Dcbre 2003 - Unican.es

1
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS - 2o I.T.O.P
ESTADÍSTICA
Diciembre 2003
Tiempo=100 m.
1. Una persona en un juego recibe 15 cts de euro cuando saca una sota o un caballo y recibe 5 cts
si saca un rey o un as de una baraja española de 40 cartas. Si saca cualquier otra carta paga 4
cts . ¿Cuál es la ganancia esperada en este juego?
(1.5 p.)
2. Una máquina A produce y envasa cierto producto a razón de 100 unidades por caja. Cada
unidad tiene un peso N (8; 3) g. Otra máquina B hace lo mismo pero el peso de cada unidad es
uniforme entre 5 y 11g. Una norma indica que una caja debe pesar entre 760 y 840g.
(a) Hallar la probabilidad de una caja fabricada procedente de la máquina A sea rechazada y
la probabilidad de una caja fabricada procedente de la máquina B sea rechazada. (1.25 p.)
(b) Las cajas de ambas máquinas se mezclan, el 30% corresponde a la máquina A y el resto a
máquina B. Un fabricante decide comprar un lote de 10000 cajas, para lo cual muestrea
100 cajas y rechaza el lote si hay mas de 5 que no cumplan con la norma. ¿cuál es la
probabilidad de rechazar el lote? Especifique si utiliza alguna aproximación y justifique su
aplicación.
(1.25 p.)
3. Con una muestra de 8740 personas y un nivel de confianza del 99%, se estimó que la proporción
de parados está entre 0.2874 y 0.3126. ¿Cuál deberı́a ser el tamaño de la muestra si se quiere
reducir la amplitud del intervalo un 15% manteniendo el mismo nivel de confianza?
(1.5 p.)
4. Dos máquinas de un fábrica producen piezas del mismo tipo. Se toman de cada máquina 15
piezas y se analiza la cantidad de plomo X que contienen que se supone una variable aleatoria
normal.
3,81
4,96
5,13
(Datos
15
X
i=1
Maquina A
3,94 6,47
3,87 3,65
5,66 3,83
xAi = 70, 14;
15
X
i=1
(xA )
5,06
4,74
4,54
x2Ai = 338, 71;
3,78
5,95
4,74
15
X
i=1
4,09
6,11
6,78
Maquina B
3,98 6,23
5,53 4,31
6,44 4,62
xBi = 79, 51;
15
X
(xB )
5,31
6,64
4,01
4,65
5,59
5,23
x2Bi = 435, 13) Se pide:
i=1
(a) Hallar el primer cuartil Q1 de los 30 datos de la tabla conjunta .
(0.75 p.)
(b) A partir de la muestra de las 30 piezas hallar un intervalo, con un nivel de confianza del
0.95, para la desviación tı́pica de la variable X, plomo que contienen las piezas producidas
en la fábrica
(1.25 p.)
(c) A partir de la muestra de las 30 piezas hallar un intervalo de confianza para el contenido
medio de plomo X que contienen las piezas producidas en la fábrica, con un nivel de
confianza del 0.95.
(1.25 p.)
(d) A la vista de los resultados de cada máquina, ¿se puede mantener, con un nivel de confianza
del 0.95, que las dos máquinas producen piezas con el mismo contenido medio de plomo?
(1.25 p.)
2
5. Considérese un problema de programación lineal en el que la región admisible es el conjunto de
puntos del interior y sobre la superficie de la pirámide que tiene como base el cuadrado formado
por los puntos (2, 0, 0), (4, 2, 0), (2, 4, 0), (0, 2, 0), y como vértice opuesto el punto (2, 2, 2). SE
PIDE:
(a) Supuesto que la función objetivo es
f = 5x + 2y + 5z
obtener en dónde se alcanza su valor máximo , indicando además dicho valor.
(0.3 p.)
(b) Supuesto que la función objetivo es
f = −x + y − z
obtener en dónde se alcanza su valor mı́nimo, indicando además dicho valor.
(0.3 p.)
(c) Construir de manera justificada una función objetivo que alcance su valor mı́nimo en todos
los puntos de la cara de la región admisible determinada por los vértices (2, 0, 0), (0, 2, 0) y
(2, 2, 2)
(0.6 p.)
(d) ¿Se puede encontrar alguna función objetivo que haga que el problema de programación
lineal con la región admisible indicada no tenga solución acotada? Justificar la respuesta.
(0.3 p.)
6. Dados la tabla de datos correspondientes observados en dos variables x e y:
x
y
1.00
5.10
1.25
5.79
1.50
6.53
1.75
7.45
2.00
8.46
(a) Ajustar el modelo y = a · bx mediante la técnica de mı́nimos cuadrados.
(1.1 p.)
(b) Obtener los valores respuesta del modelo para los datos de la variable predictora x , y
calcular las discrepancias respecto de las observaciones.
(0.4 p.)
Sección 1: Soluciones
3
1. Soluciones
1. Hallamos la función de probabilidad para la ganancia X del juego
15
8
40
xi
px (xi )
5
8
40
−4
24
40
La ganancia esperanza de x, E[x] = µ es
µ =15 ·
8
8
24
64
+5·
−4·
=
= 1.6 cts
40
40
40
40
2. Sea PA y PB los pesos de las cajas respectivas
(a) PA =
100
X
i=1
2
(b)
Xi con Xi ∼ N (8; σ 2 = 3 luego PA ∼ N (800; 300) y PB =
100
X
i=1
Yi con Yi ∼
U (8; σ = 3 luego PB ∼ N (800; 30)
µ
760 − 800
840 − 800
√
P (760 < X < 840) = P
<X< √
300
300
La probabilidad de rechazar es la misma para ambas, p = 0.02
¶
= 0.98
(c) Es un hipergeométrica, que se aproxima a una binomial con n = 100 y p = 0.02. La
probabilidad de rechazar, con la binomial o aproximando por Poisson es P (X > 5) ≈ 0, 015
3. La amplitud del intervalo es A = 0.0252 y la proporción observada es p = 0.3, si reducimos un
15%, el error que deseamos es
e=
z2 · p · q
0.85 A
= 0.0107 =⇒ n ≥
= 14187
2
e2
4. s2 = 0.91, x = 4.988
(a) Q1 = x7 + 0.5(x8 − x7 ) = 3.98 + 0.5(4.01 − 3.98) = 3.99
338, 71 + 435, 13
70, 14 + 79, 51
= 4.988 y s2 =
− 4.9882
(b) Con x̄ =
30
30
χ20.975;29 = 45.7223 χ20.975;30 = 46.9792 χ20.025;29 = 16.0471 χ20.975;30 = 16.7908
n s2
∼ χ2n−1 = χ229
σ2
s2
< 46.9792 =⇒ 0.58 < σ 2 < 1.625
σ2
0.95
= 2.0452, 4.988 ± t0.975;29 √ = (4, 639 − −5, 36)
29
= 2.0484, suponiendo varianzas iguales
r
r
15 s2A + 15 s2B
1
1
xA − xB ± t0.975;28
+
28
15 15
16.7908 < n
(c) Con t0.975;29
(d) Con t0.975;28
4, 676 − 5.3 ± 2.0484
r
24.4094
28
r
1
1
+
= (−1.3224; 0.0744)
15 15
Sección 1: Soluciones
4
(e) Dado el problema de programación lineal :
min
z=
x1
− x2
3
con las restricciones:
x1 , x2 ≥ 0,
x1 x2
−
≥ 1,
2
2
x2 − 1 ≤ p(x1 − 3)
donde p es un parámetro del problema. SE PIDE:
i. Calcular el valor de p para que la función objetivo alcance su valor mı́nimo en infinitos
puntos de la región admisible o factible, indicando dicho valor mı́nimo y el conjunto de
puntos en que se alcanza.
(0.5 p.)
ii. En el caso p = −1, obtener el valor del mı́nimo y el lugar donde se alcanza.
(0.25 p.)
(f) La siguiente tabla muestra el asiento (en cms.) a lo largo del tiempo (en meses) de un
edificio recientemente construı́do:
x (meses)
y (cms)
2
4.90
4
2.84
6
1.88
12
0.56
i. Ajustar un modelo exponencial y = a bx para valorar el asiento en función del tiempo,
mediante la técnica de mı́nimos cuadrados efectuando la transformación adecuada para
linealizar el modelo.
(0.5 p.)
ii. A partir del modelo ajustado, estimar el asiento del edificio a los 18 meses.
(0.25 p.)