Procesos de Difusión

Procesos de Difusión
Física Ambiental. Tema 4.
Tema 4. FA (Prof. RAMOS)
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Tema 4.- " Procesos de Difusión"
• Conducción del calor: ley de Fourrier, conductividad
térmica.
• Convección del calor: Ley de enfriamiento de Newton.
• Radiación térmica: cuerpo negro (leyes de Kirchhoff , Wein
y Stefan-Boltzmann).
• Difusión molecular: Ley de Fick.
• Teorema de continuidad.- Ecuación unidimensional de la
Difusión: coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.
• Condiciones de contorno.
• Aplicación a la transmisión unidimensional del calor en
régimen estacionario: Resistencia térmica.
Tema 4. FA (Prof. RAMOS)
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1
Procesos de Difusión
Estructura de los procesos de difusión.
Procesos de Difusión
Mecanismos de transmisión del calor
Difusión Molecular
Ley de Fick
Ley de Fourrier
Conductividad Térmica
Leyes de la Radiación
Ley de Stefan
Ley de Kirchoff
Ley de Wien
Convección
Coeficiente de película
Ley de Newton
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Mecanismos de transmisión del calor.
CONDUCCIÓN:
Transporte de energía, en forma de calor, por vibración molecular. No hay
transporte de materia.
CONVECCIÓN:
Transporte de energía, asociado al movimiento relativo de partes del sistema en
su interior.
RADIACIÓN:
Transporte de energía, por medio del mecanismo de absorción/emisión de ondas
electromagnéticas.
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Conducción del calor: ley de Fourrier,
conductividad térmica.
Ley de Fourrier:
∆Q ∆T
δQ
dT
∝
⇒ Φ =
∝ A
∆t
∆x
dt
dx
Φ x ( x, t ) = − KA
1-Dimensión:
dT
Φ = − KA
dx
Experimento FA4
∂T ( x, t )
∂x
K- Conductividad térmica.(W/mK).
φ-Flujo de energía (W).
A- área (m2).
dT/dx- gradiente de temperatura (K/m).
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Conducción del calor: conductividad térmica.
MATERIAL
K(W/mK)
Aire (27ºC)
Agua (27ºC)
Hielo
Aluminio
Cobre
Oro
Hierro
Roble
Vidrio
Hormigón
0.026
0.609
0.592
237
401
318
80.4
0.15
0.7 a 0.9
0.19 a 1.3
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Convección del calor.
El coeficiente de transmisión superficial del calor o coeficiente de película,
representa la cantidad de calor intercambiado, por unidad de superficie, entre el
material y el fluido ambiente que lo rodea cuando el gradiente de temperaturas
es de 1º.
Φ = h∆T = h(Ts − T∞ )
h=
Φ
(Ts − T∞ )
[Φ ] = W m 2
[h] = W m 2 K
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Convección del calor:Ley de enfriamiento
de Newton.
Φ = h∆T = h(Ts − T∞ )
⇓
δQ = hS∆Tdt
δW ≅ 0
Dilatación térmica
despreciable.
⇓
δQ = hS∆Tdt = dU = − mcP dTs
⇓
dTS
hS
=−
(TS − T∞ )
dt
mcP
Experimento FA5
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Convección del calor:Ley de enfriamiento
de Newton.
Cuando la pérdida de calor de la superficie es proporcional a la
diferencia de temperatura entre ella y el ambiente, éste con
temperatura constante. La temperatura del la superficie decrece
exponencialmente con el tiempo.
τ hS
dTS
= −∫
dt
0 mc
T0 (T − T )
S
∞
P
∫
T
⇓
(Ts − T∞ ) = (T0 − T∞ )e
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−
hs
t
mc P
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Radiación térmica.
Los dos sistemas tienden al equilibrio térmico, segundo principio de la
termodinámica, aunque no haya contacto físico entre ellos. El intercambio de
energía se realiza mediante absorción/emisión de ondas electromagnéticas.
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Radiación térmica: cuerpo negro (ley de StefanBoltzmann).
La radiación contenida en un espacio isotermo como el de la figura se puede
considerar como de Cuerpo Negro.
Ley de Stefan-Boltzmann:
Cualquier cuerpo a una temperatura,
T, en equilibrio térmico, emite una
cantidad de radiación que, por unidad
de tiempo, viene determinado por:
Φ = εσAT 4
Φ- Potencia de radiación emitida (W).
ε- Emisividad de la superficie.
A- Área del emisor (m2)
T- Temperatura de equilibrio del emisor (K).
Si el cuerpo es perfectamente
negro ε=1, en caso de cuerpos
grises 0< ε<1.
σ- Constante de Stefan-Boltzmann= 5.6703 10-8 (W/m2K4).
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Radiación térmica: cuerpo negro (ley de
Kirchhoff).
Ley de Kirchhoff:
En equilibrio térmico la energía emitida por un cuerpo es igual que la absorbida
por el mismo. Por lo tanto, el cuerpo negro será el que más energía emita a una
temperatura dada y también el que mayor cantidad de energía absorba a esa
temperatura (cuerpo negro), coef. de absorción, α= coef. de emisión, ε
Ie = σT2
4
Ia = ε 1 Ie = ε 1σT2
I ' e = ε 1σT1
4
4
I Neta = Ia − I ' e = ε1σ (T1 − T2 )
4
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Radiación térmica: cuerpo negro (ley de Wein).
Hasta ahora hemos estudiado la cantidad total de energía que emite un cuerpo,
pero, ¿en qué longitudes de onda se realiza la emisión?
Ley de Wien: La distribución espectral de emisión es continua y cuanto mayor es
la temperatura de un cuerpo menor es la longitud de onda del máximo de dicha
distribución, que sigue la relación:
λMaximo =
2.898(mmK )
T (K )
Problema 1. Hoja FA4a
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Radiación térmica: aproximación de Newton.
La radiación neta de energía intercambiada por un cuerpo con su entorno:
I Neta = ε σ (T − Tamb )
4
4
Si no hay gran diferencia entre la temperatura del cuerpo T2 y
la del ambiente que le rodea, se puede realizar la siguiente
aproximación:
4
4
amb
amb
(T − T
) ∝ (T − T
T1 ≈ T2
T ≈ Tamb
)
Por lo tanto la ley de Newton contiene, es estos casos, además del efecto de la
convección, el de la radiación en el coeficiente de película, h.
I ∝ (T − Tamb )
Ley de Newton.
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Difusión molecular: Ley de Fick.
La difusión molecular aparece al existir una distribución espacial de
concentración de materia. La difusión de materia tiene el sentido en el que la
concentración disminuye. La difusión molecular es un fenómeno irreversible.
Balance de entropía:
Considerando a los dos
sistemas como gases ideales y
el proceso isotermo.
( S1 + S 2 ) f > ( S1 + S 2 ) i
Estado inicial:
( S1 + S 2 ) i = (n1 + n2 ) R ln V
Estado final:
( S1 + S 2 ) f = (n1 + n2 ) R ln 2V
⇒
∆Suniv. > 0
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Difusión molecular: Ley de Fick.
El flujo de partículas tiene dirección
opuesta al gradiente de partículas y es
proporcional a él.
El coeficiente de proporcionalidad
depende del tipo de sustancia y se
denomina coeficiente de difusión
molecular.
Ley de Fick:
dn
Φ = −D
dx
D- coef. de difusión molecular (m2/s).
dn/dx- Gradiente de concentración (1/m4).
Φ- Flujo de partículas, que por unidad de tiempo atraviesan
una superficie unidad (1/m2s).
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Difusión molecular: interpretación
estadística.
La temperatura del sistema
permanece constante, por tanto las
velocidades moleculares medias
son iguales en ambos sub-sistemas.
Pero el número de colisiones es mayor en, A, debido a que el
nº de partículas es mayor que en, B. Por ello, aparece un flujo
efectivo de partículas de A hacia B.
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Difusión molecular: ejemplos.
n( x) = n0 −
Φ
x; t → ∞
D
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Inicialmente fuera del
depósito la concentración es
nula, a partir de la abertura
de la llave de paso comienza
a formarse un gradiente de
concentraciones en el tubo.
Al cabo de cierto tiempo si
continúa siendo constante la
concentración en el
recipiente, n0, se alcanza el
régimen permanente o
estacionario (independiente
del tiempo).
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Difusión molecular: ejemplos.
Durante el régimen estacionario, el flujo de partículas es
constante en todo el tubo, el número de partículas que
entran por un extremo es igual al número de ellas que
salen por el otro extremo, no hay acumulación. La
distribución de concentraciones permanece constante.
Φ = −D
dn
= cte
dx
⇓
n( x) = n0 −
Φ
x; t → ∞
D
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Difusión molecular: ejemplos.
En el caso de un sistema
idéntico al anterior, pero con
el extremo cerrado. La
distribución de
concentraciones, tanto
durante el régimen
transitorio como
estacionario, es diferente.
n( x) = n0 ; t → ∞
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Difusión molecular: ejemplos.
Sistema experimental para determinar el
coeficiente de difusión molecular.
Las concentraciones tanto en la base del
tubo, n0, presión de vapor del líquido, como
en el extremo libre, n1, son constantes. En
régimen estacionario tendremos:
n1 = n0 −
 L 
Φ

L ⇒ D = Φ
D
n
n
−
 0 1
El flujo de partículas se conoce como función de la presión de vapor
del líquido en función de su temperatura constante durante el proceso.
Problema 2. Hoja FA4a
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Teorema de continuidad. Ecuación unidimensional
de la Difusión: coordenadas cartesianas.
El flujo de calor que entra por una de las
caras es diferente al que sale por la otra. La
diferencia de energía contribuirá positiva o
negativamente al balance de la energía
interna del sistema.
∂T
∂x
∂U = dmc p ∂T
[Φ x + dx − Φ x ] + Φ int erno = − ∂u
Φ x = −K
∂t
Φ int erno = 0
[Φ x + dx − Φ x ] = − K ∂ 2T
dx
↓
∂φ
∂x
 dm  ∂T
= −c p 

∂x
 dx  ∂t
2
↓
ρ
Ley de Fourrier
Primera ley de la
Termodinámica
Ec. de Difusión del Calor:
α
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∂ 2T ∂T
=
;α = K
2
ρc p
∂x
∂t
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Teorema de continuidad. Ecuación unidimensional
de la Difusión: coordenadas cilíndricas.
Consideramos el caso más sencillo en esta geometría, se trata de un tubo
cilíndrico muy largo, por lo tanto la única variable que debemos tener en cuenta
es la distancia a la generatriz, r.
Ec. de Difusión del Calor:
 ∂ 2T 1 ∂T  ∂T
 =
+
2
∂
∂
r
r
r

 ∂t
α 
En este caso, los contornos son superficies
cilíndricas concéntricas. Sobre ellas se
impondrán las condiciones de temperatura
o flujo que determine el problema.
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Condiciones de Contorno.
Los mecanismos de
intercambio de calor de
un sistema dependen de
la geometría del mismo,
de sus propiedades
físicas, de las
condiciones iniciales y de
las condiciones de
contorno.
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Aplicación a la transmisión del calor en un
muro homogéneo en régimen estacionario.
∂T
∂ 2T
=α
2
∂t
∂x
En régimen estacionario.
d 2T
=0
dx 2
Integrando encontramos la solución lineal, con dos
constantes que dependen de las condiciones de
contorno del problema.
T ( x) = Ax + B
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Aplicación a la transmisión del calor en un
muro homogéneo en régimen estacionario.
Condiciones de contorno de primera
clase, temperatura constante en ambas
caras.
x = 0 ⇒ T ( x = 0) = T1 = B
x = L ⇒ T ( x = L) = T2 = AL + T1
x
+ T1
L
(T − T )
Φ ( x) = −kA 2 1
L
T ( x) = (T2 − T1 )
Probema 3 y 4. Hoja FA4a
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Aplicación a la transmisión del calor en un
muro homogéneo en régimen estacionario.
Las condiciones de contorno en este caso son mixtas de primera clase, temperatura constante, T2 y
tercera clase, intercambio de calor siguiendo la ley de Newton con coeficiente de película, h.
T2 − Ta
K
L+
h


T − T 
B = T2 +  a 2 
K
L+ 
h 

dT
⇒ h(Ta − B ) = − KA
dx
x = L ⇒ T ( x = L) = T2 = AL + B
A=
x = 0 ⇒ h(Ta − T ( x = 0)) = − K
 T −T 
 x
T ( x) =  a 2 1 −  + T2
1 + K  L 
hL 

Φ( x) = − KA
Problema 1 y 2. Hojas FA4b
dT  A(Ta − T2 ) 

=
dx  L + 1 
h
 K
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Aplicación: muro heterogéneo. Resistencia
térmica.


A(T1 − T2 )


Φ ( x) = 

L
L
 1h + 1 K + 2 K + 1h 
1
2
2
 1
Al denominador del flujo de calor se le denomina
resistencia térmica. Como analogía con la ley de Ohm
de la corriente eléctrica.
V
I=
R
En aquélla aparece la diferencia de potencial, aquí la
diferencia de las temperaturas, allí la intensidad aquí el
flujo de calor, allí la resistencia eléctrica aquí la
térmica.
m2 K
R = 1 + L1 + L2
+ 1 ; [R ] =
h1
K1
K2
h2
W
Problema 3 y 4 . Hoja FA4b
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Aplicación: Cilindro con condiciones de
temperatura constante en las fronteras.
En régimen estacionario la ecuación´de transmisión del calor sólo tiene
términos espaciales, por lo tanto en coordenadas cilíndricas:
Para resolver esta ecuación diferencial
 ∂ 2T 1 ∂T 
realizamos el siguiente cambio de
 2 +
 = 0
∂T
variable:
 ∂r
r ∂r 
↓
u=
∂r
Condiciones de contorno:
du 1
+ u = 0 ⇒ T (r ) = A ln r + B
dr r
r = r1 ⇒ T (r1 ) = T1 ⇒ T1 = A ln r1 + B
r
ln
r2
T (r ) = T1 − (T1 − T2 )
r
ln 2
r1
r = r2 ⇒ T (r2 ) = T2 ⇒ T2 = A ln r2 + B
Q = −k
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dT 2πkL(T1 − T2 )
=
dr
r 
ln 2 
 r1 
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