Tema 3
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Tema 3. Circuitos Resistivos © Francisco J. González, UC3M 2010 Sistemas y Circuitos 1 3.1 Elementos en Circuitos i (t ) Elementos de circuitos + • Dos terminales v(t ) Tanto la tensión como la corriente son variables que tienen signo. z Dispositivo (R, L,C) (Generador) − • Potencia (instantánea) i (t ) + p (t ) = v(t )i (t ) 3A Si p(t)<0, el dispositivo genera − 5V p (t ) = −15 W © Francisco J. González, UC3M 2010 -5 V p (t ) = −15 W + − Consume − − + p (t ) = 15 W v (t ) Dispositivo (R, L,C) (Generador) −3 A 3A + 5V Si p(t)>0, el dispositivo consume Genera Sistemas y Circuitos Genera 2 Signo en voltajes ¿Por qué un voltaje puede ser negativo? • Los voltímetros miden la diferencia de voltaje entre dos terminales. − Si conectamos la pinza roja a un terminal y la negra a otra tendremos un determinado valor de voltaje. − Si cambiamos de terminal las pinzas, observaremos que el voltaje ha cambiado de signo. © Francisco J. González, UC3M 2010 Sistemas y Circuitos 3 3.1 Elementos en Circuitos Activos • Generadores ideales: mantienen su valor nominal independientemente de lo que haya conectado a sus terminales − Tensión v(t ) + VS − + constante − − Corriente i (t ) 5V 5A + − Tanto la tensión como la corriente son variables que tienen signo. 2A z © Francisco J. González, UC3M 2010 Permitido Sistemas y Circuitos 2A No Permitido 4 3.1 Elementos en Circuitos Activos • Generadores dependientes: − su valor nominal depende de otra magnitud en el circuito • Generadores de tensión dependientes de Tensión α vx (t ) [V] + − Corriente ρ i y (t ) [V] + − • Generadores de corriente dependientes de Corriente β is (t ) [A] © Francisco J. González, UC3M 2010 Tensión μ vr (t ) [A] Sistemas y Circuitos 5 3.1 Elementos en Circuitos Pasivos • Relaciones tensión-corriente en Tanto la tensión como la corriente son variables que tienen signo. − Resistencias (ley de Ohm) + v(t ) + i (t ) R − v(t ) = Ri (t ) + 5V 10RΩ − v(t ) i (t ) = R 5V 10RΩ − + 0.5 A −5 V − © Francisco J. González, UC3M 2010 −0.5 A 0.5 A Sistemas y Circuitos 10 Ω − 0.5 A 5V + 10 Ω 6 3.1 Elementos en Circuitos Pasivos 400 v(t ) 300 • Resistencias (ley de Ohm) 200 + 100 i (t ) i (t ) v(t ) = Ri (t ) v(t ) 0 R -100 -200 − v(t ) = 220 2 sin(2π 50t ) V -300 R = 10Ω -400 0 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 10000 v(t ) i (t ) = = 22 2 sin(2π 50t ) A R p (t ) 8000 − Potencia 6000 v 2 (t ) 2 p (t ) = v(t )i (t ) = = i (t ) R [W] R Consume 4000 2000 p(t)>0, » resistencias siempre consumen 0 -2000 © Francisco J. González, UC3M 2010 0.01 0 0.01 Sistemas y Circuitos 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 7 3.1 Elementos en Circuitos Pasivos • Relaciones tensión-corriente en − Bobinas + v(t ) i (t ) L di (t ) v(t ) = L dt − − Condensadores + i (t ) v(t ) − © Francisco J. González, UC3M 2010 C dv(t ) i (t ) = C dt Sistemas y Circuitos 8 3.1 Elementos en Circuitos Circuitos • Nodos (nudos), ramas, lazos y mallas Rama esencial: Rama une dos nodos esenciales Malla L1 L2 R2 v(t ) + C2 C3 R1 − Lazo L3 C4 C1 Nodo Nodo esencial: punto donde se conectan tres o más elementos © Francisco J. González, UC3M 2010 Sistemas y Circuitos 9 3.2 Resolución mediante Lemas Kirchhoff Resolución de circuitos • Obtener los valores de la corriente en cada rama y/o del voltaje en cada nodo Ley de Corrientes de Kirchhoff (LCK) • “La suma algebraica de todas las corrientes en un nodo es 0 A” ia ib ic ia − ib − ic − id = 0 id −ia + ib + ic + id = 0 Corrientes entrantes (+) Corrientes de salida (-) Corrientes entrantes (-) Corrientes de salida (+) ia = ib + ic + id Suma Corrientes entrantes = Suma Corrientes de salida © Francisco J. González, UC3M 2010 Sistemas y Circuitos 10 3.2 Resolución mediante Lemas Kirchhoff Resolución de circuitos • Obtener los valores de la corriente en cada rama y/o del voltaje en cada nodo Ley de Corrientes de Kirchhoff (LCK) • “La suma algebraica de todas las corrientes en un nodo es 0 A” Ib I b − 12 + 16 − 1 = 0 − I b + 12 − 16 + 1 = 0 Corrientes entrantes (+) Corrientes de salida (-) 12A −16A 1A Corrientes entrantes (-) Corrientes de salida (+) I b = 1 + 12 − 16 ¿ Ib ? Suma Corrientes entrantes = Suma Corrientes de salida © Francisco J. González, UC3M 2010 Sistemas y Circuitos 11 3.2 Resolución mediante Lemas Kirchhoff Resolución de circuitos • Obtener los valores de la corriente en cada rama y/o del voltaje en cada nodo Ley de Voltajes (Tensiones) de Kirchhoff (LVK) • “La suma algebraica de todas las tensiones en un lazo es 0 V” − El sentido en el que se recorre el lazo es arbitrario. vL 3 (t ) + vC 2 (t ) + vL 2 (t ) − vC1 (t ) = 0 Subidas tensión (+) L1 − + R2 vC 2 (t ) C2 − C4 L2 −vL 3 (t ) − vC 2 (t ) − vL 2 (t ) + vC1 (t ) = 0 vL 2 (t ) + + vL 3 (t ) Bajadas tensión (-) L3 − © Francisco J. González, UC3M 2010 + vC1 (t ) − C1 Subidas tensión (+) Bajadas tensión (-) vC1 (t ) = vL 3 (t ) + vC 2 (t ) + vL 2 (t ) Suma caídas tensión = Suma subidas de tensión Sistemas y Circuitos 12 3.3 Circuitos resistivos Resistencia equivalente • Serie: R1 I R2 R3 + V1 = IR1 − +V2 = IR2 − + RN + VN − V3 − − Ley de Tensiones de Kirchhoff I Req + N ∑ k =1 − Vk = I ( R1 + R2 + Req = R1 + R2 + © Francisco J. González, UC3M 2010 + RN ) = IReq N + RN = ∑ Rk Sistemas y Circuitos k =1 13 3.3 Circuitos resistivos Resistencia equivalente • Paralelo: Ley de Corrientes de Kirchhoff + V − I R1 R2 R3 + V − RN Req = I 1 1 1 + + R1 R2 ⎛ 1 1 + V⎜ + R R 2 ⎝ 1 Req 1 + RN = 1 + RN ⎞ V ⎟= ⎠ Req 1 N ∑ 1 Rk = R1 R2 R1 + R2 k =1 − Paralelo de dos resistencias R1 © Francisco J. González, UC3M 2010 R2 Req Req = 1 1 1 + R1 R2 Sistemas y Circuitos 14 3.3 Circuitos resistivos Circuito divisor de tensión R1 + + R2 V − V2 − ⎛ R2 ⎞ V V2 = R2 = ⎜ ⎟V R1 + R2 ⎝ R1 + R2 ⎠ ⎛ R2 ⎞ ⎜ ⎟ ≤1 ⎝ R1 + R2 ⎠ © Francisco J. González, UC3M 2010 Sistemas y Circuitos 15 3.3 Circuitos resistivos Circuito divisor de corriente I I1 I1 + I 2 = I R1 I2 R2 I1 R1 = I 2 R2 R1 I1 + I1 =I R2 ⎛ R2 ⎞ I1 = ⎜ ⎟I ⎝ R1 + R2 ⎠ ⎛ R1 ⎞ I2 = ⎜ ⎟I ⎝ R1 + R2 ⎠ ⎛ R2 ⎞ ⎜ ⎟ ≤1 ⎝ R1 + R2 ⎠ © Francisco J. González, UC3M 2010 Sistemas y Circuitos ⎛ R1 ⎞ ⎜ ⎟ ≤1 ⎝ R1 + R2 ⎠ 16 3.4 Resolución de circuitos Método de las tensiones en nodos 1. Marcar y etiquetar los nodos esenciales a R1 v(t ) + + − Datos: v(t ), i (t ), R1, R 2, R3, R 4 + R2 va − b R3 c vb R4 i (t ) − 2. Elegir nodo de referencia (su voltaje relativo es 0 V) Generalmente, se elige aquel al que se conectan más ramas 3. Definir voltajes en nodos respecto al nodo de referencia 4. Aplicar Ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo © Francisco J. González, UC3M 2010 Sistemas y Circuitos 17 3.4 Resolución de circuitos Método de las tensiones en nodos 4. Aplicar Ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo a R1 V + + + R2 va − − R1 + + i1 V − a va − © Francisco J. González, UC3M 2010 b R3 c vb R4 I − R3 + i3 R2 i2 Nodo a: vb − i1 − i2 + i3 = 0 V − va v i1 = i2 = a R1 R2 i3 = vb − va R3 ⎛ 1 ⎛ 1 ⎞ V 1 1 ⎞ + ⎟ − vb ⎜ ⎟ = va ⎜ + ⎝ R1 R2 R3 ⎠ ⎝ R3 ⎠ R1 1 ecuación, 2 incógnitas Sistemas y Circuitos 18 3.4 Resolución de circuitos Método de las tensiones en nodos 4. Aplicar Ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo a R1 + V + + R2 va − − R3 + + i3 va − Nodo b: R4 i4 − © Francisco J. González, UC3M 2010 c vb R4 I − I b vb b R3 I − i3 − i4 = 0 v −v v i3 = b a i4 = b R3 R4 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ −va ⎜ ⎟ + vb ⎜ + ⎟ = I ⎝ R3 ⎠ ⎝ R3 R4 ⎠ 1 ecuación, 2 incógnitas Sistemas y Circuitos 19 3.4 Resolución de circuitos Método de las tensiones en nodos 5. Resolver ecuaciones Nº Ecuaciones = Nº nodos esenciales -1 R1 R3 a b V + + − + R2 va − c vb I − ⎛ 1 ⎛ 1 ⎞ V 1 1 ⎞ + ⎟ − vb ⎜ ⎟ = va ⎜ + ⎝ R1 R2 R3 ⎠ ⎝ R3 ⎠ R1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ −va ⎜ ⎟ + vb ⎜ + ⎟ = I ⎝ R3 ⎠ ⎝ R3 R4 ⎠ © Francisco J. González, UC3M 2010 R4 Sistemas y Circuitos Si conocemos va y vb conoceremos todas las tensiones y corrientes en el circuito 20 3.4 Resolución de circuitos Método de las corrientes en mallas 1. Marcar y etiquetar las mallas R1 v(t ) + − Datos: v(t ), i (t ), R1, R 2, R3, R 4 R3 Ia Malla a R2 R4 Ib Ic Malla b i (t ) Malla c 2. Definir corrientes de malla Se elige arbitrariamente el sentido en el que circulan 3. Aplicar Ley de tensiones de Kirchhoff en cada malla 4. Resolver ecuaciones © Francisco J. González, UC3M 2010 Nº Ecuaciones = Nº Mallas Sistemas y Circuitos 21 3.4 Resolución de circuitos Método de las corrientes en mallas 3. Aplicar Ley de tensiones de Kirchhoff en cada malla R1 V + − Datos: v(t ), i (t ), R1, R 2, R3, R 4 Ia Malla a Malla a: Malla b: Malla c: R2 R4 Ib Ic Malla b ( Ib − I a ) R2 + Ib R3 + ( Ib − I c ) R4 = 0 Ic = −I © Francisco J. González, UC3M 2010 I Malla c 4. −V + I a R1 + ( I a − I b ) R2 = 0 3 ecuaciones, 3 incógnitas R3 Resolver ecuaciones I a ( R1 + R2 ) − I b R2 = V − I a R2 + I b ( R2 + R3 + R4 ) = − IR4 2 ecuaciones, 2 incógnitas Sistemas y Circuitos 22 3.5 Transformación de generadores Transformación de generadores : • Procedimiento por el cual una fuente de tensión en serie con una resistencia se transforma en un generador de corriente en paralelo con un resistencia. • El comportamiento de ambos circuitos respecto de los terminales a y b es idéntico. RS VS i + i a VS = I S RP vab IS RP RS = RP vab b b Pendiente -RS vab VS Cortocircuito (vab=0) Circuito abierto (i=0) VS RS © Francisco J. González, UC3M 2010 vab Característica v-i i Pendiente -RP a Característica v-i I S RP Cortocircuito (vab=0) i IS Sistemas y Circuitos 23 3.6 Superposición Linealidad en circuitos resisitivos Anulamos el generador de corriente→ 0 A.⇔ circuito abierto Anulamos el generador de tensión→ 0 V ⇔ cortocircuito i1 = i1′ + i1′′ © Francisco J. González, UC3M 2010 Sistemas y Circuitos 24 3.7 Equivalente de Thèvenin Un circuito lineal conteniendo resistencias y generadores dependientes y/o independientes puede reemplazarse por un generador independiente de tensión en serie con una resistencia • Tensión y resistencia de Thèvenin Circuito A a RTH VTH RL + − b © Francisco J. González, UC3M 2010 ia RL b Sistemas y Circuitos 25 3.7 Equivalente de Thèvenin Un circuito conteniendo resistencias y generadores independientes y/o dependientes puede reemplazarse por un generador independiente de tensión en serie con una resistencia. Circuito A a RTH VTH RL ia + − I SC RL b b Procedimiento 1. Calcular la tensión en circuito abierto: Vab = VTH 2. Calcular la corriente en cortocircuito: Iab = ISC VOC R = 3. La resistencia deThèvenin es TH I SC © Francisco J. González, UC3M 2010 Sistemas y Circuitos 26 3.7 Equivalente de Norton Un circuito lineal conteniendo resistencias y generadores dependientes y/o independientes puede reemplazarse por un generador independiente de corriente en paralelo con una resistencia • Corriente y resistencia de Norton Circuito A a i a RL RN RL b b © Francisco J. González, UC3M 2010 IN Sistemas y Circuitos 27 3.7 Equivalente de Norton Un circuito conteniendo resistencias y generadores independientes y/o dependientes puede reemplazarse por un generador independiente de corriente en paralelo con una resistencia. Circuito A a i a IN RL RN RL b b Procedimiento 1. Calcular la corriente en cortocircuito: ISC = IN 2. Calcular la tensión en circuito abierto: VAB = IN RN VOC 3. La resistencia de Norton es RN = © Francisco J. González, UC3M 2010 IN Sistemas y Circuitos 28 3.7 Equivalente Thèvenin Máxima transferencia de potencia: • ¿Cuánto ha de valer RL para que la potencia que disipe sea máxima? RTH VTH ia + − RL b PRL 2 ⎛ VTH ⎞ PRL = ⎜ ⎟ RL ⎝ RTH + RL ⎠ PRL MAX 0 © Francisco J. González, UC3M 2010 RL , MAX RL Sistemas y Circuitos 29 3.7 Equivalente Thèvenin Máxima transferencia de potencia: • ¿Cuánto ha de valer RL para que la potencia que disipe sea máxima? RTH VTH ia 2 + − RL ⎛ VTH ⎞ PRL = ⎜ ⎟ RL ⎝ RTH + RL ⎠ b PRL 2 ⎛ R + R − RL i2 ( RTH + RL ) ⎞ ( ) TH L 2 = VTH ⎜ ⎟ 4 ⎜ ⎟ dRL ( RTH + RL ) ⎝ ⎠ dPRL 2 = 0 → ( RTH + RL ) − RL i2 ( RTH + RL ) = 0 dRL dPRL dPRL dRL =0 dPRL 0 © Francisco J. González, UC3M 2010 RTH RL dRL Sistemas y Circuitos = 0 → RTH = RL 30 3.7 Equivalente Thèvenin © Francisco J. González, UC3M 2010 Sistemas y Circuitos 31 Ejercicios de Repaso © Francisco J. González, UC3M 2010 Sistemas y Circuitos 32 Ejercicios de Repaso © Francisco J. González, UC3M 2010 Sistemas y Circuitos 33 Ejercicios de Repaso © Francisco J. González, UC3M 2010 Sistemas y Circuitos 34
