Tema 1. Distribuciones de Probabilidad File

MODELOS Y SIMULACIÓN EN
FINANZAS
Universidad del Valle
Programa de Ingeniería Industrial
Distribuciones de Probabilidad
Gloria Stella Ramírez R.
gloria.ramirez@correounivalle.edu.co
Fuente: MACHAIN, Luciano. Simulación de Modelos Financieros. Helemm
Impresiones. San Lorenzo, Argentina: 2011.
Distribuciones de
probabilidad discretas
Se caracterizan por presentar saltos entre sus
eventos
Bernoulli
Binomial
Poisson
Geométrica
Binomial negativa
Discreta
Uniforme discreta
1
Distribución Bernoulli
Se caracteriza por asignar el valor 1 el cual corresponde al
éxito del ensayo con una probabilidad de ocurrencia p y el
valor 0 el cual corresponde al fracaso del ensayo con una
probabilidad de ocurrencia q = 1-p
Función de Probabilidad
si x = 1
p

f ( x; p ) =  q = 1 − p si x = 0
0
en otro caso

Función de Probabilidad acumulada
si x < 0
 p

F ( x; p ) = q = 1 − p si 0 ≤ x < 1
 0
si x ≥ 1

Estadísticas de la distribución Bernoulli
Media p
Varianza pq
Coeficiente de Asimetría
2
1+ 3 p − 3 p
p(1 − p)
Curtosis
q− p
pq
2
Distribución Binomial
Se basa en una sucesión de pruebas independientes
del tipo Bernoulli como las definidas anteriormente.
El resultado obtenido en un ensayo es independiente
del resultado obtenido con anterioridad.
La probabilidad de éxito p se mantiene constante
para cada una de las n pruebas
En problemas financieros, la distribución binomial
suele ser utilizada para modelar la concreción de una
venta de un determinado producto o servicio
=DISTR.BINOM(nºéxitos;nºensayos;prob.èxito;acumulado)
Función de Probabilidad
n
f ( x; n; p ) =   p x (1 − p ) (n − x )
 x
Función de Distribución Acumulada
n
F ( x; n; p) = ∑   p i (1 − p ) (n −i )
i =0  i 
x
3
Estadísticas de la distribución Binomial
Media np
Coeficiente de Asimetría
1− 2 p
np (1 − p)
Varianza np(1-p)
Curtosis
3−
6
1
+
n np(1 − p )
Distribución Poisson
Determina el número de éxitos que se presentan en un intervalo
de tiempo dado. Frecuentemente se utiliza para modelar el
número de arribos en un intervalo de tiempo.
Para que una variable aleatoria se distribuya en forma de
Poisson se debe cumplir que el número de éxitos que ocurren
en un determinado período de tiempo sea independiente del
número de éxitos de otro intervalo de tiempo; que la
probabilidad de éxito sea la misma para todos los intervalos de
tiempo de igual tamaño y proporcional para intervalos de
tamaño diferente; y que la probabilidad de éxito en el intervalo
de tiempo tienda a cero cuando aquellos se vuelven más
pequeños
=POISSON(nºarribos; promedio arribos; acumulado)
4
Función de Probabilidad
f ( x; λ ) =
λx e − λ
x!
Función de Distribución Acumulada
F ( x; λ ) = e
−λ
x
λn
∑ n!
n =0
Estadísticas de la distribución Poisson
Media
λ
Coeficiente de Asimetría
1
λ
Varianza
λ
Curtosis
3+
1
λ
5
Distribución Geométrica
Hace referencia al número de veces que se
necesita repetir una prueba hasta obtener el
resultado deseado.
Función de Probabilidad
f ( x; p ) = p (1 − p ) x
Función de Distribución Acumulada
F ( x; p ) = 1 − (1 − p ) x +1
Estadísticas de la distribución Geométrica
Media
1
−1
p
Coeficiente de Asimetría
2− p
1− p
Varianza
1− p
p2
Curtosis
9+
p
(1 − p) 2
6
Distribución Binomial
Negativa
También conocida como distribución Pascal, puede ser
utilizada cuando el número de éxitos es fijo y
predeterminado y el interés se centra en el número de
fracasos hasta alcanzar esa cantidad de éxitos.
Función de Probabilidad
 s + x − 1 s
 p (1 − p) x
f ( x; s; p ) = 
 x 
Función de Distribución Acumulada
 s + i − 1

(1 − p ) i
∑
i 
i =0 
n
F ( x; s; p ) = p
s
Estadísticas de la distribución Binomial
Media
s (1 − p)
p
Coeficiente de Asimetría
2− p
s (1 − p)
Varianza
s (1 − p)
p2
Curtosis
6
p2
3+ +
s s (1 − p )
7
Distribución Discreta
Se da cuando existe una tabla de
valores cada uno con su respectiva
probabilidad de ocurrencia.
Función de Probabilidad
 p para x = xi
f ( x, p ) =  i
 0 en otro caso
Función de Probabilidad acumulada
0
 n
F ( x, p ) = ∑ pi
 i =1
 1
para x < x1
para x1 ≤ x ≤ xn
para x > xn
Estadísticas de la distribución Discreta
Varianza
Media
µ = ∑ xi pi
σ 2 = ∑ ( xi − µ ) 2 pi
i =1
i =1
Coeficiente de Asimetría
1
σ
3
∑ (x − µ)
2 i =1
i
3
pi
Curtosis
1
σ
2
∑ (x − µ)
i
4
pi
i =1
8
Distribución Uniforme
Discreta
Se caracteriza por tener la misma probabilidad de
ocurrencia para cada uno de los valores discretos a
diferencia de la distribución anterior en la cual cada
valor podía asumir una probabilidad diferente.
Función de Probabilidad
1

para x ∈ xi
f ( x) =   0 en otro caso
Función de Probabilidad acumulada
 0
i
F (x ) = 

1
para x < x1
para x1 ≤ x ≤ xi +1
para x > x Estadísticas de la distribución Uniforme Discreta
Media
µ=
1
Varianza
∑ xi
σ2 =
i =1
Coeficiente de Asimetría
1
σ
3
∑ (x − µ)
2 i =1
i
3
1
∑ (x − µ)
2
i
i =1
Curtosis
1
σ 2
∑ (x − µ)
4
i
i =1
9
Distribuciones de
probabilidad continuas
Se caracterizan por no presentar saltos entre
sus eventos
Distribución Normal
Triangular
Uniforme continua
Beta
Chi-cuadrado
Lognormal
Gamma
Logística
Exponencial
t de student
Pareto
Weibull
Rayleight
Distribución Normal
En el área financiera se ha utilizado para describir el
comportamiento de los retornos de las acciones,
tasas de interés, tipos de cambio, cantidad de
unidades a vender de un producto, costo de un
seguro o índices de satisfacción de clientes, entre
otros.
Conocida por ser simétrica y de forma campanular.
=DISTR.NORMAL(x; media; desvío estándar; acumulado)
10
Función de Probabilidad
1  x−µ  2

σ 

1
2
f ( x) =
e
σ 2π
Función de Probabilidad acumulada
x
1
F ( x ) = ∫ f (t )dt =
σ 2π
−∞
x
∫e
(t − µ )2
2σ 2
dt
−∞
Excel permite también el valor de x
corresponde a una probabilidad acumulada.
que
=DISTR.NORMAL.INV (probabilidad; media; desvío estándar)
Donde “probabilidad” indica la probabilidad acumulada de la
que se desea conocer el valor de x correspondiente
El caso de la distribución cuya media es igual a 0 y
su desvío estándar igual 1, se conoce con el
nombre de distribución normal estandarizada,
simbolizada con la letra z.
=DISTR.NORMAL.ESTAND (Z)
Donde “z” es el valor cuya probabilidad se desea obtener.
11
=DISTR.NORMAL.ESTAND.INV (probabilidad)
Para calcular el valor de x asociado a una determinada
probabilidad.
Un razón por la que se suele estandarizar una
variable es para comparar diferentes distribuciones,
cada una con diferentes medias y desvíos estándar.
La estandarización se lleva a cabo mediante la
siguiente estandarización:
z=
x−µ
σ
Estadísticas de la distribución Normal
Media
µ
Coeficiente de Asimetría
0
Varianza
σ2
Curtosis
3
12
Distribución Triangular
Suele ser bastante común en finanzas, especialmente
en el modelado de variables para la evaluación
económica de proyectos de inversión, por cuanto
permite, la distribución con base en tres valores:
mínimo, más probable y máximo.
Función de Probabilidad
2(x − mín.)

 (más prob. − mín.)(máx. − mín.)
f ( x) = 
2(máx. − x )

 (máx. − más prob.)(máx. − mín.)
para mín. ≤ x ≤ más prob.
para más prob. < x ≤ máx.
Función de Probabilidad acumulada

(x − mín.)2
para mín. ≤ x ≤ más prob.

 (más prob. − mín.)(máx. − mín.)
F ( x) = 
(máx. − x )2
1 −
para más prob. < x ≤ máx.
 (máx. − más prob.)(máx. − mín.)
13
Estadísticas de la distribución Triangular
Media
mín. + máx. + más prob.
3
Curtosis
2,40
Varianza
máx.2 + más prob.2 + mín.2 − ( máx. × más prob.) − ( más prob. × mín.) − (máx. × mín)
18
Coeficiente de Asimetría
2 2 (mín. + máx. − 2 × más prob.)(2 × mín. − máx. − más prob.)(mín. − 2 × máx. + más prob.)
3
5
(mín.2 + máx.2 + más prob.2 − mín. × máx. − mín. × más prob. − máx. × más prob.) 2
Distribución Uniforme
Continua
Presenta la misma probabilidad de
ocurrencia para todos los valores
comprendidos en el rango de valores
definido
Función de Probabilidad
f ( x) =
1
máx. − mín.
14
Función de Probabilidad Acumulada
F ( x) =
x − mín.
máx. − mín.
Estadísticas de la distribución uniforme continua
Media
máx. − mín.
2
Coeficiente de Asimetría
Varianza
(máx. − mín) 2
12
Curtosis
0
1,80
Distribución Beta
Sirve para modelar eventos que se dan dentro de un
intervalo definido por un mínimo y un máximo. Su
uso frecuente se da en proyectos, en donde se
necesita describir el tiempo que demora completar
una tarea determinada
Función de Probabilidad
xα −1 (1 − x) β −1
f ( x) =
Β(α , β )
15
=DISTR.BETA (x; alfa; beta; A; B)
Donde x es el valor del cual se desea obtener la probabilidad,
alfa y beta son los parámetros de la distribución y A y B son
valores opcionales para limitar la función a la izquierda y
derecha respectivamente.
=DISTR.BETA.INV (probabilidad; alfa; beta; A; B)
Para obtener el valor correspondiente a una probabilidad dada.
Función de Probabilidad Acumulada
F ( x) =
Β Ι (α , β )
Β(α , β )
Estadísticas de la distribución beta
Media
α
α +β
Coeficiente de Asimetría
Curtosis
3×
α ×β
(α + β ) 2 × (α + β + 1)
Varianza
2×
[
β −α
α + β +1
α + β +2 α ×β
(α + β + 1) × 2(α + β ) + αβ × (α + β − 6)
αβ × (α + β + 2 )× (α + β + 3)
2
]
16
Distribución chi-cuadrado
Es muy común en estadística para realizar test de
hipótesis.
Surge de sumar varias variables aleatorias
independientes provenientes de distribuciones
normales estándar elevadas al cuadrado.
Función de Probabilidad
v
 x  −1
exp −  x 2
 2
f ( x) =
v
v
2 2 Γ 
 2
=DISTR.CHI (x; grados de libertad)
Donde x es el valor del que se desea obtener la probabilidad
acumulada asociada y “grados de libertad” es el número de
éstos. Debe ser mayor que 0 y a medida que aumentan la
distribución va convergiendo a una normal.
Calcula el valor para 1 menos la probabilidad acumulada, es
decir, el área a la derecha del valor de x
=PRUEBA.CHI.INV (probabilidad; grados de libertad)
Para calcular el valor asociado a una probabilidad dada.
17
Función de Probabilidad Acumulada
v x
ΓI  ; 
2 2
F ( x) = 
v
Γ 
2
Estadísticas de la distribución chi-cuadrado
Media v
Coeficiente de Asimetría
8
v
Varianza
2v
Curtosis
3+
12
v
Distribución Lognormal
Junto con la normal, esta es una de las distribuciones
más utilizadas en finanzas, especialmente cuando se
pretende predecir el comportamiento de un activo
financiero.
El modelo de valoración de opciones de Black y
Scholes parte del supuesto que el precio de una
acción se comporta siguiendo este tipo de
distribución. Esto es razonable, puesto que la
lognormal no admite valores inferiores a cero y es
sesgada hacia la derecha.
18
Función de Probabilidad
f ( x) =
1
xσ 2π
e
1  ln( x ) − µ 


σ
2

2
=DISTR.LOG.NORM (x; media; desvío estándar)
Donde x es el valor del que se desea obtener la probabilidad
acumulada asociada, con media y desvío estándar de ln(x).
=DISTR.LOG.INV (probabilidad; media; desvío estándar)
Para calcular el valor asociado a una probabilidad dada.
Donde Φ es igual a la función
error de Gauss:
Función de Probabilidad Acumulada
 ln( x) − µ 
F ( x) = Φ

σ


1
Φ( x) =
2π
x
∫e
−t 2
dt
0
Estadísticas de la distribución lognormal
Media
e
µ+
Varianza
σ2
2
2
Coeficiente de Asimetría
(e
σ2
)
2
+ 2 eσ − 1
(
)
2
e 2 µ eσ eσ − 1
Curtosis
(e ) + 2(e ) + 3(e ) − 3
σ2
4
σ2
3
σ2
2
19
Distribución Gamma
Si el número de eventos en un intervalo de tiempo
tiene una distribución Poisson con parámetro λ, luego
el tiempo hasta que se presenten n eventos tendrá
una distribución gamma con tiempo medio de
ocurrencia de los eventos igual a λ. Bajo esta
distribución, la ocurrencia de los eventos es
independiente entre sí, siendo el número de eventos
promedio constantes para los intervalos de tiempo.
Suele ser utilizada en el área de seguros, por
ejemplo, para modelar el tamaño de una cartera en
default, en economía y en teoría de colas de espera.
Función de Probabilidad
1 x
f ( x) =
 
β Γ(α )  β 
α −1
x
eβ
=DISTR.GAMMA (x; alfa; beta; acumulado)
Donde x es el valor del que se desea obtener la probabilidad
acumulada asociada, alfa y beta los parámetros de la
distribución
=DISTR.GAMMA.INV (probabilidad; alfa; beta)
Para calcular el valor asociado a una probabilidad acumulada.
20
Función de Probabilidad Acumulada
F ( x) =
ΓI (α )
Γ(α )
Estadísticas de la distribución gamma
Media
αβ
Varianza
Coeficiente de Asimetría
αβ 2
Curtosis
2
α
3+
6
α
Distribución Logística
Bastante parecida a la normal pero posee la característica de
tener colas más largas y una curtosis mayor.
Suele tener aplicaciones en el modelado del crecimiento de una
población, el comportamiento del ciclo de vida de un producto o
el tiempo de vida de alguna variable
Función de Probabilidad
f ( x) =
 x −α 
1

sec h 2 
4β
 2β 
21
Función de Probabilidad Acumulada
F ( x) =
 x −α 
1 1
+ tanh 2 

2 2
 2β 
Estadísticas de la distribución logística
Media
α
Coeficiente de Asimetría
Varianza
( βπ ) 2
3
Curtosis
0
4,20
Distribución Exponencial
Se encuentra estrechamente relacionada con la distribución
Poisson. Mientras esta última describe el número de veces que
ocurre un evento determinado en un intervalo de tiempo dado,
la distribución exponencial se utiliza para describir el tiempo
entre la ocurrencia de eventos independientes que ocurren a
una tasa promedio constante hasta completar una tarea.
Ejemplo: el tiempo entre fallas de una máquina, el tiempo entre
una llamada y otra en un centro de atención telefónica o el
tiempo entre el arribo de dos clientes de un supermercado a la
caja registradora. También existen aplicaciones para modelar el
tiempo hasta que ocurre un evento de dafault en el ámbito de
riesgo de crédito.
22
La distribución exponencial tiene la característica de carecer de
memoria, es decir, la magnitud simulada es independiente y no
depende del tiempo en que nos encontremos, y el transcurso
del tiempo no afecta al próximo resultado.
Función de Probabilidad
f ( x) = λe − xλ
Donde el valor de x debe ser mayor o igual que cero y λ mide
el promedio de ocurrencia del evento por hora
=DISTR.EXP (x; lambda; acumulado)
Donde x es el valor de la función a estimar, “lambda” es el valor
promedio de ocurrencia del evento y “acumulado” puede tomar
los valores 0 o 1 dependiendo si se quiere estimar la
probabilidad individual o acumulada respectivamente
Función de Probabilidad Acumulada
F ( x ) = 1 − e − xλ
Estadísticas de la distribución exponencial
Media
1
λ
Coeficiente de Asimetría
Varianza
1
λ2
Curtosis
2
9
23
Distribución t de student
En probabilidad y estadística, esta distribución aparece cuando
el desvío estándar de una población es desconocido y debe ser
estimado de una muestra de datos.
Se utiliza frecuentemente para realizar test de hipótesis o
contrastes estadísticos, por ejemplo, en análisis de regresión.
Función de Probabilidad
1+ v 
1+ v
Γ

2
v
1
2



f ( x) = 
 2

v x +v
πv
Γ  
2
 
=DISTR.T (x; v; colas)
La sentencia “colas” indica el número de colas de la distribución
que se utilizará para el cómputo. Si el valor es 1 el resultado
obtenido será considerado solo una de las colas de la
distribución. Si el valor de colas es 2, la función devuelve la
distribución considerando las dos colas, derecha e izquierda.
=DISTR.T.INV (probabilidad; v)
Permite estimar el valor de s considerando las dos colas de la
distribución
24
Función de Probabilidad Acumulada
ΒΙ(·) es la función Beta
incompleta con:
F ( x) = 0,50[Β Ι (0,50;0,50v) + 1]
x2
I= 2
x +v
Estadísticas de la distribución t de student
Varianza
Media 0
v
v−2
Coeficiente de Asimetría
0
para v > 3
para v > 2
Curtosis
v−2
3

v−4
para v > 4
Distribución Pareto
Se aplica cuando se cumple que un pequeño porcentaje de valores
aparece muchas veces y un gran porcentaje de valores extremos
son poco probables.
Existen aplicaciones en las que se utiliza para modelar la
distribución de la renta de los individuos, la distribución de recursos
naturales en zonas geográficas, el número de empleados de una
empresa o la distribución de los retornos estandarizados de los
precios de las acciones.
β indica la moda y es el límite izquierdo de la distribución; α fija
la concentración de los datos hacia la derecha de la moda.
Función de Probabilidad
f ( x) =
αβ α
xα +1
25
Función de Probabilidad Acumulada
α
β 
F ( x) = 1 −  
x
Estadísticas de la distribución pareto
Varianza
Media
αβ
α −1
para α > 1
Coeficiente de Asimetría
 α +1  α − 2
2

α −3 α
para α > 3
αβ
2
(α − 1)2 (α − 2)
para α > 2
Curtosis
(3α − 6)(3α 2 + α + 2)
α (α − 3)(α − 4)
para α > 4
Distribución Weibull
Se caracteriza por su flexibilidad teniendo la
posibilidad de imitar otras distribuciones de
probabilidad de acuerdo a los parámetros que le sean
asignados.
Su uso es frecuente en ingeniería
industrial, en problemas de tiempos de falla o vida.
En finanzas, suele utilizarse para modelar, por
ejemplo, el tiempo de vida para el reemplazo de un
equipo al evaluar el cronograma de reinversiones de
un proyecto de inversión.
Trabajos recientes recurren a esta distribución para
el modelado del retorno de activos financieros y para
estimar funciones de riesgo.
26
Función de Probabilidad
α −1
f ( x) =
αx
e
βα
x
− 
β



α
=DIST.WEIBULL (x; alfa; beta; acumulado)
Donde x es el valor del que se desea obtener la probabilidad
asociada, alfa y beta los parámetros de la distribución. Si el
término acumulado es igual a 1 se obtiene la función de
distribución acumulada; si es igual a 0, Excel devuelve la
función de densidad de probabilidad.
Función de Probabilidad Acumulada
F ( x) = 1 − e
x
− 
β 
α
Estadísticas de la distribución weibull
Media
 α +1 

 α 
β Γ
Coeficiente
de Asimetría
Varianza
  α + 2  2  α + 1 
β Γ
−Γ 

 α 
  α 
2
α +3
 α + 2   α +1
3 α +1
Γ
 + 3Γ
Γ
 + 2Γ 

 α 
 α   α 
 α 
 α + 2 
3  α + 1 
Γ  α  − Γ  α  



 
3
2
27
Distribución Rayleigh
Es de uso frecuente en física, por ejemplo, para modelar la
velocidad del viento; pero no es común en el área financiera.
Sin embargo puede llegar a utilizarse en proyectos de inversión
de turbinas energéticas que requieran conocer el ahorro de
energía generado por una turbina eólica.
Función de Probabilidad
f ( x) =
x
β2
e
1 x

2  β



2
Función de Probabilidad Acumulada
F ( x) = 1 − e
1 x 
 
2  β 
2
Estadísticas de la distribución rayleigh
Media
β
π
2
Coeficiente de Asimetría
≈ 0,6311
Varianza
 π
β 22 − 

2
Curtosis
≈ 3,2451
28