ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN - Departamento de Tecnología

ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN
Tema 2: ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN
Contenido
*
Álgebra de Boole: Definición axiomática y propiedades.
*
Álgebra de conmutación: operadores NOT, AND, OR, NAND, NOR, XOR y EQV.
*
Funciones y expresiones.
*
Representación: tablas de verdad, mapas binario y de Karnaugh, símbolos gráficos.
*
Formas canónicas y normalizadas.
*
Primitivas lógicas: conjuntos completos.
*
Simplificación de expresiones.
Bibliografía básica
FC
-
M. Morris Mano y Charles R. Kime: Cap 2
V. P. Nelson et al: Cap 2
C.H. Roth: Caps 2, 3, 4
J. Wakerly: Cap 4
C. Baena et al: Cap 2
Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla.
Fundamentos de Computadores
Álgebra de Conmutación 1
ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN
POSTULADOS Y TEOREMAS
Desarrollos matemáticos:
Aplicaciones:
C. Boole (aprox. 1850): Notación algebraica para la lógica humana (Aristóteles)
E.V. Huntington (aprox. 1904): Conjunto mínimos de postulados
A. Nakashima (1937): A circuitos con relés eléctricos
C. E. Shannon(1938-1947): Análisis y diseño de redes de conmutación
Postulado/Teorema
<B, +, •, > ; B = {..., 0, 1}; + es OR; • es AND; es NOT
P1 Ley de identidad
x+0=x
x•1=x
P2 Ley conmutativa
x+y=y+x
x•y=y•x
P3 Ley distributiva
x • (y + z) = x • y + x • z
x + (y • z) = (x + y) • (x + z)
P4 Ley del complemento: ∀x existe x tal que
x+x=1
x•x=0
T1 Ley de idempotencia
x+x=x
x•x=x
x es único
T2 Ley de unicidad del complemento
T3 Ley de los elementos dominantes
x+1=1
T4 Ley involutiva
FC
x•0=0
(x) = x
T5 Ley de absorción
x+x•y=x
x • (x + y) = x
T6 Ley del consenso
x+x•y=x+y
x • (x + y) = x • y
x + (y + z) = (x + y) + z
x • (y • z) = (x • y) • z
x•y=x+y
x+y=x•y
T9 Ley de De Morgan generalizada
x • y • z ... = x + y + z + ...
x + y + z + ... = x • y • z ...
T10 Ley del consenso generalizado
x•y+x•z+y•z=x•y+x•z
(x + y) • (x + z) • (y + z) = (x + y) • (x + z)
T7 Ley asociativa
T8 Ley de De Morgan
Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla.
Fundamentos de Computadores
Álgebra de Conmutación 2
ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN
Operadores básicos
puertas (gates)
(Símbolos: Clásicos de lógica positiva y negativa, y símbolo IEC1
Inversor
OR
NOR
AND
NAND
x
x+y
x+y
x·y
x·y
>1
>1
&
&
1
FC
Inhibe: 1
1
1
0
0
0
0
1
1.International Electrotechnical Comission
Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla.
Fundamentos de Computadores
Álgebra de Conmutación 3
ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN
Otras puertas
Entrada
Buffer
Pads
Salida
1
La increíble XOR (cuidado con EQV)
XOR
FC
=1
a⊕b=
⎨
1 sii sólo hay un único 1 (nº impar de
1’s si hay más variables)
1 sii a ≠ b
Transmite dato (a = 0
a ⊕ b = b) o dato (a = 1
a ⊕ b = b)
Aparece en muchas funciones: suma, resta, comparación, complemento a 2, generación/
detección de paridad, ...
Es asociativa; su negada NXOR puede ser EQV o EQV
Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla.
Fundamentos de Computadores
Álgebra de Conmutación 4
ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN
Las 16 Funciones de dos variables:
FC
Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla.
Fundamentos de Computadores
Álgebra de Conmutación 5