
diversos títulos también se contrarrestan (Harrington: 1992, p. 12).
Otro inconveniente que presentan estos procedimientos es que presuponen la
estabilidad en el tiempo de las relaciones que en ellos se especifican. No obstante, esto
puede resolverse, en parte, reajustando periódicamente las estimaciones.
En conclusión, sólo si el futuro no supone un cambio brusco de las relaciones
habidas en el pasado y si se elige un horizonte temporal suficientemente amplio
podemos contar con estimaciones fiables de la beta.
Se han hecho multitud de estudios sobre la validez empírica del CAPM. Los
resultados obtenidos no han sido todo lo satisfactorios que hubiese sido deseable, siendo
la explicación más probable de esta divergencia entre previsiones y realidad la
ineficiencia de los mercados en la práctica (recuérdese que el CAPM parte de la
hipótesis de mercados eficientes). Sin embargo, los contrastes han venido a confirmar
las afirmaciones más importantes del CAPM (Rosenberg: 1991, p. 57 y Mullins: 1983,
pp. 100-110):
1. El rendimiento de un índice de mercado explica una parte importante del
rendimiento de un activo individual o de una cartera.
2. Existe una relación directa entre el rendimiento y el riesgo, que viene dada por el
coeficiente beta, indicador del riesgo sistemático. La introducción de otros factores
representativos del riesgo específico no mejora la explicación de la relación
rendimiento-riesgo.
3. La relación anterior es de tipo lineal, tal y como muestra la teoría del CAPM (la
rentabilidad del título depende linealmente del coeficiente beta).
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La teoría de valoración de activos financieros, que acabamos de examinar
brevemente, puede utilizarse tanto para la valoración de la empresa considerada en su
conjunto, como de una parte de la misma.
Sabemos que el tipo de actualización debe ser el rendimiento mínimo exigido a
la inversión, que normalmente se identificará con el coste de capital. Si deseamos
calcular el valor global de la empresa, es decir, el valor de ésta para el conjunto de
inversores, la tasa de descuento debe ser el coste medio ponderado de los recursos
propios y ajenos, utilizando como factores de ponderación los pesos de cada fuente
financiera esperados para el futuro; por el contrario, si lo que buscamos es el valor de la
empresa para sus propietarios, entonces el coste de capital a emplear debe ser solamente
el de los capitales propios.
El coste de los recursos ajenos es relativamente fácil de obtener. La dificultad se
plantea, por tanto, en la determinación del coste de los recursos propios.
Si al realizar una inversión la empresa obtiene una rentabilidad igual al coste de
capital necesario para su financiación, el valor de mercado de sus acciones no variará.
Así pues, teniendo en cuenta que el coste del capital propio es la tasa de rentabilidad de
las acciones que hace que su valor de mercado no se altere, podemos elegir como coste
de capital la rentabilidad esperada por los accionistas que nos ofrece el modelo CAPM:
E(Ri,t) = rt + βi,t [E(Rm,t) - rt],
que es, en definitiva, la suma de la tasa de interés libre de riesgo y de una prima de
interés por riesgo, que compensa el riesgo sistemático a que se ve sometida la corriente
futura de rentas (básicamente dividendos). Cuanto mayor sea el riesgo no diversificable
mayor será la rentabilidad requerida y, por tanto, menor el valor de la empresa o de la
acción buscado, es decir, conforme más elevado sea el coeficiente beta, más pequeño
será el valor del activo (empresa o título).
Para determinar el coste del capital propio que nos permita actualizar los flujos
de renta es preciso estimar previamente los valores futuros de la tasa de interés libre de
riesgo, del rendimiento esperado del mercado y de la beta. Como para estimar tales
parámetros, además de basarnos en los datos históricos, hemos de realizar pronósticos
sobre su comportamiento futuro, es interesante desarrollar un análisis de sensibilidad,
utilizando varias cifras, y de este modo obtener un intervalo donde poder localizar el
valor de la empresa o de una parte de la misma.
Posteriormente al CAPM surge otro modelo denominado Arbitrage Pricing
Theory (APT) o Teoría de Valoración por Arbitraje, propuesto inicialmente por Ross
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(1976; pp. 341-360) y desarrollado más tarde por otros autores, en especial por Roll
(1980; pp. 1073-1103).
Al igual que el CAPM, supone que los activos son valorados a través del
binomino rentabilidad-riesgo y que los inversores tienen una conducta racional, así
como unas expectativas homogéneas. Asimismo, el objetivo principal es encontrar la
prima por riesgo que, sumada al interés libre de riesgo, nos dé la rentabilidad exigida
por los inversores:
Ri,t = rt + r'.
Supone también que el único riesgo que debe ser remunerado es el sistemático,
pero difiere del modelo anterior en la forma de calcular la prima:
- para el CAPM el rendimiento del activo es función directa del nivel de un
índice de mercado (especialmente la rentabilidad del mercado) y la relación entre ambos
se mide a través del coeficiente de sensibilidad beta;
- según el APT el riesgo no diversificable y, en consecuencia, el rendimiento del
activo van a depender de múltiples factores y no de una sola variable. Aunque se
reconoce que pueden ser muchas las variables que influyen en la variabilidad de los
rendimientos de los títulos, se restringe el modelo a sólo unos pocos factores (los más
representativos en cada caso, es decir, los que explican la mayor proporción de las
variaciones).
Esto nos lleva a descubrir otra diferencia entre el CAPM y la APT: la relación
entre las rentabilidades de los activos. El primer modelo admite la correlación entre
dichos rendimientos, pero no explica los motivos de la misma. La APT, sin embargo, sí
lo justifica, indicando que tal correlación tiene lugar cuando los rendimientos de los
títulos se ven afectados por los mismos factores.
Otro punto de divergencia entre los dos modelos es que una de las hipótesis de
partida del CAPM, la eficiencia del mercado (todos los inversores conocen toda la
información y ésta es descontada inmediatamente en el mercado), no es necesaria en el
modelo APT, el cual sólo requiere que en equilibrio no sea posible obtener ganancias
extraordinarias mediante el arbitraje. Así pues, según esta teoría los activos deben
negociarse a un único precio, pues de lo contrario comenzaría a funcionar el arbitraje,
para aprovechar esos beneficios, hasta llegar al precio común.
La APT establece que la rentabilidad de un activo i, durante un período t, será la
suma de la parte esperada de rentabilidad (Ei,t), más la parte no esperada (Ai,t):
Ri,t = Ei,t + Ai,t.
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Ei,t dependerá de los acontecimientos anticipados, que serán descontados en el
precio de mercado del activo. Ai,t, por su parte, vendrá dada por los acontecimientos no
anticipados, es decir, por acontecimientos imprevistos cuya dimensión no conoce el
sujeto inversor, aunque sí podrá estimar la sensibilidad de la rentabilidad del activo a la
sucesión de los mismos.
La rentabilidad imprevista constituye el riesgo de la inversión, el cual puede
descomponerse en dos partes:
1. Riesgo sistemático (Si,t): es el riesgo derivado de acontecimientos que afectan a la
totalidad, o a un gran número de activos.
2. Riesgo no sistemático, llamado también idiosincrático (ei,t): es aquél que se produce
por una serie de factores que inciden sobre el activo individual o sobre un número
reducido de activos. Se postula que E(ei,t) = 0, así como que ei,t es independiente de
ej,t, es decir, cov(ei,t,ej,t) = 0, lo cual no quiere decir nada para que los riesgos
sistemáticos de dos títulos puedan estar relacionados.
Por tanto:
Ri,t = Ei,t + Si,t + ei,t.
El riesgo sistemático Si,t puede estar determinado por un determinado número k
de factores, de modo que:
Ri,t = Ei,t + β1,i,t F1,t + β2,i,t F2,t + ... + βk,i,t Fk,t + ei,t,
donde:
- Fk,t es la cuantía del cambio no anticipado del factor k en el período t, es decir,
la variación del factor k en el período t con respecto a su cuantía esperada; y
-
βk,i,t es la sensibilidad del rendimiento del activo i, durante el período t, a la
variación del factor k.
La relación entre los rendimientos de dos activos viene dada por su covarianza:
cov i, j,t = β1,i ,t β1, j ,t σ 2F1 ,t + ... + βk ,i ,t βk , j ,t σF2k ,t ,
que depende, como puede observarse, exclusivamente del riesgo sistemático de los
títulos.
Este modelo se denomina modelo de factor k. En el caso de ser k = 1 es
conocido como modelo de mercado.
Si en el período t resulta ser Fk,t = 0 para todo valor de k, entonces la
rentabilidad del activo coincidirá con la esperada (obviando el riesgo idiosincrático).
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En los estudios empíricos realizados inicialmente Roll y Ross (1992; p. 35)
encontraron como principales determinantes los cuatro factores siguientes:
1. Cambios no anticipados en la inflación.
2. Cambios no anticipados en la producción industrial.
3. Cambios no anticipados en las primas de riesgo, medidas por la diferencia entre los
bonos de clasificación alta y baja.
4. Cambios no anticipados en la pendiente de la estructura de plazos de los tipos de
interés.
Ahora bien, estos factores son variables en el espacio y en el tiempo, por lo que
periódicamente y en cada zona habrá que volver a estimarlos. La metodología a emplear
para su determinación es el análisis factorial aplicado sobre las series de rentabilidades
históricas. También es importante destacar la dificultad, no ya solamente de detectarlos
sino de calcular la sensibilidad de la rentabilidad de los activos a los cambios no
anticipados de los mismos, pues hay que tener presente que los cambios anticipados ya
han sido descontados en la rentabilidad esperada, y la separación entre ambos es difícil.
Cuando la inversión no es un activo individual sino una cartera, la rentabilidad
de la misma será la media ponderada de las rentabilidades de los activos que los activos
que la componen:
m
m
m k
m
i =1
i =1
i =1 s =1
i=1
Rc,t = ∑ x i ,t Ri ,t = ∑ xi ,t Ei ,t + ∑ ∑ xi ,t βs ,i ,t Fs ,t + ∑ x i ,t ei ,t ,
donde x i,t es la proporción del título i en el total de la cartera durante el período t.
Al igual que cuando se trata de un título individual, el segundo sumando recoge
el riesgo sistemático y el tercer sumando el riesgo idiosincrático. Este último desaparece
con la diversificación de la cartera, dado que los riesgos asistemáticos de los diversos
activos son independientes entre sí, por lo que al ir añadiendo títulos el riesgo irá
diluyéndose. Por el contrario, el riesgo sistemático no desaparece al diversificar la
cartera, puesto que éste depende de los factores Fk y éstos no se ven alterados con la
adición de nuevos activos (Ross, Westerfield y Jaffe: 1995; p. 340).
Teniendo en cuenta la hipótesis de precio único, de modo que la oportunidad de
obtener beneficios adicionales mediante el arbitraje sea nula, se llega a la conclusión de
que en equilibrio el rendimiento esperado de un activo está relacionado de forma directa
con la sensibilidad de dicho activo a los cambios no anticipados de los factores
determinantes :
Ei,t = rt + (E 1,t - rt) β1,i,t + ... + (E k,t - rt) βk,i,t ,
donde:
- Ei,t es el rendimiento esperado del activo i en el período t;
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- rt es el tipo de interés sin riesgo del período t;
- Ek,t es el rendimiento esperado del factor k en el período t;
- Ek,t - rt es el precio de mercado del riesgo del factor k en el período t; y
- βk,i,t es la sensibilidad del rendimiento del activo i al factor k, en el período t.
Es fácil observar cómo el modelo APT es más general que el CAPM. Este
último puede considerarse como un caso particular del primero: el APT de un solo
factor, siendo dicho factor la rentabilidad del mercado. No obstante, no hay que olvidar
que aunque al final ambos lleven a la misma formulación, para este caso particular, el
camino seguido ha sido diferente. El APT se basa en hipótesis menos restrictivas que el
CAPM y, por tanto, es más fácil identificarlo en la práctica, al menos teóricamente.
Puede ocurrir que las sensibilidades de la rentabilidad de un activo a los distintos
factores se equilibren, de modo que la sensibilidad a un único índice de mercado sea tan
representativa como el modelo multifactorial. Lo mismo sucedería si los cambios no
anticipados de los factores tuviesen una alta correlación entre sí. En ambos casos el
CAPM sería más que suficiente para explicar la rentabilidad de los activos, no siendo
necesario utilizar la modelización del APT (Bower, Bower y Logue: 1992, p. 24).
Un análisis llevado a cabo en este sentido fue el realizado por la Universidad de
Deusto, bajo la dirección del profesor Gómez Bezares (1990; pp. 53-67), sobre los 24
valores más importantes de la Bolsa de Bilbao en el período 1980-1987. En dicho
estudio se concluyó que no tenía sentido sustituir el CAPM por el APT, debido a que
sólo había un factor, con rentabilidad similar al mercado, con gran capacidad
explicativa; el resto de factores tenían poco poder de predicción.
Las principales críticas que sufre el APT son:
1. El número de factores explicativos aumenta con el tamaño de la muestra; y
2. No se basa en un modelo económico serio, sino exclusivamente en el análisis
empírico.
Además, es evidente que estudios puntuales no invalidan ninguna teoría, puesto
que si bien es cierto que el APT no ha podido confirmarse plenamente y en todo caso en
la práctica, otro tanto le ocurre al CAPM. Esto no es motivo para pensar que ambas
teorías no son válidas, sino que el problema está en aproximar las hipótesis de base a la
realidad y en perfeccionar y desarrollar aquellos aspectos que lo requieran. De hecho,
los analistas bursátiles e inversores utilizan ampliamente estos modelos a la hora de
tomar decisiones.
Por lo que respecta a la aplicación que tiene la teoría APT a la valoración de
empresas y partes de empresas, hay que señalar que, al igual que ocurría con el CAPM,
la rentabilidad esperada Ei,t puede ser utilizada como tasa de actualización.
21
5. CONCLUSIONES.
La tasa de actualización que nos permite proceder a la homogeneización
temporal de las rentas esperadas de la empresa (o parte de la misma) para obtener el
valor de ésta, ha sido considerada tradicionalmente de forma determinista como coste de
capital o como suma de un tipo base más una prima de riesgo. Ahora bien, dado que los
valores de la tasa que necesitamos corresponden al futuro, su previsión puede llevarse a
cabo mediante una extrapolación simple directa de los valores pasados o mediante un
análisis de regresión, cuya complejidad será el experto el que deba decidir en cada caso.
Sin embargo, debido a la incertidumbre que supone el futuro, sería más
conveniente considerar la tasa de forma estocástica, en cuyo caso asignaremos las
correspondientes probabilidades generalmente de forma subjetiva, aunque también cabe
la posibilidad de emplear métodos objetivos, en este caso, el uso de distribuciones de
probabilidad conocidas puede ayudarnos a resolver el problema.
Todas estas vías para obtener la tasa de actualización tienen en común una fuerte
dependencia de los criterios personales del evaluador. El CAPM viene a paliar en parte
este problema, puesto que nos permite obtener una cuantía para la tasa de actualización
más objetiva, a través de la rentabilidad esperada del capital propio, que es obtenida en
base a datos históricos sobre las rentabilidades de los activos y del mercado.
Posteriormente al CAPM surge otro modelo denominado APT, cuya aplicación
práctica para nosotros es la misma, desde un punto de vista formal se entiende, que el
primero. La diferencia básica entre estas dos teorías es que mientras que el CAPM
relaciona la rentabilidad del activo con un único índice de mercado, la APT considera
varias las causas determinantes. Éstas habrán de ser halladas en cada caso a través del
análisis factorial.
Es evidente que, si bien los valores de la tasa de actualización obtenidos a través
de los distintos procedimientos no van a ser coincidentes, no obstante no deben ser muy
dispares. Recordemos a este respecto que, para nuestro fin, una pequeña variación en la
tasa de actualización puede dar lugar a una gran diferencia en el valor de la empresa
obtenido. En este sentido, hemos de evocar la precaución que debe guiar al evaluador:
será conveniente, en la medida de lo posible, complementar los resultados obtenidos por
los distintos métodos.
6. BIBLIOGRAFÍA.
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