002-ESTRUCTURA ATÓMICA

¿Partículas u ondas?
ESTRUCTURA DE LA
MATERIA
ESTRUCTURA
ATÓMICA
• Hasta este momento hemos hablado de los
electrones y de las otras partículas subatómicas
como si fueran pedacitos de materia duros como
bolas de billar (¡tienen masa!).
• Son diferentes a las bolas de billar en que tienen
niveles energéticos claramente cuantizados.
• Estos niveles, pueden medirse de manera muy
precisa, usando los espectros de emisión y
absorción de los elementos.
• Sin embargo estas las partículas subatómicas, a
menudo tienen un comportamiento que no se
puede explicar con este modelo.
Introducción
Introducción
Semestre 2009-1
Rafael Moreno Esparza
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ESTRUCTURA ATÓMICA
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¿Partículas u ondas?
ESTRUCTURA ATÓMICA
ESTRUCTURA ATÓMICA
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¿Partículas u ondas?
• Así, cuando la luz incide en algunas superficies
metálicas, se produce una corriente de electrones.
• A este fenómeno se le conoce con el nombre de
efecto fotoeléctrico.
Analizador de
L
energía
energ
ía
• Así, algunos metales uz m
electrónica
on
(los alcalinos) pueden
oc
ro
emitir electrones si la
m
át
ica
luz incidente es visible,
en cambio otros solo
emiten electrones
con luz ultravioleta.
Metal
• Es decir, para cada
metal hay una frecuencia umbral de la luz, por
debajo de la cual no se produce la corriente de
electrones.
E
de lec
sp tro
ed n
id es
os
• De forma similar, la radiación electromagnética,
tradicionalmente la hemos percibido simplemente
como un fenómeno ondulatorio.
• Sin embargo al estudiarla más, tiene asociadas
ciertas propiedades que el modelo ondulatorio no
puede explicar.
• De hecho estas propiedades se pueden asociar al
comportamiento de las partículas.
• Así, decimos que la radiación electromagnética
tiene momento efectivo y que además también
está cuantizada en paquetes llamados fotones.
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¿Partículas u ondas?
¿Partículas u ondas?
• Por otro lado al mismo tiempo se ha demostrado
experimentalmente con un fototubo:
– Que la energía de los electrones emitidos es
independiente de la intensidad del haz
incidente
– Que la energía de los electrones emitidos es
proporcional a la frecuencia de la radiación
incidente.
Corriente (A)
Radia
ció
ión
al
teri
Ma nsible
ose
fot átodo
c
Electrodo
colector
ánodo
Corriente (A)
Ele
ctr
on
es
Frecuencia de la luz incidente
Incremento de la
intensidad de la luz
Voltaje
umbral
Voltaje opuesto (V)
Voltaje opuesto (V)
Corriente
eléctrica
el
éctrica
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¿Partículas u ondas?
∆ν
= 4.1 ×10−15eV ⋅ s
∆E = 1.25eV
∆ν = 3 ×1014
Frecuencia de la radiación
radiación (Hz
(Hz x 1014)
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¿Partículas u ondas?
Energía
Energ
ía cinética máxima
Energía cinética máxima (eV
Energía
eV))
∆E
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• Este fenómeno, no puede explicarse empleando la
teoría electromagnética clásica pues según esta, la
energía de los electrones debe variar
con la intensidad y además ser
independiente de la frecuencia.
• En 1905, Albert Einstein, demuestra
que se podían resolver estas
dificultades si se aplicaban los
postulados de Plank
a este fenómeno.
• Para ello, sugiere que en vez de pensar en la luz
incidente como un fenómeno ondulatorio, debe
considerársele como una corriente de corpúsculos
a los que llamó fotones.
• Cada uno de estos fotones tiene una energía
determinada que depende de su frecuencia.
– Que el número de electrones emitidos por
unidad de tiempo es proporcional a la
intensidad de la radiación incidente.
– Y que la frecuencia umbral ν0 depende del
material
h =
Voltaje
umbral
La pendiente
de los dos
metales
es la misma
y vale h
ν0 de A
ν0 de B
Frecuencia de la radiación
radiación
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¿Partículas u ondas?
¿Partículas u ondas?
• La cantidad de energía de cada fotón está dada
según Einstein por esta expresión:
E fotón = h!
• Cuando los fotones golpean la superficie metálica
estos, pueden ceder su energía a un electrón del
metal.
El potasio necesita al menos 2.0 eV para que se produzca una corriente
• Parte de esta energía la emplea para arrancarlo
de la superficie del metal dándole energía
cinética. Si la frecuencia es inferior a la umbral, el
efecto no se produce.
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¿Partículas u ondas?
ESTRUCTURA ATÓMICA
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¿Partículas u ondas?
• Considerando que es posible pesar a los electrones,
lo cual es tradicionalmente una propiedad de las
partículas.
• Resulta muy desconcertante saber que los
electrones también pueden hacer cosas (como por
ejemplo difractarse) de manera muy similar a la
radiación visible o a los Rayos X.
• Esta es una propiedad que típicamente se percibe
asociada con el comportamiento de las ondas.
• Esto desde el punto de vista de la mecánica clásica,
es claramente una contradicción.
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• Ahora bien, matemáticamente, ya sea que
consideremos que los electrones (o la luz) como
partículas o como ondas, depende esencialmente
de la observación que pretendemos describir.
• Así, algunas veces una representación será más útil
que la otra, en tanto que en otras ocurrirá lo
opuesto.
• Conviene recordar entonces, que cualquiera que
sea el modelo matemático empleado, el resultado
es una descripción de las propiedades y no de la
naturaleza de los electrones o la luz.
10
• Esta dualidad partícula-onda de las propiedades de
los electrones fue expresada por Louis de
Broglie.
• De Broglie, postula que la
materia posee características
de onda y de partícula al mismo
tiempo.
• Y expresa esta dualidad en una
ecuación que ya es muy famosa
y se considera que tiene gran
profundidad.
• En esta la longitud de onda se expresa
h
como una función de la masa y de
!=
la velocidad de la partícula.
mv
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¿Partículas u ondas?
¿Partículas u ondas?
• Esto nos sugiere, que las observaciones de
comportamiento ondulatorio o de partícula,
simplemente se relacionan a diferentes atributos
de la materia o de la luz.
• Evidentemente, esto es una idea que genera
mucha confusión.
• Para los humanos, todos los días, la experiencia
nos sugiere que las cosas son ya sea partículas o
bien ondas, nunca ambas.
• ¡Una pelota es una partícula y el sonido es una
onda¡
• En la práctica por tanto, la dualidad partículaonda es significativa únicamente para entidades
muy, muy pequeñas.
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ESTRUCTURA ATÓMICA
• El obstáculo que se nos presenta para entender su
naturaleza se debe a que es difícil relacionar
nuestra experiencia cotidiana con la luz y la
materia, con la aparente naturaleza conflictiva de
las partículas que son tan pequeñas.
• Así, parece ridículo sugerir que la materia que
manipulamos cotidianamente puede tener
propiedades ondulatorias, pero no lo es.
• El problema descansa en la magnitud de la
longitud de onda.
• Para cualquier objeto visible, el tamaño de la
longitud de onda es tan pequeño que no puede
percibirse.
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¿Partículas u ondas?
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¿Partículas u ondas?
• Por otro lado, un electrón que se moviera a la
misma velocidad, pero cuya masa en estado
estacionario es de 9.10939 x 10-30 kg tendría una
longitud de onda asociada de:
• De esta manera, es posible concluir que longitud
de onda efectiva de una partícula es importante
únicamente cuando la partícula es muy pero muy
pequeña.
• Consideremos una pelota de baseball, cuya masa
es de 150 g y que se mueve a 160 km/h (45 m/s).
• Al sustituir esto en la ecuación de de Broglie:
#=
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#=
h
6.63 " 10 !34
=
$ 9.81 " 10 !35
mv
0.15 % 45
h
6.63 " 10 !34
=
$ 1.6 " 10 !6
mv 9.10939 " 10 !30 % 45
• La cual es una longitud de onda mucho más
observable experimentalmente.
• Esto ¡es muy pequeño!
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De órbitas de Bohr a orbitales de Schrödinger
• Si en el modelo de Bohr, los electrones dan vueltas
alrededor del núcleo en órbitas cuantizadas, el
modelo cuántico ya no lo considera así.
electrones
núcleo
electrones
núcleo
Orbital
Órbita estacionaria
Rutherford
Bohr
Schrödinger
• Antes de discutir este modelo, debemos considerar
que, las dos de las piezas de información más
importantes que debemos conocer acerca de un
objeto cualquiera son:
– la posición por una parte y
– la velocidad (o mas bien el momento) por otra.
• Pues resulta que, no es posible determinar con
precisión la posición y el momento de un electrón
al mismo tiempo.
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De órbitas a orbitales
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De órbitas a orbitales
• A este fenómeno, se le conoce como principio de
incertidumbre de Heisenberg.
• Esto puede ilustrarse como sigue:
– Para definir la posición de un electrón, es
necesario ver donde está.
– Para poder ver un objeto, es necesario que la luz
que lo ilumine tenga una longitud de onda
menor que el tamaño del objeto.
– Como los átomos son mucho menores que la
longitud de onda de la luz visible, será necesario
emplear radiación con longitud de onda del
tamaño de un átomo
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De órbitas de Bohr a orbitales de Schrödinger
• Una consecuencia muy importante de la
naturaleza dual de la materia es un hecho
estudiado y enunciado en 1927 por Heisenberg.
• Este fenómeno muestra que es imposible
especificar, simultáneamente y con exactitud, la
posición y el momento lineal de una partícula.
• Según esto, no es posible atribuir al electrón
órbitas precisas alrededor del núcleo, porque ello
implicaría el conocer exactamente la posición y la
velocidad del electrón en cada instante.
• Este atributo no es evidente para objetos
macroscópicos pero domina la naturaleza de
partículas subatómicas como el electrón.
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– Estas longitudes de onda están asociadas a
radiación electromagnética de gran energía.
– Como la radiación electromagnética de esas
longitudes de onda tiene también asociado un
momento efectivo, al chocar con los electrones,
les transferirán parte de ese momento.
– De manera que el momento original del
electrón cambia.
– Así, aunque hemos visto al electrón, al mismo
tiempo le hemos cambiado su momento.
– Es decir, nuestra observación hace que las
propiedades del objeto cambien.
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De órbitas a orbitales
De órbitas a orbitales
• Un análisis riguroso de este fenómeno y otros
relacionados, muestra que:
– Al conocer con mayor precisión la posición de
un electrón, se conocerá con menor precisión su
momento y viceversa.
– Aun más, hay definido un límite con el cual se
pueden conocer a un tiempo la posición y el
momento de un objeto cualquiera.
– Y se puede expresar con la siguiente ecuación:
h
4$
– Donde:
!x = incertidumbre en la posición
!p = incertidumbre en el momento
!x " !p #
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De órbitas a orbitales
ESTRUCTURA ATÓMICA
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De órbitas a orbitales
• Además, si la probabilidad de encontrar al electrón
en un sitio es grande, la densidad electrónica de
ese sitio será grande.
• De tal manera, que podemos decir que la
probabilidad de encontrar al electrón en un sitio
particular es lo mismo que hablar de la densidad
electrónica de ese punto.
• Entonces, la densidad electrónica o densidad de
probabilidad son formas de representar a los
electrones en los átomos
• Y describen a los electrones localizados en una
región específica del espacio con una densidad
particular en cada punto del espacio.
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• Este hecho que pudiera parecer desastroso a
primera vista, no lo es.
• Pero nos obliga a emplear un tratamiento
diferente para analizar las propiedades del
electrón.
• Así, en vez de hablar de la posición o de la
velocidad de un electrón, hablaremos de la
probabilidad de que se encuentre en un lugar en
un tiempo determinado.
• Aunque la posición de un electrón no puede
definirse exactamente, la probabilidad de
encontrarlo si puede calcularse.
22
• Tomando en cuenta que estamos interesados
principalmente en la probabilidad de encontrar
al electrón en diversos puntos del espacio.
• O aun mejor, la densidad electrónica en un
lugar; lo que en realidad nos interesa no es la
función de onda sino el cuadrado de la función
de onda.
• Al graficar el cuadrado de las funciones que
describimos antes respecto a la distancia al
núcleo, obtendremos el comportamiento de la
densidad electrónica respecto al radio del
átomo.
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La ecuación de Schrödinger
• Para que el modelo de Bohr funcione, es
necesario postular la cuantización de la energía de
manera arbitraria. Sólo así, el modelo se ajusta a
las observaciones.
• Es decir, este modelo no explica por que hay
niveles energéticos cuantizados.
• Erwin Schrödinger en 1925,
propone que la manera más
directa de explicar esto era
enfatizar la naturaleza ondulatoria
del electrón por medio de
ecuaciones que describieran
las propiedades ondulatorias
de los electrones en los átomos.
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La ecuación de Schrödinger
8π 2me
h2
(E −V ) Ψ = 0
• Es decir, usó un método llamado mecánica
ondulatoria para describir las propiedades de los
electrones y sus niveles energéticos (orbitales)
empleando ecuaciones de onda
• Además de los sistemas atómicos, hay muchos
otros sistemas mucho más familiares que se
describen satisfactoriamente con las ecuaciones de
onda.
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ESTRUCTURA ATÓMICA
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La ecuación de Schrödinger
• Con esto en mente, y mucha intuición, sugiere que
un sistema atómico puede tratarse con una
ecuación como la siguiente:
∇2Ψ +
La ecuación de Schrödinger
• El concepto fundamental en el que se basa la
mecánica cuántica es que la materia tiene
propiedades ondulatorias.
• Este atributo no es evidente para objetos
macroscópicos pero domina la naturaleza de
partículas subatómicas como el electrón
• En esta aproximación, el comportamiento de una
partícula microscópica puede explicarse en
términos de una función de onda, Ψ, que depende
de las coordenadas espaciales (x, y, z).
• Esta función describirá el comportamiento del
electrón en un átomo después de resolver una
ecuación de ondas.
26
• Entre estos fenómenos se encuentra el de una
cuerda de guitarra que al fijarse en dos extremos,
produce únicamente notas de cierta frecuencia (la
fundamental y sus harmónicos).
• Es decir, las vibraciones de una cuerda fija en sus
dos extremos, están cuantizadas.
• Esto, es una consecuencia perfectamente natural,
del hecho de ambos extremos de la cuerda estén
fijos.
• Por cierto el fijar los extremos de la cuerda
constituye lo que llamamos condición a la frontera
de la ecuación de onda que describe las notas.
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7
La ecuación de Schrödinger
La ecuación de Schrödinger
• La ecuación de onda empleada para describir el
comportamiento de los electrones en un átomo,
requiere de manera similar, la imposición de
ciertas condiciones a la frontera perfectamente
naturales.
• Esta ecuación de onda que ha causado problemas a
muchas generaciones de estudiantes, y
seguramente continuará haciéndolo, pero en
nuestro curso no las vamos a resolver las
matemáticas asociadas a esta ecuación.
• Sin embargo, los resultados obtenidos es decir, las
soluciones de esta ecuación de onda, si los
examinaremos ahora.
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La ecuación de Schrödinger
#2 " #2 " #2 "
+
+
#x 2 #y 2 #z 2
ESTRUCTURA ATÓMICA
8π 2me
h2
(E −V ) Ψ = 0
• Y tiene más de una solución, de hecho tiene
muchas soluciones, y estas son las que introducen
la cuantización.
• Esto es debido a las condiciones a la frontera
impuestas.
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• La ecuación de Schrödinger puede escribirse
también así:
• Y corresponde a la energía cinética del electrón.
• En tanto que V se refiere a la energía potencial del
sistema.
• Y se expresa en términos del número de electrones
del sistema.
• La solución de esta ecuación diferencial, genera
valores de energía que estaban de acuerdo a los
experimentales.
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∇2Ψ +
La ecuación de Schrödinger
• En esta ecuación, el primer término puede
expresarse explícitamente así:
!2 " =
• En muchos casos, no es posible resolver la
ecuación de Schrödinger analíticamente de
manera exacta.
• Sin embargo si puede resolverse así para el caso
del átomo de hidrógeno.
• Esta ecuación diferencial tiene esta forma:
30


h2


2
−
∇
+V

 Ψ = E Ψ
2
 8π me

• O de manera abreviada:
HΨ=EΨ
• Donde H es el operador Hamiltoniano (que
define las operaciones que deben aplicarse a Ψ.
• Y describe el comportamiento de las energías
cinética y potencial del electrón.
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8
La ecuación de Schrödinger
La ecuación de Schrödinger
• Así pues, cuando se aplica el Hamiltoniano a una
función de onda, se obtiene la misma función de
onda multiplicada por un valor E, que corresponde
a la energía de la partícula definida por el propio
Hamiltoniano .
• Es muy importante destacar la ausencia de
significado físico de la función de onda Ψ.
• Sin embargo, el cuadrado de esta misma función si
tiene significado físico.
• Y es proporcional a la probabilidad de encontrar la
partícula en un volumen infinitesimal del espacio.
• Esto se conoce como la interpretación de Born.
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La ecuación de Schrödinger
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La ecuación de Schrödinger
• Estos tres números cuánticos son un conjunto
de enteros que especifican cada situación
particular.
• Cada solución corresponde a un nivel energético
y cada uno de los niveles energéticos del
hidrógeno se puede predecir correctamente por
las soluciones de la ecuación.
ESTRUCTURA ATÓMICA
Ψ 2 ⋅dx ⋅dy ⋅dz ∫ Ψ 2dv
• Las soluciones, son una familia de funciones que
para especificarse requieren de los tres números
cuánticos.
Etiqueta
Descripción
Número cuántico principal: tamaño del
n
orbital. Puede tomar cualquier entero
positivo de 1 a ∞
Número cuántico azimutal: forma del
l
orbital. Para cada valor de n, l puede
valer desde 0 a n-1
Número cuántico magnético:
ml
orientación del orbital. Para cada valor
de l, ml puede valer desde –l a +l
• La ecuación de Schrödinger nos da un conjunto
de funciones (eigenfunciones) que definen los
estados de un electrón en un átomo y dependen
de tres números cuánticos:
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• La función ψ(x,y,z) se llama orbital atómico.
• Y es una función que representa la amplitud de la
onda asociada al electrón.
• Entonces, el cuadrado de la función de onda
puede igualarse a la densidad electrónica o a la
probabilidad de que el electrón se encuentre en
un elemento de volumen dado.
• De manera que el significado físico de la función
Ψ2(x,y,z), mide la probabilidad de que un electrón
se encuentre en el elemento de volumen dv.
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ESTRUCTURA ATÓMICA
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9
La ecuación de Schrödinger
La ecuación de Schrödinger
• La aplicación de estas reglas nos permite
construir una tabla de niveles energéticos.
• Así, solamente hay un orbital para n=1, cuatro
para n=2 y nueve para n=3.
• Cada conjunto de orbitales con la misma n se le
llama capa.
• A cada conjunto de orbitales de la misma capa
con la misma l se llama subcapa.
• De manera que hay un solo orbital en cada
subcapa con l=0, tres en la subcapa con l=1 y
cinco en la subcapa con l=2.
• Una gráfica de:
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ESTRUCTURA ATÓMICA
! 2n ,l ,ml (x , y , z)
• Describe el comportamiento de la densidad
electrónica en un átomo.
• Para poder graficar la función de onda
completa necesitaríamos cuatro dimensiones.
• Y para resolver esta dificultad, es necesario
que separemos la función de onda en tres
partes.
36
La ecuación de Schrödinger
 ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ   8π 2m  E +e 2 

 

−
 ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2  +  h 2  r  Ψ

 


m, -e
• Pues la energía potencial entre el núcleo y el
electrón es:
2
V =−
M, +e
ESTRUCTURA ATÓMICA
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• La ecuación de Schrödinger que representa a
este sistema es la siguiente:
r
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ESTRUCTURA ATÓMICA
La ecuación de Schrödinger
• El átomo de Hidrógeno
• El hidrógeno es el elemento más simple que
existe, pues consta de únicamente de un protón
en el núcleo y un electrón alrededor en algún
lado.
M>>>m
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e−
r
• Al ser este un sistema con simetría esférica, es
mejor utilizar coordenadas polares.
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La ecuación de Schrödinger
La ecuación de Schrödinger
• Pero para hacerlo es necesario hacer los
siguientes cambios de variables:
• Transformación de coordenadas cartesianas a
polares:
Z
x = r sen θ cos φ y = r sen θ sen φ z = r cos θ
• Y de esta forma se pasa de una función de onda
del tipo Ψ(x,y,z) a una del tipo Ψ(r,θ,φ).
• Al hacer esto, obtenemos la función de onda en
coordenadas r, θ y φ, las cuales podemos
separar así:
θ
x, y , z  r, θ, φ
r
Ψ (r, θ,φ ) = R (r ) ⋅ Θ (θ ) ⋅ Φ (φ )
Y
• Donde R(r) representa la dependencia de Ψ
respecto a la distancia al núcleo, en tanto que
• Θ(θ) y Φ(φ) la dependencia angular de Ψ
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La ecuación de Schrödinger
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La ecuación de Schrödinger
• La resolución de la ecuación de Schrödinger
descrita anteriormente conduce a la obtención de
tres números cuánticos etiquetados como n, l y ml.
• Cada número cuántico caracteriza a una propiedad
que cuantizada en el electrón, es decir, que sólo
pueden presentarse con determinados valores:
• n define la energía,
• l el momento angular orbital y
• ml la orientación del momento angular.
• Las energías permitidas para el electrón del átomo
de hidrógeno dependen exclusivamente de n y está
me 4
dada por:
En = − 2 −
8ε0n 2h 2
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φ
X
42
• O lo que es lo mismo en eV:
E =−
13.6
n2
• Esta dependencia de la energía con 1/n2 origina
que una convergencia muy rápida de los niveles de
energía para valores de n grandes.
• A pesar de ello, el nivel de energía igual a cero se
presenta para cuando n es igual a infinito.
• Esta situación corresponde cuando el núcleo ha
perdido el electrón es decir el átomo se ha ionizado.
• Después de este nivel (ante la ausencia de
interacción con el núcleo) el electrón podrá vagar
libremente
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La ecuación de Schrödinger
La ecuación de Schrödinger
• Cada combinación de los números cuánticos n, l y
ml describe una solución de la ecuación de onda.
• La solución más simple es aquella en la que n = 1, l
= 0 y ml = 0, Ψ(1,0,0), y describe al electrón en el
átomo en su estado basal (de menor energía).
• Cada una de estas funciones de onda para el átomo
de hidrógeno corresponde a un orbital atómico.
• En un átomo de hidrógeno todos los orbitales que
tienen el mismo valor del número cuántico
principal n tienen asociado el mismo valor de la
energía y se dice que son orbitales degenerados.
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La ecuación de Schrödinger
ESTRUCTURA ATÓMICA
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La ecuación de Schrödinger
• Los nombres de los orbitales proceden de las
etiquetas que tenían las líneas del espectro del
hidrógeno.
• Pero se nombran empleando los números cuánticos.
• La primera parte es el número cuántico principal, y
la segunda está definida por el número cuántico
azimutal.
• Así los orbitales con l=0 se les llama s (sharp)
• Los orbitales con l=1 se les llama p (principal)
• Los orbitales con l=2 se les llama d (diffuse)
• Los orbitales con l=3 se les llama f (fundamental)
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• El número cuántico principal entonces definirá una
serie de capas del átomo, cada capa constituida por
un conjunto de orbitales con el mismo valor de n y
por tanto de la misma energía.
• Los orbitales de cada capa se clasifican a su vez en
subcapas las cuales se distinguen por el valor desu
número cuántico l.
• Así, la capa n = 1 sólo tiene una subcapa con l = 0;
la capa n = 2, posee dos subcapas, una con l = 0 y
otra con l = 1; la capa n = 3 posee tres subcapas (l
= 0, l = 1 y l = 2) y así sucesivamente.
46
• Como se ha mencionado anteriormente, el potencial
del núcleo del átomo de hidrógeno (y por cierto el
de todos los demás átomos) tiene simetría esférica y
la resolución de la ecuación de onda puede llevarse a
cabo mediante el empleo de coordenadas polares.
• De esta forma se obtienen funciones de onda para
cada triada de valores de n, l y ml.
• Estas funciones de onda están compuestas por
varios términos que pueden agruparse de la
siguiente forma:
Ψn,l ,m = Rn,l (r ) ⋅ Θl ,m (θ ) ⋅ Φl (φ )
l
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l
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La ecuación de Schrödinger
• La función R(r) se denomina función de onda
radial mientras que el producto Θ(θ) Φ(φ) es la
función de onda angular.
• Entonces, la representación de cualquier función
de onda requerirá de un espacio de cuatro
dimensiones (4D), lo que las hace imposible
visualizarla. Pues dicho espacio es inaccesible en la
tierra que es 3D.
• Es por ello que que es necesario separar las dos
funciones mencionadas más arriba para estudiarlas
por separado.
• Una vez que hemos separado la función radial de
la función angular, podremos estudiarlas y
visualizarlas.
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ESTRUCTURA ATÓMICA
48
La ecuación de Schrödinger
l
f(r)
1
0
2
2
0
2
3
3
3
17/10/08
1
2 2
1
0
1
2
2 6
1
2s
(ρ )
2p
(6 − 6ρ + ρ )
2
9 3
1
9 6
1
3s
(4 − ρ ) ρ
3p
(ρ )
3d
9 30
2
ESTRUCTURA ATÓMICA
Z
Rn,l (r ) = f (r ) 
a 0 
e
−
2
• donde a0 es el radio de Bohr (0.529Å),
r = 2Zr/na0 y n = número cuántico principal.
• Así, la principal diferencia entre distintos
orbitales se encuentra en f(r).
• La siguiente tabla muestra los valores de esta
función para varias funciones de onda u
orbitales.
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ESTRUCTURA ATÓMICA
49
• Todas las funciones radiales, para cualquier valor
de n, presentan una característica común y es que
decaen exponencialmente con la distancia hasta
el núcleo.
• Este decaimiento es tanto más pronunciado
cuanto menor sea el valor del número cuántico n.
• Otra característica es la posibilidad de que en
algún punto la función de onda sea cero.
• Ello no sucede para un orbital 1s, pero sí para los
orbitales 2s y 3s.
• Estos valores para los que la función de onda
radial se hace cero se denominan nodos radiales.
nombre
1s
(2 − ρ )
1
• De forma general, la función de onda radial de
orbitales hidrogenoides es una expresión del
3
tipo siguiente:
 2 r
La ecuación de Schrödinger
• La función de onda radial, tabla de valores de
f(r)
n
La ecuación de Schrödinger
50
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ESTRUCTURA ATÓMICA
51
13
La ecuación de Schrödinger
La ecuación de Schrödinger
• En un nodo, la probabilidad de encontrar al
electrón es cero.
• Un orbital presentará n-l-1 nodos radiales,
independientemente del valor de ml.
• Así el orbital 2s (n = 2, l = 0 y ml = 0) posee
un nodo radial.
• En tanto que el orbital 3s (n = 3, l = 2, ml = 0)
tiene 2 nodos radiales.
• De la expresión de la función radial es posible
obtener el valor o valores de r donde la función
vale cero.
• Así, por ejemplo, el nodo del orbital 2s aparece
en un valor de r= 0.529 Å.
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ESTRUCTURA ATÓMICA
52
• La parte radial de la función de onda:
3
• n=1, l=0, ml=0:
  2 
Z
R 0,0,0 (r ) = 2  
a 0 
• n=2, l=0, ml=0:
R
2
R

 
(r ) =  1 aZ 
 2 6  0 
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3
2
2

  Z ⋅r 
2 − Z ⋅ r e − 2a0 

a 0 
 Z ⋅ r  − 2aZ ⋅r 

  0
 a e
 0 
ESTRUCTURA ATÓMICA
53
La ecuación de Schrödinger
En = −K ⋅
2
e −
4π m e
n2
• Donde K vale 1312.1 kJ/mol, Z la carga
(
ESTRUCTURA ATÓMICA
2,1,0
3
Z ⋅r 
− a 
 0
• Considerando lo anterior, vemos que los tres
números cuánticos n, l y ml determinan los
posibles estados energéticos y su densidad
electrónica correspondiente.
• En particular la energía y el número de orbitales
están definidos por n, así:
Z2
• La más importante característica de estas
funciones, es que todas presentan un decaimiento
exponencial.

• Y además el radio más
n2 
3 l l + 1
probable siempre
r = a0 
 −
depende de n y de l,
Z 
2
2n 2

y se calcula con esta ecuación:


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
 
(r ) =  1 aZ 
 2 2  0 
• n=2, l=1, ml=0:
La ecuación de Schrödinger
• Las funciones anteriores representan el
comportamiento de los orbitales 1s, 2s y 2p
respecto al radio atómico.
• Z es la carga nuclear y a0 es el radio de Bohr o el
radio más probable (52.9pm).
• Y se determina con la masa (me) y la carga del
electrón (e-) así:
h2
a0 =
2,0,0
e
n E
)





54
1
l
m
-1312.1 0(1s)
2
-328.0 0(2s),1(2p)
3
-145.8 0(3s),1(3p),2(3d)
4
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-82.0 0(4s),1(4p),2(4d),3(4f)
ESTRUCTURA ATÓMICA
n2
0
1
+1,0,-1
4
+2,+1,0,-1,-2
+3,+2,+1, 0,-1,-2,-3
9
16
55
14
La ecuación de Schrödinger
La ecuación de Schrödinger
983.2
kJ/mo
l
116
6.5
kJ/m
ol
Energía
• La información de la tabla anterior se puede
representar gráficamente por medio de un
diagrama de energías.
l=0
1
3
4
• Donde cada casilla
0
(n = 4) 70.7
representa un orbital
(n = 3) 145.6
que puede ser ocupado
182.4 kJ/mol
(n = 2) 328.0
por un electrón.
• Así, para el átomo de
hidrógeno presentamos
1313.1 kJ/mol
la energía para cada uno
de los estados (funciones
de onda) del sistema.
• Esto lo presentamos aquí:
• Otros átomos hidrogenoides, también tienen
esquemas similares,
excepto que debido
1313.1
a que la energía
depende de Z,
los valores obtenidos
son mayores.
5246
• Así, las cantidades en
rojo son kJ/mol
11807
(n = 1) 1313.1
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ESTRUCTURA ATÓMICA
56
Los orbitales
17/10/08
57
Los orbitales
– Ahora los orbitales 2s y 2p
• Y ¿Cómo son los orbitales?
– Primero el orbital 1s
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ESTRUCTURA ATÓMICA
ESTRUCTURA ATÓMICA
58
17/10/08
ESTRUCTURA ATÓMICA
59
15
Los orbitales
Los orbitales
– Ahora comparamos los orbitales s de estas
tres capas
– Ahora los orbitales de la tercera capa:
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ESTRUCTURA ATÓMICA
60
Los orbitales
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61
Otra vez la ecuación de Schrödinger
• La parte angular de la función de onda describe la
forma de la nube electrónica.
• Y varía dependiendo de la clase de orbital y de su
orientación en el espacio (s, p, d o f).
• Sin embargo para cada tipo de orbital por ejemplo
todos los s o todos los pz la función angular es
idéntica, es decir no dependen de n.
• De esta manera tenemos que para cualquier
orbital s, la función angular es así:
– Y finalmente los comparamos todos:
• l = 0, ml = 0:
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ESTRUCTURA ATÓMICA
ESTRUCTURA ATÓMICA
62
17/10/08
 1 
Θ (θ ) Φ (φ ) =  
 4π 
ESTRUCTURA ATÓMICA
1
2
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16
Los orbitales
La ecuación de Schrödinger
• En tanto que para los orbitales pz, tiene esta
forma:
– Y tienen esta forma:
1
• l = 1, ml = 0:
 3 2
Θ (θ ) Φ (φ ) =   cos (θ )
 4π 
• Los orbitales px y py tienen una dependencia
de Θ(θ) y Φ(φ) diferente pero la misma
forma, es decir únicamente se orientan en el
espacio de manera diferente.
1s
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2s
3s
ESTRUCTURA ATÓMICA
64
Los orbitales
17/10/08
ESTRUCTURA ATÓMICA
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La ecuación de Schrödinger
• Finalmente en el caso del orbital dz2 se
tiene esta dependencia angular de la
función de onda:
• l = 0, ml = 0:
1
– Y su forma es así:
 5 2
 3 cos2 θ −1
Θ (θ ) Φ (φ ) = 
( )
16π 
2px
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2py
ESTRUCTURA ATÓMICA
2pz
• Los demás orbitales d también tienen una
dependencia de Θ(θ) y Φ(φ) diferente.
• Y también tienen diferentes orientaciones
en el espacio.
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ESTRUCTURA ATÓMICA
67
17
Los orbitales
Propiedades periódicas de los elementos
• Y tienen esta forma:
• La herramienta más importante para organizar y
recordar hechos químicos es la tabla periódica
• Está basada en la naturaleza periódica de las
propiedades químicas de los elementos
• Y también en la naturaleza periódica de las
configuraciones electrónicas de estos
• Los elementos en la misma columna tienen el
mismo número de electrones de valencia
• Las similitudes en las propiedades químicas de los
elementos, se pueden atribuir a las similitudes en
la configuración de los electrones de valencia
3dx2-y2
3d z2
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3dxy
ESTRUCTURA ATÓMICA
68
Desarrollo de la tabla periódica
ESTRUCTURA ATÓMICA
ESTRUCTURA ATÓMICA
69
Desarrollo de la tabla periódica
• Algunos elementos presentan características muy
similares:
• Litio (Li), Sodio (Na) y Potasio (K) son metales
blandos y muy reactivos
• Helio (He), Neón (Ne) y Argón (Ar) son gases
que no reaccionan con otros elementos
• Al arreglar a todos los elementos en el orden de
su número atómico, se observa que sus
propiedades físicas y químicas muestran un
patrón de repetición periódico
• Un ejemplo de la naturaleza periódica de los
átomos es que cuando están ordenados según su
número atómico, cada uno de los metales blandos
y reactivos de arriba, viene inmediatamente
después de uno de los gases que no reaccionan
• Algunos elementos, como la plata y el oro, se
encuentran naturalmente en su forma
elemental y fueron descubiertos hace miles
de años
• Algunos elementos radiactivos son
extraordinariamente inestables y su
aislamiento depende de la tecnología
moderna
• Aunque la mayoría de los elementos son
estables, únicamente se pueden encontrar
formando compuestos con otros elementos
17/10/08
17/10/08
70
17/10/08
ESTRUCTURA ATÓMICA
71
18
Desarrollo de la tabla periódica
Desarrollo de la tabla periódica
• En el siglo XIX, se diseñaron métodos para
aislar muchos de los elementos de sus
compuestos.
• A partir de ese momento se aíslan cada vez
más y más elementos
• Para 1800 había 31 elementos identificados
• Para 1865 había ya 63 elementos
identificados
• A medida que se fueron descubriendo y
caracterizando más y más elementos, se
intentaba al mismo tiempo encontrar si se
podían agrupar y clasificar, de acuerdo a su
comportamiento químico
• Este esfuerzo, dio como resultado la tabla
periódica de los elementos
• En el año de 1869,
• Dimitri Mendeleiev y Lothar Meyer
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ESTRUCTURA ATÓMICA
72
Desarrollo de la tabla periódica
ESTRUCTURA ATÓMICA
ESTRUCTURA ATÓMICA
73
La ley y la tabla periódicas
• Este es uno de los
documentos
originales de
Mendeleiev:
• Esta es la publicación de
1871 de
Mendeleiev:
• El primero, basado en sus
propiedades químicas
• El segundo, en sus
propiedades físicas
• Ambos concluyen que:
– Los elementos pueden ordenarse de
acuerdo a su peso atómico
• Es decir, g / mol de su mezcla natural de
isótopos
– Mostrando como resultado un arreglo con
características periódicas
17/10/08
17/10/08
– publican independientemente esquemas de
clasificación de los elementos
74
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ESTRUCTURA ATÓMICA
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19
La ley y la tabla periódicas
La tabla de Mendeleiev

Reihen
La ley y la tabla periódicas
Gruppe I.
R2 O
H=1
Li = 7
Gruppe II.
RO
Gruppe III.
R2 O 3
Gruppe IV.
RH 4
RO 2
Gruppe V.
Gruppe VI.
RH 3
R2O5
RH 2
RO 3
1
2
3
4
Na = 23
K = 39
Be = 9,4
Mg = 24
Ca = 40
B = 11
Al = 27,3
- = 44
C = 12
Si = 28
Ti = 48
5
6
(Cu = 63)
Rb = 85
Zn = 65
Sr = 87
- = 68
?Yt = 88
- = 72
Zr = 90
As = 75
Nb = 94
Sn = 118
?Ce = 140
?La = 180
Sb = 122
Ta = 182
Te = 125
W = 184
Pb = 207
Th = 231
Bi = 208
-
U = 240
7
8
9
10
Ag = 108
Cs = 133
(-)
-
Cd = 112
Ba = 137
-
In = 113
?Di = 138
?Er = 178
11
12
(Au = 199)
-
Hg = 200
-
Tl = 204
-
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N = 14
P = 31
V = 51
Gruppe VII.
RH
R2 O 7
O = 16
S = 32
Cr = 52
F = 19
Cl = 35,5
Mn = 55
Se = 78
Mo = 96
Br = 80
- = 100
Gruppe VIII.
RO 4
Fe = 56, Co=59
Ni=59, Cu=63
Ru=104, Rh=104
Pd=106, Ag=108
J = 127
-
- - - Os=195, Ir=197,
Pt=198, Au=199
- - - -
ESTRUCTURA ATÓMICA
76
Desarrollo de la tabla periódica
ESTRUCTURA ATÓMICA
17/10/08
ESTRUCTURA ATÓMICA
77
Desarrollo de la tabla periódica
4.Los elementos que están más ampliamente
difundidos tienen masas atómicas pequeñas.
5.La magnitud de la masa atómica de un
determina el carácter del elemento.
6.Se debe esperar en los años próximos el
descubrimiento de muchos elementos aun
desconocidos análogos al aluminio y silicio cuya
masa será de 65 a 75.
7.La masa atómica de un elemento puede
corregirse algunas veces, si conocemos los
elementos contiguos a este, así la masa atómica
del Te debe estar entre 123 y 126 y no 128.
8.Ciertas características de los elementos pueden
predecirse de su masa.
• A continuación se indican los ocho principios
periódicos de Mendeleiev (1860):
1. Los elementos exhiben una evidente
periodicidad de propiedades si se ordenan de
acuerdo a su masa atómica.
2. Los elementos con propiedades similares
tienen masas atómicas que son casi las
mismas (Pt, Ir, Os) o se incrementan
regularmente (K, Rb, Cs o Cl, Br I)
3. El arreglo de los elementos en grupos,
corresponde tanto a la valencia, como en
cierta medida a sus propiedades químicas
distintivas.
17/10/08
• Mendeleiev, en 1871, demuestra:
Que las propiedades de los elementos varían de
manera periódica
• Así, la tabla periódica nos ayuda a comprender
– el comportamiento
– las propiedades y
– la reactividad de los elementos
• Basados en que las propiedades de los elementos
tienden a reproducirse de manera regular
(periódica) al ordenar a los elementos según su
número atómico
78
17/10/08
ESTRUCTURA ATÓMICA
79
20
Desarrollo de la tabla periódica
Desarrollo de la tabla periódica
• Ahora bien, Mendeleiev no solamente predijo la
existencia del Ga y el Ge, sino que también
describió como eran,
• Es decir, describió algunas de sus propiedades
físicas y químicas, entre ellas:
– El peso atómico aproximado,
– La manera en que se combinarían con O y Cl
– Las propiedes de sus óxidos y cloruros
• Cuando el Ga y el Ge fueron descubiertos varios
años más tarde, se observó que sus propiedades
físicas y químicas eran las que Mendeleiev había
predicho.
• Estos serán la mejor confirmación de la teoría
• La insistencia de Mendeleiev en ordenar a los
elementos de acuerdo a su peso atómico y
agruparlos según sus características químicas,
dio como resultado la aparición de una serie de
agujeros en la tabla
• Ni el Galio (Ga), ni el Germanio (Ge) se
conocían en la época, o sea, había dos agujeros
en la tabla de Mendeleiev debajo del Aluminio
(Al) y el Silicio (Si)
• Concluye que debían de existir dos elementos
que debían llenar los agujeros
• A estos dos elementos los llamó eka-aluminio y
eka-silicio
17/10/08
ESTRUCTURA ATÓMICA
80
Desarrollo de la tabla periódica
ESTRUCTURA ATÓMICA
ESTRUCTURA ATÓMICA
81
Desarrollo de la tabla periódica
• Para entender la importancia tanto del trabajo
como de la confianza de Mendeleiev en su teoría,
presentamos a continuación las predicciones
hechas en 1869.
• Para darles nombres provisionales a los elementos
que predijo, usó los prefijos eka-, dvi- y tri- del
sánscrito, correspondientes a los números uno,
dos y tres dependiendo de la posición que el
elemento descubierto ocupaba debajo de un
elemento conocido en su tabla.
– Eka-boro ⇒ escandio: Aislado por Lars F.
Nilson en 1879, Per T. Cleve reconoce la
correspondencia. Masa predicha 44, masa
observada: 44.955910
17/10/08
17/10/08
82
• En 1869 Mendeleiev predice las propiedades de
un compuesto al cual llama eka-silicio, que no
será aislado sino hasta 1882, el Germanio.
Eka-silicio Germanio
Propiedad
Masa Atómica
72
72.59
Densidad (g/cm3 )
5.5
5.35
Punto de Fusión
Alto
947°C
Color
gris
gris
Tipo de óxido
refractario refractario
Densidad del óxido (g/cm3)
4.7
4.7
Actividad del óxido
Poco ácido Poco ácido
Punto de ebullición del Cloruro
< 100°C
86°C
Densidad del Cloruro (XCl4 ) (g/cm3)
1.9
1.9
17/10/08
ESTRUCTURA ATÓMICA
83
21
Desarrollo de la tabla periódica
Desarrollo de la tabla periódica
• En 1871 predice la existencia de otro elemento al
que llamó eka-aluminio, la tabla muestra las
características propuestas por Mendeleiev
comparadas a las propiedades observadas para el
Ga, descubierto en 1875.
Eka-aluminio
Galio
Propiedad
Masa atómica
Densidad (g/cm3)
Punto de fusión
Fórmula del óxido
Fórmula del cloruro
17/10/08
68
5.9
Bajo
Ea2O3
Ea2Cl6
ESTRUCTURA ATÓMICA
• En 1871 predice la existencia de un elemento al
que Mendeleiev llama eka-manganeso para el que
había predicho una masa de 100 que y que no será
aislado sino hasta 1937 por Emilio Segré de
muestras de Mo bombardeado con deuterio en un
ciclotrón.
• A este elemento se le llamó tecnecio. y el isótopo
más estable es el 98Tc, cuya masa es de 97.907214
• También en 1871 predice la existencia de un
elemento entre el Th y el U.
• En 1900 William Crook aisla un material
radiactivo del U sin poder identificarlo.
• Será hasta 1949 que se reconoce que este
elemento era el Protoactinio.
69.3
5.93
30.15 °C
Ga2O3
Ga2Cl6
84
Desarrollo de la tabla periódica
•La exactitud de las predicciones de Mendeliev para
los elementos desconocidos basadas en la tabla
periódica, convencieron sin lugar a dudas de su
validez a los científicos de la época.
•Sin embargo, todavía se necesitaba una importante
modificación, dado que Mendeleiev había
ordenado a los elementos en términos de su masa
relativa.
•Esto le generó algunos problemas, por ejemplo el I
tiene una masa relativa menor a la del Te, por tanto
debía estar antes, pero para poner al I con el Cl y el
Br, tuvo que ponerlo después.
•Será en 1913 que Moseley resuelve el problema al
organizar los elementos en términos de su número
atómico.
17/10/08
ESTRUCTURA ATÓMICA
86
17/10/08
ESTRUCTURA ATÓMICA
85
La ley y la tabla periódicas
• La ley periódica se basa en el arreglo de los
elementos llamado (Tabla periódica).
• En la cual, cada elemento pertenece a un
agrupamiento vertical llamado familia y a un
agrupamiento horizontal llamado periodo.
• Los elementos de una familia tienden a
presentar propiedades químicas similares.
• Presentaremos muchas tablas periódicas,
pero todas están basadas en la de Mendeleiev.
• Aunque en algunos casos no lo parezcan.
• Empezaremos por las más conocidas.
17/10/08
ESTRUCTURA ATÓMICA
87
22
La tabla periódica moderna
• La tabla periódica corta (IUPAC)
La tabla periódica moderna
Descubrimiento
• La tabla periódica corta (en colores)
Antes de 1800
1800-1849
1850-1899
1900-1949
1950-1999
17/10/08
ESTRUCTURA ATÓMICA
88
La tabla periódica moderna
ESTRUCTURA ATÓMICA
ESTRUCTURA ATÓMICA
89
La tabla periódica moderna
• La tabla periódica larga (tres versiones)
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17/10/08
• La tabla periódica de Tarantola
90
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ESTRUCTURA ATÓMICA
91
23
La tabla periódica moderna
La tabla periódica moderna
• La tabla periódica en espiral
genos
Calcó
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• La tabla periódica de Stowe
Su
pe
ra
ct
ín
ido
s
Ha
lóg
en
os
frontera
Meta
alcali les
es
nos
Gasbles
No
y
idos
tán
Lan
Me
tale
s de
tra n
sició
s
nido
actí
n
ESTRUCTURA ATÓMICA
92
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ESTRUCTURA ATÓMICA
La tabla periódica moderna
La tabla periódica moderna
• La tabla periódica de Zmaczynski
• La tabla periódica de Antropoff
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ESTRUCTURA ATÓMICA
94
17/10/08
ESTRUCTURA ATÓMICA
93
95
24
La tabla periódica moderna
La tabla periódica moderna
• La tabla periódica de Northrop (cíclica)
• La tabla periódica de resorte
17/10/08
ESTRUCTURA ATÓMICA
96
La tabla periódica moderna
ESTRUCTURA ATÓMICA
ESTRUCTURA ATÓMICA
97
La tabla periódica moderna
• La tabla periódica espiral (otra)
• La tabla periódica de circular
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17/10/08
98
17/10/08
ESTRUCTURA ATÓMICA
99
25
La tabla periódica moderna
La tabla periódica moderna
• La tabla periódica Circular
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ESTRUCTURA ATÓMICA
• La tabla periódica Galaxia
100
La tabla periódica moderna
ESTRUCTURA ATÓMICA
ESTRUCTURA ATÓMICA
101
La tabla periódica moderna
• La tabla periódica de Longhman
17/10/08
17/10/08
• La tabla periódica de Bohr-Bayley
102
17/10/08
ESTRUCTURA ATÓMICA
103
26
La tabla periódica moderna
La tabla periódica moderna
• La tabla periódica de Hull
• La tabla periódica de Adomah(Perfecta)
Conexiones principales
Conexiones secundarias
Represetativos
Transición
Transición interna
Metaloides
No metales
17/10/08
ESTRUCTURA ATÓMICA
104
La tabla periódica moderna
ESTRUCTURA ATÓMICA
ESTRUCTURA ATÓMICA
105
La tabla periódica moderna
• La tabla periódica 3D de Chaler
• La tabla periódica de Fraundorf
17/10/08
17/10/08
106
17/10/08
ESTRUCTURA ATÓMICA
107
27
La tabla periódica moderna
La tabla periódica moderna
• La tabla periódica 3D de Alexander
17/10/08
ESTRUCTURA ATÓMICA
• La tabla periódica 3D de Poza
108
La tabla periódica moderna
ESTRUCTURA ATÓMICA
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