Potencias - EducarChile

Actividad para el estudiante
Números
Geometría potenciada
Nivel: 1º Medio
Sector: Matemática
Unidad temática: Números
Potencias
Geometría potenciada
Las potencias, ¿se usan en la geometría?
La geometría fractal es un recurso nuevo en la investigación matemática que
fue desarrollado en la década de los setenta y ochenta. La geometría fractal se
refiere
al
estudio
de
las
figuras
geométricas
que
contienen
patrones
predecibles y que se repiten al cambiar la escala de trabajo. Es decir, los
patrones fractales muestran semejanzas en sí mismos.
Cuando se amplía una pequeña parte de una figura semejante a sí misma, la
región ampliada parece semejante a la figura originalmente dada. Las
semejanzas en sí mismas están presentes en la naturaleza tales como en las
hojas de algunos helechos, en las ramas de los brócoli, en las ramas de las
coliflores, etc.
Se pueden crear patrones fractales al repetir una regla en una escala cada vez
más pequeña. Por ejemplo:
Observa la figura 1, en ella se muestra una serie de cuadradazos unos dentro
de otros. La regla para el patrón que se ilustra a continuación es:
“Obtén los puntos medios de cada lado del cuadrado y únelos para
construir un nuevo cuadrado”
I. Cuadrados y triángulos
Observa que en cada etapa se obtiene un nuevo cuadrado; este patrón puede
repetirse infinitamente.
Figura 1
1
Actividad para el estudiante
Números
Geometría potenciada
La figura 2 corresponde a un famoso patrón fractal llamado “Sierpinski Gasket”
o “Sierpinski Triangle”. Esta figura fue creada aplicando la repetición infinita de
la regla denominada “Sierpinski Gasket”.
Figura 2
Ahora, con base en ambas figuras:
1. Explica con tus propias palabras la regla que rige a este patrón.
Escríbela.
2. Dibuja la “Etapa 3” del patrón de la figura 2.
3. De acuerdo con la figura, completa la siguiente tabla:
Etapa
0
1
2
3
N.º de triángulos pintados
N.º
de
Ttriángulos
no
pintados
4. Escribe una lista con el número de triángulos pintados de cada etapa.
5. Describe en palabras el patrón que observas en los números de
triángulos pintados de la tabla.
6. La descripción en palabras que has dado previamente, ¿puede escribirse
en forma abreviada usando potencia? Si fuera así, ¿cuál sería la base?
7. Usando notación exponencial, desarrollo y valor de la potencia, escribe
el número de triángulos pintados:
2
Actividad para el estudiante
Números
Geometría potenciada
a)
en la etapa 0 =
b)
en la etapa 1 =
c)
en la etapa 2 =
d)
en la etapa 3 =
8. Describe en palabras el patrón que observas en los números de triángulos
no pintados de la tabla.
II. Números triangulares
Observa las figuras 3 y 4. Observa que en la figura 3, los números 1, 3, 6 y 10
puntos pueden ordenarse en triángulos. Por esto se llaman “números
triangulares”.
Figura 3
Consideremos ahora (figura 4) que los números 1, 4, 9 y 16 puntos pueden
ordenarse en cuadrados y se llaman “números cuadrados”.
Figura 4
3
Actividad para el estudiante
Números
Geometría potenciada
1. Dibuja los dos siguientes números triangulares.
2. ¿Cuáles son esos dos siguientes números triangulares?
3. Dibuja los dos siguientes números cuadrados.
4. ¿Cuáles son esos dos siguientes números cuadrados?
5. ¿Cuál es el menor número (además del uno) que puede ser a la vez
número triangular y número cuadrado?
6. Describe en palabras un patrón para determinar los primeros diez
números cuadrados.
7. La descripción en palabras que has dado previamente, ¿puede escribirse
en forma abreviada usando potencia? Si fuera así, ¿cuál sería el
exponente?
8. Usando notación exponencial, desarrollo y valor de la potencia, escribe:
a) el primer número cuadrado =
b) el segundo número cuadrado =
c) el tercer número cuadrado =
d) el cuarto número cuadrado =
e) el quinto número cuadrado =
f) el sexto número cuadrado =
g) el séptimo número cuadrado =
h) el octavo número cuadrado =
i) el noveno número cuadrado =
j) el décimo número cuadrado =
4
Actividad para el estudiante
Números
Geometría potenciada
Entonces, ¿las potencias se usan en la geometría?
Claro que sí. Y una prueba de que ello es así la constituye la geometría
fractal
puesto que al estudiar figuras geométricas que contienen patrones
predecibles y que se repiten al cambiar la escala de trabajo, en ocasiones dicho
patrón es una potencia.
Interesante resulta conocer que tal fenómeno está presente en la naturaleza
puesto que a partir de una figura dada, otras figuras semejantes a la primera
se determinan en secuencias repetitivas tal como ocurre con las hojas de
algunos helechos, en las ramas de los brócoli, en las ramas de las coliflores,
etc.
Las potencias también están presentes en el estudio de un tipo de
cuadrilátero: el cuadrado. Ello porque una figura geométrica que corresponde a
una ordenación cuadrada de puntos representa a un número cuadrado. En
efecto, corresponde a “un número al cuadrado”; de base un número natural
cualquiera y siempre de exponente 2.
5