6) Desde la parte superior de un pozo se deja caer una piedra para

6) Desde la parte superior de un pozo se deja caer una piedra para calcular su profundidad, y, como
el pozo no puede verse bien desde arriba, se toma el tiempo en base al sonido escuchado cuando la
piedra golpea en el fondo, el cual resulta ser de 4 s. Un estudiante hace un cálculo rápido en base al
tiempo dado suponiendo que ese es el tiempo de caída. Un compañero dice que eso da gran error y
que debe considerarse el tiempo que tardó el sonido en llegar arriba. Calcular la profundidad de
ambas formas, tomando la velocidad del sonido como 340 m/s, y hallar el error relativo del primer
cálculo, tomando el segundo como correcto.
Llamemos T al tiempo total transcurrido entre que se suelta la piedra y cuando se escucha el sonido
del impacto. Además t1 es el tiempo de caída de la piedra, y t2 es el tiempo que tarda el sonido (el
ruido del golpe) en llegar a la superficie. Se tiene:
T = t1 + t2 = 4 s
Entonces:
t2 = T – t1
Si ubicamos el origen de coordenadas en el fondo del pozo, y consideramos el eje y hacia arriba
positivo, el y máximo es la altura del pozo h, que a su vez es la altura inicial para la piedra.
Planteamos:
y = yo + Vo t – ½ g t1² = h – ½ g t1²
ya que Vo=0 (se deja caer la piedra) y que a = -g, porque se opone a y creciente hacia arriba.
Cuando llega al fondo es y=0 entonces:
0 = h – ½ g t1² => h = ½ g t1²
(1)
El sonido se propaga a velocidad constante Vs = 340 m/s y la onda cumple un M.R.U. entonces
también podemos expresar la altura h como:
h = Vs t2 = Vs (T - t1) = Vs T – Vs t1
(2)
Igualando (1) y (2):
½ g t1² = Vs T – Vs t1
Operando la disponemos como una ecuación de segundo grado de la forma: a t² + b t + c = 0
½ g t1² + Vs t1 - Vs T = 0 (3)
Para resolverla por simplicidad con los números reemplazamos los valores de los parámetros
conocidos, expresándolos en el S.I. pero sin poner las unidades ya que sabemos que están en ese
sistema de unidades:
½ 9,8 t1² + 340 t1 – 340 . 4 = 0
4,9 t1² + 340 t1 - 1360 = 0
(3’)
Cuyas raíces son: t1 = 3,7927 s;
t1’ = -73,1804 s
La raíz negative no tiene sentido físico, entonces sabemos que el tiempo real de caída de la piedra
es: 3,79 s aproximadamente, y el del viaje de la onda sonora e:
t2 = 4 – 3,79 = 0,21 s
Reemplazando t1 ó t2 en sus respectivas ecuaciones obtenemos la profundidad h del pozo:
h = 340 . 0,21 = 70,48 m
o
h = 4,9 . 3,79² = 70,48 m
Cálculo realizado por el estudiante:
Él supone que el sonido arriba instantáneamente, o sea que a los 4 segundos la piedra golpeó el
fondo, entonces:
h = ½ g T² = 4,9 . 4² = 78,4 m
El error de esta estimación es:
,,
εr=
,
Fin del ejercicio
= 0,101 = 10,1%
8) El esquiador de la figura a la derecha
abandona la rampa con una velocidad de 90
km/h a 15º de elevación sobre el horizonte.
Si se considera el roce del aire despreciable
¿a qué distancia del punto O de inicio del
vuelo aterrizará, si la ladera está inclinada
30º? ¿Con qué velocidad y ángulo de
incidencia?
Por comodidad tomemos y positivo hacia arriba.
Análisis del movimiento parabólico:
x = Vo cos 15º t
y = Vo sen 15º t – ½ g t²
Vo = 90 km/h =
= 25 m/s
Sustituyendo los valores en el S.I. (no podemos las unidades por comodidad):
x = 25 . 0,966 . t = 24,15 t (1)
y = 25 . 0,259 – ½ 9,8 t² = 6,47 t – 4,9 t² (2)
A diferencia de un terreno horizontal, acá no podemos plantear que al caer sea y=0, porque
obviamente el punto de aterrizaje está por debajo de O (origen), entonces tenemos hasta acá 2
ecuaciones con 3 incógnitas: x, y, t. Necesitamos otra ecuación: la de la ladera.
Vista de costado es una recta de la forma y = m x + b, siendo b=0 la ordenada al origen, y la
pendiente m negativa será la tangente trigonométrica de -30º, entonces:
y = tan (-30º) x = -0,577 x
(3)
Solucionando las 3 ecuaciones ahora obtendremos las 3 variables mencionadas.
Sustituyendo x dado por la (1) en la (3):
y = -0,577 . 24,15 t = -13,94 t (4)
Ahora igualamos (4) con la ec. (2):
6,47 t – 4,9 t² = -13,94 t
Una de sus raíces es t=0, pero la descartamos porque es la obvia, cuando parte el esquiador, la otra
se obtiene dividiendo miembro a miembro por t, ya que la raíz que nos queda es obviamente mayor
que cero. Operando:
6,47 – 4,9 t = -13,94
t=
,
,
,
= 4,17 s → tiempo de vuelo (permanencia en el aire)
Reemplazando en (1) y en (2)¹:
x = 24,15 t = 100,60 m
y = 6,47 t – 4,9 t² = -58,08 m
¹ También se podría reemplazar en (4) y da lo mismo.
La distancia del inicio en realidad será la diagonal dada por:
d = ඥ‫ݔ‬² + ‫ݕ‬² = 116,16 m
La velocidad de caída se obtiene a partir de sus componentes:
Vx = constante = Vo cos 15º = 24,15 m/s
Vy = Vo sen 15º - g t = 6,47 – 9,8 t = -24,35 m/s (hacia abajo, va cayendo)
V = ඥܸ‫ݔ‬² + ܸ‫ݕ‬² = 41,99 m/s
φ = arc tan
௏௬
௏௫
= -54,90º
Es de hacer notar que el ángulo relativo de caída respecto de la ladera es de apenas 9,90º, por lo
cual la velocidad elevada en realidad es apenas del orden de 7,2 m/s en la dirección perpendicular a
la misma lo que significa que no es tan grande el impacto.
Fin del ejercicio