Ecuación diferencial homogénea

131
LECCIÓN 6: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER
ORDEN HOMOGÉNEAS
JUSTIFICACIÓN:
En esta Lección, luego de establecer lo que se define como función
homogénea de grado n y plantear una proposición relativa a las funciones
homogéneas, se estudiarán las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
homogéneas, las cuales siempre pueden reducirse a ecuaciones diferenciales de
variables separables por medio de una sustitución algebraica adecuada.
OBJETIVOS:
El alumno podrá:
1- Determinar cuando una función es homogénea
2- Determinar el grado de homogeneidad de cualquier función homogénea
3- Identificar si una ecuación diferencial dada es homogénea
4- Obtener la solución general de una ecuación diferencial ordinaria de primer
orden homogénea.
PROCEDIMIENTO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE:
En la Lección 5 ¿qué estudiamos?
132
♦ Estudiamos las ecuaciones diferenciales ordinarias de variables separables.
Correcto. ¿Cuántos casos estudiamos?
♦ Estudiamos tres casos.
En el Caso 1 ¿qué características dijimos que tenía la ecuación diferencial, en
cuanto a la forma en que está escrita?
♦ Se dijo que en el caso 1, la ecuación diferencial tiene la forma
Q(y) dx + P(x) dy = 0
Muy bien. ¿Cuál es el factor por el cual se debe multiplicar la ecuación
diferencial para transformarla en una ecuación diferencial de variables separadas?
♦ El factor por el cual se debe multiplicar es
1
P( x ) Q( y )
Exactamente. ¿Cómo queda transformada la ecuación diferencial luego de
multiplicar por ese factor?
♦ La ecuación diferencial queda de la forma
1
1
dx +
dy = 0
P( x )
Q( y )
Exacto. Una vez que han separado las variables ¿qué deben hacer para obtener
la solución general?
133
♦ Se debe integrar cada término de la ecuación diferencial, resolver las
integrales y de ser posible despejar la variable "y".
Excelente. En el Caso 2 ¿Cuál era la característica esencial de la ecuación
diferencial?
♦ En el Caso 2, la ecuación diferencial tenía la forma
P1(x) Q1(y) dx + P2(x) Q2(y) dy = 0
Muy bien. ¿Cuál es el factor por el cual tendrían que multiplicar la ecuación
diferencial para transformarla en una ecuación diferencial de variables separadas?
♦ El factor por el cual se debe multiplicar es
1
P2 ( x ) Q1 ( y )
Exactamente. ¿Cómo queda transformada la ecuación diferencial?
♦ La ecuación diferencial queda de la forma:
P1 ( x )
Q ( y)
dx + 2
dy = 0
P2 ( x )
Q1 ( y)
Exacto. Una vez separadas las variables ¿qué deben hacer para obtener la
solución general?
♦ Se debe integrar cada término de la ecuación diferencial, resolver las
integrales y de ser posible despejar la variable "y".
134
Excelente. En el Caso 3 ¿Cuál es la característica esencial de la ecuación
diferencial?
♦ La ecuación diferencial tiene la forma:
y F(x,y) dx + x G(x,y) dy = 0
con F(x,y) y G(x,y) funciones que dependen de x.y
Correcto. ¿Qué significa que F y G dependen de x.y?
♦ Significa que al sustituir x.y = v las funciones quedan dependiendo solo
de v.
Muy bien. ¿Qué se debe hacer para transformar la ecuación diferencial en una
de variables separables?
♦ Se debe realizar el cambio de variables:
v
⎧
⎪⎪v = xy ⇒ y = x
⎨
⎪dy = x dv − v dx
⎪⎩
x2
Exactamente. ¿Cómo queda la ecuación diferencial con este cambio de
variable?
♦ La ecuación diferencial queda:
v
⎛ x dv − v dx ⎞
F( v ) dx + x G ( v ) ⎜
⎟= 0
x
x2
⎠
⎝
o equivalentemente
v [F(v) - G(v)] dx + x G(v) dv = 0
135
¿Cómo hacen para separar las variables?
♦ Para separar las variables se debe multiplicar por el factor
1
x v [F( v ) − G ( v )]
Muy bien. ¿Cómo queda la ecuación diferencial?
♦ La ecuación diferencial queda:
1
G( v )
dx +
dv = 0
x
v [F( v ) − G ( v )]
¿Que deben hacer para obtener la solución general?
♦ Para obtener la solución general se integra cada término de la ecuación
diferencial, se resuelven las integrales y de ser posible se despeja la variable
"y".
Muy bien. En esta lección vamos a estudiar las ecuaciones diferenciales de
primer orden homogéneas, las cuales con un cambio de variable pueden ser
transformadas en ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de variables
separadas.
Función Homogénea:
Considere la siguiente función g(x,y) = x2 + y2
¿Qué resulta al calcular g(λx, λy)?
136
♦ Resulta que
g(λx, λy) = (λx)2 + (λy)2 = λ2 x2 + λ2 y2 = λ2 (x2 + y2)
Si observan el resultado que obtuvieron ¿quién es (x2 + y2)?
♦ Es precisamente g(x,y)
Correcto. ¿Qué podemos entonces concluir con respecto al resultado de
calcular g(λx, λy)?
♦ Se puede concluir que g(λx, λy) = λ2 g(x,y)
Considere ahora la función
h(x,y) = x3 - 2x2y + y3
¿Qué resulta al calcular h(λx, λy)?
♦ Resulta que h(λx, λy) = (λx)3 - 2(λx)2 (λy) + (λy)3 = λ3 (x3 - 2x2y + y3)
Si observan el resultado que obtuvieron ¿Quién es x3 - 2x2y + y3?
♦ Es h(x,y).
Correcto. ¿Qué podemos entonces concluir con respecto al resultado de
calcular h(λx, λy)?
♦ Se puede concluir que h(λx, λy) = λ3 h(x,y)
137
Consideren ahora la siguiente función
f(x,y) = x2y3 + x3y2 + xy
¿Qué resulta al calcular f(λx, λy)?
♦ Resulta que
f(λx, λy) = (λx)2 (λy)3 + (λx)3 (λy)2 + (λx) (λy) = λ2 (λ3x2y3 + λ3x3y2 + xy)
Observen que en este caso, la función que queda entre paréntesis, difiere de la
función f(x,y).
De los tres ejemplos que acabamos de estudiar se concluye que la función
g(x,y) es una función homogénea con grado dos de homogeneidad, la función h(x,y)
es una función homogénea con grado tres de homogeneidad, la función f(x,y) no es
una función homogénea.
Con base en esta conclusión ¿Podrían establecer un criterio para determinar
cuando una función F(x,y) es una función homogénea con grado n de homogeneidad?
♦ Diremos que F(x,y) es una función homogénea con grado n de homogeneidad
si F(λx, λy) = λn F(x,y).
Exactamente. Abran sus guías en la página 25 y leamos la definición de
función homogénea que allí aparece.
FUNCIÓN HOMOGÉNEA DE GRADO "n"
Se dice que la función F(x, y) es homogénea con grado "n"de homogeneidad
si se cumple que: F (λx, λy) = λn F(x, y)
(para todo número real λ)
138
Resuelvan el Problema 1 de la página 25 de sus guías. Trabajen en forma
individual. Disponen de tres minutos para ello.
PROBLEMA 1:
Determine si la función F(x, y) =
x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y 3
xy
es homogénea.
De ser posible indique el grado de homogeneidad.
Revisemos como resolvieron el Problema 1
¿Qué deben hacer para verificar si la función dada es una función homogénea
o no?
♦ Debemos determinar F(λx, λy)
(
λ3 x 3 − 3λ2 x 2 λy + 3λxλ2 y 2 − λ3 y 3 λ3 x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y 3
=
F(λx, λy) =
λxλy
λ2 (xy )
)
o equivalentemente
⎛ x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y 3 ⎞
⎟ = λ F(x,y)
F(λx, λy) = λ ⎜⎜
⎟
xy
⎝
⎠
¿Qué obtuvieron?
♦ Obtuvimos que F(λx,λy) = λ F(x,y)
¿ A qué conclusión pueden llegar con respecto a la homogeneidad de la
función F(x,y)?
139
x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y 3
♦ Podemos concluir que la función F(x, y) =
es
xy
una función homogénea con grado uno de homogeneidad.
Exacto. Resuelvan ahora el Problema 2 que está en la página 25 . Disponen
de tres minutos para ello. Pueden trabajar en grupos de tres.
PROBLEMA 2:
⎛y
Determine si la función G(x, y) = x 2 e x y sen⎜
⎜ x
⎝
2
⎞
⎟ es homogénea. De ser
⎟
⎠
posible indique el grado de homogeneidad.
Revisemos como resolvieron el Problema 2.
¿Cómo verifican si la función dada es o no homogénea?
♦ Determinamos quien es G(λx,λy)
⎛ λx ⎞
⎜
⎟
2 2 ⎜⎝ λy ⎟⎠
G(λx,λy) = λ x e
⎡ ⎛⎜ x ⎞⎟
⎛ λ2 y 2 ⎞
⎛ λy 2 ⎞⎤⎥
2 ⎢ 2 ⎜⎝ y ⎟⎠
⎟ = λ x e sen⎜
⎟
sen⎜⎜
⎟
⎜ x ⎟⎥
⎢
⎝ λx ⎠
⎝
⎠⎦
⎣
¿ A qué conclusión llegan?
⎛y
♦ Concluimos que la función G(x, y) = x 2 e x y sen⎜
⎜ x
⎝
2
¿Por qué?
⎞
⎟ no es homogénea
⎟
⎠
140
♦ Porque la función que aparece en el corchete, cuando calculamos G(λx,λy),
difiere de G(x,y).
Muy bien. El Problema 3 las queda como ejercicio.
PROBLEMA 3:
Determine cual de las funciones que se dan a continuación es homogénea y en
los casos en los cuales sea posible indique el orden de homogeneidad:
1- f(x, y) = x2 - 2xy + y2
2- g(x, y) = 3x + x y2
3- h(x, y) = y - x 2 + y 2
4- m(x, y) = (x + y)3 - 3xy2 - 3yx2
5- n(x, y) = x3 + y3 -2xy
6- t(x, y) = y + x Cos2 (y x )
Consideren ahora la función g(x,y) = x2 + y2,
la cual chequeamos
anteriormente que es homogénea con grado dos de homogeneidad. Si se saca como
factor común a x2 ¿Qué obtienen?
⎡ ⎛ y ⎞2 ⎤
⎡ y2 ⎤
2
♦ Se obtiene g(x, y) = x ⎢1 + 2 ⎥ = x ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ x ⎠ ⎥⎦
⎣ x ⎦
2
Correcto. Podríamos entonces escribir g(x, y) = x2 G(x, y), donde la función
⎡ ⎛ y ⎞2 ⎤
G(x, y) = ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ .
⎣⎢ ⎝ x ⎠ ⎦⎥
141
Si para la función G(x, y) hacen el cambio
y
= v ¿qué resulta?
x
♦ Resulta G(x,y) = 1 + v2.
Observen que G(x,y) queda solo en función de v, es decir depende solo de
y
;
x
⎛y⎞
por lo tanto podemos escribir g(x, y) = x2 G ⎜ ⎟ .
⎝x⎠
Consideren ahora la función h(x, y) = x3 - 2x2y + y3, la cual probamos que era
una función homogénea con grado tres de homogeneidad. Si se saca x3 como factor
común ¿Qué se obtiene?
3
⎡
⎡
y y3 ⎤
⎛y⎞ ⎛y⎞ ⎤
3
♦ Se obtiene h(x, y) = x ⎢1 − 2 + 3 ⎥ = x ⎢1 − 2⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥
x x ⎦
⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎦⎥
⎣
⎣⎢
3
Correcto. Si ahora hacen el cambio de variable
[
♦ Resulta h(x,y) = x3 1 − 2 v + v 3
]
Como puede verse
h(x, y) = x3 H(v)
o equivalentemente
⎛y⎞
h(x, y) = x3 H ⎜ ⎟
⎝x⎠
y
= v ¿qué resulta?
x
142
Observen que en el primer caso sabiendo que g(x, y) es homogénea con grado
dos de homogeneidad, sacamos x elevado al grado de homogeneidad como factor
común; en el segundo caso sabiendo que h(x, y) es homogénea de grado tres de
homogeneidad, sacamos x elevado al grado de homogeneidad factor común. En
ambos casos, las funciones que quedan luego de sacar el factor común indicada son
funciones que dependen de (y/x).
Abran sus guías en la página 26 y procedamos a leer la proposición que allí
aparece enunciada.
PROPOSICIÓN: Si la función F(x, y) es homogénea de grado "n" de
( )
homogeneidad, entonces F(x,y) = xn f y x .
(Observación: aquí x ≠ 0, para que el cociente (y/x) exista)
Resuelvan el Problema 4 que aparece en la guía en la página 26. Tienen tres
minutos para ello.
PROBLEMA 4:
Demuestre si la función F(x,y) = 2xy -3x2 + y2 es homogénea. De ser posible
indique el grado de homogeneidad y aplíquele la proposición a la función F(x, y).
Revisemos como resolvieron el Problema 4.
¿Qué hicieron para verificar si la función dada es o no homogénea?
♦ Determinamos F(λx, λy)
143
F(λx, λy) = 2(λx)( λy) - 3(λx)2 + (λy)2 = 2λ2xy - 3λ2x2 +λ2y2
o equivalentemente
F(λx, λy) = λ2 (2xy -3x2 + y2) = λ2 F(x,y)
¿Qué obtuvieron?
♦ Obtuvimos que F(λx, λy) = λ2 F(x,y)
¿Qué se puede concluir?
♦
Se puede concluir que la función dada es homogénea con grado dos de
homogeneidad.
¿ Se puede aplicar la proposición a la función F(x,y) = 2xy -3x2 + y2? ¿Por
qué?
♦ Si se puede aplicar, ya que resultó ser una función homogénea con grado dos
de homogeneidad.
¿Qué resulta al aplicar la proposición a la función F(x,y) = 2xy -3x2 + y2?
2
⎡ ⎛y⎞
⎛ y
y2 ⎞
⎛y⎞ ⎤
♦ Resulta F(x, y) = x2 ⎜⎜ 2 − 3 + 2 ⎟⎟ = x 2 ⎢2⎜ ⎟ − 3 + ⎜ ⎟ ⎥
x ⎠
⎝ x ⎠ ⎥⎦
⎢⎣ ⎝ x ⎠
⎝ x
El Problema 5 les queda como ejercicio, a fin de que consoliden los conceptos
hasta aquí tratados en esta lección.
144
PROBLEMA 5:
Demuestre que cada una de las funciones que se dan a continuación es
homogénea y luego aplíqueles la proposición.
1- F(x, y) = 4x3y2 - 2x5 -3y5
2- G(x, y) = 6x2 + 4 xy 3
3- H(x, y) = (2x − 5y ) ( x 2 + y 2 )
4- H(x, y) = (2x − 5y ) ( x 2 + y 2 )
5- M(x, y) = 2x3 - 3xy2 - 2y3
Ecuación diferencial homogénea:
Observen la siguiente ecuación diferencial
a) (2xy - 3y2) dx + (2xy - x2) dy = 0
Si llaman P(x, y) = 2xy -3y2 ,
Q(x, y) = 2xy - x2 ¿Cómo prueban que las
funciones P(x, y) y Q(x, y) son homogéneas?
♦ Determinamos P(λx, λy) y Q(λx, λy)
P(λx,λy) = 2(λx)(λy) - 3(λy)2 = λ2(2xy) - λ2(3y2) = λ2(2xy - 3y2) =λ2 P(x,y)
Q(λx,λy) = 2(λx)(λy) - (λx)2 = λ2(2xy) - λ2(x2) = λ2(2xy - x2) =λ2 Q(x,y)
¿Qué pueden concluir?
145
♦ Que tanto P(x, y) como Q(x, y) son funciones homogéneas con grado dos de
homogeneidad.
Muy bien. Consideremos otra ecuación diferencial
b) (x3 - 3x2y) dx + (y2 - xy) dy = 0
Si llaman P(x, y) = x3 -3x2y ,
Q(x, y) = y2 - xy ¿Cómo prueban que las
funciones P(x, y) y Q(x, y) son homogéneas?
♦ Determinamos P(λx, λy) y Q(λx, λy)
P(λx,λy) = (λx)3 - 3(λx)2 (λy) = λ3x3 - 3λ2x2 λy = λ3(x3 - 3x2y) =λ3 P(x,y)
Q(λx,λy) = (λy)2 -(λx)(λy) = λ2y2 - λ2(xy) = λ2(y2 - xy) =λ2 Q(x,y)
¿Qué pueden concluir?
♦
Que P(x, y) es una función homogénea con grado tres de homogeneidad y
Q(x, y) es una función homogénea con grado dos de homogeneidad.
Correcto. Si les digo que
la ecuación diferencial del ejemplo a) es una
ecuación diferencial homogénea y la del ejemplo b) es una ecuación diferencial no
homogénea. Pueden decirme ¿cuál es la característica esencial que permite identificar
a una ecuación diferencial como una ecuación diferencial homogénea?
146
♦
La característica esencial es que tanto la función que multiplica a la
diferencial dx como la función que multiplica a la diferencial dy, en la ecuación
diferencial dada, son ambas homogéneas con el mismo grado de homogeneidad.
Exactamente. Abran sus guías en la página 26 y leamos la definición de ecuación
diferencial homogénea que allí aparece.
ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN
HOMOGÉNEA
La ecuación diferencial
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0
es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden homogénea si las
funciones P(x,y) y Q(x,y) son homogéneas con igual grado de homogeneidad.
Método de resolución de las ecuaciones diferenciales de primer orden
homogéneas:
Consideren la ecuación diferencial del ejemplo a)
(2xy - 3y2) dx + (2xy - x2) dy = 0
Ya chequeamos que las funciones P(x, y) = 2xy -3y2, Q(x, y) = 2xy - x2 son
ambas funciones homogéneas con grado dos de homogeneidad; esto nos permite
concluir que la ecuación diferencial dada es una ecuación diferencial homogénea.
Si ahora aplican la proposición a las funciones P(x, y) y Q(x, y) ¿qué
obtienen?
♦ Se obtiene que
147
⎡ ⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞2 ⎤
P(x, y) = x ⎢2⎜ ⎟ − 3⎜ ⎟ ⎥
⎣⎢ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎦⎥
2
⎡ ⎛y⎞ ⎤
Q(x, y) = x2 ⎢2⎜ ⎟ − 1⎥
⎣ ⎝x⎠ ⎦
Correcto. Si sustituyen en la ecuación diferencial ¿qué resulta?
♦ Resulta
⎡ ⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞2 ⎤
⎡ ⎛y⎞ ⎤
x ⎢2⎜ ⎟ − 3⎜ ⎟ ⎥ dx + x2 ⎢2⎜ ⎟ − 1⎥ dy = 0
⎣ ⎝x⎠ ⎦
⎢⎣ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎥⎦
2
Sacando x2 como factor común, en la ecuación diferencial ¿qué obtienen?
♦ Se obtiene
⎧⎪ ⎡ ⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞ 2 ⎤
⎡ ⎛ y ⎞ ⎤ ⎫⎪
x ⎨ ⎢2⎜ ⎟ − 3⎜ ⎟ ⎥ dx + ⎢2⎜ ⎟ − 1⎥ dy ⎬ = 0
⎣ ⎝ x ⎠ ⎦ ⎪⎭
⎪⎩ ⎣⎢ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎦⎥
2
Ya que x ≠ 0, ¿cuál es la ecuación diferencial que queda para resolver?
♦ La ecuación diferencial que queda por resolver es:
⎡ ⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞2 ⎤
⎡ ⎛y⎞ ⎤
⎢2⎜ ⎟ − 3⎜ ⎟ ⎥ dx + ⎢2⎜ ⎟ − 1⎥ dy = 0
⎣ ⎝x⎠ ⎦
⎢⎣ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎥⎦
¿ De quién dependen las funciones que multiplican a la diferencial dx y a la
diferencial dy?
♦ Quedan dependiendo de (y/x)
y
⎧
⇒ y = vx
⎪v =
Exacto. Si ahora hacen el cambio de variable ⎨
x
⎪⎩dy = x dv + v dx
148
¿Cómo se transforma la ecuación diferencial?
♦ Se transforma en:
(2v -3v2) dx + (2v - 1) (x dv + v dx) = 0
Si se desarrollan los productos que aparecen en la ecuación diferencial y se
saca la diferencial dx factor común ¿Cómo queda?
♦ Queda:
(2v - 3v2 +2v2 - v) dx + x (2v - 1) dv = 0
equivalentemente
(v - v2) dx + x (2v - 1) dv = 0
¿Pueden identificar que tipo de ecuación diferencial es esta?
♦ Es una ecuación diferencial de variables separables
Exacto. ¿Por qée factor se debe multiplicar la ecuación diferencial para
separar las variables?
♦ Se debe multiplicar por
1
x( v − v 2 )
Correcto. ¿Cómo queda la ecuación diferencial?
♦ La ecuación diferencial queda
dx 2 v − 1
+
dv = 0
x v − v2
149
Ya que están separadas las variables ¿qué deben hacer?
♦ Se debe integrar
2v − 1
∫ x + ∫ v − v dv = C
dx
2
¿Cómo resuelven la primera integral?
♦ Es inmediata
∫x
dx
= ln x
Correcto. ¿Cómo resuelven la segunda integral?
♦ Por cambio de variable:
⎧u = v − v 2
⎨
⎩du = (1 − 2 v ) dv
Al sustituir el cambio de variable en la integral ¿Cómo se transforma?
♦ La integral se transforma en una integral inmediata
∫
−
du
= − ln u
u
¿Qué deberían hacer ahora?
♦
Se deben sumar los resultados de las dos integrales y luego devolver los
cambios de variables realizados.
¿Cuál es entonces el resultado general?
150
♦ El resultado general es:
y
y2
− 2 = ln
ln⎮x⎮ - ln⎮v - v ⎮= ln⎮x⎮ - ln
x
x
2
x
y y2
−
x x2
x3
= ln
= C1
xy − y 2
o equivalentemente, al aplicar "e" a ambos lados:
⎮x3⎮ = k ⎮xy - y2⎮
Muy bien. Se dice entonces que la función ⎮x3⎮ = k ⎮xy - y2⎮, es la solución
general de la ecuación diferencial homogénea
(2xy - 3y2) dx + (2xy - x2) dy = 0
Abran sus guías en la página 27 para que revisemos cada uno de los pasos que
deben seguirse para obtener la solución general de una ecuación diferencial
homogénea
PASOS PARA LA OBTENCIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN HOMOGÉNEA
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0
1- Chequee que las funciones P(x, y) y Q(x, y) son homogéneas con igual
grado de homogeneidad
2- Si el grado de homogeneidad de las funciones P(x, y) y Q(x, y) es "n",
aplique la proposición a ambas funciones, es decir, saque xn factor común
xn p (y x ) dx + xn q (y x ) dy = 0
3- Multiplique la ecuación por 1 n
x
p (y x ) dx + q (y x ) dy = 0
151
4- Efectúe el cambio de variable
⎧ v = y x ⇒ y = vx
⎨
⎩dy = x dv + v dx
p(v) dx + q(v) (x dv + v dx) = 0
5- Saque dx factor común
[ p(v) + v q(v) ] dx + x q(v) dv = 0
6- Multiplique por el factor
1
x [ p( v ) + v q( v )
]
1
q( v )
dx +
dv = 0
x
p( v ) + v q ( v )
7- Integre la ecuación diferencial de variables separadas que se obtuvo
8- Resuelva las integrales
9- Devuelva los cambios de variable efectuados
10- De ser posible, despeje "y"
Resuelvan el Problema 6 que aparece en la página 27 de sus guías. Tienen 5
minutos para ello. Trabajen en forma individual.
PROBLEMA 6:
Obtener la solución general de la ecuación diferencial
(x3 y2 + 2 y4 x) dx + (2 x2 y3 - x4 y) dy = 0
Revisemos como resolvieron el Problema 6
¿Qué fue lo primero que hicieron?
♦ Chequear que las funciones
152
P(x,y) = x3 y2 + 2 y4 x
Q(x,y) = 2 x2 y3 - x4 y
son homogéneas con igual grado de homogeneidad.
P(λx, λy) = (λx)3(λy)2 + 2(λy)4(λx) = λ3x3λ2y2 + 2λ4y4λx
= λ5 (x3y2 +2y4x) = λ5 P(x,y)
Q(λx, λy) = 2(λx)2(λy)3 - (λx)4λy = 2λ2x2λ3y3 - λ4x4λy
= λ5 (2x2y3 - x4y) = λ5 Q(x,y)
¿Qué se puede concluir?
♦ Se puede concluir que las funciones P(x,y) y Q(x,y) son homogéneas con
grado cinco de homogeneidad.
Ya probaron que las dos funciones que aparecen en la ecuación diferencial son
homogéneas con igual grado de homogeneidad. ¿Qué deben hacer ahora?
♦ Se debe aplicar la proposición a las funciones homogéneas P(x, y) y Q(x, y),
es decir, se debe sacar x5 como factor común en ambas funciones
4
⎡⎛ y ⎞ 2
⎛y⎞ ⎤
P(x, y) = x5 ⎢⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟ ⎥
⎝ x ⎠ ⎥⎦
⎢⎣⎝ x ⎠
⎡ ⎛ y ⎞ 3 ⎛ y ⎞⎤
Q(x, y) = x5 ⎢2⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎥
⎢⎣ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠⎥⎦
Sustituyendo en la ecuación diferencial ¿Cómo queda?
♦ La ecuación diferencial queda:
153
4
⎡⎛ y ⎞ 2
⎛y⎞ ⎤
x5 ⎢⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟ ⎥ dx + x5
⎝ x ⎠ ⎥⎦
⎢⎣⎝ x ⎠
⎡ ⎛ y ⎞ 3 ⎛ y ⎞⎤
⎢2⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎥ dy = 0
⎢⎣ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠⎥⎦
Como x ≠ 0 multiplicando la ecuación por 1/x5 ¿Qué se obtiene?
♦ Se obtiene,
4
⎡⎛ y ⎞ 2
⎡ ⎛ y ⎞ 3 ⎛ y ⎞⎤
⎛y⎞ ⎤
⎢⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟ ⎥ dx + ⎢2⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎥ dy = 0
⎝ x ⎠ ⎥⎦
⎢⎣⎝ x ⎠
⎢⎣ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠⎥⎦
Observen la ecuación diferencial que resultó. ¿De quién quedan dependiendo
las funciones que multiplican a la diferencial dx y a la diferencial dy?
♦ Quedan dependiendo de
y
x
Correcto. Entonces ¿Qué deben hacer ahora para resolver la ecuación
diferencial que quedó planteada?
♦ Se debe realizar el cambio de variable
y
⎧
v
=
⎪
x
⎪
y
v
x
=
⎨
⎪dy = v dx + x dv
⎪
⎩
¿Cómo queda transformada la ecuación diferencial al sustituir el cambio de
variable?
154
♦ La ecuación diferencial se transforma en
(v2 + 2v4) dx + (2v3 - v) (x dv + v dx) = 0
¿Qué más se debe hacer?
♦ Se deben agrupar los términos que estén multiplicados por la diferencial dx,
sacando dx factor común, esto es
x (2v3 - v) dv + (v2 + 2v4 + 2v4 -v2) dx = 0
es decir,
x (2v3 - v) dv + 4v4 dx = 0
¿Qué debe hacerse para separar las variables?
♦ Para separar las variables debe multiplicarse la última ecuación por el factor
1
x v4
¿Cómo queda entonces la ecuación diferencial?
♦ La ecuación diferencial queda
2v 3 − v
4v
4
dv +
1
dx = 0
x
¿Cuál será ahora el siguiente paso?
♦ El siguiente paso es integrar cada término de la ecuación diferencial
∫
2v 3 − v
4v
4
dv +
∫ x dx
1
=C
155
¿Cómo se resuelve la integral
∫
2v 3 − v
4v 4
dv ?
♦ Se resuelve separando en dos integrales, las cuales son inmediatas:
∫
2v 3 − v
4v
4
dv =
2v 3
∫ 4v 4 dv - ∫ 4v 4 dv = ∫ 2v dv - ∫ 4v 3 dv
v
=
¿Cómo se resuelve
1
1
1
1
ln v +
2
8v 2
∫ x dx ?
1
♦ Es una integral inmediata:
∫
1
dx = ln x
x
Sustituyendo los resultados de las integrales ¿qué se obtiene?
♦ Se obtiene
1
1
ln x + ln v +
=C
2
8v 2
¿Qué deben hacer ahora?
♦ Se debe devolver el cambio, es decir, sustituir v por
1
1 y
ln x + ln +
=C
2
2 x
⎛y⎞
8⎜ ⎟
⎝x⎠
y
, resultando
x
156
¿Como pueden simplificar la solución?
♦ Aplicando propiedades de logaritmo
ln
x8y2
x4
2
⎛x⎞
+ ⎜⎜ ⎟⎟ = 8C
⎝y⎠
¿Cuál es la solución general de la ecuación diferencial que estamos
resolviendo?
♦ La solución general de la ecuación diferencial
(x3 y2 + 2 y4 x) dx + (2 x2 y3 - x4 y) dy = 0
4
2
es x y
(e x y )2 = K
El Problema 7 les queda como ejercicio, a fin de que consoliden los
conocimientos adquiridos en esta lección
PROBLEMA 7:
Obtenga la solución general para cada una de las siguientes ecuaciones
diferenciales. Siga cada uno de los pasos indicados en esta misma guía para tal
efecto.
1-
dy x + y
=
dx x − y
2- (x2 - y2) dx - 2xy dy = 0
3- xy' = y -
x 2 + y2
4- (x3 + y3) dx - xy2 dy = 0
5- y' =
y
⎛y⎞
+ sec 2 ⎜ ⎟
x
⎝x⎠
157
6-
dy x y
= −
dx y x
7- (y2 + yx) dx + x2 dy = 0
8-
dy y
= + ey x
dx x
9- 2x3 y dx + (x4 + y4) dy = 0
(
)
10- 2 xy − y dx − x dy = 0
CIERRE:
¿Qué estudiamos en esta lección?
♦ Estudiamos la definición de función homogénea de grado n
¿Cómo establecemos cuando una función es homogénea de grado "n" de
homogeneidad?
♦ Chequeando que la función satisface F(λx, λy) = λn F(x,y)
Muy bién. ¿Qué más estudiamos?
♦ Se estudió una proposición que satisfacen las funciones homogéneas de grado
"n" de homogeneidad"
¿Qué dice la proposición?
158
♦ La proposición dice que si una función F(x, y) es homogénea con grado "n" de
⎛y⎞
homogeneidad, entonces puede escribirse de la forma F(x, y) = xn f ⎜ ⎟
⎝x⎠
Exactamente. ¿Qué otro aspecto vimos?
♦ Vimos la definición de ecuación diferencial ordinaria de primer orden
homogénea
¿Cuál dijimos que debía ser la característica esencial en la ecuación
diferencial para clasificarla como una ecuación diferencial homogénea?
♦
Debía tener la forma P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 , con P(x, y) y Q(x,y)
funciones homogéneas con igual grado de homogeneidad.
Correcto. ¿Qué más estudiamos en esta clase?
♦ Estudiamos el método o los pasos a seguir para obtener la solución general de
una ecuación diferencial homogénea.
¿Podrían indicarme los pasos a seguir en la obtención de la solución de una
ecuación diferencial homogénea?
♦ Los pasos que debemos seguir para obtener la solución general de una ecuación
diferencial homogénea son:
1- Chequear que las funciones P(x, y) y Q(x, y) son homogéneas con igual grado
de homogeneidad
159
2- Si el grado de homogeneidad de las funciones P(x, y) y Q(x, y) es "n",
aplicar la proposición a ambas funciones, es decir, sacar xn (o también yn)
factor común
xn P (y x ) dx + xn Q (y x ) dy = 0
(yn P (x y ) dx + yn Q (x y ) dy = 0)
( ) (o por
3- Multiplicar la ecuación por 1 x
n
1
yn
)
P (y x ) dx + Q (y x ) dy = 0
(P (x y ) dx + Q (x y ) dy = 0)
4- Efectuar el cambio de variable
⎧ v = y x ⇒ y = vx
⎨
⎩dy = x dv + v dx
⎛ ⎧ v = x ⇒ x = vy ⎞
⎟
⎜⎪
y
⎟
⎜⎨
⎠
⎝ ⎪⎩dx = y dv + v dy
P(v) dx + Q(v) (x dv + v dx) = 0
(P(v) (y dv + v dy) + Q(v) dy = 0)
5- Sacar dx factor común
[ P(v) + v Q(v) ] dx + x Q(v) dv = 0
(P(v) y dv + [P(v) v + Q(v)] dy = 0)
6- Multiplicar por el factor
1
x [ P( v ) + v Q( v )
]
⎛
1
⎜⎜
⎝ y [ P ( v ) + v Q( v )
1
Q( v )
dx +
dv = 0
x
P( v ) + v Q( v )
⎛1
⎞
Q( v)
⎜⎜ dy +
dv = 0 ⎟⎟
P ( v) + v Q( v)
⎝y
⎠
7- Integrar la ecuación diferencial de variables separadas que se obtuvo
8- Resolver las integrales
9- Devolver los cambios de variable efectuados
10- De ser posible, despejar "y"
⎞
⎟
] ⎟⎠