Unidad 6 Cálculo de máximos y mínimos

Unidad 6
Cálculo de máximos
y mínimos
Objetivos
Al terminar la unidad, el alumno:
Utilizará la derivada para decidir cuándo una función es creciente
o decreciente.
Usará la derivada para calcular los extremos locales de una función.
Empleará la primera y segunda derivada para estudiar la concavidad
locales de una función.
Usará los conceptos de extremos locales, así como de concavidad para
resolver problemas en economía y en administración.
2
Matemáticas
Introducción
E
l problema fundamental asociado al uso de funciones para modelar
problemas económicos consiste en calcular los valores de la variable
independiente para los cuales la función toma un valor que se puede
considerar máximo o mínimo de la función en cierto contexto. Se resuelve este
problema de optimización con el uso de la derivada de la función.
En esta unidad se desarrollan criterios basados en la primera y segunda
se estudian otros criterios que permiten determinar los intervalos donde la
función crece, o decrece, su tipo de concavidad y los puntos donde la concavidad
cambia, aspectos que son importantes para conocer el comportamiento de la
función en su dominio.
6.1. Funciones crecientes y decrecientes
algunos valores de las variables x y y, que después se representan en un sistema
la función. Este método puede llevar a cometer algunos errores.
Por ej empl o, los puntos (–1,0), (0,–1) y (1,0) son puntos de l a función
y = (x+ 1) 3(x–1). Con base en estos puntos se podría tentati vamente
conclui r que la gráfi ca ti ene l a forma mostrada en l a fi gura 1b, pero de
hecho, l a forma verdadera es la mostrada en l a fi gura 1a.
233
1a.
1b.
Figura 6.1. Ambas curvas pasan por los puntos (–1,0), (0,–1) y (1,0).
Unidad
6
cuando se mira de izquierda a derecha, es decir, hasta qué punto la función
decrece para comenzar a crecer, o sea, “ ir hacia arriba” . La derivada de la función
suministra información en este sentido.
y = f (x
Obsérvese que conforme x aumenta (de izquierda a derecha) en el intervalo I 1
entre a y b, los valores de y = f (x) también aumentan y la curva se levanta.
x1 y x2 son dos puntos
cualquiera en I 1, tales que x1 < x2, entonces f (x1) < f (x2) y se dice que f es
creciente en el intervalo I 1.
Al contrario, en el intervalo I 2, comprendido entre c y d, los valores de y
decrecen a medida que x crece. Es decir, si x3 < x4, entonces f (x3) > f (x4) y se
dice que f es decreciente en I 2.
y
y = f (x)
x
a
x x
I1
f creciente
b c
x
x d
I2
f decreciente
Figura 6.2. Naturaleza creciente o decreciente de una función.
En general se tiene que:
234
Una función es creciente en el intervalo I si para dos números x1, x2
cualesquiera en I, tales que x1< x2, se tiene que f (x1) < f (x2).
Una función es decreciente en el intervalo I si para dos números x1, x2
cualesquiera en I, tales que x1< x2, se tiene que f (x1) > f (x2).
x crece, y
x aumenta.
2
Matemáticas
y 18x
Decreciente
Creciente
2 3
x
3
Decreciente
2
Figura 6.3. Naturaleza creciente y decreciente de y = 18x – x3.
3
crece y en dónde decrece, pero si sólo se tiene su expresión algebraica y lo
que se quiere es precisamente saber en qué intervalos crece y en qué intervalos
el de la primera derivada.
del intervalo donde la función está creciendo y en otro donde la función está
decreciendo, se puede ver que en el punto donde la curva está creciendo el
ángulo que forma la recta tangente con el eje x es un ángulo agudo, lo que hace
que la tangente de este ángulo sea positiva y por lo tanto la pendiente de la
recta tangente también sea positiva.
Al contrario, en el punto donde la curva decrece, la recta tangente forma
un ángulo obtuso con el eje positivo de las x y por lo tanto la pendiente de
esta recta es negativa.
235
Figura 6.4a. f crece en x = c
Figura 6.4b. f decrece en x = c
Unidad
6
Como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es precisamente
la derivada de la función en ese punto, se tiene el siguiente criterio:
Criterio de la primera derivada para localizar intervalos donde la
función crece o decrece.
Si f ( x) 0 para a x b, entonces f es creciente en a x b
Si f ( x) 0 para a x b, entonces f es decreciente en a x b (1)
Si f (x) = 0 para a < x < b, entonces f es constante en a < x < b
Ejemplo 1
Aplicando el criterio de la primera derivada (1) ¿cuáles son los intervalos
donde la función f(x) = x2 crece, y cuáles donde decrece?
Solución: como la derivada de la función es f (x) = 2x se resuelven las
desigualdades:
(i ) 2x 0
x 0
(ii ) 2x 0
x 0
x mayores
que 0.
Por (ii) afirmamos que la función decrece para todos los valores de x
menores que 0.
que es precisamente una parábola.
236
Figura 6.5.
y = x2
2
Matemáticas
Observemos que cuando x = 0 la parábola ni crece ni decrece. A la izquierda
de 0 la función viene decreciendo y a la derecha la función crece.
Ejemplo 2
¿Dónde crece y dónde decrece la función y 18x
2 3
x ?
3
Solución: siguiendo el criterio (1) derivamos la función y = 18 –2x2 e
igualamos a cero.
18 – 2x2 = 0
x2 = 9
donde las soluciones son:
x = 3 y x = –3
Marcamos estos valores sobre un segmento de recta
–3
3
Tomamos un valor antes de –3, entre –3 y 3 y después de 3 evaluando
la primera derivada.
f (–4) = 18 – 2(–4)2 = –14 como f < 0 la función es decreciente en (– , –3)
f (0) = 18 – 2(0)2 = 18 como f > 0 la función es creciente en (–3, 3)
f (4) = 18 – 2(4)2 = –14 como f < 0 la función es decreciente en (3, ). La
Ejercicio 1
decreciente o constante) en cada uno de los intervalos señalados.
1.
y
237
x
x
x
x
x
x
x
x
Unidad
6
y
2.
1
x
3
En los ejercicios 3 a 7 halla los intervalos donde la función dada es creciente
o decreciente.
3 2
3
3. f ( x) x
x
2
4. f ( x)
5. f ( x)
2x3 3x2
x2 5
1 4
x x2
2
7. f (x) = x4 – 8x2
6. f ( x)
8. Una empresa ha identificado que su ingreso mensual en pesos está
dado por:
I(x) = 100x – x2 pesos.
Determi na l os i nterval os donde l a funci ón i ngreso es creci ente o
decreciente.
9. La utilidad de una fábrica por la producción y venta de x unidades de
cierto artículo ha sido determinada por:
U(x) = 80x – x2 – 500 pesos.
Encuentra los intervalos donde la función de utilidad es creciente y los
intervalos donde es decreciente.
238
10. Una compañía de discos estima que el costo total semanal de producción
de x discos es:
C(x) = 350 + 20x pesos.
Señala los intervalos donde la función de costo total es creciente y el
intervalo donde es decreciente.
2
Matemáticas
6.2. Criterio de la primera derivada para
obtener extremos locales
compleja que muestra algunas de las cosas que se deben conocer para poder
(x5, f(x5))
f(x)
(x3, f(x3))
(x1, f(x1))
(x4, f(x4))
(x2, f(x2))
x
x
x
x
x
x
Figura 6.6.
Los máximos y mínimos locales o relativos se denominan extremos locales
o extremos relativos de la función. Un máximo local o relativo en una función
se presenta en un punto que es más alto que cualquier otro que esté cerca. Un
mínimo local o relativo en una función se presenta en un punto que es más bajo
que cualquier otro punto cercano.
x1, f (x1)) y (x3, f (x3))
un mínimo relativo en el punto (x4, f (x4)).
máximo absoluto o el mínimo absoluto de una función en un
intervalo como el valor más grande o más pequeño de la función en ese intervalo,
resulta que los extremos locales no siempre coinciden con estos valores. Por
de la función se da en el punto (x5, f (x5)), en tanto que su mínimo absoluto
se da en (x2, f (x2)).
Los extremos locales de una función se conocen cuando sabemos los
intervalos donde la función crece o decrece, porque los máximos relativos, tal
239
Unidad
6
crecer y empieza a decrecer, y los mínimos relativos se dan en los puntos donde
la función deja de decrecer y empieza a crecer.
Se sabe que una función es creciente cuando su primera derivada es positiva
y es decreciente cuando la primera derivada es negativa, por lo tanto los únicos
puntos donde la función puede tener extremos locales son aquellos donde la
derivada es cero (si existe).
Un valor c, en el dominio de f, se llama valor crítico si f (c) = 0
o f (c) no existe.
El punto (c, f (c)), que corresponde a un valor crítico, se denomina
punto crítico.
Por lo tanto, si la función tiene extremos locales, éstos se dan en los valores
críticos. Por consiguiente, para determinar los extremos locales de una función
basta conocer los valores críticos e interpretar el signo de la derivada antes y
después del valor crítico. Concretamente, se tiene el siguiente algoritmo para
localizar los extremos relativos de una función:
Algoritmo para hallar los extremos locales (criterio de la 1a derivada):
240
1. Se calcula la derivada de la función.
2. Se encuentran los valores críti cos resolvi endo la ecuación f (x) = 0
o bi en donde la deri vada no existe.
3. Se marcan los valores críticos en la recta numérica. En cada uno de los
intervalos creados por esos puntos, se toma un valor cualquiera y se halla
el signo de la derivada en esos puntos.
4. Se observa el signo obtenido en el inciso anterior, antes y después del
valor crítico, y se aplica el siguiente criterio:
(i)
Si los signos son (+) (–) se tiene un máximo local.
(ii) Si los signos son (–) (+) se tiene un mínimo local.
(iii) En los otros casos (+) (+) y (–) (–) no existe extremo local.
Obsérvese que el algoritmo anterior, además de hallar los extremos relativos,
determina los intervalos donde la función crece o decrece.
2
Matemáticas
Ejemplo 3
3
Determina los extremos locales de la función y = (x + 1) (x –1) y esboza
Solución: seguimos los pasos dados por el criterio de la primera derivada
para hallar extremos locales:
1. Como la función es un producto:
f (x) = (x + 1)3(1) + (x – 1)3(x + 1)2(1)
( x 1) 2 3( x 1) ( x 1)
factorizamos
simplificamos
2
( x 1) ( 4x 2)
factorizamos
2( x 1)2 ( 2x 1)
2. Igualamos la derivada a 0 y resolvemos la ecuación:
f ( x)
0
2( x 1) 2 ( 2x 1)
0
x 1 0 2x 1 0
x
1, x 1 2
3. Marcamos los puntos críticos sobre una recta:
–1
1/2
Tomamos un valor en cada uno de los tres i nterval os que quedaron
determinados y hallamos el signo de la derivada:
A la izquierda de –1 tomamos, por ejemplo, el valor –2 que al evaluarla
en la derivada de f es:
f (–2) = 2(–2 + 1)2(2(–2) –1) = –10
Es decir, su signo es –.
Entre –1 y
este punto:
1
2
tomamos, por ejemplo, el 0 y calculamos la derivada en
f (0) = 2(0 + 1)2(0 –1) = –2
Es decir, el signo es –.
241
Unidad
6
En el intervalo después de 1/2 escogemos, por ejemplo, el 1, cuya derivada es:
f (1) = 2(1 + 1)2(2 – 1) = 8
Es decir, el signo es +.
Colocamos toda esta información sobre la recta numérica:
4. En el valor crítico x
ningún extremo local. En el valor crítico x
que existe un mínimo local en el punto (1/2, –27/16).
Figura 6.7.
y = (x + 1)3(x – 1).
Ejemplo 4
Si y
242
x
4
, usemos el criterio de la primera derivada para encontrar
x 1
dónde se presentan los extremos relativos, dónde la función crece y dónde
decrece.
Solución: realizamos los cuatro pasos que indica el algoritmo:
1. Escribimos la función en la forma y = x + 4(x + 1) –1 para obtener
la derivada:
2
Matemáticas
y
y
1 4( x 1)
2
1
4
( x 1)2
( x 1) 2 4 x2 2x 3
( x 1) 2
( x 1) 2
( x 3) ( x 1)
( x 1) 2
2. Resolver y = 0 es equivalente a resolver (x + 3)(x – 1) = 0. Al
resolver la ecuación anterior obtenemos que x = –3 y x = 1 son valores críticos.
Los valores para los cuales la derivada no existe son los valores donde el
denominador se anula, esto es, cuando (x + 1)2 = 0. Es decir, cuando x = –1. Como
el valor –1 no pertenece al dominio de la función no puede ser un valor crítico con
lo que los valores críticos de esta función son sólo los valores –3 y 1.
3. Marcamos los valores críticos en una recta y calculamos el signo de la
derivada en cada uno de los intervalos que quedan determinados.
Como el denominador de la derivada es un cuadrado, su signo es siempre
positivo, por lo tanto el signo de la derivada depende exclusivamente del signo
del numerador (x + 3)(x – 1).
En el intervalo antes de –3 escogemos, por ejemplo, el valor – 4 y se tiene
(– 4 + 3)(– 4 –1) = 5, por lo tanto tiene signo +.
Entre –3 y 1 seleccionamos 0 cuyo numerador es (0 + 3)(0 –1) = –3, es
decir, tiene el signo –.
Para el intervalo después de 1, seleccionamos, por ejemplo, el 2 y se tiene
(2 + 3)(2 –1) = 5, es decir, tiene signo +.
4.
De esta forma tenemos que los puntos críticos de esta función son los puntos
(–3, –5) donde hay un máximo local y (1, 3) donde hay un mínimo local. Además
la función decrece entre –3 y 1, y crece en los demás intervalos.
Plasmamos esta información sobre la recta numérica:
Creciente
Decreciente
Creciente
243
Unidad
6
(1, 3)
(–3, –5)
y
Figura 6.8.
x
4
x 1
Ejemplo 5
¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos
locales de la función f ( x)
2
x 3?
Solución: tenemos que la derivada de la función es:
2
f '(x)= x–1/3
3
2
3
3 x
Cuando x = 0, f (x
f(x) sí lo está. Así, 0 es un
valor crítico y no hay ningún otro. Si x < 0, entonces f (x) < 0. Si x > 0,
entonces f (x) > 0. Por lo tanto, se tiene un mínimo relativo, que también
es absoluto en (0, 0).
244
(0, 0)
Figura 6.9.
y = x2/3
2
Matemáticas
Ejemplo 6
Encuentra los extremos relativos de la función y = f (x) = x2ex.
Solución: la derivada es f (x) = x2ex + ex(2x) = xex (x+2)
Como ex es distinto de cero, los únicos valores que anulan la derivada
son 0 y –2.
tenemos:
Diagrama de signos para f (x) = xex(x + 2)
De este diagrama concluimos que en x = –2 existe un máximo relativo y
en x = 0 un mínimo relativo.
(–2, 0.54)
(0, 0)
Figura 6.10.
y = x2ex
Ejercicio 2
En los ejercicios 1 a 7 encuentra los intervalos donde la función dada crece y
donde decrece. Además encuentra los extremos locales de la función.
1. f (x) = 2x3 + 3x2 – 12x – 7
2. f (x) = x4 + 8x3 + 18x2
3. f (x) = (x – 1)
245
Unidad
6
x2
4. f (x) =
x 2
5. f (x) = x3 – 3x2 – 24x + 32
6. f (x) = (x2 – 4)2/3
7. f (x) = x
32
x2
8. Una organización no gubernamental de protección del ambiente ha
estimado que la concentración de oxígeno en un estanque contaminado con un
residuo orgánico está dada por:
f (t )
t2 t 1
entre 0 t
donde t es tiempo
2
t 1
Determina en qué tiempo se alcanza la concentración más baja de oxígeno.
6.3. Criterio de la segunda derivada
Así como el signo de la primera derivada tiene una relación directa con el
comportamiento de la función en el sentido de que si la derivada es positiva
la función crece y si es negativa la función decrece, la segunda derivada
proporciona también información, donde a través de su signo se puede describir
la forma de la curva, esto es, su concavidad. Si una función tiene una segunda
derivada f , ésta se puede utilizar para determinar los intervalos de concavidad
hacia arriba si está sobre sus rectas tangentes, de igual forma, es cóncava hacia
P
Q
246
a a
Figura 6.11.
b
c
2
Matemáticas
Si una función es creciente en un intervalo, ésta puede tener cualquier
ti po de concavidad, igualmente sucede con una función decreci ente. En
consecuencia, tenemos:
función creciente, como la derivada nos proporciona la pendiente de la recta
creciendo al pasar de izquierda a derecha a lo largo de la curva.
función decreciente; aquí las pendientes de las rectas tangentes están decreciendo
al pasar de izquierda a derecha a lo largo de la curva.
Sea una función f derivable en un intervalo I
Cóncava hacia arriba si f es creciente en I.
Cóncava hacia abajo si f es decreciente en I.
f es:
Como la f mide la razón de cambio de la pendiente de la recta tangente
a la curva de la función f ; entonces, si f > 0 en el intervalo I, las pendientes
de las rectas tangentes de f crecen, por lo tanto, la función es cóncava hacia
arriba en I. Si f < 0, las rectas tangentes decrecen y la función es cóncava
hacia abajo en I. Se establece entonces el siguiente criterio para la prueba
de concavidad:
Si f > 0 en el intervalo I, entonces f es cóncava hacia arriba en I.
Si f < 0 en el intervalo I, entonces f es cóncava hacia abajo en I.
Ejemplo 7
Analicemos la concavidad de la parábola y = x2
Solución: calculamos l a segunda deri vada: como y = 2x, entonces
y = 2 que es si empre posi ti va, l o que si gni f i ca que l a parábol a es
cóncava haci a arriba.
247
Unidad
6
Figura 6.12.
y = x2
puntos P y Q
6.11 cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo en P, y de cóncava
hacia abajo a cóncava hacia arriba en Q.
Los puntos P y Q
Ejemplo 8
Dada la función f ( x)
1 3
x 9x 3:
3
a) Analicemos su concavidad.
c) ¿Cuáles son los extremos locales?
Solución: la primera derivada de la función es: f (x) = x2 –9
La segunda derivada es f (x) = 2x
248
a) La concavidad es hacia arriba cuando la segunda derivada es positiva,
es decir, cuando:
f (x) = 2x > 0, x > 0
La concavidad es hacia abajo cuando la segunda derivada es negativa,
es decir, cuando:
f (x) = 2x < 0, x < 0
2
Matemáticas
f (x) = 2x = 0, x = 0
Luego en x
c) En los extremos locales la primera derivada se anula. Esto es:
f (x) = x2 – 9
x2 – 9 = 0
(x + 3) (x – 3) = 0
x = – 3, x = 3
Como la primera derivada en – 4 es positiva, en 0 es negativa y en 4 es
caracterizar los valores críticos:
Creciente
Decreciente
+
Creciente
+
En –3 se tiene (+) (–), luego en x = –3 hay un máximo; en 3 se pasa de (–) (+),
luego en x = 3 hay un mínimo.
Figura 6.13.
f ( x)
1 3
x 9x 3
3
I ntervalos de concavidad:
Para determinar los i ntervalos de concavidad util izamos el si guiente
procedimiento:
1. Calcular f
2. Determinar los valoresdex para loscuales f
249
Unidad
6
3. Calcular el signo de f en cada uno de los intervalos hallados en el paso
anterior. Es decir, se calcula f (c), donde c es cualquier punto de prueba conveniente
en el intervalo.
4. Aplicar entonces el criterio:
Si f (c) > 0, f es cóncava hacia arriba en ese intervalo.
Si f (c) < 0, f es cóncava hacia abajo en ese intervalo.
local la concavidad de la curva es hacia abajo. En el punto donde existe un
mínimo local la concavidad es hacia arriba.
La relación entre máximos locales y concavidad hacia abajo y mínimos locales
y concavidad hacia arriba no es casualidad de la función del ejemplo 8, sino que es
una situación general que se conoce como el criterio de la segunda derivada.
El criterio de la segunda derivada.
Sea c un valor crítico de f, es decir, f (c) = 0 y f existe, entonces:
Si f (c) > 0, entonces f tiene un mínimo local en x = c.
Si f (c) < 0, entonces f tiene un máximo local en x = c.
Si f (c
y se utiliza el criterio de la primera derivada.
El algoritmo para hallar extremos locales aplicando el criterio de segunda.
derivada es:
1. Calcular f .
2. Igualar f a cero y determinar los valores para la variable en cuestión.
Éstos son los valores críticos.
3. Calcular f . Evaluar en f los valores críticos.
4. De acuerdo con el signo de la f , se aplica el criterio.
Ejemplo 9
Empleamos el criterio de la segunda derivada para localizar los máximos y
mínimos locales de la función f(x) = x4 – 2x2 + 3.
250
Solución: localicemos los valores críticos igualando la primera derivada
de la función a 0:
3
f '( x) 4x 4x
2
4x( x
1)
4x( x 1) ( x 1)
Los puntos críticos son x = 0, x = 1, x = –1
0
2
Matemáticas
Calculamos la segunda derivada f (x) = 12x2 – 4 = 4(3x2 – 1)
Se sustituyen los puntos críticos para ver los signos y aplicar el criterio
de la segunda derivada.
f (0) = – 4 < 0
Se deduce que el punto críti co en x = 0 es un máximo l ocal. Como
f ''(1) = 8 > 0 se concluye que el punto crítico x = 1 es un mínimo local.
Finalmente, como f ''
x = –1 es
un mínimo local.
f
(0, 3)
(–1, 2)
(1, 2)
Figura 6.14.
x4 – 2x2 + 3
Ejemplo 10
¿Dónde es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba y cóncava hacia
abajo la función f (x) = x4 + 8x3 + 18x2 – 8? ¿Cuáles son los extremos relativos
y los puntos de
Solución: la primera derivada es:
f '( x)
4x3 24x2 36x
4x( x2 6x 9)
2
4x( x 3)
El valor de f (x) = 0, cuando x = 0, x = –3. Como f (0) = –8 y f (–3) = 19,
los puntos críticos son (0,–8) y (–3,19).
251
Unidad
6
La segunda derivada (que se calcula a partir de la forma no factorizada
de la primera derivada) es:
f (x)=12x2+ 48x + 36
=12(x2+ 4x +3) = 12(x + 3) (x+ 1)
Al calcular la segunda derivada en los valores críticos 0 y –3 se obtiene:
mínimo en (0, 8)
f ''(0) 36 0 minimo
f ''( 3) 0 punto de inflexion en ( 3,19)
Para determinar los intervalos de concavidad utilizamos el procedimiento e
igualamos la segunda derivada a cero:
f (x) = 0
12x2 + 48x + 36 = 0
12(x + 3)(x + 1) = 0
resol viendo, tenemos que en x = –3 (obtenido anteriormente) y x = –1
f
son (–3, 19) y (–1, 3).
Por lo tanto los intervalos a analizar son:
i) (– , –3), si tomamos x = – 4,
f (– 4) = 12(– 4 + 3)(– 4 + 1) = 36, como f (– 4) > 0,
entonces la función es concava hacia arriba en el intervalo indicado.
ii) (–3, –1), si tomamos x = –2,
f (–2) = 12(–2 +3 )(–2 + 1) = – 12 como f (–2) < 0,
entonces la función es cóncava hacia abajo en el intervalo.
iii) (–1, ), si tomamos x = 0,
f (0) = 12(0 + 3)(0 + 1) = 36, como f (0) > 0,
entonces la función es cóncava hacia arriba en el intervalo.
El análisis de crecimiento y decrecimiento (utilizamos criterio de primera
derivada), así como de concavidad se resume en la tabla 1, en la cual observamos
que se indica también el intervalo (0, ) pues en x = 0 existe un punto mínimo.
252
2
Matemáticas
Tabla 6.1. Análisis del crecimiento y de la concavidad de la función
f(x) = x4 + 8x3 + 18x2 –8
Intervalo
f '(x)
(– , –3)
(–3, –1)
(–1, 0)
(0, )
–
–
–
+
f ''(x)
+
–
+
+
Crecimiento o
decrecimiento de f
Decreciente
Decreciente
Decreciente
Creciente
Figura 6.15.
Concavidad de f
Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia abajo
Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia arriba
x4 + 8x3 +18x2 –8
Ejemplo 11
¿Dónde es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba y cóncava hacia
abajo la función f (x) = x5 + 6? ¿Cuáles son los extremos relativos y los
Solución:
f '( x) 5x4
5x4
0
x 0
Cuando x = 0, f (0) = 6, por lo que el punto crítico es (0,6). Calculamos ahora
la segunda derivada y evaluamos el valor crítico:
f (x) = 20x3,
253
Unidad
6
cuando x = 0, f
(0) = 20(0)3 = 0, sabemos que si f = 0 existe un punto de
i) (– , 0), si tomamos x = –2, f (–2) = 20(–2)3 = –160, como f (–2) < 0,
entonces la función es cóncava hacia abajo.
ii) (0, ), si tomamos x = 2, f (2) = 20(2)3 = 160, entonces la función
es cóncava hacia arriba.
Se resume en la siguiente tabla: los intervalos de crecimiento y decrecimiento,
así como el análisis de concavidad, siguiendo el procedimiento para determinar
concavidad:
Intervalos
f (x)
f (x)
Crecimiento o
decrecimiento
de f
Concavidad
de f
( – , 0)
+
–
creciente
cóncava
hacia abajo
(0, )
+
+
creciente
cóncava hacia
arriba
Se concluye también que la función no tiene extremos relativos, siempre
crece.
(0, 6)
254
Figura 6.16.
f (x) = x5 + 6
2
Matemáticas
Ejercicio 3
1.
f ( x)
cóncava hacia arriba o hacia abajo.
6
(x
2
3)
es
2. Cal cul a l os puntos de i nf l exi ón y determi na l a concavi dad de
f (x) = x4 + x3 –3x2 + 1
En los ejercicios 3 a 8 emplea el criterio de la segunda derivada para calcular
los máximos y los mínimos relativos de la función dada.
3. f (x) = 2x3 + 3x2 –12x
4. f (x) = –3x5 + 5x3
5. f (x) = x(2x – 3)2
6. f (x) = 10 – 4x3 + 3x4
7. f (x) = x2 – 4x + 3
8. f ( x)
x2 9
2x
En los ejercicios 9 y 10 determina dónde es creciente, decreciente, cóncava
hacia arriba y cóncava hacia abajo la función dada. Determina los extremos
9. f (x) = x2 – 6x + 1
10. f (x) = x3 – 3x2 + 2
6.4. Máximos y mínimos absolutos
En la mayoría de los problemas de optimización que aparecen en la práctica,
el objetivo que se pretende es calcular el máximo absoluto o el mínimo absoluto
de una función en cierto intervalo de valores.
El máximo absoluto de una función en un intervalo es el mayor valor
de la función en ese intervalo. El mínimo absoluto es el menor valor de la
función en ese intervalo.
El máximo absoluto y el mínimo absoluto de una función, cuando existen,
se presentan en los extremos locales o en los extremos del intervalo, razón por
la cual sólo se requiere calcular los valores críticos de la función y calcular
255
Unidad
6
las imágenes de estos valores y las de los extremos de los intervalos donde
se está trabajando, compararl os y tomar el mayor y el menor val or que
corresponden al máximo y al mínimo absoluto. El siguiente ejemplo aclara
el procedimiento.
Ejemplo 12
¿Cuál es el máximo y el mínimo absolutos de la función f (x) = x5 – 5x4 + 1
en el intervalo 0 x 5?
Solución: calculamos los valores críticos igualando la derivada de la
función a 0:
4
3
f '( x) 5x 20x
3
5x ( x 4)
0
Los puntos críticos son x = 0, x = 4.
Calculamos las imágenes en los valores críticos y en los extremos del
intervalo:
f(0) = 1; f(4) = –255; f(5) = 1
Luego el máximo absoluto de la función en el intervalo dado, se da en x = 0 y
x = 5 y es igual a 1. El mínimo absoluto se da en x = 4 y vale –255.
(5, 1)
(0, 1)
(4, –255)
256
Figura 6.17.
f (x) = x5 – 5x4 + 1.
2
Matemáticas
Ejemplo 13
Localiza el máximo y el mínimo absolutos de la función f ( x)
en el intervalo x 0
1
( x 1) 2
Solución: calculemos los valores críticos de la función. Reescribimos la
función de la forma f (x) = (x + 1)–2 y calculamos su derivada:
f '( x)
2
( x 1)3
La derivada nunca se anula, pero no existe en x = –1, dado que el denominador
se hace cero y además no es un punto del dominio de la función.
Como la derivada de la función para los valores considerados, x 0, es
siempre negativa, se deduce que la función está siempre decreciendo, razón
por la cual el máximo absoluto se presenta en x = 0 y vale f (0) = 1, y no
existe mínimo absoluto.
Ejemplo 14
En cierta empresa el costo de la fabricación en pesos de x artículos está
dado por la función C(x) = 7x2 – 42x + 63. ¿En qué nivel de producción será
mínimo el costo medio por unidad?
Solución: el costo medi o de producci ón está dado por l a f unci ón
7 x2 42x 63
63
. Como la variable que determina el
Cm ( x)
7 x 42
x
x
número de artículos toma valores mayores que cero, para calcular el mínimo
63
absoluto de la función costo medio, calculamos su derivada Cm ' ( x) 7 2 y
x
la igualamos a cero para obtener 7x2 = 63, por lo tanto x = 3. Como el signo de
la derivada es negativo antes de 3 y positivo después de 3 la función costo medio
tiene un mínimo en 3, que es a su vez el mínimo absoluto de esta función. Por lo
tanto, el costo medio mínimo se da cuando se han fabricado tres unidades y vale
Cm(3) = 21 + 42 + 21 = 84 pesos por unidad.
Ejercicio 4
Determina el máximo y el mínimo absoluto de la función dada en el intervalo
indicado en los siguientes cinco ejercicios:
257
Unidad
6
1. f (x) = 2x3 + 3x2 – 12x – 7 en el intervalo –3 x 0.
2. f ( x)
x3
3. f ( x)
x2
21
2
16
x
x2 30x 20 en el intervalo 1 x 6.
en el intervalo x > 0.
4. f (x) = –2x3 –6x2 + 5 en el intervalo –3 x
5. f (x) = –x2/3 + 1 en el intervalo –1 x
6. En una fábrica se producen x unidades de lámparas, el costo total de
fabricación es C(x) = 3x2 + 5x + 75 pesos. ¿En qué nivel de producción será
mínimo el costo medio por unidad?
7. La compañía Electrón ha encontrado que su ingreso total anual I(x)
(expresado en miles de pesos) es una función del precio x (en pesos), dada por:
I(x) = –50x2 + 500x
a) Determina el precio que debe cobrarse para maximizar el ingreso total
(lo que se busca es el máximo absoluto).
b) ¿Cuál es el valor máximo del ingreso total anual?
Ejercicios resueltos
1. Determina los intervalos donde la función dada es creciente y donde
es decreciente:
x2 3x
f ( x)
x 1
Solución: calculamos la derivada de la función:
( x 1)(2x 3) ( x2 3x)(1)
f '( x)
( x 1) 2
x2
258
2x 3
( x 1)
2
( x 3)( x 1)
( x 1) 2
Como el denominador es siempre positivo, el signo de la derivada es el
mismo signo del numerador: (x + 3) (x – 1)
2
Matemáticas
Sobre un segmento de recta marcamos los valores en los cuales se anula
el numerador: x = – 3, x = 1
–4
2
0
3
valores para analizar
puntos criticos
1
Y calculamos el signo de la derivada para un valor antes de – 3, para un valor
entre – 3 y 1, y para un valor después de 1. Concretamente tenemos que:
i) Signo f (– 4) = signo (– 4 + 3)(– 4 –1) = (–)(–) = +
Como f (x) > 0 para x < –3, entonces la función es creciente en (– , – 3).
ii) Signo f (0) = signo (0 + 3)(0 –1) = (+)(–) = –
Como f (x) < 0 para los valores x tales que –3 < x < 1, entonces la
función es decreciente en (– 3, 1).
iii) Signo f (2) = signo (2 + 3)(2 –1) = (+)(+) = +
Como f (x) > 0 para x > 1 entonces f es creciente en el intervalo
(1, ).
2. En la siguiente función halla los extremos locales de g(x) = (x2 –9)2
con el criterio de la segunda derivada.
Solución: calculamos la derivada de la función:
g (x) = 2(x2 – 9)(2x)
y la igualamos a 0 para hallar los puntos críticos:
2( x2 9)( 2x) 0
x2 9 0 2x 0
( x 3)( x 3) 0 x 0
3, x2 3, x 0
x1
la función:
g ''( x)
4( x
2
12( x
2
9) 4x( 2x)
3)
y calculamos su signo en cada uno de los valores críticos:
(i) g (x1) = g (–3) = 72 > 0
(ii) g (x2) = g (3) = 72 > 0
(iii) g (x3) = g (0) = –36 < 0
259
Unidad
6
Aplicando el criterio de la segunda derivada, decimos que la función tiene
valores mínimos relativos en x = – 3 y x = 3 con un valor g (–3) = g (3) = 0
A su vez tiene el máximo relativo en x = 0 con valor g (0) = 81
3. Encuentra el máximo y el mínimo absoluto (si existen) de la función
f ( x) 10x6
24x5 15x4 3, 1 x 1
Solución: como los valores absolutos de una función se dan en los extremos
locales o en los extremos del intervalo, calculamos la derivada:
f (x) = 60x5 + 120x4 + 60x3
y la igualamos a cero para hallar los valores críticos:
60x3 ( x2
3
260
2x 1) 0
2
x
x1
0 x
0
x2
1
2x 1 ( x 1) 2
0
2
Matemáticas
Ahora calculamos las imágenes de los valores críticos y de los extremos del
intervalo para obtener los valores absolutos:
f (0)
3
f ( 1) 4
f (1)
52
Por lo tanto el máximo absoluto de la función en el intervalo [–1, 1] es 52 y
se da cuando x = 1; el mínimo absoluto es 3 y se da cuando x = 0.
4. El comité de campaña de cierto político que aspira a la gobernatura de una
entidad del país realizó un estudio que indica que su candidatura después de t meses
de iniciada su campaña tendrá el apoyo de:
V (t )
1
( t 3 6t 2
29
63t 1 080)% de los votantes para 0 t
12
Si la elección es el 2 de julio, ¿cuándo debería anunciar el político su
candidatura si necesita más de 50% de los votos para ser electo?
Solución: se trata de hallar el máximo absoluto de la función V(t) en el
intervalo 0 t 12, razón por la cual calculamos la derivada de la función:
1
2
V '(t )
( 3t 12t 63)
29
y resolvemos la ecuación V (t) = 0:
1
( 3t 2 12t 63) 0
29
t 2 4t 21 0
(t 7)(t 3) 0
t 7 t
3
Como t debe ser positivo, el único punto crítico que nos interesa analizar
es t = 7.
Calculamos las imágenes de la función en los extremos del intervalo t = 0,
t =12 y en el valor crítico t = 7:
V (0)
1 080
% 37.24%; V (12) 33.52%; V (7) 50.76%
29
261
Unidad
6
El porcentaje mayor lo alcanza en el 7º mes y es de 50.76% por lo que puede
ganar la elección si lanza su candidatura el 2 de diciembre del año anterior.
Ejercicios propuestos
Para las funciones siguientes encuentra los intervalos de crecimiento y
1. f (x) = 4 – 5x3 + 3x5
2. f (x) = x2(2x
3. f (x) = x2(2x2 – 3x – 12)
de la segunda derivada.
4. f (x) = (x – 5)2
5. f (x) = 2 – 4x3 + x4
6. f (x) = 3 – 3x2 + x3
7. En una fábrica se ha hecho un estimativo donde el costo total de utilización
1 2
de sus instalaciones está dado por C( x) 5 000 15x
x , donde x es el
2
número de unidades producidas. ¿A qué nivel de producción será mínimo el
costo medio por unidad?
En los ejercicios 8 y 9 encuentra el máximo y el mínimo absolutos (si
existen) de la función dada en el intervalo indicado.
1 3
x 9x 2 en el intervalo – 4 x 4
8. f ( x)
3
9. f ( x)
262
x
1
x
en el intervalo x > 0
2
Matemáticas
Autoevaluación
1.
y
x
1 2 3
a)
b)
c)
d)
Positiva en (– , 1) y en (3, ) y negativa en (1, 3).
Positiva en (– , 2) y negativa en (2, ).
Negativa en (– , 2) y positiva en (2, ).
Ninguna de las anteriores.
2.
y
4
2
0
2
x
a) Positiva en (– , 0) y en (2, ) y negativa en (0, 2).
b) Negativa en (– , 0) y en (2, ) y positiva en (0, 2).
c) Positiva en (– , –1), en (–2, 0) y en (2, ) y negativa en (–1, –2) y
en (0, 2).
d) Ninguna de las anteriores.
263
Unidad
6
3. Son puntos críticos de la función f(x)=x4 – 4x3+10:
a)
b)
c)
d)
x =10
x = 0 y x=3
x = –3
Ninguno de los anteriores.
4. La segunda derivada de la función f (x) es positiva en (– , 0) y negativa
en (0,
a)
b)
c)
d)
Creciente en (– , 0) y decreciente en (0, ).
Cóncava hacia abajo en (– , 0) y hacia arriba en (0, ).
Cóncava hacia arriba en (– , 0) y hacia abajo en (0, ).
Ninguna de las anteriores.
5. Si f (x) no existe en x = 0, entonces:
a)
b)
c)
d)
264
En x =
En x = 0 existe un punto máximo.
En x = 0 existe un punto mínimo.
No se puede concluir.
2
Matemáticas
Respuestas a los ejercicios
Ejercicio 1
1. En el intervalo (x1, x2) decreciente, (x2, x3) decreciente, (x3, x4) creciente,
(x4, x5) constante, (x5, x6) creciente, (x6, x7), decreciente.
2. En (– , ) es creciente.
3. (
, 0) f es creciente.
(0,1)
(1, )
f esdecreciente.
f escreciente.
4. ( , 0) f esdecreciente.
(0,1) f escreciente.
(1, ) f esdecreciente..
5. (
, 0) decreciente.
(0, )
creciente.
6. (– , –1) f es decreciente.
(–1, 0) f es creciente.
(0, 1) f es decreciente.
(1, ) f es creciente.
7. (– , –2) f es decreciente.
(–2, 0) f es creciente.
(0, 2) f es decreciente.
(2, ) f es creciente.
265
8. I(x) es creciente si x < 50 y decreciente si x > 50.
9. U(x) creciente si x < 40 y decreciente si x > 40.
10. C(x) es creciente en (– , ).
Unidad
6
Ejercicio 2
1. (– , –2) f es creciente
(–2, 1) f es decreciente
(1, ) f es creciente
x = –2 máximo local.
2. (– , 0) f es decreciente
(0, ) f es creciente
x = 0 mínimo local.
x = 1 mínimo local.
(0, –8)
3. (– , ) creciente
No hay máximo
ni mínimo local.
266
4. (– , 0) creciente
(0, 4) decreciente
(4, ) creciente
x = 0 máximo local.
x = 4 mínimo local.
2
Matemáticas
5. (– , –2) creciente
(–2, 4) decreciente
(4, ) creciente
x = – 2 máximo local.
x = 4 mínimo local.
6. (– , –2) f es decreciente
(–2, 0) f es creciente
(0, 2) f es decreciente
(2, ) f es creciente
x = – 2 mínimo local.
x = 2 mínimo local.
x = 0 máximo local.
(0, 2.27)
(–2, 0)
7. (– , 0) f es creciente
(0, 4) f es decreciente
(4, ) f es creciente.
(2, 0)
x = 4 mínimo local.
(4, 2)
267
8. En t = 1 se hace mínima.
Unidad
6
Ejercicio 3
1. (
, 0) concava hacia arriba.
(0, )
2. (
concava hacia abajo.
, 1) concava hacia arriba.
( 1,1 2) concava haciaabajo.
(1 2, ) co
oncava hacia arriba.
x = –1 x =
3. Es mínimo relativo en x = 1
Es máximo relativo en x = –2
(–2, 13)
(1, –14)
268
4. Es mínimo relativo en x = –1
Es máximo relativo en x = 1
3
5. Es mínimo relativo en x =
2
Es máximo relativo en x =
1
2
1
2
2
Matemáticas
6. Máximo relativo en x = 1
7. Mínimo relativo en x = 2
8. Mínimo relativo en x = 3
Máximo relativo en x = –3
(3, 3)
(–3, –3)
9. (
, 3) f esdecreciente.
(3, )
f es creciente. f es concavahaciaarrriba.
Hay un minimo relativo en x 3
269
(3, –8)
Unidad
10. (
6
, 0)
f es creciente y concava hacia abajo.
(0,1)
(1, 2)
f es decreciente y concava hacia abajo.
(2, )
f escreciente y concava hacia arriba.
f es decreciente y concava hacia arriba.
x 1 hay punto de inflexion.
x
0 maximo relativo.
x
2 minimo relativo.
(0, 2)
(1, 0)
(2, –2)
Ejercicio 4
1. x = –2 máximo absoluto.
x = 1 mínimo absoluto.
2. x = 2 máximo absoluto.
x = 5 mínimo absoluto.
270
3. x = 2 mínimo absoluto.
4. x = –2 mínimo absoluto.
x = 0 máximo absoluto.
2
Matemáticas
(0, 5)
(–2, –3)
5. x = 8 mínimo absoluto
(8, –3)
6. Al producir 5 lámparas.
7. a) El precio máximo es de $5.00.
b) El ingreso máximo total anual es de $1 250.00.
271
Unidad
6
Respuestas a los ejercicios propuestos
1. (– , –1) creciente x
(–1, 1) decreciente x = 1 mínimo.
(1, ) creciente x = –1 máximo.
2. (– , 0) creciente x = 0 máximo.
3
(0, 3) decreciente x =
2
(3, ) creciente x = 3 mínimo.
(0, 0)
3 27
,
2 2
(3, –27)
3. (– , –1.26) decreciente.
(–1.26, 0) creciente.
(0,
) decreciente.
272
(2.38, ) creciente.
x = –1.26 mínimo.
x = 0 máximo.
x = 2.38 mínimo.
x
x
2
Matemáticas
4. x = 5 mínimo.
5. x = 3 mínimo.
(3, –27)
6. x = 0 máximo.
x = 2 mínimo.
7. Cuando se producen 100 unidades.
8. x = 3 mínimo absoluto.
x = –3 máximo absoluto.
9. x = 1 mínimo absoluto.
Respuestas a la autoevaluación
1. c)
2. a)
3. b)
4. c)
5. d)
273