Vectores Autorregresivos (VAR)

Econometria de Series Temporales
Vectores Autorregresivos (VAR)
Walter Sosa Escudero
Universidad de San Andr¶
es y UNLP
1
Procesos estocasticos multivariados
0
Yt = [Y1t ; Y2t ; ¢ ¢ ¢ ; YN t ] ;
t = 1; 2; : : : ; T
Estamos interesados en el comportamiento temporal de N
variables simultaneamente.
² E(Yt ) = ¹
(vector de esperanzas)
² E(Yt ¡ ¹)(Yt¡¿ ¡ ¹)0 = ¡(¿ )
(matriz de autocovarianzas)
El elemento i; j es: °i;j = E(Yit ¡ ¹it )(Yj;t¡¿ ¡ ¹j;t¡¿ )
Los elementos de la diagonal son las autocovarianzas y los de
fuera de la diagonal las autocovarianzas cruzadas.
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2
Yt es estacionario si:
1. E(Yt ) = ¹ < 1.
2. E(Yt ¡ ¹)(Yt¡¿ ¡ ¹)0 = ¡(¿ ) < 1;
¿ = 0; 1; 2; : : :
Estacionariedad de Yt implica estacionariedad de
Yit ; i = 1; : : : ; N . El converso NO es cierto (porque?)
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3
Ruido Blanco Multivariado
"t es N £ 1. Es RBM si:
1. E("t ) = 0
8
< −
N £N
2. E("t "0s ) =
: 0
si t = s
si t 6
=s
Cuidado: los elementos de "t pueden estar correlacionados
contemporaneamente pero no en distintos periodos!!
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Vectores Autorregresivos (VAR)
VAR(1) con media cero
Yt = ©Yt¡1 + "t ;
"t » RBM
Yt es N £ 1, © es N £ N .
Ejemplo:
Xt
=
Á11 Xt¡1 + Á12 Zt¡1 + "1t
Zt
=
Á12 Xt¡1 + Á12 Zt¡1 + "2t
Relacion entre el presente de una variable y el pasado de todas las
variables del sistema.
² "1t y "2t pueden estar correlacionados.
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Motivacion historica y metodologica del uso de VAR's
² Motivacion: Sims (1980).
² Discusion metodologica: Pagan (1987)
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6
Algunos resultados utiles de algebra
² Si A es cuadrada y diagonal con elemento carateristico aii , AK es
una matriz diagonal con elemento i; i igual a aK
ii .
² Am£m . Cualquier escalar ¸ que satisfaga Ax = ¸x para un vector
m £ 1; x 6
= 0 es un autovalor de A. x es un autovector de A
correspondiente al autovalor ¸.
² Si ¸ es un autovalor de A, entonces jA ¡ ¸Ij = 0.
² La ecuacion caracteristica jA ¡ ¸Ij = 0 es una ecuacion de grado
m. Entonces, Amm tiene m autovalores.
² Am£m con autovalores ¸1 ; ¸2 ; : : : ; ¸m , entonces:
Pm
(a) tr(A) =
Qm i=1 ¸i
(b) jAj = i=1 ¸i
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² Si Am£m tiene m autovalores diferentes, entonces los autovectores
asociados son todos linealmente independientes.
² Si Am£m tiene m autovalores diferentes y ¤ ´ diag(¸1 ; : : : ; ¸m ) y
X ´ (x1 ; x2 ; ¢ ¢ ¢ ; xm ), entonces:
A = X¤X ¡1
² Bajo las condiciones del resultado anterior:
AK = AA ¢ ¢ ¢ A = (X¤X ¡1 )(X¤X ¡1 ) ¢ ¢ ¢ (X¤K X ¡1 ) = X¤K X ¡1
K
con ¤K = diag(¸K
1 ; : : : ; ¸m )
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8
Estacionariedad de VAR(1)
Recordar caso AR(1): Yt = ÁYt¡1 + "t . Estacionario si jÁj < 1.
Reemplazando recursivamente en VAR(1):
Yt =
k¡1
X
©j "t¡j + ©k Yt¡k
j=0
En forma similar a AR(1) requeriremos que ©k ! 0, o,
equivalentemente, j©j < 1.
De acuerdo al resultado anterior © = X¤X ¡1 en donde X es
la matriz de autovectores y ¤ la matriz diagonal con los
autovalores ¸1 ; : : : ; ¸N . Entonces,
©k = X¤k X ¡1
de modo que ©K ! 0 si y solo si j¸i j < 1; i = 1; : : : ; N
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Resumiendo: Yt = ©Yt¡1 + "t es estacionario si y solo si
todos los autovalores de © son <1 en valor absoluto, o,
equivalentemente, si todas las raices de la ecuacion
caracteristica j© ¡ ¸IN j son menores a uno en valor absoluto.
Si VAR(1) es estacionario:
Yt =
1
X
©j "t¡j
j=0
es la representacion V M A(1) estacionaria del VAR(1).
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VAR(p)
Yt = ©1 Yt¡1 + ©2 Yt¡2 + ¢ ¢ ¢ + ©p Yt¡p + "t ;
"t » RBM
Estacionariedad de VAR(p): todas las raices de
j¸p I ¡ ¸p¡1 ©1 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ ©p j = 0
son mayores que uno en valor absoluto. Si VAR(p) es
estacionario, tiene una representacion VMA(1) estacionaria.
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Estimacion de VAR
Consideremos VAR(1):
Xt
= Á11 Xt¡1 + Á12 Zt¡1 + "1t
Zt
= Á12 Xt¡1 + Á12 Zt¡1 + "2t
² Notar que los supuestos de Gauss-Markov se veri¯can
ecuacion por ecuacion. MCO es insesgado, consistente y
e¯ciente, ecuacion por ecuacion.
² MCO ecuacion-por-ecuacion es tambien e¯ciente en
terminos del sistema. Idea: es un caso particular de SUR
con las mismas variables explicativas en cada ecuacion:
MCG coincide con MCO. Explica gran parte de la
popularidad de VAR.
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Interpretacion de VAR
² No es una forma estructural. Los coe¯cientes no tienen
una interpretacion clara ya que solo se busca una
representacion de los datos.
² En la practica es comun basar la interpretacion en tests
agregados y ejercicios de simulacion.
² Simulacion: a) Funciones impulso-respuesta, b)
Descomposicion de la varianza.
² Tests: a) Relevancia de variables, b) Signi¯catividad de
rezagos, c) Relaciones entre ecuaciones, d) Causalidad de
Granger.
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Funciones impulso-respuesta
Investigar que sucede con el sistema VAR ante variaciones
exogenas.
Consideremos la representacion VMA(1) de VAR(p):
Yt =
1
X
s=0
ªs "t¡s ;
ª0 = Im ; "t » RBM
@Yt
@Yt+s
=
= ªs
@"t¡j
@"t
ªij (s) : Efecto sobre Yi;t+s de cambiar "jt en una unidad.
p
ªij (s)= V ("jt ): Efecto sobre Yi;t+s de cambiar "jt en un
desvio estandar: Funcion de impulso-respuesta simple.
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Ejemplo: VAR(1) con N = 2, hay 4 funciones de impulso
respuesta simple.
Problema: "it no son independientes. N = 2
2
V ("t ) = − = 4
¾11
¾12
¾21
¾22
3
5
No es intuitivo hablar de cambios en "1t dejando "2t .
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Mas resultados de algebra
1. Si − es simetrica y positiva de¯nida, existe H no singular, tal que
− = HH 0 . H es una `raiz cuadrada' de −. H no es unica.
2. Si "t es un vector aleatorio con E("t ) = 0 y V ("t ) = E("t "0t ) = −,
existe H tal que "t = Hvt , en donde vt es un vector aleatorio con
E(vt ) = 0 y V (vt ) = I.
vt son las innovaciones ortogonales de "t . La idea es:
vt ¡! Hvt ¡! "t ¡! Yt
Entonces, lo que realmente nos interesa es @Yt+s =@vt .
² Problema: H no es unica. Si − es simetrica y positiva de¯nida, existe
una unica matrix P no-singular y triangular inferior tal que P P 0 = −. P
es la matriz de Choleski de −.
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La idea, entonces, es utilizar: "t = P vt . Reemplazando:
Yt =
1
X
i=1
ªs P vt¡s =
1
X
©s vt¡s ;
i=1
© ´ ªs P
@Yt
@Yt+s
=
= ©s
@vt¡s
@vt
(s)
Elemento caracteristico: Áij = cambio en Yi;t+s resultante
de cambios en vj;t en una unidad.
¨
¥
(s)
Áij = funcion de impulso-respuesta
§
¦
con respecto a las innovaciones ortogonales.
Notar que como V (vj;t = 1) tambien mide el efecto de cambios en 1
desvio estandar.
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Cuestion importante: el uso de P (la descomposicion de
Choleski) implica cierta arbitrariedad.
Ejemplo: N = 2
Ã
"1t
"2t
!
=
Ã
P11
0
P21
P22
!Ã
v1t
!
v2t
"1t depende solo de v1t
"2t depende de v1t y v2t
La dependencia entre "1t y "2t es generada por esta estructura recursiva.
Que implicaciones tiene, por ejemplo, si Y1 es la tasa de crecimiento de
la cantidad nominal de dinero y Y2 es la tasa de in°acion?
Entonces, el orden de las variables en la matriz de Choleski
es muy importante.
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Notar que si
2
−=4
¾11
0
0
¾22
3
5
=)
2
P =4
p
¾11
0
0
p
¾22
3
5
² Si − es diagonal el orden de la descomposicion de
Choleski no importa.
² Trivialmente, las innovaciones originales son tambien las
innovaciones ortogonales.
² En la practica, entonces, es importante evaluar
empiricamente la diagonalidad de −.
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Seguimos con el algebra...
² Si − es simetrica y pd, existe una unica matriz H
triangular inferior con 1's en la diagonal principal, y una
unica matriz diagonal D con todos sus elementos positivos,
tal que − = HDH 0 .
² Si "t es un vector aleatorio con E("t ) = 0 y V ("t ) = −,
entonces "t puede escribirse com "t = Hut , con E(ut ) = 0 y
V (ut ) = D, en donde H y D satisfacen − = HDH 0 .
Notar que V (ujt ) = dj , el j¡esimo elemento de la diagonal
principal de D. La idea, en este caso, es permitir que cada
una de las innovaciones ortogonales tenga su propia
varianza.
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Disgresion notacional
2
X=4
Chequear que:
2
XX 0 = 4
A1
A2
3
5
h
A1
B1
A2
B2
A1
A2
3
5´
i
h
A B
2
3
+4
B1
B2
5
i
h
B1
B2
0
i
En general, si xi es la i-esima columna de X , XX =
P
xi x0i .
Es facil veri¯car que si D es diagonal con elemento
P
di xi x0i
caracteristico di , XDX 0 =
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Descomposicion de la varianza
² Supongamos un VAR con N variables. Cuanto de la
variabilidad total de una variable es atribuible a
movimientos en cada una de las otras variables?
² R2 en el modelo lineal: proporcion de la varianza de Y
que es explicada por movimientos en X . La idea es
proporcionar una idea similar para descomponer la
variabilidad total de una variable del VAR en terminos
de las variabilidades exogenas de cada una de las
variables del sistema.
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Partimos de la representacion MA(1) de VAR:
Yt =
1
X
ª0 = Im ; "t » RBM
ªs "t¡s ;
s=0
que implica que:
V (Yt ) =
=
1
X
s=0
1
X
ªs −ª0s
ªs HDH 0 ª0s
s=0
=
1
X
ªs
s=0
=
N
X
i=1
(N
X
di hi h0i
)
ª0s
i=1
di
(1
X
ªs hi h0i ª0s
)
s=0
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V (Yt ) =
V (ui )
N
X
V (ui ) B (i)
ªs hi h0i ª0s
)
s=0
i=1
=
(1
X
N
X
i=1
En particular, la j-esima varianza:
V (Ytj ) =
N
X
(i)
V (ui )Bjj
i=1
1=
(i)
N
X
V (ui )Bjj
i=1
V (Ytj )
=
N
X
zji
i=1
zji = proporcion de la varianza de la j¡esima variable que es
explicada por el componente exogeno de cada una de las
i = 1; 2; : : : ; N variables del sistema.
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En la practica: no podemos computar 1 rezagos!
Partimos de la representacion V M A(1) de VAR en t + 1:
Yt+1 = "t+1 + ª1 "t + ª2 "t¡1 + ¢ ¢ ¢
La prediccion de Yt+1 con la informacion disponible en t es
la esperanza de Yt+1 condicional en toda la informacion
disponible en t:
Et (Yt+1 ) = ª1 "t + ª2 "t¡1 + ¢ ¢ ¢
El error de pronostico de predecir Yt+1 en t sera:
Yt+1 ¡ Et (Yt+1 ) = "t+1
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Analogamente, el error de pronostico de predecir Yt+s en t
sera:
et+2 ´ Yt+s ¡Et (Yt+s ) = "t+s +ª1 "t+s¡1 +ª2 "t+s¡2 +¢ ¢ ¢+ªs¡1 "t+1
El valor esperado de et+s es cero y su varianza es:
V (et+s ) = − + ª01 −ª1 + ª02 −ª2 + ¢ ¢ ¢ + ª0s¡1 −ªs¡1
² Da una idea de la magnitud del error de prediccion (es el
error cuadratico medio ya que la esperanza es cero!).
² Notar que cuando s ! 1, V (et+s ) ! V (Yt ).
¨
¥
En la practica: computar la descomposicion para s = 1; 2; 3; : : :
§
¦
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Tests de hipotesis basicas en VAR
Supongamos que nos interesa evaluar si cierta restriccion
sobre los parametros del VAR es correcta, H0 : h(µ) = 0
versus h(µ) = 0 en donde µ son todos los parametros del
VAR y h es cualquier funcion continua.
Si "t » RBN (0; −)
´
³
^ u j » Â2 (m)
^ r j ¡ ln j−
(T ¡ c) ln j−
^ r y −u son las matrices
asintoticamente bajo H0 , en donde −
de varianzas estimadas bajo el modelo restringido y sin
restringir, respectivamente, m es el numero de restricciones,
c es el numero de parametros estimados en cada ecuacion
en el modelo sin restringir, y T es el numero de
observaciones utilizables.
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Ejemplos
1. Relevancia de rezagos: Ejemplo, si en con series
trimestrales los rezagos del 9 al 12 son relevantes.
Modelo sin restringir: incluye los 12 rezagos, sin
restringir: solo los primeros 8.
2. Relevancia de variables: todos los rezagos de una
variable son irrelevantes en todas las ecuaciones.
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Causalidad de Granger
Consideremos la primera ecuacion de la representacion
VAR(p) para xt y yt :
xt = c +
p
X
i=1
®i xt¡i +
p
X
¯i yt¡i
i=1
yt no causa a xt en el sentido de Granger si
¯1 = ¯2 = ¢ ¢ ¢ = ¯p = 0
La hipotesis puede ser facilmente evaluada con un test F de
signi¯catividad conjunta (existen varias alternativas). En
forma similar se puede de¯nir ausencia de causalidad de
Granger de xt .
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² Es uno de los resultados mas abusados en econometria.
² En realidad evalua si el pasado de yt contribuye a
predecir xt . Es mas un test que tiene que ver con
precedencia temporal y no con causalidad.
Ejemplo 1: Forward-looking behavior y precios
de acciones.
Ejemplo 2: Shocks en los precios de petroleo y
recesiones.
Ejemplo 3: Efectos reales del dinero (Stock y
Watson (1989), Christiano y Ljungqvist (1988)).
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