Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Flujo por la curvatura media en variedades con densidad Franscisco Viñado-Lereu Departamento de Geometrı́a y Topologı́a Universidad de Valencia Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Referencias Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Contenido 1 Geometrı́a con densidad Conceptos elementales Geometrı́a con densidad vs Geometrı́a conforme Curvatura media Otros conceptos geométricos en densidad 2 Flujos geométricos Nociones básicas Pasos a seguir en su estudio 3 Flujo por la curvatura media en densidad El flujo Caso antigaussiano en el plano Caso gaussiano en el plano 4 Referencias Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Referencias Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias Conceptos elementales Conceptos elementales Definición Llamaremos n-variedad riemanniana con densidad a la terna (M n , g, eψ ), donde: (M n , g) es una n-variedad riemanniana, ψ ∈ C ∞ (M n ). Dado Ω ⊂ M n subonjunto suficientemente regular, tendremos dos conceptos de volumen para el mismo: R R V (Ω) := Ω dvg , Vψ (Ω) := Ω eψ dvg . Ası́ como dos conceptos de área para su borde ∂Ω (supuesto integrable): R R A(∂Ω) := ∂Ω dag , Aψ (∂Ω) := ∂Ω eψ dag , donde dag = ιN dvg , daψ ≡ eψ dag = eψ ιN dvg = ιN eψ dvg ≡ ιN dψ v. Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias Conceptos elementales Conceptos elementales Definición Llamaremos n-variedad riemanniana con densidad a la terna (M n , g, eψ ), donde: (M n , g) es una n-variedad riemanniana, ψ ∈ C ∞ (M n ). Dado Ω ⊂ M n subonjunto suficientemente regular, tendremos dos conceptos de volumen para el mismo: R R V (Ω) := Ω dvg , Vψ (Ω) := Ω eψ dvg . Ası́ como dos conceptos de área para su borde ∂Ω (supuesto integrable): R R A(∂Ω) := ∂Ω dag , Aψ (∂Ω) := ∂Ω eψ dag , donde dag = ιN dvg , daψ ≡ eψ dag = eψ ιN dvg = ιN eψ dvg ≡ ιN dψ v. Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias Geometrı́a con densidad vs Geometrı́a conforme Geometrı́a con densidad vs Geometrı́a conforme Definición Dada (M n , g) una variedad riemanniana, llamaremos variedad riemanniana conforme (M n , e2ϕ g); donde ϕ ∈ C ∞ (M n ). Tomando g := e2ϕ g, se tiene: dvg = e(n+1)ϕ dvg , dag = enϕ dag , el elemento de volumen y el elemento de área están multiplicados por un factor distinto, lo cual no ocurre en la geometrı́a con densidad: dvψ = eψ dvg , daψ = eψ dag . Además en la geometrı́a con densidad la métrica no se ve alterada. Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias Geometrı́a con densidad vs Geometrı́a conforme Geometrı́a con densidad vs Geometrı́a conforme Definición Dada (M n , g) una variedad riemanniana, llamaremos variedad riemanniana conforme (M n , e2ϕ g); donde ϕ ∈ C ∞ (M n ). Tomando g := e2ϕ g, se tiene: dvg = e(n+1)ϕ dvg , dag = enϕ dag , el elemento de volumen y el elemento de área están multiplicados por un factor distinto, lo cual no ocurre en la geometrı́a con densidad: dvψ = eψ dvg , daψ = eψ dag . Además en la geometrı́a con densidad la métrica no se ve alterada. Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Geometrı́a con densidad vs Geometrı́a conforme Geometrı́a con densidad vs Geometrı́a conforme Lema Sea (M n , g, eψ ) una variedad con densidad, mediante transformaciones conformes podemos obtener: 2ψ Sea g 1 := e (n+1) g, entonces Vψ = Vg1 y Aψ 6= Ag1 . Sea g 2 := e 2ψ n g, entonces Vψ 6= Vg2 y Aψ = Ag2 . Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Referencias Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias Curvatura media Curvatura media estándar y ψ-curvatura media. n+1 una inmersión de una hipersuperficie diferenciable Sea F : M n −→ M n+1 en M , consideremos los funcionales de área: R Area(F ) := M dag , R Areaψ (F ) := M daψ . ∂F Tomando variaciones a soporte compacto, X = , de la inmersión F ∂t obtenemos: R ∂ Area(Ft ) = − M H < X, N > dag , ∂t R ∂ Areaψ (Ft ) = − Hψ < X, N > daψ , ∂t donde Hψ = H− < ∇ψ, N >. Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Curvatura media Curvatura media estándar y ψ-curvatura media. En decir, − → H := −gradA, donde el gradiente del funcional se considera respecto de la métrica: R n+1 g(X, Y ) := M n g(X, Y )dag , ∀X, Y ∈ X(M ). Y − → H ψ := −gradψ Aψ , donde el gradiente del funcional se considera respecto de la métrica: R n+1 g(X, Y ) := M n g(X, Y )daψ , ∀X, Y ∈ X(M ). Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Referencias Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias Otros conceptos geométricos en densidad Divergencia y laplaciano en la geometrı́a con densidad. Definición Sea (M n , g, eψ ) una variedad riemanniana con densidad, llamaremos divergencia en densidad o ψ-divergencia de X ∈ X(M n ) a: divψ (X) = div(X)+ < ∇ψ, N > dicho concepto surge de forma natural desde la igualdad: divψ (X)dvψ = LX dvψ , Este concepto de divergencia coincide con la divergencia riemannaniana de la métrica conforme: 2ψ g 1 := e (n+1) g. Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Otros conceptos geométricos en densidad Divergencia y laplaciano en la geometrı́a con densidad. Definición Sea (M n , g, eψ ) una variedad riemanniana con densidad, llamaremos laplaciano en densidad o ψ-laplaciano de f ∈ C(M n ) a: ∆ψ f := ∆f + < ∇ψ, ∇f > dicho concepto surge desde la igualdad: ∆ψ f = divψ (∇f ). Este concepto no coincide con el laplaciano de ninguna de las posibles métricas conformes de g. Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Referencias Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias Otros conceptos geométricos en densidad Divergencia y laplaciano en la geometrı́a con densidad. Definición Sea (M n , g, eψ ) una variedad riemanniana con densidad, llamaremos laplaciano en densidad o ψ-laplaciano de f ∈ C(M n ) a: ∆ψ f := ∆f + < ∇ψ, ∇f > dicho concepto surge desde la igualdad: ∆ψ f = divψ (∇f ). Este concepto no coincide con el laplaciano de ninguna de las posibles métricas conformes de g. Teorema (de la divergencia) Sea M n una subvariedad riemanniana compacta orientada en la variedad n+1 n+1 riemanniana con densidad (M , g, eψ ). Dado X ∈ X(M ), entonces: R R divψ (X)dvψ = ∂M < X, N >g daψ M Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias Otros conceptos geométricos en densidad Divergencia y laplaciano en la geometrı́a con densidad. Definición Sea (M n , g, eψ ) una variedad riemanniana con densidad, llamaremos laplaciano en densidad o ψ-laplaciano de f ∈ C(M n ) a: ∆ψ f := ∆f + < ∇ψ, ∇f > dicho concepto surge desde la igualdad: ∆ψ f = divψ (∇f ). Este concepto no coincide con el laplaciano de ninguna de las posibles métricas conformes de g. Teorema (de la divergencia) Sea M n una subvariedad riemanniana compacta orientada en la variedad n+1 n+1 riemanniana con densidad (M , g, eψ ). Dado X ∈ X(M ), entonces: R R divψ (X)dvψ = ∂M < X, N >g daψ M Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias Nociones básicas Noción de flujo geométrico n+1 Sea F0 : M n → (M , g) una inmersión diferenciable. El objetivo es n+1 estudiar familias uniparametricas F : M n × [0, T ] → (M , g) de hipersuperficies Mtn := F (·, t)(M n ) satisfaciendo el problema de valor inicial (PVIf ): ∂F (p, t) = f N (p, t), ∂t F (p, 0) = F0 , p ∈ M n, p ∈ M n, donde N (p, t) es el normal unitario interior de Mtn en F (p, t) y f (p, t) es una función diferenciable homogéneamente simétrica de las curvaturas principales de la hipersuperficie Mtn en F (p, t). Los problemas de valor inicial considerados son sistemas no lineales parabólicos de segundo orden. Ya que en general la existencia de solución para tiempos cortos solo puede ser esperada para sistemas parabólicos. Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias Nociones básicas Existencia de solución para tiempos cortos MCF: Flujo por la curvatura media f = H. GCF: Flujo por la curvatura de Gauss f = G. IMCF: Flujo por la curvatura media inversa f = 1/H. Teorema (Hamilton) Si F0 : M n → (M n+1 , g) es una hipersuperficie diferenciable cerrada tal que: − ∂f (p) > 0, 1 ≤ i ≤ n, ∂λi en todo punto de F0 (M n ), entonces el PVIf tiene una solución diferenciable al menos en algún intervalo de tiempo corto [0, ), > 0. Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias Nociones básicas Existencia de solución para tiempos cortos MCF: Flujo por la curvatura media f = H. GCF: Flujo por la curvatura de Gauss f = G. IMCF: Flujo por la curvatura media inversa f = 1/H. Teorema (Hamilton) Si F0 : M n → (M n+1 , g) es una hipersuperficie diferenciable cerrada tal que: − ∂f (p) > 0, 1 ≤ i ≤ n, ∂λi en todo punto de F0 (M n ), entonces el PVIf tiene una solución diferenciable al menos en algún intervalo de tiempo corto [0, ), > 0. MCF: −(∂f /∂λi ) = 1 ⇒ para cualquier condición inicial. GCF: −(∂f /∂λi ) = λ−1 i G ⇒ si la condición inicial es convexa. IMCF: −(∂f /∂λi ) = H −2 ⇒ para cualquier condición inicial (H 6= 0). Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias Nociones básicas Existencia de solución para tiempos cortos MCF: Flujo por la curvatura media f = H. GCF: Flujo por la curvatura de Gauss f = G. IMCF: Flujo por la curvatura media inversa f = 1/H. Teorema (Hamilton) Si F0 : M n → (M n+1 , g) es una hipersuperficie diferenciable cerrada tal que: − ∂f (p) > 0, 1 ≤ i ≤ n, ∂λi en todo punto de F0 (M n ), entonces el PVIf tiene una solución diferenciable al menos en algún intervalo de tiempo corto [0, ), > 0. MCF: −(∂f /∂λi ) = 1 ⇒ para cualquier condición inicial. GCF: −(∂f /∂λi ) = λ−1 i G ⇒ si la condición inicial es convexa. IMCF: −(∂f /∂λi ) = H −2 ⇒ para cualquier condición inicial (H 6= 0). Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias Nociones básicas Evolución de los diversos objetos geométricos Teorema Dada una solución Mtn = F (·, t)(M n ) del PVIf se cumplen las siguientes ecuaciones de evolución: ∂ g = −2f α, ∂t ∂ (dag ) = −f H(dag ), ∂t ∂ N = −∇f , ∂t ∂ α = ∇2 f − f α(A(·), ·) − R(N, ·, N, ·) , ∂t ∂ H = ∆f + f |A|2 + Ric(N, N ) . ∂t Donde α es la segunda forma fundamental vectorial, A es la aplicación de Weingarten y ∆ es el operador de Laplace-Beltrami con respecto a la métrica dependiente del tiempo inducida en la hipersuperficie. Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias Pasos a seguir en su estudio Estudio de un flujo geométrico Existencia de solución para tiempos cortos. Unicidad de la solución. Preservación de la propiedad de ser embebida a lo largo de la evolución. Verificación del principio de inclusión. Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias Pasos a seguir en su estudio Estudio de un flujo geométrico Existencia de solución para tiempos cortos. Unicidad de la solución. Preservación de la propiedad de ser embebida a lo largo de la evolución. Verificación del principio de inclusión. Determinación del intervalo máximal de existencia: Tmax = ∞, Convergencia a una hipersuperficie lı́mite. Tmax < ∞ ⇒ aparición de algún tipo de singularidad. Clasificación de los posibles tipos de singularidades que pueden darse en la evolución del flujo. Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias Pasos a seguir en su estudio Estudio de un flujo geométrico Existencia de solución para tiempos cortos. Unicidad de la solución. Preservación de la propiedad de ser embebida a lo largo de la evolución. Verificación del principio de inclusión. Determinación del intervalo máximal de existencia: Tmax = ∞, Convergencia a una hipersuperficie lı́mite. Tmax < ∞ ⇒ aparición de algún tipo de singularidad. Clasificación de los posibles tipos de singularidades que pueden darse en la evolución del flujo. Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias El flujo Flujo por la curvatura media en densidad n+1 Sea F0 : M n → (M , g, eψ ) una inmersión diferenciable de una variedad diferenciable n-dimensional M n en la variedad riemanniana con densidad n+1 (M , g, eψ ). El flujo por la curvatura media en densidad de F0 es una n+1 familia de inmersiones diferenciables Ft : M n → M para t ∈ [0, T ) tal que tomando F (p, t) ≡ Ft (p), la aplicación: F : M n × [0, T ) → M n+1 , es una solución diferenciable del siguiente sistema de PDE’s: ∂ F (p, t) = Hψ (p, t)N (p, t) = −gradψ Aψ , ∂t F (p, 0) = F0 (p), donde Hψ (p, t) y N (p, t) son respectivamente la ψ-curvatura media escalar y el normal unitario interior de la hipersuperficie Ft en el punto p ∈ M n . Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias El flujo Principales propiedades Existencia y unicidad de solución para tiempos cortos para cualquier condición inicial (sistema de ecuaciones parabólicas cuasilineal). Preservación de la propiedad ser embebida a lo largo del flujo. Principio de inclusión. Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Caso antigaussiano en el plano Caso antigaussiano en el plano 1 2 2 Variedad ambiente (R2 , gEucl , e 2 µ 1 r ). 2 Valor inicial γ0 : S → R curva embebida. ψ-curvatura de las esferas centradas en el origen de radio R: 1 + µ2 R > 0, ∀ R > 0 Hψ = R ⇒ Tmax < ∞ para cualquier curva embebida. Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Referencias Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias Caso antigaussiano en el plano Caso antigaussiano en el plano 1 2 2 Variedad ambiente (R2 , gEucl , e 2 µ 1 r ). 2 Valor inicial γ0 : S → R curva embebida. ψ-curvatura de las esferas centradas en el origen de radio R: 1 + µ2 R > 0, ∀ R > 0 Hψ = R ⇒ Tmax < ∞ para cualquier curva embebida. Toda curva colapsa a un punto. Toda curva colapsa a un punto redondo (equivalencia con el flujo estándar). Toda curva acaba siendo convexa antes del colapso (equivalencia con el flujo estándar). Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias Caso antigaussiano en el plano Caso antigaussiano en el plano 1 2 2 Variedad ambiente (R2 , gEucl , e 2 µ 1 r ). 2 Valor inicial γ0 : S → R curva embebida. ψ-curvatura de las esferas centradas en el origen de radio R: 1 + µ2 R > 0, ∀ R > 0 Hψ = R ⇒ Tmax < ∞ para cualquier curva embebida. Toda curva colapsa a un punto. Toda curva colapsa a un punto redondo (equivalencia con el flujo estándar). Toda curva acaba siendo convexa antes del colapso (equivalencia con el flujo estándar). Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias Caso gaussiano en el plano Caso gaussiano en el plano 1 2 2 Variedad ambiente (R2 , gEucl , e− 2 µ 1 r ). 2 Valor inicial γ0 : S → R curva embebida. ψ-curvatura de las esferas centradas en el origen de radio R: µ2 1 Hψ = − R2 ), ( R µ2 luego: Hψ > 0, ∀ R < Hψ < 0, ∀ R > Hψ = 0, R = 1 µ 1 µ 1 µ ⇒ contraen al origen de coordenadas (Tmax < ∞). ⇒ expanden hacia el infinito (Tmax = ∞). ⇒ se mantiene invariante por el flujo (Tmax = ∞). Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias Caso gaussiano en el plano Caso gaussiano en el plano 1 2 2 Variedad ambiente (R2 , gEucl , e− 2 µ 1 r ). 2 Valor inicial γ0 : S → R curva embebida. ψ-curvatura de las esferas centradas en el origen de radio R: µ2 1 Hψ = − R2 ), ( R µ2 luego: Hψ > 0, ∀ R < Hψ < 0, ∀ R > Hψ = 0, R = 1 µ 1 µ 1 µ ⇒ contraen al origen de coordenadas (Tmax < ∞). ⇒ expanden hacia el infinito (Tmax = ∞). ⇒ se mantiene invariante por el flujo (Tmax = ∞). Las soluciones existen para todo tiempo o colapsan a un punto en tiempo finito (Teorı́a de EDP’s en 2-variedades, Angenent). Toda curva que colapsa lo hace a un punto redondo y se hace convexa antes de que se produzca (equivalencia con el flujo estándar). Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias Caso gaussiano en el plano Caso gaussiano en el plano 1 2 2 Variedad ambiente (R2 , gEucl , e− 2 µ 1 r ). 2 Valor inicial γ0 : S → R curva embebida. ψ-curvatura de las esferas centradas en el origen de radio R: µ2 1 Hψ = − R2 ), ( R µ2 luego: Hψ > 0, ∀ R < Hψ < 0, ∀ R > Hψ = 0, R = 1 µ 1 µ 1 µ ⇒ contraen al origen de coordenadas (Tmax < ∞). ⇒ expanden hacia el infinito (Tmax = ∞). ⇒ se mantiene invariante por el flujo (Tmax = ∞). Las soluciones existen para todo tiempo o colapsan a un punto en tiempo finito (Teorı́a de EDP’s en 2-variedades, Angenent). Toda curva que colapsa lo hace a un punto redondo y se hace convexa antes de que se produzca (equivalencia con el flujo estándar). Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias Caso gaussiano en el plano Caso gaussiano en el plano Sea Ωt la región acotada por γt (S1 ), entonces: dAg (Ωt ) = −2π + 2µ2 Ag (Ωt ), dt de modo que: π ⇒ la curva colapsa a un punto en tiempo finito. µ2 π Si Ag (Ω0 ) > 2 ⇒ la curva expande para todo tiempo de forma µ acelerada. π Si Ag (Ω0 ) = 2 ⇒ el área se mantiene constante, la curva existe para µ todo tiempo. Si Ag (Ω0 ) < Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Referencias A. Borisenko, V. Miquel Gaussian Mean curvature flow Journal of Evolution Equations, 2010 K.S. Chou and X.P. Zhu The curve shortening problem Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2001 G. Huisken, A. Polden Geometric evolution equations for hypersurfaces. C. Mantegazza Lecture Notes on Mean Curvature Flow Birkhäuser, Progress in Mathematics, Volume 290, 2011 F. Morgan Manifolds with density Notices Am. Math. Soc. 52, (2005), 853858. Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Referencias Geometrı́a con densidad Flujos geométricos Flujo por la curvatura media en densidad Gracias por su atención. Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO) Flujo por la curvatura media en variedades con densidad. Referencias