Teoria estadistica de la decision

Teoria estadistica
de la decision
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Esquema del capitulo
21 .1 . La toma de decisiones en condiciones de incertidumbre
21.2. Soluciones que no implican la especificacion de probabilidades: criterio
maximin, criterio de la perdida de oportunidades minimax
Criterio maximin
Criterio de la perdida de oportunidades minimax
21.3. Valor monetario esperado; TreePlan
Arboles de decision
La utilizacion de TreePlan para resolver un arbol de decision
Analisis de sensibilidad
21.4. Informacion muestral : anal isis y valor bayesianos
Utilizacion del teorema de Bayes
EI valor de la informacion muestral
EI valor de la informacion muestral visto por medio de arboles de decision
21.5. Introduccion del riesgo: analisis de la utilidad
EI concepto de utilidad
Criterio de la utilidad esperada para tomar decisiones
Introducci6n
Pod ria decirse que el tema de este capitulo recoge la esencia de los problemas de gesti6n que se plantean en cualquier organizaci6n. De hecho, su aplicabilidad va mucho
mas alia, ya que afecta a muchos aspectos de nuestra vida diaria. Analizaremos situ aciones en las que una persona, un grupo 0 una empresa tienen varios cursos de acci6n
posibles y deben elegir uno de ellos en un mundo en el que hay incertidumbre sobre la
futura conducta de los facto res que determinan las consecuencias del curso de acci6n
que se elija. En este capitulo analizamos cuatro criterios para tomar decisiones. EI criterio maximin y el criterio de la perdida de oportunidades minimax son criterios no probabiifsticos para tomar decisiones. Es decir, estos criterios «no tienen en cuenta la probabilidad de los resultados de cada alternativa; centran meramente la atenci6n en el valor
monetario de los resultados» (vease la referencia bibliografica 4) . Dos criterios para tomar decisiones que incluyen informaci6n sobre las probabilidades de que se prod uzca
cada resultado son el criterio del valor monetario esperado y el criterio de la utilidad esperada.
856
Estadfstica para administracion y economfa
21.1. La toma de decisiones en condiciones de incertidumbre
Todos nos vemos obligados a actuar en un entomo cuyo rumbo futuro es incierto. Por
ejemplo, podemos estar considerando la posibilidad de ir a un partido de fUtbol, pero dudamos porque existe la posibilidad de que llueva. Si supieramos que no va allover, irfamos
al partido; si estuvieramos seguros de que va a llover durante varias horas, no irfamos. Pero no podemos predecir con absoluta seguridad el tiempo que va a hacer, por 10 que debemos tomar la decision contemplando un incierto futuro. Por poner otro ejemplo, en algun
momenta al final de los estudios universitarios, el estudiante tiene que decidir que va a hacer cuando se gradue. Es po sible que ya tenga varias ofertas de empleo. Racer el doctorado
tambien es una posibilidad. La decision es claramente importante. Recabani, desde luego,
informacion sobre las opciones. Sabra que sueldos de partida se ofrecen y se habra enterado de cuales son las actividades de las empresas entre las que puede elegir y de como encaja en esas actividades.
Sin embargo, nadie tiene una idea muy clara de donde estara dentro de uno 0 dos afios
si acepta una determinada oferta. Esta importante decision se toma, pues, en condiciones
de incertidumbre sobre el futuro.
En el mundo empresarial, a menu do existen circunstancias de este tipo, como muestran
los siguientes ejemplos:
1.
En una recesion, una empresa debe decidir si despide 0 no a algunos trabajadores.
Si la recesion economica va a ser breve, puede ser preferible quedarse con estos
trabaj adores , que pueden ser diffciles de sustituir cuando mejore la demanda. Sin
embargo, si se prolonga la recesion, conservarlos serfa caro. Desgraciadamente, el
arte de la prediccion economica no ha llegado a la fase en la que es po sible predecir con un alto grado de certeza la duracion 0 la gravedad de una recesion.
2. Un inversor puede creer que los tipos de interes han alcanzado un maximo. En ese
caso, los bonos a largo plazo parecerfan muy atractivos. Sin embargo, es imposible
estar segura de como evolucionaran en el futuro, y si continuaran subiendo, la
decision de invertir en bonos a largo plazo serfa sub6ptima.
3. Los contratistas a menudo deben hacer ofertas para conseguir la adjudicacion de
un proyecto. Tienen que decidir la cuantfa de la oferta. En este caso, hay dos cuestiones inciertas. En primer lugar, el contratista no sabe de que cuantfa tiene que ser
la oferta para conseguir el contrato. En segundo lugar, no puede estar seguro de
cuanto Ie costara cumplir el contrato. De nuevo, a pesar de la incertidumbre, debe
tomar alguna decision.
4. El coste de hacer prospecciones petroleras en alta mar es enorme y, a pesar de contar con excelente asesoramiento geologico, las compafifas petroleras no saben, antes de hacer las prospecciones, si se descubrira una cantidad comercialmente viable. La decision de hacer 0 no prospecciones petroleras debe tomarse en un
entomo incierto.
Nuestro objetivo es estudiar los metodos para abordar el tipo de problemas de toma de
decisiones que acabamos de describir. Una persona que tiene que tamar una decision se
enfrenta a un numero finito, K, de acciones posibles, que llamaremos a j , ab ... , aK . En el
momento en que tiene que elegir una accion, no sabe como evolucionara en el futuro un
factor que determinara las consecuencias de la accion elegida. Se supone que un numero
finito, H, de estados de la naturaleza posibles puede caracterizar las posibilidades de este
factor. Estos se representan por medio de Sl' S2, .. . , SH' Por ultimo, se supone que la persona que tiene que tomar la decision es capaz de especificar la recompensa monetaria 0 ren-
Capitulo 2 1. Teoria estadistica de la decision
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dim iento de cada combinacion accion-estado de la naturaleza. Sea Mij el rendimiento de la
accion Q j en el supuesto de que ocurra el estado de la naturaleza Sj. Las acciones, los estados de la naturaleza, los rendimientos monetari os y las tablas de rendimientos forman parte
del marco general para analizar cualquier problema de toma de decisiones.
Marco para analizar los problemas de toma de decisiones
La persona que tiene que tomar una decisi6n tiene K cursos de acci6n posibles: 8 1 , 8 2 , .. . , 8 K .
Las acciones a veces se IIaman alternativas.
2. Hay H estados de la naturaleza inciertos posibles: 51' 52' ... , 5 H . Los estados de la naturaleza son los resultados posibles que el que toma la decisi6n no controla. A veces se IIaman
sucesos.
3. Cada combinacion posible accion-estado de la naturaleza tiene un resultado que representa un beneficia 0 una perdida, IIamado rendimiento monetario, Mi' que corresponde a la
acci6n 8 j y al estado de la naturaleza 5 .. La tabla de todos los resLltados de un problema
de decisi6n se llama tabla de rendimie'ntos.
1.
La Tabla 21.1 muestra la forma general de una tabla de rendimientos.
Tabla 21.1. Tabla de rendimientos de un problema de decision en el que hay
K acciones posibles y H estados de la naturaleza posibles.
Estado de la naturaleza
Accion
S1
S2
...
al
Mi l
MI2
...
Cl2
J'v!21
M22
...
M 2H
ClK
MKI
MK2
.. .
MKH
aJsi
SH
Mu/
Cuando una persona que tiene que tomar una decision se encuentra ante distintos cursos de accion, la eleccion correcta depended en gran medida de los objetivos. Es posible
describir varias lfneas de ataque que se han empleado en la solucion de problemas de toma
de decisiones empresariales. Sin embargo, debe tenerse presente que cada problema tiene
sus propias caracterfsticas y que los objetivos de los que toman las decisiones pueden variar considerablemente y ser, de hecho, bastante complejos. Se plantea un a situacion de este tipo cuando se observa la posicion de un directivo intermedio de una gran empresa. En
la pnktica, sus objetivos pueden ser algo distintos de los de la empresa. AI tomar decisiones, es muy probable que sea consciente de su propia posicion, as! como del bien general
de la empresa.
A pesar del cankter individual de los problemas de toma de deci siones, es posible eliminar algunas acciones que no se consideranin en ningun caso.
Acciones admisibles e inadmisibles
Si el rendimiento de una acci6n 8 . es al menos tan alto como el de 8 j , cualquiera que sea el
estado de la naturaleza, y si el rerl'dimiento de 8 . es mayor que el de 8 j al menos en un estado
de la naturaleza, se dice que la accion 8 . domi~8 a la acci6n 8j' Se dice que cualquier acci6n
que es dominada de esta forma es inadinisible. Las acciones inadmisibles se eliminan de la
fista de posibifidades antes de seguir anafizando un problema de toma de decisiones. Se dice
que cualquier acci6n que no es dominada por alguna otra y que, por 10 tanto, no es inadmisible
es admisible.
858
Estadfstica para administraci6n y economfa
En este capItulo nos basaremos en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO
21.1. Un fabricante de
teh~fonos m6viles (acciones admisibles)
Consideremos un fabricante que planea introducir un nuevo telefono movil. Puede elegir entre cuatro procesos de produccion, A, B, C Y D, que van desde una modificacion
relativamente pequefia de las instalaciones existentes hasta una gran ampliacion de la
planta. La decision sobre el curso de accion debe tomarse en un momenta en el que no
se conoce la demanda posible del producto. Por comodidad, decimos que esta demanda
potencial puede ser «baja», «moderada» 0 «alta» . Tambien se supone que el fabricante
puede calcular para cada proceso de produccion el beneficio durante la vida de la inversion correspondiente a cada uno de los tres niveles de demanda. La Tabla 21.2 muestra
estos niveles de beneficios (en dol ares) para cada combinacion proceso de produccionnivel de demanda. Averigiie si hay alguna accion inadmisible.
Tabla 21.2. Beneficios estimados de un fabricante de telefonos m6viles
correspondientes a diferentes combinaciones de proceso-demanda.
Accion
Estado de la naturaleza
Proceso de produccion
Demanda baja
Demanda moderada
Demanda alta
A
B
C
D
70.000
80.000
100.000
100.000
120.000
120.000
125.000
120.000
200.000
180.000
160.000
150.000
Solucion
En este ejemplo, hay cuatro acciones posibles que corresponden a los cuatro procesos
de produccion posibles y tres estados de la naturaleza posibles que corresponden a los
tres niveles de demand a del producto posibles.
Consideremos el proceso de produccion D de la Tabla 21.2. El rendimiento de este
proceso sera exactamente igual que el de C si hay un bajo nivel de demanda y mas bajo
que el del proceso C si el nivel de demanda es moderado 0 alto. Por 10 tanto, no tiene
senti do elegir la opcion D, ya que hay otra opcion con la que los rendimientos no pueden ser menores y podrfan ser mayores. Dado que la accion C es necesariamente al menos tan rentable como la D y posiblemente mas, se dice que la accion C domina a la D.
Dado que el proceso de produccion D es dominado por otra alternativa, el proceso de
produccion C, se dice que el D es inadmisible. Esta accion no debe seguir considerandose, ya que serfa suboptimo adoptarla. Por 10 tanto, se eIiminani y, en el amilisis posterior del problema, solo se considerani la posibilidad de adoptar el proceso A, el B 0
el C.
El problema de toma de decisiones esbozado es esencialmente de caracter discreto.
Es decir, solo hay un numero finito de alternativas y un numero finito de estados de la
naturaleza posibles. Sin embargo, muchos problemas practicos son continuos. Por ejemplo, es posible que sea mejor medir el estado de la naturaleza en un continuo que describirlo por medio de una serie de posibilidades discretas. En el ejemplo del fabricante
de telefonos moviles, es posible preyer un intervale de niveles posibles de demanda en
Iugar de especificar simplemente tres niveles. En algunos problemas, como mejor se re-
Capftulo 21.
Teorfa estadfstica de la decision
859
presentan las acciones posibles es en un continuo; por ejemplo, en el caso en el que un
contratista debe decidir la cuantfa de la oferta para conseguir la adjudicacion de un contrato. En el resto de este capitulo centramos la atencion en el caso discreto. Los principios que implica el analisis del caso continuo no son diferentes. Sin embargo, los detalies de ese analisis se basan en el ca1culo y no se examinan mas aquf.
EJERCICIOS
Ejercicios basicos
21.1. Un inversor esta considerando tres alternativas
-un certificado de dep6sito, un fondo de acciones de bajo riesgo y un fonda de acciones de alto
riesgo- para una inversi6n de 20.000 $. Considera tres estados de la naturaleza posibles:
S j: mercado de val ores fuerte
S2: mercado de valores moderado
S3: mercado de valores d6bil
La tabla de rendimientos (en d61ares) es la siguiente:
Accion
Estado de la naturaleza
Alternativas de inversion posibles
Certificado de dep6sito
Fondo de acciones de bajo riesgo
Fondo de acciones de alto riesgo
S2
1.200
4.300
6.600
1.200
1.200
800
1.200
-600
- 1.500
21.2. Un fabricante de desodorantes esta a punto de
ampliar la capacidad de producci6n para fabricar
un nuevo producto. Tiene cuatro procesos de
produccion alternativos. La tabla adjunta muestra
los beneficios estimados, en d61ares, de estos
procesos correspondientes a tres niveles de demanda del producto posibles.
Accion
Estado de la naturaleza
Proceso de
produccion
Demanda
baja
Demanda
moderada
Demanda
alta
A
100.000
150.000
250.000
250.000
350.000
400.000
400.000
400.000
900.000
700.000
600.000
550.000
B
C
D
i,Es inadmisible alguna de estas acciones?
i,Es inadmisible alguna de estas acciones?
21.2. Soluciones que no implican la especificacion
de probabilidaes: criterio maximin, criterio de la perdida
de 0 ortunidades minimax
Antes de elegir el proceso de produccion, es probable que nuestro fabricante de telefonos
moviles se pregunte cuales son las probabilidades de que se materialice realmente cada
uno de estos niveles de demanda. Este capitulo se ocupa en su mayor parte de analizar las
soluciones a un problema de toma de decisiones que requiere la especificaci6n de las probabilidades de los resultados correspondientes a los diversos estados de la naturaleza. Sin
embargo, en este apartado se presentan dos criterios de decision que no se basan en esas
probabilidades y que, en realidad, no tienen ningun contenido probabilfstico. Estos enfoques (y otros del mismo tipo) solo dependen, mas bien, de la estructura de la tabla de rendimientos.
Los dos metodos examinados en este apart ado se Haman criteria maximin y criteria de
la perdida de aportunidades minimax. Se examinan en relacion con la tabla de rendimientos del fabric ante de telefonos moviles del ejemplo 21.1 dejando de lado la estrategia inad-
860
Estadfstica para administraci6n y economfa
misible de elegir el proceso de producci6n D. El fabricante debe elegir, pues, entre las tres
acciones posibles, enfrentandose a tres estados de la naturaleza posibles.
Criterio maximin
Consideremos el peor resultado posible de cada acci6n, cualquiera que sea el estado de la
naturaleza que se materialice. El pear resultada es simplemente el menor rendimiento que
es razonable pensar que podrfa obtenerse. El criterio maximin selecciona la acci6n que
tiene el rendimiento minimo, es decir, maximizamas el rendimiento minima.
En el caso del problema del fabricante de telefonos m6viles, el men or rendimiento,
cualquiera que sea el proceso de producci6n que se emplee, se obtiene cuando el nivel de
demanda es bajo. Es evidente que, como muestra la Tabla 21.3, el valor maximo de estos
rendimientos minimos es 100.000 $. Se obtiene si se utiliza el proceso de producci6n C.
Por 10 tanto, el criterio maximin selecciona el proceso de producci6n C.
Tabla 21.3.
Accion
Aplicacion del criterio maximin al ejemplo 21.1.
Estado de la naturaleza
Rendimiento minimo
Proceso
de produccion
Demanda
baja
Demanda
moderada
Demanda
alta
Rendimiento minimo
de cada proceso
A
B
C
70.000
80.000
100.000
120.000
120.000
125.000
200.000
180.000
160.000
70.000
80.000
100.000 (maximo)
Dado que el valor maximo del rendimiento minima de cada proceso de producci6n es
100.000 $, se deduce que con el criterio maximin se selecciona el proceso de producci6n C
como curso de acci6n.
EJEMPLO
21.2. Oportunidad de inversion (maximin)
Un inversor quiere elegir entre invertir 10.000 $ durante un ano a un tipo de in teres garantizado del 12 por ciento e invertir la misma cantidad durante ese periodo en una cartera de acciones ordinarias. Si eJige el tipo de interes fijo, tendni con seguridad un
rendimiento de 1.200 $. Si elige la cartera de acciones, el rendimiento dependera del
comportamiento del mere ado durante el ano. Si el mere ado esta boyante, se espera
un beneficia de 2.500 $; si el mercado se mantiene estable, el beneficio esperado es de
500 $; Y si esta deprimido, se espera una perdida de 1.000 $, Elabore la tabla de rendimientos de este inversor y halle la elecci6n de la acci6n mediante el criterio maximin.
Solucion
La Tabla 21.4 muestra los rendimientos (en d6Iares); un rendimiento negativo indica
una perdida.
El rendimiento minimo de la inversi6n a un tipo de in teres fijo es de 1.200 $, ya que
este es el rendimiento que se obtendni independientemente de 10 que ocurra en la bolsa
de valores. EI rendimiento minimo de la cartera de acciones es una perdida de 1.000 $,
o sea, un rendimiento de - 1.000 $, que se produce cuando el mercado esta deprimido.
Dado que el mayor rendimiento minimo es el de la inversion a un tipo de interes fijo, se
deduce que se selecciona el tipo de interes fijo como curso de acci6n mediante el criterio maximin.
Capftulo 21.
Tabla 21.4.
Accion
Opcion
de inversion
Tipo de interes fijo
Cartera de acciones
Teorfa estadfstica de la decision
861
Aplicaci6n del criterio maximin al ejemplo 21.2.
Estado de la naturaleza
Rendimiento minimo
Estado
boyante
Estado
estable
Estado
deprimido
Rendimiento minimo de
cada opcion de inversion
1.200
2.500
1.200
500
1.200
-1.000
1.200 (maximo)
-1.000
En estos ejemplos, se observa claramente la forma general de la regia de decision basada en el criterio maximin. EI objetivo del criterio maximin es maximizar el rendimiento
mznima.
Regia de decision basad a en el criterio maximin
Supongamos que una persona que tiene que tomar una decisi6n tiene que elegir entre K acciones admisibles 8 1, 8 2, ... , 8K' dados H estados de la naturaleza posibles 51' 52' ... , 5H" Sea M;- el
rendimiento correspondiente a la i-esima acci6n y el j-esimo estado de la naturaleza. D~be
buscarse el menor rendimiento posible de cada acci6n . Por ejemplo, en el caso de la acci6n 8 1 ,
este es el menor de M 11 , M 12 , ... , M1H" Sea este minimo M1*' don de
En terminos mas generales, el menor rendimiento posible de la acci6n
EI criterio maximin selecciona la acci6n
miento minimo es mayor) .
8j
8j
viene dado por
cuyo M; es mayor (es decir, la acci6n cuyo rendi-
La caracterfstica positiva del criterio maximin para tomar decisiones es que genera el
mayor rendimiento po sible que puede garantizarse. Si se utiliza el proceso de producci6n C,
el fabricante de te16fonos m6viles tiene asegurada un rendimiento de al menos 100.000 $,
cualquiera que sea al final el nivel de demanda. Asimismo, en el caso del inversor del
ejemplo 21.2, la eleccion del tipo de interes fijo genera un beneficio seguro de 1.200 $. En
ninguno de los dos ejemplos, ninguna accion alternativa puede garantizar tanto.
Sin embargo, es precisamente dentro de esta garantfa donde surgen las reservas sobre
el criterio maximin, ya que a menudo debe pagarse un precio por esa garantfa. EI precio es
aquf la perdida de la oportunidad de percibir un rendimiento mayor, eligiendo alguna otra
accion, par muy improbable que parezca que es la peor situacion posible. Asf, por ejemplo,
el fabric ante de telefonos moviles puede estar casi seguro de que la demanda sera alta, en
cuyo caso el proceso de produccion C serfa una mala elecci6n, ya que genera el menor
rendimiento con este nivel de demanda.
Puede considerarse, pues, que el criterio maximin es una estrategia muy cauta para elegir entre distintas acciones alternativas. Esa estrategia puede ser adecuada en algunas circunstancias, pero solo un pesimista extremo la utilizarfa invariablemente. Por este motivo.
a veces se llama criteria del pesimisma. «EI criterio maximin se utiliza frecuentemente en
situaciones en las que el planificador piensa que no puede permitirse equivocarse (Ia planificacion militar podrfa ser un ejemplo, al igual que la inversi6n de los ahorros de toda
nuestra vida). EI planificador elige una decision que obtenga los mejores resultados posibles en el peor caso po sible (mas pesimista)>> (vease la referencia bibliografica 1).
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Estadfstica para administraci6n y economfa
Criterio de la perdida de oportunidades minimax
La persona que tiene que tomar decisiones y quiere utilizar el criterio de la perdida de
oportunidades minimax debe imaginar que se encuentra en una situacion en la que ha elegido una accion y se ha producido uno de los estados de la naturaleza. Puede mirar la decision tom ada con satisfaccion 0 con decepcion porque, tal como se han desarrollado las cosas, habria sido preferible una accion alternativa. La persona que toma decisiones
determina entonces el <<pesar» 0 perdida de oportunidades de no tomar la mejor decision,
dado el estado de la naturaleza, y elabora una tabla de perdidas.
Tabla de perdidas de oportunidades
Supongamos que elaboramos una tabla de rendimientos de forma rectangular, en la que las
filas corresponden a las acciones y las columnas a los estados de la naturaleza. Si se resta
cad a rendimiento de la tabla del rendimiento mayor de su columna, la tabla resultante se llama
tabla de perdidas de oportunidades.
Considerando la diferencia entre el rendimiento monetario efectivo de una decision y el
rendimiento optimo correspondiente al mismo estado de la naturaleza, la persona que toma
decisiones puede seleccionar la accion que minimiza la maxima perdida.
Regia de decision basada en el criterio criterio de la perdida
de oportunidades minimax
Dada la tabla de perdidas, las acciones dictadas por el criterio de la perdida de oportunidades minimax se encuentran de la forma siguiente:
1.
2.
Se halla en cad a fila (acci6n), la maxima perdida.
Se elige la acci6n correspondiente al minimo de estas perdidas maximas.
EI criterio de la perdida de oportunidades minimax selecciona la acci6n cuya perdida maxima es menor; es decir, el criterio de la perdida de oportunidades minimax produce la menor
perdida de oportunidades posible que puede garantizarse.
Consideremos de nuevo el caso del fabricante de de teletonos moviles del ejemplo 21.1. Mostraremos que se selecciona el proceso B mediante el criterio de la perdida de
oportunidades minimax. Supongamos que el nivel de demanda del nuevo producto es bajo.
En ese caso, la mejor eleccion de una accion habrfa sido el proceso de produccion C, que
generaba un rendimiento de 100.000 $. Si se hubiera elegido esa accion, el fabricante habrfa tenido una perdida de O. Si se hubiera elegido el proceso A, el beneficio resultante
habrfa sido de 70.000 $ solamente. El grado de perdida del fabricante, en este caso, es la
diferencia entre el mejor rendimiento que podrfa haberse obtenido (100.000 $) y el rendi miento de 10 que final mente fue una peor elecci6n. Por 10 tanto, la perdida serfa igual a
100.000 $ - 70.000 $ = 30.000 $. Asirnismo, dada una baja demand a, si se hubiera elegido el proceso B, la perdida serfa
100.000 $ - 80.000 $ = 20.000 $
Continuando de esta forma, se calculan las perdidas que implican el nivel moderado de
demanda y el nivel alto de demanda. En cada caso, la perdida es igual a 0 en el caso de la
mejor elecci6n de la acci6n (el proceso C en el caso de la demand a moderada y el A en el
Capitulo 21.
Teoria estadistica de la decisi6n
863
de la demanda alta). Estas perdidas de oportunidades por no tomar la mejor decision, dado
un estado de la naturaleza, se muestran en la Tabla 21.5, cuya ultima columna indica la
maxima perdida de un proceso dado.
Es evidente que el criterio de la perdida de oportunidades minimax selecciona el proceso de produccion B, ya que la perdida maxima de este proceso es la men or de los procesos
A, B y C.
Ni el criterio maximin ni el criterio de la perdida de oportunidades minimax permiten a
la persona que toma las decisiones introducir en el proceso de toma de decisiones sus opiniones personales como la probabilidad de que se produzcan los estados de la naturaleza.
Dado que la mayorfa de los problemas empresariales practicos se producen en un entorno
con el que esta al menos algo familiarizado el responsable de to mar las decisiones, eso representa un despilfarro de pericia. En el siguiente apartado analizamos las probabilidades
de los resultados de cada accion alternativa.
Tabla 21.5.
Aplicaci6n del criterio de la perdida de oportunidades minimax al ejemplo 21.1.
Accion
Estado de la naturaleza
Perdida
Proceso
de produccion
Demanda
baja
Demanda
moderada
Demanda
alta
Perdida maxima
de cada proceso
A
B
30.000
20.000
0
5.000
5.000
0
0
20.000
40.000
30.000
20.000 (minimo)
40.000
C
EJERCICIOS
Ejercicios basicos
21.3. Considere el ejercicio 21.1, en el que un inversor
esta considerando tres alternativas -un certificado de dep6sito, un fondo de acciones de bajo
riesgo y un fondo de acciones de alto riesgopara hacer una inversi6n de 20.000 $. Considera
tres estados de la naturaleza posibles:
SI: mercado de val ores fuerte
S2: mercado de val ores moderado
53: mercado de valores debil
La tabla de rendimientos (en d61ares) es la siguiente:
Accion
Estado de la naturaleza
Alternativas de inversion posibles
Certiticado de deposito
Fondo de acciones de bajo riesgo
Fondo de acciones de alto riesgo
1.200
4.300
6.600
1.200
1.200
800
1.200
-600
- 1.500
a) l,Que acci6n se selecciona mediante el criterio
maximin?
b) l,Que acci6n se selecciona mediante el criterio de la perdida de oportunidades minimax?
21.4. Considere el fabricante de desodorantes del ejercicio 21.2 que esta a pun to de ampliar la capacidad de producci6n para fabricar un nuevo producto. Tiene cuatro procesos de producci6n
alternativos . La tabla adjunta muestra los benefi cios estimados, en d61ares, de estos procesos correspondientes a tres niveles de demanda del producto posibles.
Acdon
Estado de la naturaleza
Proceso de
produccion
Demanda
baja
Demanda
moderada
Demanda
alta
A
B
C
D
100.000
150.000
250.000
250.000
350.000
400.000
400.000
400.000
900.000
700.000
600.000
550.000
a) l,Que acci6n se selecciona mediante el criterio
maximin?
b) l,Que acci6n se selecciona mediante el criterio de la perdida de oportunidades minimax?
21.5. Gtro criterio para seleccionar una decisi6n es el
criterio maximax, llamado a veces criterio del
864
Estadfstica para administracion y economfa
optimismo. Este criterio elige la accion que tiene
el mayor rendimiento posible.
a) i,Que accion elegirfa el fabricante de telefonos moviles con los rendimientos de la Tabla
21.2 segun este criterio?
b) i,Y el inversor del ejemplo 21.2?
Ejercicios aplicados
21.6. EI fabricante de telefonos moviles del ejemplo
21.1 tiene tres acciones admisibles: [os procesos
A, B Y C. Cuando se consideran conjuntamente,
se elige el proceso B segun el criterio de la perdida de oportunidades minimax. Suponga ahora
que hay una cuarta alternativa admisible, el proceso de produccion E. Los rendimientos estimados de esta accion son 60.000 $ en el caso en el
que la demanda es baja, 115.000 $ en el que es
moderada y 220.000 $ en el que es alta. Demuestre que cuando se consideran conjuntamente
los procesos A, B, C Y E, se elige el A seglll1 el
criteria de la perdida de oportunidades minimax.
Por 10 tanto, aunque la introduccion del proceso
E entre las acciones no lleva a elegir ese proceso, sf !leva a elegir una accion diferente a la que
se habrfa elegido. Comente el atractivo intuitivo
del criterio de la perdida de oportunidades minimax a la luz de este ejemplo.
21.7. Considere un problema de decision que tiene dos
acciones posibles y dos estados de la naturaleza.
a) Ponga un ejemplo de una tabla de rendimientos en la que amhas acciones son admisibles y
se elige la misma accion tanto segun el criterio maximin como segun e[ criterio de la perdida de oportunidades minimax.
b) Ponga un ejemplode una tabla de rendimientos segun la cual se eligen diferentes acciones
segun el criterio maXlmll1 y segun el criterio
de la perdida de oportunidades minimax.
21.8. Considere un problema de decision que tiene dos
acciones admisibles y dos estados de la naturaleza posibles. Describa la forma que debe tener la
tabla de rendimientos para que se elija la misma
accion con el criterio maximin que con el criterio
de la perdida de oportunidades minimax.
21.9. Un empresario tiene la pasibilidad de abrir una
zapaterfa en centro comercial consolidado y de
ex ito. Pero tam bien puede abrirla con un coste
mas bajo en un nuevo centro, que acaba de inaugurarse. Si resulta que el nuevo centro tiene mucho exito, se espera que los beneficios anuales
que obtenga la zapaterfa por estar en ese centro
sean de 130.000 $. Si el centro solo tiene un exito moderado, los beneficios anuales serfan de
60.000 $. Si no tiene exita, la perdida anual serfa
de 10.000 $. Los beneficios que se espera obtener abriendo la zapaterfa en el centro comercial
consolidado tambien dependen en alguna medida
del grado de exito del nuevo, ya que los clientes
podrfan sentirse atrafdos por e1. Si el nuevo centro no tuviera exito, los beneficios esperados de
la zapaterfa situada en el centro consolidado serfan de 90.000 $. Sin embargo, si el nuevo centro
tuviera un exito moderado, los beneficios esperados serfan de 70.000 $, mientras que si tuviera
mucho exito serfan de 30.000 $.
a) Elabore la tabla de rendimientos del problema
de toma de decisiones del dueiio de esta 7.apaterfa.
b) i,Que accion se elige segun el criterio maximin?
c) i,Que accion se elige segun el criterio de la
perdida de oportunidades minimax?
21.3. ,,-alor monetario es erado; TreePlan
Un importante ingrediente del amilisis de muchos problemas de toma de decisiones empresari ales probablemente sea la valoracion que hace el responsable de tomarlas de la probabilidad de que se produzcan los distintos estados de 1a natura1eza relevantes en la determinacion del rendimiento final. Los criterios analizados en el apartado 21.2 no permiten
incorporar este tipo de valoracion al proceso de toma de decisiones. Sin embargo, un directivo casi siempre tendn'i una buena impresion del entorno en el que se toma la decision y
quemi tenerlo en cuenta antes de decidir un curso de accion. EI analisis de este apartado
supone que cada estado de 1a naturaleza tiene una probabilidad de ocurrencia y demostrara
como se emplean estas probabilidades para tomar una decision.
Capftulo 21.
865
Teorfa estadfstica de la decisi6n
Generalmente, cuando hay H estados de la naturaleza posibles, debe asignarse una probabilidad a cada uno. Estas probabilidades se representan por medio de PI' P 2' ... , PH' por
10 que la probabilidad Pj corresponde al estado de la naturaleza Sj. La Tabla 21.6 muestra
el planteamiento general de este problema de toma de decisiones.
Tabla 21.6.
Rendimientos con probabilidades de los estados de la naturaleza.
Acdon
Estado de la naturaleza
a/si
S1(P\)
S2(P 2)
...
M2fl
MKN
Cll
Mil
MI2
Cl2
M21
M22
...
...
ClK
MKI
MK2
...
SH(PH)
MIN
Dado que debe ocurrir uno y solo uno de los estados de la naturaleza, estas probabilidades suman necesariamente 1, por 10 que
Cuando la persona que toma la decision elige una accion, vera que cada eleccion tiene
una probabilidad especffica de recibir el rendimiento correspondiente y, por 10 tanto, podra
calcular el rendimiento esperado de cada accion. EI rendimiento esperado de esta accion
es, pues, la suma de los rendimientos individuales, ponderados por sus probabilidades.
Estos rendimientos esperados a menudo se Uaman valores monetarios esperados de las
acciones.
Criterio del valor moneta rio esperado (VME)
Supongamos que una persona que tiene que tomar una decision tiene K acciones posibles, ai'
a2 , ... , a K y se enfrenta a H estados de la naturaleza. Sea Mr el rendimiento correspond iente a
la i-esima accion y el j -esimo estado y P la probabilidad de que ocurra el j-esimo estado de la
H
naturaleza, cumpliendose que
I
J
Pj = 1. EI valor monetario esperado de la acci6n ai'
VME(a), es
H
VME(a)
=
P1Mi/
+ P 2M i2 + ... + PHMiH =
L PjMij
(21.1 )
j= l
EI criterio del valor monetario esperado adopta la accion que tiene el mayor valor moneta rio
esperado; es decir, dada una eleccion entre acciones alternativas, el criterio del VME dicta la
eleccion de la accion cuyo VME es mayor.
Volvamos al fabricante de telefonos moviles del ejemplo 21.1 y caIculemos el VME de
cada uno de los procesos de produccion. EI fabricante probablemente tendra alguna experiencia en el mercado de su producto y, basandose en esa experiencia, podrfa hacerse una
idea de la probabilidad de que la demanda sea baja, moderada 0 alta. Supongamos que sabe que el 10 por ciento de todas las veces que se ha introducido antes este tipo de producto
866
Estadfstica para administracion y economfa
tuvo una baja demanda, el 50 pOl' ciento tuvo una demanda moderada y el 40 por ciento
tuvo una demanda alta. A falta de mas informacion, es razonable postular, en el caso de la
introduccion de este nuevo tipo de telefono movil , las siguientes probabilidades de los estados de la naturaleza:
= pes ]) = probabilidad de que la demanda sea baja = 0,1
P 2 = P(S2) = probabilidad de que la demand a sea moderada = 0,5
p]
P 3 = P(S3) = probabilidad de que la demand a sea alta = 0,4
Dado que debe ocurrir uno y solo uno de los estados de la naturaleza, estas probabilidades
suman necesariamente 1; es decir, los estados de la naturaleza son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. Estas probabilidades se afiaden a la tabla de rendimientos (Tabla 21.2) y dan la Tabla 21.7.
Tabla 21.7. Rendimientos y probabilidades de los estados de la naturaleza
correspondientes al ejemplo 21.1 del fabricante de telefonos m6viles.
Accion
Estado de la naturaleza
Proceso
de produccion
Demanda baja
A
70.000
80.000
100.000
B
C
(P
= 0,10)
Demanda moderada
(P
= 0,50)
120.000
120.000
125.000
Demanda alta
(P
= 0,40)
200.000
180.000
160.000
Si el fabricante de telefonos moviles adopta el proceso de produccion A, recibira un
rendimiento de 70.000 $ con una probabilidad de 0,1, 120.000 $ con una probabilidad de
0,5 y 200.000 $ con una probabilidad de 0,4. En el caso del fabric ante de telefonos moviles, los valores monetarios esperados de las tres acciones admisibles son:
+ (0,5)(120.000) + (0,4)(200.000) = 147.000 $
(Proceso B) = (0,1)(80.000) + (0,5)(120.000) + (0,4)(180.000) = 140.000 $
(Proceso C) = (0,1)(100.000) + (0,5)(125.000) + (0,4)(160.000) = 136.500 $
VME (Proceso A) = (0,1)(70.000)
VME
VME
El fabricante de telefonos moviles elegirfa el proceso de produccion A. Es interesante
sefialar que ni el criterio maximin ni el criterio de la perdida de oportunidades minimax
llevan a esta eleccion. Sin embargo, se ha afiadido la informacion de que parece que hay
muchas mas probabilidades de que el nivel de demanda sea alto que de que sea bajo, por
10 que el proceso A es una opcion relativamente atractiva.
Arboles de decision
EI analisis de un problema de decision por medio del criterio del valor monetario esperado
puede representarse graficamente mediante un mecanismo llamado arbol de decision.
Cuando se analizan decisiones en condiciones de riesgo, el diagrama del arbol es un instrumento grafico que obliga a la persona que toma las decisiones a «examinar todos los resultados posibles, incluidos los desfavorables. Tambien la obliga a tomar decisiones de una
manera logica y consecutiva» (v ease la referencia bibliografica 4). Los arboles de decision son especialmente titiles cuando debe tomarse una sucesion de decisiones. Todos
contienen
Capftulo 21.
Teorfa estadfstica de la decisi6n
867
D Nodos de decision (0 de accion). Estos cuadrados indican que debe tomarse una
decision y a veces se Haman nodos cuadrados.
o Nodos de sucesos (estados de la naturaleza). Estos empalmes circulares, de los
que salen ramas, representan un estado de la naturaleza posible, al que se asigna la
probabilidad correspondiente. Estos nodos a veces se Haman nodos circulares.
Nodos terminales. Una barra vertical representa el final de la rama decision-suceso.
Originalmente, se utilizaba un triangulo para representar este punto. A veces no se
representa de ninguna forma.
Despues de definir rigurosamente un problema, la persona que toma la decision traza el
arbol de decision, asigna probabilidades a los sucesos (estados de la naturaleza) posibles y
estima el rendimiento de cada combinacion decision-suceso posible (cada combinacion de
accion y estado de la naturaleza). Ahora el responsable de tomar la decision esta preparado
para encontrar la decision optima. Ese proceso se llama «resolver el arbol» (v ease la referencia bibliografica 1). Para resolver un arbol de decision, hay que trabajar hacia atras (lo
que se llama plegar el arbol). Calculemos el valor monetario esperado (VME) de cada estado de la naturaleza comenzando por la parte situada mas a la derecha del arbol de decision
y retrocediendo hasta los nodos de decision situados a la izquierda.
La Figura 21.1 muestra un diagrama de arbol del fabricante de telefonos moviles. Se
dan los siguientes pasos para elegir la accion que tiene el mayor VME:
1.
Comenzando por el lado izquierdo de la figura, vemos que salen ramas del nodo
de decision (indicado con un cuadrado) que representan las tres acciones posibles:
proceso A, proceso B y proceso C. A continuacion, salen los nodos de sucesos (representados por un circulo), de los que salen ramas que representan los estados de
la naturaleza (los niveles de demanda) posibles.
Figura 21 .1.
Acciones
Arbol de decision
del fabricante de
telefonos moviles
(*Ia accion que
tiene el maximo
VME = 147.000 $
VME).
Baja (0,1)
Rendimientos
70.000 $
Moderada (0,5)
*Proceso A
~
Estados
de la naturaleza
(probabilidades)
120.000 $
Alta (0,4)
200.000 $
VME = 140.000 $
VME = 147.000 $
Baja (0,1)
80.000 $
Proceso B
Moderada (0,5)
120.000 $
Alta (0,4)
180.000 $
VME = 136.500 $
Proceso C
Baja (0,1)
Moderada (0,5)
Alta (0,4)
100.000 $
125.000 $
160.000 $
868
Estadfstica para administraci6n y economfa
2.
3.
4.
5.
Se asigna la probabilidad correspondiente a cada estado de la naturaleza (baja,
moderada, alta).
En la parte situada mas a la derecha se insertan los rendimientos correspondientes
a las combinaciones accion-estado de la naturaleza.
Los calculos se realizan de derecha a izquierda, comenzando por estos rendimientos. Se calcula en cada empalme circular la sum a de las probabilidades de las distintas ramas multiplicadas por su rendimiento. De esa manera, se obtiene el VME
de cada accion.
La decision optima es la que tiene el VME mas alto y se indica en el punto en el
que hay un cuadrado. Por 10 tanto, se elige el proceso A mediante el criterio del
valor monetario esperado. La eleccion de esta accion da como resultado un valor
monetario esperado 0 beneficio esperado de 147.000 $ para el fabricante de telefonos moviles.
La utilizacion de TreePlan para resolver un arbol de decision
TreePlan, desarrollado por Michael Middleton (vease la referencia bibliografica 3) e incluido en este libro, es un complemento de Excel que puede utilizarse para trazar arboles de
decision. Calcula el VME e indica la decision optima. Entre en la pagina web www.treeplan.com para la documentacion y los detalles que permitiran continuar utilizando este
complemento una vez concluido este curso (vease la referencia bibliografica 5).
EJEMPLO 21.3. Oportunidad de inversion (criterio del VME)
El inversor del ejemplo 21.2 tenia que decidir entre una inversion a un tipo de interes
fijo y una CaItera de acciones. Supongamos que este inversor es, de hecho, muy optimista sobre la futura evolucion del mercado de valores y cree que la probabilidad de
que el mercado este boyante es 0,6, mientras que la probabilidad de cada uno de los
otros dos estados es 0,2. La tabla adjunta muestra los rendimientos y las probabilidades
de los estados de la naturaleza:
Acdon
Estado de la naturaleza
Inversion
Estado boyante
Estado estable
Estado deprimido
(P = 0,60)
(P = 0,20)
(P = 0,20)
1.200
2.500
1.200
500
1.200
- 1.000
Tipo de interes fijo
Cartera de acciones
~Que
inversion debe elegir segun el criterio del valor monetario esperado?
Soluci6n
Dado que el rendimiento de la inversion a un tipo de interes fijo es de 1.200 $, independientemente de 10 que ocurra en la bolsa de valores, el valor monetario esperado de esta
inversion es 1.200 $. El VME de la cartera de acciones es
VME (Cartera de acciones)
=
(0,6)(2.500)
+ (0,2)(500) + (0,2)( -
1.000)
=
1.400 $
Capitulo 21 .
Teoria estadistica de la decision
869
Dado que este es el valor monetario esperado mas alto, el inversor elegira la cartera de
acciones ordinarias, segun el criteria del valor monetario esperado.
Resolvamos ahora este ejemplo con el TreePlan. Una vez instalado el TreePlan, la
forma mas faci! de acceder a el es abrir una nueva hoja de dlculo Excel y pulsar Ctrl-t
(el arbol comenzara donde aparezca el cursor; asegurese de que tiene suficiente espacio
para la tabla de decisi6n y para el arbol). Pulse en «New Tree» y aparecen'i el arbol con
dos nodos de decisi6n (Figura 21.2). El arbol de decisi6n completo se encuentra en la
Figura 21.3.
A continuaci6n, analizamos un problema que requiere una sucesion de decisiones.
r--_--'"'A:..-_-t _____~______L
___C__________Q. __ JilLI_JL--l-___Ii_____E L_.__.L__l
Events
2~ Action
Buoyant
Steady
Depressed
3
(prob =0.6) (prob=0 .2) (prob=0.2)
_:~. Fixed Interest
1,200
1,200
1,200
5 IStock Portfolio
2,500
500 -1 ,000
1
6
7
'if'
--9
io_-
r ------- - - ---~ --- - --- ~ --- ---- ----- ----- l
!
11
12
,
'~!
Decision 1
01
.
13
14
15
16
!,
: ~:J
0
0
!,
0
:
!
.
I
Decision 2
!
I
1
i~
01
!
0
0
1______ - - - - - -- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - -- - - ,
1
Figura 21.2.
I
\
i
A
B
Ie: 0 :
Inicio del programa TreePlan.
E
'
G: H I
F
I
:
J
'K'
L
J]---.------ ~=-~~~~==~~~~===~::::=~~=:::~~~===~~==~=~~~~~~~~=:==~~==~-=~=~-~~-~~~~~=_===_,---
1..1
:
l.J
!
~J
I
__~__!
!
6
1
j
iJ
8 -I
"9
EMV(Fi xed)
:
I
1400
!
! Stock Portfolio is
,: Optimal Decision
Stock Portfolio
15 1
I
EMV(Stock)
17
18
19
20
i
'
I
:
i
0.6
i
Buoyant:
2,500i
2500
:I
..1..2~
13 I
'
!
1,200 I
I
:
1
~1
1200
:
~ 1_1
:~I
---1 ----------------------
!Action 2 is chosen
10
--I
Payoffs !
Fixed Interest
0.2
Steady
1400
500
0.2
Depressed
i
'"
500:
i
'
i
I
-1,000 :
!_____________________________________________ ~ _______________~!QQ9__________ J
41Figura 21.3.
Arbol de decisi6n del ejemplo 21 .3 elaborado utilizando TreePlan; decisi6n 6ptima:
seleccionar la cartera de acciones.
870
Estadfstica para administracion y economfa
EJEMPLO
21.4. Fabricante de medicamentos (criterio del VME)
Un fabricante de medicamentos tiene los derechos de patente de una nueva formula que
reduce los niveles de coiesterol. EI fabricante puede vender la patente por 50.000 $ 0
realizar pruebas intensivas sobre la eficacia del medicamento. El coste de realizar estas
pruebas es de 10.000 $. Si se observa que el medicamento es ineficaz, no se comerciaJizani y el coste de las pruebas se considerara una perdida. Hasta ahora, las pruebas realizadas con medicamentos de este tipo han sido eficaces en un 60 por ciento e ineficaces
en un 40 por ciento.
Si las pruebas revelaran ahora que el medicamento es eficaz, el fabricante tiene de
nuevo dos opciones. Puede vender los derechos de patente y los resultados de las pruebas por 120.000 $ 0 puede comercializar el mismo el medicamento. Si 10 comercializa,
se estima que los beneficios generados por las ventas (excluidos los costes de las pruebas) ascendenin a 180.000 $ si la campana de ventas tiene mucho ex ito, pero solo a
90.000 $ si tiene un exito moderado. Se estima que estos dos niveles de penetracion en
el mercado son igual de probables. Segun el criterio del valor monetario esperado, i,que
debe hacer el fabricante del medicamento?
Solucion
Lo mejor es abordar el problema construyendo un arbol de decisi6n. La Figura 21.4
muestra el arbol completo.
i------- ------ ---------- --------:----------- -------- ------------------- ------------- o~5 -----------pay-offs -l
I
I
I
High Success
170,000 1
I
Market
1I
I
170000
I
1Optimal Decision: Retain Patent
EMV of Action 1 is $71,000
I
I
125000
0.6
Effective
I
0.5
Moderate Success
I
$80,000
I
80000
II
I
I
I
II
125000
I
I
I
I
Sell Patent & Test Results
1
I
----------------------
II
i
I
I
I
l
110,000!
II
110000
1
0.4
Ineffective
• --- .. ----- ------- -------. ------- .. -------- ---.
·10.000
iI
I
I
II
·10000
I
I
I
Sell Patent
----. ------------------- . ---- . ---- .. ------. ------••• ---- --. ------ •• ----
50 ,000 1I
l _______________________s.!!.~QQ_________________________________________________________________________
Figura 21.4.
J
Arbol de decisi6n del ejemplo 21.4; decisi6n 6ptima: conservar la patente y, si las pruebas demuestran que el medicamento es eficaz, comercializarlo (VME = 71.000 $).
EI fabricante puede decidir vender la patente, en cuyo caso no tiene que hacer nada
mas, 0 quedarsela y realizar pruebas sobre la eficacia del medicamento. Hay dos estados de la naturaleza posibles: el medicamento es eficaz (con una probabilidad de 0,6) 0
es ineficaz (con una probabilidad de 0,4). En el segundo caso, ahf termina todo. Sin embargo, si el medicamento demuestra ser eficaz, hay que tomar una segunda decision: comercializarlo 0 vender los derechos de patente y los resultados de las pruebas. Si se
Capftulo 21.
Teorfa estadfstica de la decision
8 71
adopta la primera opcion, el nivel de exito de la comercializacion determin a el resultado
final, que puede ser moderado 0 alto (cada uno con una probabilidad de 0,5).
A continuacion, se examinan los rendimientos de todas las combinaciones accionestado de la naturaleza. Comencemos por la parte inferior del arbol de decision . Si la
decision inicial del fabricante es vender la patente, recibe 50.000 $. Si se queda con
ella, pero el medicamento resulta ineficaz, el fabricante tiene una perdida de 10.000 $,
que es el coste de las pruebas. Esta perdida se muestra como un rendimiento negativo
de esa cuantfa. Si se observa que el medicamento es eficaz y se vende la patente y los
resultados de las pruebas, el fabricante recibe 120.000 $, de los que debe restarse el coste de las pruebas, por 10 que queda un rendimiento de 110.000 $. Por Ultimo, si se comercializa el medicamento, los rendimientos en los casos de exito moderado y grande
son 90.000 $ y 180.000 $, respectivamente, menos el coste de las pruebas, por 10 que
quedan 80.000 $ y 170.000 $, respectivamente.
Una vez lIegados a este punto, el problema de decision se resuelve yendo hacia atras
de derecha a izquierda. Este paso es necesario, ya que no puede saberse cwi! es la accion que debe elegirse en el primer punto de decision hasta que se conoce el valor monetario esperado de la mejor opcion en el segundo punto de decision.
Comencemos, pues, suponiendo que inicialmente se conserva la patente y que las
pruebas demuestran que el medicamento es eficaz. Si se vende la patente y los resultados de las pruebas, se obtiene un beneficio de 110.000 $. EI valor monetario esperado
de la comercializacion del medicamento es
VME = (0,5)(170.000)
+ (0,5)(80.000)
= 125.000 $
Dado que es de mas de 110.000 $, la mejor opcion en esta fase, segun el criterio del
valor monetario esperado, es comercializar el medicamento. Esta cantidad se introduce,
pues, en el nodo cuadrado del segundo punto de decision y se considera que es el rendimiento que obtiene el fabric ante si su decision inicial es conservar la patente y las pruebas indican que el medicamento es eficaz. Aquf mostramos la tabla de rendimientos correspondiente a la decision inicial con las probabilidades de los estados de la naturaleza.
EI valor monetario esperado de la venta de la patente son los 50.000 $ seguros, mientras que el valor monetario esperado de conservar la patente es (0,6)(125.000) +
+ (0,4)( - 10.000) = 71.000 $. En ese caso, segun el criterio del valor monetario esperado, debe conservarse la patente.
Estado de la naturaleza
Accion
Conservar la patente
Vender la patente
Medicamento eficaz (P
125.000
50.000
=
0,60)
Medicamento ineficaz (P
=
0,40)
-10.000
50.000
Si el objetivo del fabricante es maximizar el valor monetario esperado (es decir, el
beneficio esperado), debe conservar la patente. Si las pruebas demuestran que el medicamento es eficaz, el fabricante debe comercializarlo. Esta estrategia genera un beneficio esperado de 71.000 $.
En la Figura 21.4 se obtiene el mismo resultado utilizando el TreePlan.
872
Estadfstica para admin istracion y economfa
Amllisis de sensibilidad
En el caso del fabricante de telefonos moviles, este ha seleccionado el proceso de produccion A utilizando el criterio del valor monetario esperado. Esta decision se basa en el rendimiento estimado de cada combinacion accion-estado de la naturaleza y en la probabilidad estimada de que ocurra cada estado de la naturaleza. Sin embargo, a menudo la
persona que tiene que tomar una decision no esta segura de esas estimaciones, por 10 que
es util preguntarse en que intervalo de especificaciones de un problema de decision es optima una determinada accion segun el criterio del valor monetario esperado. El amilisis de
sensibilidad trata de responder a esas preguntas y el caso mas sencillo es aquel en el que
se permite que varfe una unica especificacion del problema.
Para ilustrarlo, supongamos que el fabric ante de telefonos moviIes esta de acuerdo con
que la probabilidad de que la demanda sea alta es de 0,4, pero esta menos segura en el
caso de los otros dos estados de la naturaleza. Sea P la probabilidad de que la demanda sea
baja, por 10 que la probabilidad de que sea moderada debe ser (0,6 - P). Segun el criterio
del valor monetario esperado, Len que intervalo de valores de P serfa optima la adopcion
del proceso A? Utilizando los rendimientos de la Tabla 2l.7, los valores monetarios esperados son
VME(B)
=
=
VME(C)
= (P)(lOO.OOO) + (0,6 -
VME(A)
(P)(70.000)
(P)(80.000)
+ (0,6 + (0,6 -
P)(120.000)
P)(l20.000)
+ (0,4)(200.000) = 152.000 + (0,4)(180.000) = 144.000 -
P)(125.000)
+ (0,4)(160.000) = 139.000 -
50.000P
40.000P
25.000P
La eleccion del proceso A seguira siendo optima siempre que el VME correspondiente sea
mayor que el de cada uno de los otros dos procesos. Por 10 tanto, para que se prefiera el
proceso A al proceso B, debe cumplirse que
152.000 - 50.000P
~
144.000 - 40.000P
o sea
8.000
~
lO.OOOP
por 10 que
~
P
0,8
Este resultado debe cumplirse, ya que, segun nuestros supuestos, la probabilidad de que la
demanda sea baja no puede ser de mas de 0,6. Asimismo, para que se prefiera el proceso A
al proceso B,
152.000 - 50.000P
~
139.000 - 25.000P
o sea
13.000
~ 25.000P
por 10 que
P
~
0,52
Si los rendimientos son los que indica la Tabla 2l.7 y la probabilidad de que la demanda
sea alta es 0,4, entonces la mejor eleccion segun el criterio del valor monetario esperado es
el proceso de produccion A, siempre que la probabilidad de que la demanda sea baja no
sea de mas de 0,52.
Capitulo 21.
Teoria estadistica de la decision
873
Supongamos ahora que el fabricante de telefonos moviles no esta segura del rendimiento estimado de 200.000 $ si elige el proceso A y la demanda es alta. Veamos en que
intervalo de rendimientos el proceso A sera la eleccion optima, cuando se mantienen todas
las demas especificaciones del problema en sus niveles iniciales, mostrados en la Tabla 21.7. Si M es el rendimiento del proceso A cuando la demanda es alta, el valor monetario esperado de este proceso es
VME(A)
=
(0,1)(70.000)
+ (0,5)(120.000) + O,4M = 67.000 + O,4M
Los val ores monetarios esperados de los procesos Bye son, al iguaJ que antes, de
140.000 $ Y 136.500 $. Por 10 tanto, el proceso A sera la mejor eleccion segun el criterio
del valor monetario esperado, siempre que
67.000
+ U,4M
~
140.000
o sea
O,4M
~
73.000
o sea
M
~
182.500
Si todas las demas especificaciones siguen siendo las que muestra la Tabla 21.7, se seleccionara el proceso de produccion A segun el criterio del valor monetario esperado, siempre
que el rendimiento del proceso A cuando la demanda es alta sea al menos de 182.500 $.
EJERCICIOS
Ejercicios aplicados
21.10. Un estudiante ya tiene ofertas de trabajo. Ahora
debe decidir si va a otra entrevista en otra empresa. Considera que el tiempo y el esfuerzo de
acudir a otra entrevista tienen un coste de 500 $,
en los que incurrini independientemente de que
acepte el trabajo que ofrece esa empresa. Si el
empresario ofrece un puesto preferible a sus demas alternativas, se considerarfa que es un beneficio que vale 5.000 $ (de los que debe restarse el coste de 500 $). De 10 contrario, habrfa
despilfarrado el tiempo y el esfuerzo.
a) Elabore la tabla de rendimientos del problema de decision del estudiante.
b) Suponga que el estudiante cree que la probabilidad de que este empresario Ie ofrezca un
trabajo preferible a otras alternativas es de
0,05. Segiin el criterio del valor monetario
esperado, i,debe ir a vel' a este empresario?
21.11. Un directivo tiene que elegir entre dos acciones,
a1 Y a2· Hay dos estados de la naturaleza posibles, SI y S2 . La tabla adjunta muestra los rendi-
mientos. Si el directivo cree que los dos estados
de la naturaleza son igual de probables, i,que
accion debe elegir, segun el criterio del valor
monetario esperado?
Estado de la naturaleza
Accioll
72.000
78.000
51 .000
47.000
21.12. EI inversor del ejercicio 21.1 cree que la probabilidad de que la bolsa de valores este fuerte es
de 0,2, la probabilidad de que este moderada es
de 0,5 y la probabilidad de que este debil es 0,3.
a) i,Que accion debe elegir segiin el criterio del
valor monetario esperado?
b) Construya el arbol de decision del problema
del inversor.
21.13. EI fabricante de desodorantes del ejercicio 21.2
sabe que historicamente el 30 pOI' ciento de los
nuevos productos de este tipo ha tenido una elevada tlemanda, el 40 por ciento ha tenido una
874
Estadfstica para administracion yeconomfa
demanda moderada y el 30 por ciento ha tenido
una demanda baj a.
criterio del valor monetario esperado la elecci6n de la acci6n del ejercicio 21.12?
a) Segun el criterio del valor monetario esperado, l.que proceso de producci6n debe utili zarse?
b) Construya el arbol de decisi6n del problema
de este fabricante.
21.18. Vuelva al problema del fabric ante de desodorantes de los ejercicios 2l.2, 21.4 Y 21.13.
21.14. Considere un problema de decisi6n con dos acciones admisibles y dos estados de la naturaleza
posibles, que tienen ambos la misma probabilidad de ocurrir.
a) A verigiie si es verdadera 0 falsa cada una de
las siguientes afirmaciones en un problema
de ese tipo.
i. La acci6n elegida segun el criterio del
valor monetario esperado siempre sera
igual que la acci6n elegida segun el criterio maximin.
ii. La acci6n elegida segun el criterio del
valor monetario esperado siempre sera
igual que la acci6n elegida segun el criterio de la perdida de oportunidades minimax .
iii. La acci6n elegida segun el criterio del
valor moneta rio esperado siempre sera
aquella que tenga el mayor rendimiento
medio posible.
b) l.Seria su respuesta sobre la afirmaci6n (iii)
del apartado (a) la misma si los dos estados
de la naturaleza no tuvieran la misma probabilidad de ocurrir?
21.15. Un problema de decisi6n tiene K acciones posibles y H estados de la naturaleza posibles. Si
una de estas acciones es inadmisible, demuestre
que no puede elegirse segun el criterio del valor
monetario esperado.
21.16. El empresario del ejercicio 2l.9 cree que la probabilidad de que el nuevo centro comercial tenga mucho exito es de 0,4, que la probabilidad
de que tenga un exito moderado es de 0,4 y que
la probabilidad de que no tenga exito es de 0,2.
a) Segun el criterio del valor monetario esperado, l.d6nde debe abrir la zapateria?
b) Construya el arbol de decisi6n.
21.17. Vuelva al problema de decisi6n de los ejercicios 21.1 , 2l.3 Y 2l.12. Este inversor esta de
acuerdo con la valoraci6n de que la probabilidad de que el mercado este fuerte es de 0,2. Sin
embargo, esta menos segura de las valoraciones
de la probabilidad de los otros dos estados de la
naturaleza. l.En que intervalo de probabilidades
de que el mercado de valores este debil da el
a) El fabricante esta de acuerdo con la valoraci6n de que la probabilidad de que la demanda sea baj a es de 0,3, pero est a menos
segura de las probabilidades de los otros dos
niveles de demanda. l.En que intervalo de
probabilidades de que la demanda sea moderada generara el criterio del valor monetario
esperado la elecci6n de la acci6n del ejercicio 21.13?
b) Considere dado el resto de las especificaciones del problema de los ejercicios 2l.2 y
21.13. l.En que intervalo de beneficios de una
demanda alta cuando se utiliza el proceso A
dara el cliterio del valor monetario esperado
la elecci6n de la acci6n del ejercicio 21.13?
21.19. Vuelva al problema del empresario de los ejercicios 2l.9 y 21.16.
a) El duefio de la zapateria esta contento con la
valoraci6n de que la probabilidad de que el
nuevo centro comercial no tenga exito es de
0,2, pero esta menos seguro de las valoraciones de la probabilidad de los otros dos estados de la naturaleza. l.En que intervalo de
probabilidades de que el nuevo centro comercial tenga mucho exito lIevani el criterio
del valor monetario esperado a la elecci6n
de la acci6n del ejercicio 21.16?
b) Suponiendo que las demas especificaciones
del problema son las de los ejercicios 2l.9 y
21.16, l.en que intervalo de niveles de beneficios correspondientes a la instalaci6n en el
nuevo centro si resulta que tiene mucho exito llevara el criterio del valor monetario esperado a la elecci6n de la acci6n del ejercicio 21.16?
21.20. Un fabricante recibe habitualmente contratos
para entregar grandes pedidos de piezas a la industria automovilfstica. EI proceso de producci6n del fabricante es tal que cuando funciona
correctamente, el 10 por ciento de todas las piezas producidas no satisface las especificaciones
de la industria. Sin embargo, es propenso a tener un determinado fallo, cuya presencia puede
comprobarse al comienzo de una serie de producci6n. Cuando el proceso funciona con este
fallo , el 30 por ciento de las piezas producidas
no satisface las especificaciones de la industria.
El fabric ante ofrece piezas para un contrato por
el que obtendra un beneficio de 20.000 $ si s610
Capitulo 21 . Teoria estadistica de la decisi6n
es defectuoso el 10 por cie nto de las piezas y
un beneficio de 12.000 $ si es defectuoso el 30
por ciento de las piezas. El coste de comprobar
el fallo es de 1.000 $ y, si se observa que es necesaJia una reparaci6n, esta cuesta otros 2.000 $.
Si se incurre en estos costes, deben restarse del
beneficio. Hist6ricamente, se ha observado que
el proceso de producci6n funciona COlTectamente el 80 pOl' ciento del tiempo. El fabricante
debe decidir si comprueba el proceso al comienzo de una serie de producci6n.
a) Segun el criterio del valor monetario esperado, i,cmil es la decisi6n 6ptima?
b) Construya el arbol de decisi6n.
c) Suponga que no se sabe cual es la proporci6n de ocasiones en las que el proceso de
producci6n funciona correctamente. i,En que
intervalo de val ores de esta proporci6n serfa
6ptima la decisi6n seleccionada en el apartado (a) segun el criterio del valor monetario
esperado?
21.21. Un contratista tiene que decidir si presenta una
oferta para la adjudicaci6n de un proyecto de
construcci6n. EI coste de la preparaci6n de la
oferta es de 16.000 $. Incurrira en este coste independientemente de que se Ie adjudique 0 no
el contrato. EI contratista pretende hacer una
oferta que generara 110.000 $ de beneficios
(menos el coste de la preparaci6n de la oferta).
Sabe que el 20 por ciento de las ofertas preparadas de esta forma ha tenido exito.
a) Elabore la tabla de rendimientos.
b) i,Debe prepararse y presentarse una ofelta segun el criterio del valor monetario esperado?
c) i,En que intervalo de probabilidades de que
la oferta tenga exito debe prepararse y presentarse una oferta segun el criterio del valor monetario esperado?
21.22. El jueves por la tarde, el jefe de una pequefia
sucursal de una agencia de alquiler de coches
observa que tiene seis coches para alquilar al
dfa siguiente. Sin embargo, puede pedir que Ie
envfen mas coches de la central con un coste de
20 $ cada uno. Cada coche que se alquila genera un beneficio esperado de 40 $ (el coste de
envfo del coche debe restarse de este beneficio).
Cada c1iente que pidc un coche cuando no hay
ninguno disponible se cuenta como una perdida
de 10 $ de fondo de comercio. Revisando los
datos de los viernes anteriores, el jefe observa
que el numero de coches solicitados ha ido de 6
a 10; los porcentajes se muestran en la tabla adjunta. EI jefe debe decidir si pide coches a la
central y, en caso afirmativo, cuantos .
875
Numero de pedidos
6
7
8
9
10
Porcentaje
10
30
30
20
10
a) Elabore la tabla de rendimientos.
b) Si se utiliza el criterio del valor monetario
esperado, i,cuantos coches deben pedirse?
21.23. Un contratista ha decidido presentar una oferta
para la adjudicaci6n de un proyecto. Las ofertas
deben presentarse en multiplos de 20.000 $. Se
estima que la probabilidad de que se consiga el
contrato con una oferta de 240.000 $ es de 0,3,
la probabilidad de que se consiga con una oferta
de 220.000 $ es de 0,3 y la probabilidad de que
se acepte una oferta de 200.000 $ es de 0,5. Se
piensa que cualquier oferta de menos de
200.000 $ tendra exito con toda seguridad y que
cualquier oferta de mas de 240.000 $ fracasara
con toda seguridad. Si el fabricante consigue el
contrato, debe resolver un problema de disefio
con dos opciones posibles en esta fase. Puede
contratar consultores externos, que Ie garantizaran una soluci6n satisfactoria, por un precio de
80.000 $. 0 puede invertir 30.000 $ de sus propios recursos en un intento de resolver el problema internamente; si fracasa este intento, debe contratar a los consultores. Se estima que la
probabilidad de resolver con exito el problema
internamente es de 0,6. Una vez que ha resuelto
este problema, el coste adicional de cumplir el
contrato es de 140.000 $.
a) Este contratista tiene potencialmente dos
decisiones que tomar. i,Cuales son?
b) Construya el arbol de decisi6n.
c) i,Cual es el curso de acci6n 6ptimo segtm el
criterio del valor monetario esperado?
21.24. Considere un problema de decisi6n con dos acciones, a 1 y a2, Y dos estados de la naturaleza,
51 y 52' Sea Mij el rendimiento correspondiente
a la acci6n a i Y el estado de la naturaleza 5j. Suponga que la probabilidad de que OCUlTa el estado de la naturaleza SI es P, por 10 que la probabilidad de que ocurra el estado S2 es (l - P).
a) Demuestre que se selecciona la acci6n a 1 segun el criterio del VME si
b) Demuestre, pues, que si al es una acci6n admisible, existe una probabilidad, P, de que
se elija. Sin embargo, si a ] no es admisible,
no puede elegirse, cualquiera que sea el valor de P.
876
Estadfstica para administraci6n y economfa
Las decisiones que se toman en el mundo de la empresa pueden suponer a menudo una
cantidad considerable de dinero y el coste de tomar una decision suboptima puede ser elevado. Esa es la razon por la que puede muy bien compensarle a la persona que tiene que
tomar una decision hacer un esfuerzo para conseguir la mayor informacion relevante posible antes de tomar la decision. En concreto, quemi informarse 10 mas posible sobre las
probabilidades de que ocurran los distintos estados de la naturaleza que determinan el rendimiento final.
Esta caracteristica del examen detenido de un problema de decision no ha sido evidente
hasta ahora en nuestro analisis. El fabricante de telefonos moviles del apartado 2l.3 valoraha las probabilidades de que la demanda del nuevo telefono movil fuera baja, moderada
yalta en 0,1, 0,5 Y 0,4, respectivamente. Sin embargo, esta valoracion no reflejaba mas
que las proporciones historicas logradas por otros productos anteriores. En la practica, podria muy bien querer realizar algun estudio de mercado sobre las perspectivas del nuevo
producto. Con ese estudio, estas probabilidades a priori 0 iniciales de los tres niveles de
demanda pueden modificarse y general' nuevas probabilidades, llamadas probabilidades a
posteriori. La informacion (en este caso, los resultados del estudio de mercado) que lleva a
modificar las probabilidades de los estados de la naturaleza se llama informacion muestral.
Utilizaci6n del teorema de Bayes
En el Capitulo 4 explicamos el mecanisme para modificar las probabilidades a priori para
obtener probabilidades a posteriori. Eso se hace pOl' medio del teorema de Bayes, que reformulamos por comodidad en el marco de nuestro problema de decision.
Teorema de Bayes
Sean S1' S2' .. ., SH H sucesos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, que corresponden a los H estados de la naturaleza de un problema de decisi6n. Sea A algun otro suceso. Sea la probabilidad condicionada de que ocurra S1' dado que ocurre A, P(SjIA) y la probabilidad de A, dado Sj' P(Als). EI teorema de Bayes establece que la probabilidad
condicionada de si' dado A, puede expresarse de la forma siguiente:
pes IA) _ _P(_A-,-Is,--;)P_(s--,---;)
i
peA)
P(Als)P(s)
(21.2)
En la terminologfa de este apartado, P(s) es la probabilidad a priori de Sj y se transforma en
la probabilidad a posteriori, P(SjIA), dada la informacion muestral de que ha ocurrido el suceso A.
Supongamos ahora que el fabricante de telefonos moviles contrata a una empresa de
estudios de mercado para predecir el nivel de demanda de su nuevo producto. Naturalmente, la empresa Ie cobrara el estudio. Mas adelante en este capitulo, veremos si el rendimiento justifica el coste. La empresa afirma que las perspectivas son «malas», «regulares»
o «buenas» en funcion de su estudio. EI analisis del historial de la empresa de estudios de
mercado revela la calidad de sus predicciones anteriores en este campo. La Tabla 21.8
Capitulo 21.
Tabla 21.B.
Teoria estadistica de la decision
877
Proporcion de los distintos tipos de perspectivas segun la empresa de estudios
de mercado correspondientes a los distintos niveles de la demanda.
Estado de la naturaleza
Accion
Valoracion
Demanda baja (s 1)
Demanda moderada (S2)
Demanda alta (S3)
0,6
0,2
0,2
0,3
0,4
0,3
0,1
0,2
0,7
Malas
Regulares
Buenas
muestra la proporcion de veces que la empresa dijo que las perspectivas eran malas, regulares 0 buenas correspondiente a cada nivel efectivo de demanda.
Por ejemplo, el 10 por ciento de las veces en que la demanda fue alta, la empresa dijo
que las perspectivas eran «malas». Por 10 tanto, en la notaci6n de la probabilidad condicionada, representando la demanda baja, moderada yalta por medio de Sj, S2 Y S3, respectivamente, se deduce que
P(malas ls j)
=
0,6
P(malas ls2) = 0,3
P(malasl s3) = 0,1
Es s610 una casualidad que la suma de P(malasls j) = 0,6, P(malas ls2) = 0,3 y
P(malas IS3) = 0,1 sea 1,0. Estas probabilidades condicionadas no tienen que sumar 1.
Tomemos, por ejemplo, el caso de «regulares»; observese que la suma de
P(regulares ls j) = 0,2, P(regulares ls2) = 0,4 y P(regulares ls3) = 0,2 s610 es 0,8 y no 1,0.
Supongamos ahora que se consulta a la empresa de estudios de mercado y esta dice
que las perspectivas del telefono m6vil son «malas». Dada esta nueva informaci6n, las probabilidades a priori
de los tres niveles de demanda pueden modificarse utilizando el teorema de Bayes. En el
caso de un bajo nivel de demanda, la probabilidad a posteriori es
P(malas ISj)P(sj)
P(s j lmalas) = - - - - - - - -- - -- - - - - - -- P(malas IS j)P(s j) + P(malas IS2)P(S2) + P(malas IS3)P(S3)
- --
(0,6)(0,1)
0,06
-------- = -
(0,6)(0,1)
+ (0,3)(0,5) + (0,1)(0,4)
0,25
=
024
'
Asimismo, en el caso de los otros dos niveles de demanda las probabilidades a posteriori son
P(s21 malas)
=
P(s3Imalas) =
(0,3)(0,5)
0,25
(0,1)(0,4)
0,25
= 0,6
= 0,16
A continuaci6n, pueden utilizarse las probabilidades a posteriori para caIcu!ar los valores
monetarios esperados. La Tabla 21.9 muestra los rendimientos (sin el coste del estudio),
junto con las probabilidades a posteriori de los tres niveles de demanda. Esta tabla es simpie mente una modificaci6n de la 21.7, en la que se han sustituido las probabilidades a
priori por las probabilidades a posteriori.
878
Estadfstica para administraci6n y economfa
Tabla 21.9. Rendimientos del fabricante de telefonos m6viles y probabilidades a posteriori
de los estados de la naturaleza, cuando la empresa de estudios de mercado
dice que las perspectivas son «malas» .
Aecion
Estado de la naturaleza
Proeeso de
produecion
Demanda baja
A
B
C
70.000
80.000
100.000
*
(P
= 0,24)*
Demanda moderada
(P
= 0,60)*
120.000
120.000
1250.000
Demanda alta
(P
= 0,16)*
200.000
180.000
160.000
Probabilidades a. posteriori.
Los valores monetarios esperados de los tres procesos de producci6n pueden hallarse
exactamente de la misma forma que antes. Son los siguientes:
VME (Proceso A)
=
(0,24)(70.000)
+ (0,60)(120.000) + (0,16)(200.000)
=
120.800 $
VME (Proceso B) = (0,24)(80.000) + (0,60)(120.000) + (0,16)(180.000) = 120.000 $
VME (Proceso C) = (0,24)(100.000) + (0,60)(125.000) + (0,16)(160.000) = 124.600 $
Si la empresa de estudios de mercado considera que las perspectivas son «malas», entonces, segun el criterio del valor monetario esperado, debe utilizarse el proceso de produccion C. Segun la valoracion de la empresa de estudios de mercado, la demanda baja es mucho mas probable y la demanda alta es considerablemente men os probable que antes. Este
cambio de opinion sobre las perspectivas de mercado es suficiente para inducir al fabricante de telefonos moviles a cambiar su preferencia por el proceso A (basada en las probabilidades a priori) por el proceso C.
Siguiendo el mismo razonamiento, es posib\e saber que decisiones se tomarfan si las
perspectivas de exito del mercado del telefono movil se consideraran «regulares» 0 «buenas». De nuevo , es posible hallar las probabilidades a posteriori de los tres niveles de demanda por medio del teorema de Bayes. Si se considera que las perspectivas son «regulares», son
1
P(sll regulares)
= 15
P(s2Iregulares) =
10
15
4
P(s3Iregulares) = 15
Si se considera que son «buenas»,
2
P(sllbuenas) = 45
15
P(s2 Ibuenas) = 45
28
P(s3Ibuenas) = 45
Utilizando estas probabilidades a posteriori, calculamos par medio del programa Excel los
val ores monetarios esperados de cada uno de los procesos de produccion correspondientes
a cada valoracion. La Tabla 21.10 contiene estos valores monetarios esperados. Podrfan
variar dependiendo del numero de decimales utilizados para expresar las probabilidades a
posteriori.
Como hemos mostrado antes, si la empresa de estudios de mercado afirma que las
perspectivas son «malas», se prefiere el proceso C segun el criterio del valor monetario esperado. Si hace otra prediccion, se elegini el proceso A, segun este criterio.
Capitulo 21 . Teoria estadistica de la decision
879
Tabla 21.10. Valores monetarios esperados del fabricante de telefonos m6viles
correspondientes a tres predicciones posibles realizadas por la empresa
de estudios de mercado.
Accion
Estado de la naturaleza (perspectivas)
Proceso de produccion
Malas
Regulares
Buenas
A
B
120.800
120.000
124.600
138 .000
L33.333
132.667
167.556
155.556
145.667
C
Recuerdese que en el problema del fabric ante de telefonos m6viles, cuando se utilizaban las probabilidades a priori de los niveles de demanda, la decision optima segLin el criterio del valor monetario esperado era utilizar el proceso A. Puede ocurrir (si la empresa
de estudios de mercado dice que las perspectivas son «malas») que se tome una decision
diferente cuando la informacion muestral lleva a modificar estas probabilidades a priori. Por
10 tanto, resulta que al fabricante Ie interesarfa consultar a la empresa de estudios de mercado. Naturalmente, si la eleccion del proceso A hubiera resultado optima, cualquiera que hubiera sido la prediccion, la informacion muestral posiblemente no tendria ningLin valor.
EJEMPLO 21.5. Reconsideraci6n del problema del fabricante
de medicamentos (valor monetario esperado)
En el ejemplo, 2l.4, un fabricante de medicamentos tenia que decidir si vendia la patente de una formula que reducfa el colesterol antes de someter el medicamento a una
prueba (despues, si conservaba la patente y se observaba que el medicamento era eficaz,
tambien tenia que tomar otra decision, que era comercializar el medicamento 0 vender
la patente y los resultados de la prueba). En el caso de la decision inicial, los dos estados de la naturaleza eran Sl: el medicamento es eficaz, y S2: el medicamento es ineficaz.
Las probabilidades a priori cOITespondientes, calculadas basandose en la experiencia
anterior, son
El fabric ante de medicamentos tiene la opcion de realizar con un coste moderado
una prueba inicial antes de tomar la primera decision. La prueba no es infalible. En el
caSa de medicamentos que despues han resultado eficaces, el 60 por ciento de las veces
el resultado de la prueba preliminar fue positivo y el resto fue negativo. En el caso de
medicamentos ineficaces, el 30 por ciento de las veces el resultado de la prueba preliminar fue positivo y el resto fue negativo. Dados los resultados de la prueba preliminar,
l,que debe hacer el fabricante? Suponga que sigue siendo posible vender la patente por
50.000 $ si el resultado de la prueba preliminar es negativo.
Solucion
Observese, en primer lugar, que si se conserva la patente y las pruebas exhaustivas demuestran que el medicamento es eficaz, entonces en ausencia de informacion muestral
sobre la situacion del mercado, la decision optima en esta fase es, al igual que en el
ejemplo 21.4, comercializar el medicamento. La informacion suministrada por la prueba
preliminar es iITelevante para tomar esa decision. Sin embargo, podrfa influir en la decision inicial de vender 0 no la patente. Por 10 tanto, solo se considera esta decision.
880
Estadfstica para administraci6n y economfa
Las probabilidades condicionadas de los resultados muestrales, dados los estados de
la naturaleza, son
P(positivo!s,) = 0,6
P(negativo!s,) = 0,4
P(positivo! S2) = 0,3
P(negativo!s2) = 0,7
Si el resultado de la prueba preliminar es positivo, entonces la probabilidad a posteriori del estado s[ (eficaz), dada esta informacion, es
..
P(positivo!s,)P(s,)
pes, !pOSltlVO)
=
..
.
P(pOSItlVO! s,)P(s,) + P(posltivo !S2)P(S2)
(0,6)(0,6)
(0,6)(0,6) + (0,3)(0,4) = 0,75
Ademas, como las dos probabilidades a posteriori deben sumar 1, entonces P(s2!positiyo) = 0,25. La tabla de rendimientos adjunta es igual que la del ejempl0 21.4, con la
adicion de estas probabilidades a posteriori.
Estado de la naturaleza
Accion
Medicamento eficaz (P = 0,75)*
Medicamento inefizaz (P = 0,25)*
Conservar la patente
Vender la patente
125.000
50.000
-10.000
50.000
" Probabilidades a posteriori.
EI valor monetario esperado, si se vende la patente, es de 50.000 $, mientras que si
se conserva, es
(0,75)(125.000)
+ (0,25)( -10.000) = 91.250 $
Por 10 tanto, si el resultado de la prueba inicial es positivo, la patente debe conservarse,
segun este criterio.
Consideremos ahora el caso en el que el resultado de la prueba preliminar es negativo. La probabilidad a posteriori del estado s, es, segun el teorema de Bayes,
.
P(sdnegatlvo)=
.
P(negativo!s,)P(s,)
.
P(negatJvo!s,)P(s,) + P(negatIVo!s2)P(S2)
(0,4)(0,6)
--04615
(0,4)(0,6) + (0,7)(0,4)
,
Por 10 tanto, la probabilidad a posteriori del estado s2 es
P(S2! negativo) = 0,5385
Una vez mas, si se vende la patente, el valor monetario esperado son los 50.000 $
que se recibiran. Si se conserva la patente, el valor monetario esperado de esta decision
es
(0,4615)(125.000) + (0,5385)( - 10.000) = 52.302,50 $
Asf pues, aunque el resultado de la prueba preJiminar sea negativo, la decision optima,
segun el criterio del valor monetario esperado, es conservar la patente.
Capitulo 21 . Teoria estadistica de la decision
88 1
En este ejemplo, pues, cualquiera que sea la informacion muestral, la accion elegida
es la misma. EI fabricante debe conservar la patente cualquiera que sea el resultado de
la prueba preliminar. Dado que la informacion muestral no puede influir en la decision,
no tiene senti do, desde luego, recogerla. De hecho, como la realizacion de la prueba
preliminar tiene costes, serra suboptimo recogerla. Por 10 tanto, segun el criterio del valor monetario esperado, el fabricante de medicamentos debe conservar la patente y, si
las pruebas demuestran que el medicamento es eficaz, debe comercializarlo. La prueba
preliminar no debe realizarse.
EI valor de la informacion muestral
Se ha demostrado como puede tenerse en cuenta la informacion muestral en el proceso de
toma de decisiones. El valor potencial de esa informacion se halla, por su puesto, en que
permite saber con mayor precision cmlIes son las probabilidades de que ocurra cada uno de
los estados de la naturaleza relevantes y eso penlite tener una base Imis solida para tomar
una decision. En este apartado mostramos como puede asignarse un valor moneta rio a la
informacion muestraI. Esto es importante, ya que la obtencion de informaci6n muestral
normal mente tiene costes y la persona que debe tomar una decision qui ere saber si los beneficios esperados son mayores que este coste.
EI ejemplo 21.5 muestra una situacion en la que una misma accion era optima, cualqui era que fuera el resultado muestral. En ese caso, la informacion muestral carece claramente de valor, ya que se habrfa elegido la misma accion sin ella. He aquf la regIa general:
si la informacion muestral no puede influir en la eleccion de la accion, tiene un valor O.
En el resto de este apartado solo nos referiremos, pues, a las circunstancias en las que
el resultado muestral puede afectar a la eleccion de la accion. Un caso de ese tipo es nuestro ejemplo del fabricante de telefonos moviles que esta considerando la posibilidad de introducir un nuevo producto. Este fabricante tiene que elegir entre tres procesos de produccion y se enfrenta a tres estados de la naturaleza, que reprcscntan difcrcntcs nivelcs de
demanda del producto. En el apartado 21.3 hemos mostrado que en ausencia de informacion muestral y utilizando solamente las probabilidades a priori, se selecciona el proceso
A que tiene un valor monetario esperado de 147.000 $.
Ahora bien, en la practica, una vez obtenida la informacion muestral, la persona que
debe tomar una decision normalmente no sabe que estado de la naturaleza ocurrini, pero
tiene valoraciones probabilfsticas mas fundadas de estos estados. Sin embargo, antes de
analizar el valor de la informacion muestral en este modelo general, es util considerar el
caso extrema en el que puede obtenerse informacion perfecta, es decir, el caso en el que
la persona que tiene que to mar una decision puede obtener informacion que Ie diga con
seguridad que estado oculTira. i, Que valor tiene esa informacion perfecta para la persona
que debe tomar una decision?
Valor esperado de la informacion perfecta, VEIP
Supongamos que una persona tiene que elegir entre K acciones posibles y se enfrenta a H estad os de la naturaleza, S1' S2' ... , Sw La informacion perfecta corresponde al caso en el que
se sabe que estado de la naturaleza ocurrira. EI valor esperado de la informacion perfecta se
obtiene de la forma siguiente:
1.
Se averigua que acci6n se elegira si solo se utili zan las probabilidades a priori P(S1)'
P(S2) , ... , P(SH) ·
882
Estadfstica para administraci6n y economfa
2.
3.
Se hall a para cad a estado de la naturaleza posible, Si' la diferencia, Wi' entre el rendimiento de la mejor eleccion de la accion, si se supiera que ocurrira ese estado, y el rendimiento de la accion que se elegirfa solo si se utilizaran las probabilidades a priori. Este es el valor de la informacion perfecta, cuando se sabe que ocurrira si'
EI valor esperado de la informacion perfecta, VEIP, es, pues,
(21.3)
Volvamos al caso del fabricante de telefonos moviles y calculemos el VEIP. En este
ejemplo, la informacion perfecta corresponde al caso en el que se sabe cmil sera el nivel de
demanda de los tres posibles. En ausencia de informacion muestral y basandose tinicamente en las probabilidades a priori, se elegira el proceso A. Sin embargo, volviendo a la
Tabla 21.7, si el nivel de demand a es bajo, la mejor eleccion sera el proceso C. Como 6ste
tiene un rendimiento que es 30.000 $ mayor que el del A, el valor de saber que la demanda
sera baja es de 30.000 $. Asimismo, si se sabe que la demanda sera moderada, se elegira
de nuevo el proceso C. En este caso, el rendimiento de la mejor elecci6n es 5.000 $ mayor
que el del proceso A, que es, pues, el valor de saber que la demanda sera moderada. Si se
sabe que la demanda sera alta, se elegira el proceso A. POl' 10 tanto, esta informacion carece de valor, ya que se habria tornado la misma decision sin ella. El valor de la informacion
perfecta depende de la informacion. El valor esperado de la informaci6n perfecta se halla
utilizando las probabilidades a priori de los distintos estados de la naturaleza.
En el caso del fabricante de tel6fonos moviles, las probabilidades a priori son 0,1 en el
caso en el que la demanda es baja, 0,5 en el caso en el que es moderada y 0,4 en el caso
en el que es alta. Se deduce, pues, que para este fabricante el valor de la informacion perfecta es de 30.000 $ con una probabilidad de 0,1, 5.000 $ con una probabilidad de 0,5 y 0 $
con una probabilidad de 0,4. EI valor esperado de la informacion perfecta es, pues,
VEIP
=
(0,1)(30.000)
+ (0,5)(5.000) + (0,4)(0)
=
5.500 $
Esta cantidad monetaria representa, pues, el valor esperado para el fabricante de telefonos
moviles de saber cual sera el nivel de demanda.
Cuando los problemas son mas complejos, existen programas informaticos para calcular el VEIP.
Aunque normalmente no se dispone de informacion perfecta, puede ser util calcular su
valor esperado. Dado que, naturalmente, ninguna informacion muestral puede ser mejor
que perfecta, su valor esperado no puede ser mayor que el valor esperado de la informacion perfecta. POl' 10 tanto, el valor esperado de la informacion perfecta es un limite superior del valor esperado de cualquier informacion muestral. POI' ejemplo, si el fabricante de
telefonos moviles recibe informacion con un coste de 6.000 $, no es necesario que trate de
obtener mas informacion sobre la calidad de esta informacion. No deberia comprarla, por
muy fiable que sea, segtin el criterio del valor monetario esperado, ya que su valor esperado no puede ser de mas de 5.500 $.
Consideremos ahora el problema mas general de calcular el valor de la informacion
muestral que no es necesariamente perfecta. Consideremos de nuevo el problema de toma
de decisiones del fabricante de telefonos moviles, que tiene la opcion de que una empresa
de estudios de mercado valore las perspectivas del nuevo telefono m6vil. Estas perspectivas pueden considerarse «malas», «regulares» 0 «buenas». En el apartado 21.4 hemos
mostrado que en los dos ultimos casos se elige, aun asi, el proceso A. Por 10 tanto, si la
empresa de estudios de mercado dice que las perspectivas son «regulares» 0 «buenas», la
eleccion inicial de la accion no varia y no se ganara nada consultando a esta empresa.
Capitulo 21.
Teoria estadistica de la decision
883
Sin embargo, si dice que las perspectivas son «malas», la Tabla 21.10 muestra que la
eleccion optima es el proceso C. Esta eleccion optima generaria un valor monetario esperado de 124.600 $, mientras que el proceso A, que, de no ser asf, se habrfa utilizado, da un
valor monetario esperado de 120.800 $. La diferencia entre estas cantidades, 3.800 $, representa la ganancia generada por la informacion muestral si la empresa dice que las perspectivas son «malas». Las ganancias generadas por la informacion muestral son 0 $ en el
caso en el que las perspectivas son «buenas» 0 «regulares» y 3.800 $ si son «malas».
Ahora necesitamos saber que probabilidades hay de que se materialicen estas ganancias, por 10 que en nuestro ejemplo debemos hallar la probabilidad de que la empresa de
estudios de mere ado diga que las perspectivas son «malas». En general, si A representa una
parte de la informacion muestral y SI' S2' ... , S H los H estados de la naturaleza posibles,
entonces
En el ejemplo del telefono movil, si SI, S2 Y S3 representan un nivel de demanda bajo,
moderado y alto, respectivamente, entonces
P(sJ)
= 0,1
P(malasls J ) = 0,6
= 0,5
P(S3)
P(malas IS2) = 0,3
P(malas 1 S3)
P(S2)
= 0,4
= 0,1
Por 10 tanto, la probabilidad de que la empresa diga que las perspectivas son «malas» es
P(malas) = P(malaslsl)P(SI) + P(malas ls2)P(s2) + P(malas ls3)P(s3)
= (0,6)(0,1) + (0,3)(0,5) + (0,1)(0,4) = 0,25
De la misma forma, utilizando las probabilidades condicionadas de la Tabla 2l.8, las probabilidades de las otras dos valoraciones de la empresa son
P(regulares) = 0,30
P(buenas) = 0,45
Por 10 tanto, el valor de la informacion muestral es de 3.800 $ con una probabilidad de
0,25, de 0 $ con una probabilidad de 0,30 y de 0 $ con una probabilidad de 0,45 . Se deduce, pues, que el valor esperado de la informacion muestral es
VEIM = (0,25)(3.800)
+ (0,30)(0) + (0,45)(0)
= 950 $
Esta cantidad monetaria representa, pues, el valor esperado de la informacion muestral para la persona que tiene que to mar una decision. Segun el criterio del valor monetario esperado, esta informacion muestral merecera la pena si su coste es menor que su valor esperado. El valor esperado neto de la informacion muestral es la diferencia entre su valor
esperado y su coste.
Supongamos que la empresa de estudios de mere ado cobra 750 $ por su valoracion.
El valor esperado neto de esta valoracion para el fabricante de telefonos moviles es, pues,
950 $ - 750 $ = 200 $. Por 10 tanto, el rendimiento esperado del fabricante sera 200 $
mayor si se compra la informacion muestral que si no se compra. Esta cantidad representa
el valor esperado de tener esa informacion, teniendo en cuenta su coste. En este caso, la
estrategia optima del fabricante es comprar el informe de la empresa de estudios de mercado y utilizar el proceso de produccion A si la empresa dice que las perspectivas son «buenas» 0 «regulares» y el C si dice que son «malas». EI VME de esta estrategia es de
147.200 $, es decir, los 147.000 $ que se obtendrfan si no se dispnsiera de informacion
muestral mas el valor esperado neto de la informacion muestral.
884
Estadfstica para administraci6n y economfa
Valor esperado de la informacion muestral, VEIM
Supongamos que una persona tiene que elegir entre K acciones posibles ante H estados de la
naturaleza, 5" 52' ... , 5 H . Puede obtener informaci6n muestral. Supongamos que hay M resultados muestrales posibles, A" A2 , .. . , AM'
EI valor esperado de la informaci6n muestral se obtiene de la forma siguiente.
1.
2.
Se averigua que acci6n se elegirfa si s610 se utilizaran las probabilidades a priori.
Se averiguan las probabilidades de obtener cada resultado muestral:
3.
Se halla para cad a resultado muestral posible Ai' la diferencia, Vi' entre el valor monetario esperado de la acci6n 6ptima y el de la acci6n elegida si s610 se utilizan las probabilidades a priori. Este es el valor de la informacion muestral, dado que se observ6
Ai'
4.
EI valor esperado de la informacion muestral, VEIM, es, pues,
(21.4)
EI valor de la informacion muestral visto por medio
de arboles de decision
El valor esperado de la informacion muestral puede calcularse de otra forma (equivalente),
que es desde el punto de vista aritmetico algo m<ls tediosa, pero comoda para representar el
problema por medio de una sucesion de decisiones construyendo un arbol de decision.
La primera decision que hay que tomar es si conviene obtener la informacion muestral. A
continuacion, hay que averiguar cual de las acciones alternativas debe seguirse.
Para ilustrarlo, consideremos de nuevo el problema del fabricante de telefonos moviles.
La Figura 21.5 muestra los arboles de decision que se deducen de las tres valoraciones posibles del estudio de mercado. Estos arboles tienen la misma estructura general que la Figura 21.1, con una diferencia esencial: las probabilidades de los tres estados de la naturaleza son las probabilidades a posteriori, dada la informacion muestral especffica. Estas
probabilidades a posteriori se obtuvieron en el apartado 21.4. Ahora se ponderan los rendimientos por las probabilidades a posteriori y se obtiene el valor monetario esperado de cada accion, dado cada resultado muestral posible. Estos son los valores monetarios esperados que muestra la Tabla 21.10. POl' ultimo, a la izquierda de cada parte de la Figura 21.5
se encuentra el valor monetario esperado mas alto posible de cada resultado muestral.
Esta informacion se transfiere a la derecha de la Figura 21.6, en la que se analiza la
decision de comprar 0 no el estudio de mercado. Si no se compra esta informacion, la parte inferior de la Figura 21.6 muestra un valor monetario esperado de 147.000 $. Esta cantidad se obtiene utilizando las probabilidades a priori y procede de la Figura 21.1.
Pasamos ahora a examinar la parte superior de la Figura 21.6; el valor monetario esperado resultante depende del resultado muestral. Las probabilidades son 0,25 en el caso en
el que las perspectivas son «malas», 0,30 en el que son «regulares» y 0,45 en el que son
«buenas». Por 10 tanto, dado que cabe esperar 124.600 $ con una probabilidad de 0,25,
138.000 $ con una probabilidad de 0,30 y 167.000 $ con una probabilidad de 0,45, el rendimiento esperado si se compra la informacion muestral es
(0,25)(124.600)
+ (0,30)(138.000) + (0,45)(167.556) =
147.950 $
Capitulo 21.
Figura 21.5.
Arbo les de decision
del fabricante de
telefonos moviles
correspondientes a
las valoraciones
realizadas por la
empresa de
estud ios de
mercado de que las
perspectivas son
(a) «malas» ,
(b) «regulares» y
(c) «buenas»
(* accion que tiene
el maximo VME) .
Teoria estadistica de la decisi6n
885
(a) "malas"
Acciones
Estados
de la naturaleza
Rendimientos
(probabilidades)
VME = 120.S00 $
120.000 $
Alta (0,16)
VME = 120.000 $
VME = 124,600 $
70.000 $
Moderada (0,60)
Proceso A
~
Baja (0,24)
200.000 $
Baja (0,24)
SO.OOO $
Proceso B
Moderada (0,60)
Alta (0,16)
VME = 124.600 $
*Proceso C
Baja (0,24)
Moderada (0,60)
Alta (0,16)
120.000 $
lS0.000 $
100.000 $
125.000 $
160.000 $
(b) "regulares"
Acciones
Estados
de la naturaleza
Rendimientos
(probabilidades)
VME = 13S.000 $
70.000 $
Moderada (2/3)
*Proceso A
~
Baja (1/15)
120.000 $
Alta (4/15)
200.000 $
VME = 138,000 $
VME = 133.333 $
Baja (1/15)
SO.OOO $
Proceso B
Moderada (2/3)
120.000 $
Alta (4/15)
180.000 $
VME = 132.667 $
Proceso C
Baja (1/15)
Moderada (2/3)
Alta (4/15)
100.000 $
125.000 $
160.000 $
886
Estadfstica para administraci6n y economfa
(c) '"buenas'"
Estados
de la naturaleza
(probabilidades)
Acciones
VME
= 167.556 $
Baja (2/45)
~
120.000 $
Alta (28/45)
=167.556 $
VME
= 155.556 $
Baja (2/45)
Proceso B
Moderada (1/3)
Alta (28/45)
VME
= 145.667 $
Baja (2/45)
Proceso C
Moderada (1/3)
Alta (28/45)
Figura 21.6.
Decision del
fabricante de
telefonos moviles
de comprar los
servicios de la
empresa de
estudios de
mercado (* accion
con el maximo
VME) .
70.000 $
Moderada (1/3)
* Proceso A
VME
Rendimientos
Acciones
200.000 $
80.000 $
120.000 $
180.000 $
100.000 $
125.000 $
160.000 $
Estados
de la naturaleza
(probabilidades)
VME = 124.600 $
Figura 21.5(a)
VME - Coste de la muestra (750 $)
= 147.200 $
UME
=
138.000 $
Figura 21.5(b)
VME
Figura 21.5(c)
=147.200 $
VME
= 147.000 $
Figura 21.1
Capitulo 21.
887
Teoria estadistica de la decision
Sin embargo, es necesario restar de esta cantidad el coste de 750 $ de la informaci6n
muestral, por 10 que quedan 147.200 $. Dado que esta cantidad es superior al rendimiento
esperado cuando no se obtiene informaci6n muestral, la mejor estrategia, segun el criterio
del valor monetario esperado, es comprar los servicios de la empresa de estudios de mercado. La decisi6n 6ptima tiene, como se indica a la izquierda de la Figura 21.6, un valor monetario esperado de 147.200 $.
EJERCICIOS
Ejercicios aplicados
21.25. Un fabricante debe deciclir si lanza, con un coste cle 100.000 $, una campana publicitaria cle un
producto cuyas ventas han side bastante bajas.
Se estima que una campana que tuviera mucho
exito aumentarfa los beneficios en 400.000 $
(de los que habrfa que restar el coste de la campana) y una campana que tuviera un exito moderado los aumentarfa en 100.000 $, pero una
campana que no tuviera exito no los aumentarfa
nada. Hist6ricamente, el 40 por ciento de todas
las campanas parecidas ha tenido mucho exito,
el 30 pOI ciento ha tenido un exito moderado y
el resto no ha tenido exito. Este fabricante consulta a un experto en meclios de comunicaci6n y
Ie pide que valore la eficacia que puede tener la
campana. El historial de este experto muestra
que ha valorado favorablemente el 80 por ciento de las campanas que han tenido mucho exito,
el 40 pOI ciento de las que han tenido un exito
moderado y el 10 pOI ciento de las que no han
tenido exito.
a) Halle las probabilidades a priori de los tres
estados de la naturaleza.
b) En ausencia de un informe del experto en
medios de comunicaci6n, l.debe lanzarse esta campana publicitaria, segun el criterio del
VME?
c) Halle las probabilidades a posteriori de los
tres estados de la naturaleza, suponienclo
que el experto valora favorablemente la
campana.
d) Dado un informe favorable del experto, l.debe lanzarse la campana publicitaria, segun el
criterio clel VME?
e) Halle las probabilidades a posteriori de los
tres estados de la naturaleza, suponiendo que
el experto no valora favorablemente la campana.
f) Si el informe del experto no es favorable,
l.debe lanzarse la campana publicitaria segun el critelio del VME?
21.26. Vuelva al ejercicio 21.2. EI fabric ante de desodorantes tiene cuatro procesos de producci6n
posibles entre los que elegir, dependiendo de la
opini6n sobre el futuro nivel de demanda. Basanclose en la experiencia anterior, las probabilidades a priori son de 0,3 en el caso de la
demand a alta, de 0,4 en el de la demand a moderada y de 0,3 en el de la demanda baja. La
tabla adjunta muestra las proporciones de valoraciones segun las cuales las perspectivas son
«malas», «regulares» y «buenas»; estas valoraciones han sido realizadas por una empresa de
mercado sobre productos similares que han 10grado estos niveles de demanda.
Acci6n
Valoraci6n
Malas
Regulares
Buenas
Estado de la naturaleza
Demanda
baja
Demanda
moderada
Demanda
alta
0,5
0,3
0,2
0,3
0,4
0,3
0,1
0,2
0,7
a) Si no se consulta a la empresa de estudios de
mercado, l.que acci6n debe elegirse, segun el
criterio del VME?
b) Halle las probabilidades a posteriori cle los
tres niveles de demanda, suponiendo que la
empresa de estudios de mercado dice que las
perspectivas son «malas».
c) l.Que acci6n debe elegirse, segun el criterio
del VME, si la empresa de estudios de mercado dice que las perspectivas son «malas»?
d) Halle las probabilidades a posteriori de los
Ires niveles de demand a, suponiendo que la
empresa de estudios de mercado dice que las
perspectivas son «regulares».
e) l.Que acci6n debe elegirse, segun el criterio
del VME, si la empresa de estudios de merC<l clo dice que las perspectivas son «regulares»?
f) Halle las probabilidades a posteriori de los
tres niveles de demanda, suponiendo que la
empresa de estuclios de mercado dice que las
perspecti vas son «buenas».
888
Estadfstica para administraci6n y economfa
g) i,Que accion debe elegirse, segun el criterio
del VME, si la empresa de estudios de mercado dice que las perspectivas son «buenas»?
21.27. EI empresario del ejercicio 21.9 tiene dos cursos de accion posibles. Su decisi6n se basa en
su opini6n sobre el exito probable del nuevo
centro comercial. Historicamente, el 40 por
ciento de los centros de este tipo ha tenido mucho exito, el 40 por ciento ha tenido un exito
moderado y el 20 por ciento no ha tenido exito.
Una empresa de consultorfa hace valoraciones
de las perspectivas de este tipo de centro comercial. La tabla adjunta muestra la proporcion
de valoraciones segun las cuales las perspectivas son «buenas» , «regula res» y «malas», dado
el resultado obtenido real mente.
Accion
Valoracion
Buenas
Razonables
Malas
Estado de la naturaleza
(nivel de ex ito)
Mucho
exito
Exito
moderado
Ninglin
exito
0,6
0,3
0,1
0,3
0,4
0,3
0,2
0,3
0,5
a) i,Cmiles son las probabilidades a priori de
los tres estados de la naturaleza?
b) Si el empresario no busca asesoramiento de
la empresa de consultorfa, i,que accion debe
elegir, segun el criterio del VME?
c) i,Cuales son las probabilidades a posteriori
de los tres estados de la naturaleza, suponiendo que la empresa de consultorfa dice
que las perspecti vas son «buenas»?
d) Segun el criterio del VME, suponiendo que
la empresa de consultorfa dice que las perspectivas son «buenas», i,que curso de accion
debe adoptar?
e) i,Cuales son las probabilidades a posteriori
de los tres estados de la naturaleza, suponiendo que la empresa de consultorfa dice
que las perspectivas son «regulares»?
t) Segtin el criterio del VME, suponiendo que
la empresa de consultorfa dice que las perspectivas son «regu lares», i,que curso de accion debe adoptar?
g) i,Cuiiles son las probabilidades a posteriori
de los tres estados de la naturaleza, suponiendo que la empresa de consultorfa dice
que las perspectivas son «malas» ?
h) Si se sigue el criterio del VME, i,que accion
debe elegirse, suponiendo que la empresa de
consultorfa dice que las perspectivas son
«malas» ?
21.28. Considere el fabricante de medicamentos del
ejemplo 21.5 , que tiene que decidir si vende la
patente de un medicamento que reduce el colesterol antes de probarlo. En el ejemplo hemos
visto que, cualquiera que sea el resultado de
una prueba preliminar de la eficacia del meclicamento, la decision optima era conservar la
patente. Despues, este fabricante clesanollaba
una prueba preliminar superior, que podia realizarse cle nuevo con un coste mocleraclo. En el
caso cle los medicamentos que despues resultaban eficaces, esta nueva prueba daba un resultaclo positivo el 80 por ciento de las veces,
rnientras que obtenfa un resultaclo positivo solamente un 10 por ciento cle los medicamentos
que resultaban ineficaces.
a) Halle las probabilidades a posteriori de los
dos estaclos de la natw'aleza, dado un resultado positivo cle esta nueva prueba preliminar.
b) Segun el criterio clel VME, i,debe venderse
la patente si el resultaclo cle la nueva prueba
es positivo?
c) Halle las probabiliclacles a posteriori de los
clos estados cle la naturaleza, clado un resultado negativo cle esta nueva prueba preliminar.
d) Segun el criterio del VME, i,debe venclerse
la patente si el resultado de la nueva prueba
es negativo?
21.29. En el ejercicio 21.20, un proveeclor de piezas
para la industria automovilfstica tenia que cleciclir si comprobaba el proceso cle produccion en
busca de un fallo antes de empezar una serie cle
procluccion. Los dos estados de la naturaleza
eran
s 1: 1a reparacion no es necesaria (el 10 por
ciento de toclas las piezas proclucidas no
cumple las especificaciones)
S2: la reparacion es necesaria (el 30 por ciento
de todas las piezas producidas no cumple
las especificaciones)
Las probabilidades a priori, basadas en los datos historicos de este proceso de produccion,
son
El fabricante, antes de iniciar una nueva serie
de producci6n, puede producir una pieza y ver
si cumple las especificaciones, basando la decision de comprobar 0 no el proceso de produccion en la informacion muestral resultante.
a) Si la pieza comprobada cumple las especificaciones, i,cuiiles son las probabilidades {/
posteriori de los estados de la naturaleza?
Capftulo 21 .
b) Si la pieza comprobada cumple las especificac iones, i,debe comprobarse el proceso de
produccion segun el criterio del VME?
c) Si la pieza comprobada no cumple las especificaciones, i,cuales son las probabilidades
a posteriori de los estados de la naturaleza?
d) Si la pieza comprobada no cumple las especificaciones, l,debe comprobarse el proceso
de produccion seglm el criterio del VME?
21.30. Continuando con el ejercicio 21.29, suponga
ahora que antes de tomar la decision de comprobar 0 no el proceso de produccion, se fabrican dos piezas y se examinan.
a) Si no es necesaria real mente una reparacion,
i,cuales son las probabilidades de que ambas
piezas, una de ellas 0 ninguna no cumpla las
especificaciones?
b) Calcule las mismas probabilidades que en el
apartado (a), suponiendo que es necesario
real mente reparar el proceso de produccion.
c) Calcule las probabilidades a posteriori de
los estados de la naturaleza y averigue la accion optima segun el criterio del valor monetario esperado, dada cada una de las siguientes circunstancias:
i. Ninguna de las dos piezas cumple las
especificaciones.
ii. Solo una incumple las especificaciones.
iii. Ninguna de las piezas incumple las especificaciones.
21.31. Una fabr ica de bombillas envla grandes pedidos
de bombillas a gran des usuarios industriales.
Cuando el proceso de produccion funciona correctamente (10 cual ocurre el 90 por ciento del
tiempo), el 10 por ciento de todas las bombillas
producidas tiene un defecto. Sin embargo, el
proceso puede tener de vez en cuando algun fa110 y, en ese caso, la tasa de bombillas defectuosas es del 20 por ciento. La fabrica considera
que el coste, en fondo de comercio, de un envio
con una tasa mas alta de bombillas defectuosas
a un usuario industrial es de 5.000 $. Si se sospecha que un envio contiene esta proporcion
mas alta de bombillas defectuosas, puede venderlo a una cadena de tiendas de descuento,
aunque eso supone una reduccion de los beneficios de 600 $, independientemente de quc cl cnVIO contenga 0 no una elevada proporcion de
bombillas defectuosas. Las decisiones de esta
empresa se tom an siguiendo el criterio del VME.
a) Se prepara un envlo. En ausencia de mas informacion, i,debe enviarse a un usuario 1l1dustrial 0 a una cadena de descuento?
Teorfa estadfstica de la decisi6n
889
b) Suponga que se comprueba una bombilla del
envlo. Averigiie adonde debe enviarse en cada una de las circunstancias siguientes:
i. Esta bombilla tiene defectos.
ii. Esta bombilla no tiene defectos.
c) Suponga que se comprueban dos bombillas
del envlo. A verigue ad6nde debe enviarse en
cada una de las circunstancias siguientes:
i. Ambas bombillas tienen defectos.
ii. Solo una bombilla tiene defectos.
iii. Ninguna de las dos bombillas tiene defectos.
d) Indique sin hacer los calculos como puede
abordarse este problema de decision si se
comprueban 100 bombillas antes de enviarlas.
21.32. Vuelva al problema del inversor del ejercicio
21.1.
a) Explique que se entiende por «informacion
perfecta» en el contexto del problema de este inversor.
b) Las probabilidades a priori de que la bolsa
de valores este fuerte son de 0,2, las de que
este moderada son de 0,5 y las de que este
debil son de 0,3. i,Cual es el valor esperado
de la informacion perfecta para este inversor?
21.33. En el caso del fabricante de desodorantes del
ejercicio 21.2, las probabilidades a priori de
que la demanda sea alta son de 0,3, las de que
sea moderada son de 0,4 y las de que sea baja
son de 0,3. Halle el YElP de este fabricante.
21.34. En el caso del empresario del ejercicio 21.9, las
probabilidades a priori de que el nuevo centro
comercial tenga mucho exito son de 0,4, las de
que tenga un exito moderado son de 0,4 y las
de que no tenga exito son de 0,2. l,Cual es el
valor esperado de la informacion perfecta para
el empresario?
21.35. EI fabricante de piezas de automovil del ejercicio 21.20 debe decidir si comprueba el proceso
de produccion antes de comenzar una nueva serie de produccion. Dado que el proceso de produccion funciona correctamente el 80 por ciento
del tiempo, i,cual es el valor de la informaci6n
perfecta para este fabricante?
21.36. Antes de demostrar como se balla el valor esperado de la informacion muestral, hemos analizado por separado la determinacion del valor esperado de la informacion perfecta. En realidad,
no era necesario, ya que la informacion perfecta
no es mas que un tipo especial de informacion
muestral. Dado el metodo general para ballar el
890
Estadfstica para administraci6n yeconomfa
valor esperado de la informaci6n muestral,
muestre c6mo especializarlo al caso de la informaci6n perfecta.
21.37. Vuelva al ejercicio 21.25. EI fabric ante esta
considerando la posibilidad de hacer una campana publicitaria y busca primero el asesoramiento
de un experto en medios de comunicaci6n.
a) i, Que valor esperado tiene para el fabricante
el asesoramiento del experto en medios de
comunicaci6n?
b) El experto cobra 5.000 $. i,Cual es el valor
esperado neto del asesoramiento del expelto?
c) Este fabricante se enfrenta a un problema de
decisi6n en dos etapas. Primero, debe decidir si compra asesoramiento al experto. A
continuaci6n, debe decidir si lanza la campana publicitaria. Construya el arbol de
decisi6n completo e indique que debe hacer
el fabricante.
21.38. Vuelva al ejercicio 21.26. Halle los mayores
honorarios que debe pagar el fabricante de desodorantes a la empresa de estudios de mercado,
segun el criterio del valor monetario esperado.
21.39. Vuelva al ejercicio 21.27. Halle el valor esperado que tiene para el empresario una valoraci6n
de las perspectivas del centro comercial realizada por la empresa de consultoria.
21.40. Vuelva al ejercicio 21.28. Antes de decidir si
vende la patente de la nueva f6rmula para reducir el colesterol, el fabricante de medicamentos
realiza una nueva prueba preliminar. Halle el
valor esperado que tiene para el fabricante el
resultado de la prueba.
21.41. Vuelva al ejercicio 21.29. EI proveedor de piezas de autom6vil puede producir y examinar
una pieza antes de decidir si comprueba el proceso de producci6n. i,Cual es el VEIM?
21.42. Considere la fabrica de bombillas del ejercicio
21.31. La empresa puede comprobar una bombilla 0 mas antes de decidir si envfa un pedido a
un usuario industrial 0 a una cadena de descuento.
a) i,Que valor esperado tiene para la empresa la
comprobaci6n de una bombilla?
b) i,Que valor esperado tiene para la empresa la
comprobaci6n de dos bombillas?
c) i,Cual es la diferencia entre los valores esperados de comprobar dos bombillas y una
bombilla?
d) Si la primera bombilla comprobada es defectuosa, i,cual es el valor esperado de comprobar la segunda?
e) Si la primera bombilla comprobada no es
defectuosa, i,cuat es el valor esperado de
comprobar la segunda?
21.5. Introducci6n del riesgo: analisis de la utilidad
El criterio del valor monetario esperado para tomar decisiones tiene much as aplicaciones
pnicticas. Es decir, en muchos casos, una persona 0 una empresa creen que la acci6n que
ofrece el mayor valor monetario esperado es el curso de acci6n preferido. Sin embargo, no
siempre es asf, como 10 demuestran los ejemplos siguientes.
1.
Muchas personas compran un seguro de vida a plazo con el que, con un gasto relativamente pequeno, los beneficiarios de la persona asegurada son indemnizados generosamente en caso de muerte durante la vigencia de la p6liza. Actualmente, las
companfas de seguros pueden calcular la probabilidad que tiene una persona de
cualquier edad de morir durante un periodo de tiempo especffico. Por 10 tanto, fijan sus tarifas de manera que el precio de la p61iza sea mayor que la cantidad de
dinero que esperan pagar en caso de fallecimiento. La diferencia cubre los costes
de la compania de seguros y genera, en promedio, un margen de beneficio. Se deduce, pues, que para la persona asegurada el rendimiento esperado de la p6liza del
seguro de vida es men or que su coste. Por 10 tanto, si todo el mundo tomara decisiones siguiendo el criterio del valor monetario esperado, el segura de vida a plazo
no se compraria. No obstante, much as personas 10 compran, 10 que demuestra que
estan dispuestas a sacrificar algunos rendimientos esperados a cambio de tener la
seguridad de que sus herederos tendran un colch6n financiero en caso de fallecimiento.
Capitulo 21.
2.
Teoria estadistica de la decision
891
Supongamos que un inversor esta considerando la posibilidad de comprar acciones
de un grupo 0 mas de empresas cuyas perspectivas considera brillantes. En principio, es posible postular los distintos estados de la naturaleza que influiran en los
rendinuentos de la inversion en cada una de estas empresas. De esta forma, podrfa
averiguarse cual es el valor monetario esperado de una inversion de una cantidad
fija en cada empresa. Segun el criterio del valor monetario esperado, el inversor
deberfa invertir todo el capital de que dispone en la empresa cuyo valor monetario
esperado es mayor. En realidad, muchos inversores en la bolsa de valores no siguen esa estrategia sino que reparten su dinero en efectivo en una cartera de acciones. El abandono de la opcion de «poner todos los huevos en la misma cesta»,
aunque genera un rendimiento esperado menor, protege de la posibilidad de perder mucho dinero si resulta que las acciones de la empresa que tiene el mayor
rendimiento esperado marchan mal. Al optar por una cartera de acciones, el inversor muestra su disposicion a sacrificar algun valor monetario esperado a cambio de que las probabilidades de experimentar grandes perdidas financieras sean
menores.
En cada uno de estos ejemplos, la persona que toma las decisiones ha mostrado una
preferencia por un criterio de eleccion distinto del valor monetario esperado y en cada circunstancia esta preferencia parece muy razonable. Los dos ejemplos tienen un denonUnador comun, adem as de los rendimientos esperados. En ambos casos, la persona que toma
decisiones quiere tener en cuenta el riesgo. El comprador de un segura de vida a plazo esta
dispuesto a aceptar un rendimiento esperado negativo a cambio de la posibilidad de tener
un gran rendimiento positivo en caso de fallecimiento. De esa forma, expresa una preferencia por el riesgo (naturalmente, se protege del riesgo de que su familia salga mal parada economicamente por su faliecinUento). En cambio, el inversor que, al repartir su inversion en una cartera de acciones, acepta un rendinUento esperado menor para reducir las
posibilidades de experimentar una gran perdida muestra aversion al riesgo.
El criterio del valor monetario esperado no es adecuado ni para las personas que prefieren el riesgo ni para las que son reacias a el. Afortunadamente, no es demasiado diffcil
modificarlo para abordar las situaciones en las que el riesgo es un factor relevante. La idea
es esencialmente sustituir los rendimientos monetarios por cantidades que reflejen no solo
las cantidades monetarias que van a recibirse sino tambien la actitud de la persona hacia el
riesgo.
EI concepto de utili dad
En el ejemplo 21.3 hemos analizado el problema de un inversor que elige entre una inversion a un tipo de interes garantizado y una cartera de acciones. La primera generarfa un
rendimiento de 1.200 $, mientras que la segunda generarfa un rendimiento de 2.500 $ Y
500 $ si la bolsa de valores estuviera boyante 0 se mantuviera estable, pero una perdida de
1.000 $ si estuviera deprimida. Este inversor erda que las probabilidades respectivas de
estos tres estados de la naturaleza eran 0,6, 0,2 Y 0,2. En ese caso, el valor monetario esperado de elegir la cartera de acciones era 1.400 $, que era 200 $ mayor que el de la inversion a un tipo de interes fijo. En esta coyuntura, necesitamos averiguar si este rendimiento
esperado mayor compensa el riesgo de perder ,1.000 $, como ocurrirfa si el mere ado estuviera deprimido. Un inversor muy rico, que pudiera sufrir con comodidad esa perdida,
decidirfa casi con toda seguridad que compensa el riesgo. Sin embargo, la postura de una
persona relativamente pobre, para la cual una perdida de 1.000 $ serfa desastrosa, puede
ser muy distinta. En el caso de ese inversor, los rendimientos deben ser sustituidos por
892
Estadfstica para administracion y economfa
algunas otras cantidades que reflejen mejor la catistrofe que supondrfa una perdida de
1.000 $. Estas cantidades deben medir el valor 0 utilidad que tiene para el inversor una
perdida de 1.000 $ en comparaci6n, por ejemplo, con una ganancia de 500 $ 0 de 2.500 $.
Los estudios pioneros de investigadores como Von Neumann y Morgenstern (vease la
referencia bibliografica 6) mejoraron el concepto de utilidad, que aun hoy desempena un
papel fundamental en economfa. El analisis de la utilidad constituye la base para sol uci onar problemas de decisi6n en presencia de preferencia 0 de aversi6n al riesgo. Para empleario, s610 se necesitan unos supuestos bastante suaves y normalmente bastante razonubles. Supongamos que una persona se enfrenta a varios rendimientos posibles, que pueden
ser 0 no monetarios. Se supone que puede ordenar (posiblemente con empates) la utilidad
o satisfacci6n que Ie reportarfa cada uno. Asf, si prefiere el rendimiento A al B y el B ul C,
debe preferir el A al C.
Tambien se supone que si prefiere el rendimiento A al B y el B al C, existe un juego
de azar que ofrece A con una probabilidad P y C con una probabilidad (l - P), tal que al
individuo Ie dara igual aceptar el juego que recibir B con seguridad. Dados estos y otros
supuestos generalmente inocuos en cuyos detalles no es necesario que nos detengamos, es
posible mostrar que la persona racional elige la acci6n cuya utilidad esperada es mayor.
Por consiguiente, el problema de decisi6n se analiza exactamente igual que en los apartudos anteriores, pero con utilidades en lugar de rendimientos. Es decir, se construye una
tabla de utilidad en lugar de una tabla de rendimientos y, a continuaci6n, se emplean las
probabilidades de los estados de la naturaleza para comparar las utilidades esperadas.
Veamos ahora c6mo se averiguan las utilidades correspondientes a los distintos rendimientos. Los rendimientos posibles en orden ascendente en el caso de nuestro inversor son
- 1.000 $, 500 $, 1.200 $ y 2.500 $. El primer paso es obtener una funci6n de utilidad.
Como se obtiene una funcion de utili dad
Supongamos que una persona puede recibir varios rendimientos alternativos. La transformacion de los rendimientos en utilidades se realiza de la forma siguiente:
1.
2.
Las unidades en las que se mide la utilidad son arbitrarias. Por 10 tanto, puede fijarse
una escala como convenga. Sea L el rendimiento mas bajo de todos y H el mas alto.
Asignamos la utilidad 0 al rendimiento L y la utilidad 100 al rendimiento H.
Sea I cualquier rendimiento comprendido entre L y H. Hallamos la probabilidad P tal
que la persona es indiferente entre las siguientes alternativas:
a)
b)
3.
Recibir el rendimiento I con seguridad.
Recibir el rendimiento H con la probabilidad P y el rendimiento Leon la probabilidad (1 - P).
La utilidad que tiene para el individuo el rendimiento I es, pues, 100P. La curva que relaciona la utilidad y el rendimiento se llama funcian de utilidad.
EI primer paso no tiene ningun misterio y nos permite tener una c6moda medida para
medir la utilidad. La elecci6n de los numeros 0 y 100 para representar la utilidad del menor rendimiento y la del mayor es totalmente arbitraria. Podrfa muy bien utilizarse cualquier otro par de numeros, mientras la utilidad del rendimiento mayor sea mayor que la del
menor, sin afectar al res to dei analisis.
A efectos practicos, el segundo paso es el mas diffcil, debido en parte a que presupone
que el individuo puede manipular las probabilidades de una manera coherente. En la practica, la probabilidad debe averiguarse mediante el metoda de prueba y error, haciendo preguntas como «(,preferirfa recibir I con seguridad 0 participar en un juego de azar en el que
Capftulo 21.
Teorfa estadfstica de la decision
893
podria recibir H con una probabilidad de 0,9 y L con una probabilidad de 0,1 ?». 0 quiza
«l,preferirfa recibir I con seguridad 0 participar en un juego de azar en el que podria obtener H con una probabilidad de 0,8 y L con una probabilidad de 0,2?». Este proceso continlia hasta que se alcanza el punto de indiferencia.
La logica del ultimo paso es bastante sencilla. Dado que H tiene una utilidad de 100 y
L tiene una utilidad de 0, la utilidad esperada si se obtiene H con una probabilidad de P y
L con una probabilidad de (1 ~ P) es
lOOP
+ 0(1
~
P) = lOOP
Dado que el individuo es indiferente entre este juego y recibir I con seguridad, la utilidad
del rendimiento I es lOOP.
Volvamos ahora a nuestro inversor. En primer lugar, asignamos una utilidad de 0 al
menor rendimiento, ~ l.000 $, Y una utilidad de 100 al mayor, 2.500 $.
Queda por averiguar las utilidades de los rendimientos intermedios, 500 $ y 1.200 $. Se
averiguan planteando al individuo una serie de preguntas, como «preferiria recibir 500 $
con seguridad 0 participar en un juego en el que podrfa ganar 2.500 $ con una probabilidad
P y perder 1.000 $ con una probabilidad de (1 ~ P)?». Se prueba con diferentes valores de
la probabilidad P hasta que se halla el valor con el que el individuo es indiferente entre las
dos alternativas. Este proceso se repite en el caso del rendimiento de 1.200 $.
Supongamos que el inversor es indiferente entre un rendimiento de 500 $ y el juego de
azar que tiene una P = 0,6 y entre un rendimiento de 1.200 $ y el juego que tiene una
P = 0,8. Las utilidades de los rendimientos intermedios son, pues,
Rendimiento 500 $:
Utili dad = (100)(0,6) = 60
Rendimiento 1.200 $:
Utilidad = (100)(0,8) = 80
En la Figura 21.7 representamos por medio de puntos las cuatro utilidades de este inversor en relacion con los rendimientos correspondientes.
Figura 21.7.
Funci6n de uti li dad
de un inversor.
100
-a 80
Cll
-a 60
5
500 1.200
2.500
Rend imiento
Trazamos una curva por estos puntos para indicar la forma general de la funcion de
utilidad de este inversor. La forma de esta curva es interesante, ya que caracteriza la actitud del inversor hacia el riesgo. Como no podia ser de otra forma, la utilidad aumenta a
medida que aumenta el rendimiento. Observese, sin embargo, que la tasa de aumento de la
utili dad es mayor en los rendimientos mas bajos y disminuye a medida que aumenta el
rendimiento. Eso significa un desagrado por los rendimientos mas bajos que es mas que
acorde con su cantidad monetaria, 10 que indica una aversion al riesgo. Esta aversion puede verse en la actitud del inversor hacia los juegos de azar que Ie proponen. Por ejemplo,
el inversor es indiferente entre un rendimiento segura de 500 $ y un juego en el que puede
894
Estadfstica para administraci6n y economfa
ganar 2.500 $ con una probabilidad de 0,6 y perder l.000 $ con una probabilidad de 0,4.
El valor monetario esperado de este juego es
(0,6)(2.500)
+ (0,4)( - l.000) = 1.100 $
que es considerablemente mayor que el rendimiento segura preferido de 500 $. La cuantfa
de esta diferencia es una medida del grado de aversi6n al riesgo.
La forma de la Figura 2l.7 es caracterfstica de la aversi6n al riesgo.
Segun Friedman y Savage, «una importante clase de reacciones de los individuos al
riesgo puede racionalizarse mediante una extensi6n bastante simple del amilisis ortodoxo
de la utilidad» (vease la referencia bibliogrMica 2). Desarrollaron gnificos de funciones de
utilidad similares a los tres tipos de funciones de utilidad que se muestran en la Figura 21.8.
-0
-0
-0
co
:Q
co
:Q
co
:Q
5
5
5
(a) Aversi6n al riesgo
Figura 21.8.
(b) Preferencia por el riesgo
(c) Indiferencia hacia el riesgo
Funciones de utilidad: (a) aversion al riesgo; (b) preferencia por el riesgo; (c) indiferencia hacia el riesgo.
La funci6n de la parte (a) de la figura, en la que la utilidad aumenta a una tasa decreciente a medida que aumenta el rendimiento, tiene la misma forma que la Figura 21.7, reflejando una vez mas una aversi6n al riesgo. En la parte (b) de la figura, la utilidad aumenta a una tasa creciente a medida que los rendimientos son mayores. Eso implica un gusto
por los rendimientos mas altos que es mas que acorde con las cantidades monetarias en
cuesti6n, 10 que muestra una preferencia por el riesgo. Por ultimo, la parte (c) de la Figura 21.8 muestra el caso intermedio en el que la utilidad aumenta a una tasa constante en el
caso de todos los rendimientos. En este caso, los valores monetarios de los rendimientos
constituyen una verdadera medida de su utili dad para el individuo, que demuestra asf indiferencia hacia el riesgo.
Las tres curvas de la Figura 21.8 caracterizan la aversi6n al riesgo, la preferencia por el
riesgo y la indiferencia hacia el riesgo. Sin embargo, un individuo no tiene por que mostrar
solamente una de estas actitudes ante toda la variedad de rendimientos posibles.
La Figura 21.9 ilustra una situaci6n mas compleja. En esta figura, en los rendimientos
comprendidos entre M j y M 2 , la funci6n de utilidad tiene la forma de la Figura 21.8(a), 10
que indica una aversi6n al riesgo entre estos rendimientos. Sin embargo, en el caso de los
rendimientos comprendidos entre M2 y M 3 , esta funci6n de utilidad tiene la forma de la
Figura 21.8(b). Por 10 tanto, entre estos rendimientos el individuo muestra una preferencia
por el riesgo. Por ultimo, en el caso de los rendimientos mas altos, entre M3 y M 4 , la posici6n se invierte de nuevo y el individuo es renuente al riesgo. Esa funci6n de utili dad puede surgir en los problemas practicos. Por ejemplo, un inversor puede muy bien ser reacio a
Cap itulo 21.
Teoria estadistica de la decisi6n
895
experimentar grandes perdidas y estar dispuesto al mismo tiempo a aceptar algun riesgo
para obtener un rendimiento positivo bast ante alto en lugar de un rendimiento moderado.
Sin embargo, si puede lograrse un rendimiento satisfactoriamente alto con un riesgo moderado, puede ser reacio a arriesgarse mucho mas ante la posibilidad de obtener un rendimiento aun mayor.
Figura 21.9.
Funcion de utilidad
que muestra una
ave rsion al riesgo
entre los
ren dimientos M1
y M2 , Y los
rendimientos M3
y M4 Y una
preferencia por el
riesgo entre los
rendimientos M2
y M3 ·
M2
M3
Rendimiento
Criterio de la utili dad esperada para tomar decisiones
Una vez halladas las utilidades, no queda mas que resolver el problema de decision averiguando el curso de accion que tiene la utilidad esperada mas alta. Las utilidades esperadas
se obtienen como siempre, empleando las probabilidades de los estados de la naturaleza,
como se muestra en la ecuacion 21.5.
EI criterio de la utilidad esperada
Supongamos que una persona tiene K acciones posibles, 8 1 , 8 2 , •.. , 8K' Y se enfrenta a H estados de la naturaleza. Sea Vii la utilidad correspondiente a la i-esima acci6n y el j-esimo estado
y P la probabilidad de que ocurra el j-esimo estado de la naturaleza. En ese caso, la utilidad
esperada, VE(8) , de la acci6n 8 i es
H
UE(aJ
= PIUn + P2Ui2 + ... + PHUiH =
L
PjUij
(21.5)
j = 1
Dada una elecci6n entre acciones alternativas, el criterio de la utilidad esperada dicta la
elecci6n de la acci6n cuya utilidad esperada es mayor. Partiendo de unos supuestos generalmente razonables, puede demostrarse que una persona racional debe adoptar este criterio.
Si el individuo es indiferente al riesgo, el criterio de la utilidad esperada y el criterio del valor
monetario esperado son equivalentes.
La Tabla 21.11 muestra las utilidades y las probabilidades de los estados de la naturaleza de nuestro inversor.
Si se elige la inversion a un tipo de interes fijo, esta garantizada una utilidad de 80,
cualquiera que sea el estado de la naturaleza. En el caso de la cartera de acciones, la utilidad esperada es
(0,6)(100)
+ (0,2)(60) + (0,2)(0) =
0,72
Dado que esta cantidad es men or que 80, este inversor debe invertir a un tipo de interes
fijo, segun el criterio de la utilidad esperada.
896
Estadfstica para administraci6n y econom fa
Tabla 21.11.
Utilidades y probabilidades de los estados de la naturaleza de un inversor.
Accion
Estado del mercado
Inversion
Tipo de interes fijo
Cartera de acciones
Estado boyante
(P = 0,60)
Estado estable
(P = 0,20)
Estado deprimido
(P = 0,20)
80
100
80
60
80
0
En el ejemplo 21.3 se selecciono la inversion en la cartera de acciones segun el criterio del valor monetario esperado. Sin embargo, la introduccion en el analisis de otro
factor -eJ grado de aversion de este inversor al riesgo- !leva a la conclusion de que la
opcion del tipo de interes fijo es la mejor. Este ejemplo sirve para ilustrar que a veces,
cuando el riesgo es un factor importante, el criterio del valor monetario esperado no es
adecuado para resolver problemas de decision.
EI criterio de la utilidad esperada es el mas aplicable e intelectualmente defendible
de todos los introducidos para abordar problemas de decision.
Su principal inconveniente radica en la dificultad para extraer informacion sobre que
juegos de azar se consideran igual de atractivos que los diferentes rendimientos asegurados. Este tipo de informacion es esencial para averiguar las utilidades. En una amplia
variedad de problemas en los que puede suponerse con seguridad que el individuo es
indiferente al riesgo, eJ criterio del valor monetario esperado sigue siendo aplicable. Ese
serfa normal mente el caso, por ejemplo, de una pequena proporcion del ingreso total de
la empresa. Sin embargo, si (como puede ocurrir en el desarrollo de una nueva compaiifa aerea, por ejemplo) las posibles perdidas de un proyecto pueden poner en peligro
una empresa, las utilidades deben reflejar correctamente la aversion al riesgo. Una empresa puede intentar repartir este riesgo creando proyectos de colaboracion con otras
empresas del sector 0 con posibles clientes.
EJERCICIOS
Ejercicios aplicados
21.43. Una persona se enfrenta a un problema en el
que los rendimientos posibles (en d61ares) son
1.000
3.000
6.000
9.000
10.000
21.44. El empresario del ejercicio 21.9 tiene seis rendimientos posibles (en d6Iares):
- 10.000
30.000
60.000
70.000
90.000
130.000
12.000
Se asigna la utilidad 0 al rendirniento de 1.000 $
Y la utilidad 100 al rendirniento de 12.000 $. Esta persona es indiferente al liesgo en el caso de
los rendimientos comprendidos en ese intervalo.
a) Halle las utilidades de los cuatro rendimientos intermedios.
b) Halle en el caso del rendimiento intermedio
la probabilidad P de que el individuo sea indiferente entre recibir I con seguridad y una
apuesta en la que se reciben 12.000 $ con
una probabilidad P y 1.000 $ con una probabilidad (1 - P) .
Asigne una utili dad de 0 a una perdida de
10.000 $ y una utili dad de 100 a un beneficio
de 130.000 $. La tabla adjunta muestra para el
caso de cada rendimiento intermedio la probabilidad P de que el empresario sea indiferente
entre recibir I con seguridad y un juego de azar
en el que recibirfa 130.000 $ con una probabilidad P y perderfa 10.000 $ con una probabilidad
(1 - P).
Rendimiento 30.000
p
0,35
60.000
70.000
90.000
0,60
0,70
0,85
Capftulo 21.
a) (,Cuales son las utilidades de los rendimien-
tos intermedios?
b) Suponga que las probabilidades de que el
nuevo centro comercial tenga mucho exito,
tenga un exito moderado y no tenga exito
son 0,4, 0,4 y 0,2, respectivamente. (,Que
accion deberfa elegirse si se quiere maximizar la utilidad esperada?
21.45. EI empresario del ejercicio 21.44 no sabe que
valor P asignar a la indiferencia entre recibir
30.000 $ con seguridad y un juego de azar en el
Teorfa estadfstica de la decision
897
que recibirfa 130.000 $ con una probabilidael P
y perderfa 10.000 $ con una probabi lielael
(l - P). Suponiendo que el resto de las especificaciones del problema son las del ejercicio
21.44, (,en que intervalo de valores de esta probabilidad generara el criterio de la utilidad esperada la misma eleccion de la accion ?
21.46. Considere el contrati sta del ejercicio 21.21. En
realidad, este contratista es indiferente entre
presentar y no presentar una oferta. (,Que implica
eso sobre la funcion de utilidad del contratista?
RESUMEN
Este capftulo pretende ser una introduccion al analisis
de las decisiones. Todos debemos vivir y trabajar en un
entomo cuyo futuro es incierto. La toma de decisiones
de las empresas no es una excepcion. Hemos analizado
el marco de un problema de decision, hemos estudiado
varios criterios para seleccionar una accion optima, hemos analizado el valor de la informacion muestral y
hemos examinado las situaciones en las que la persona
que tiene que tomar una decision puede estar mas interesada en tener en cuenta el riesgo que en maximizar los
valores monetarios esperados. En la segunda situacion,
hemos examinado una funcion de utilidad. En este capitulo, hemos analizado cuatro criterios para to mar decisiones: maximin, perdida de oportunidades minimax, valor monetario esperado y utili dad esperada. Hemos
utilizado el TreePlan para construir arboles de decision.
TERMINOS CLAVE
accion, 856
accion admisible, 857
accion inadmisible, 857
analisis de sensi bilidad, 872
arboles de decision, 866
aversion al riesgo, 891
criterio de la perdida
de oportunidades minimax, 862
criterio de la utilidad esperada, 895
criterio del valor monetario
esperado, 865
criterio maximin, 860
estados de la naturaleza, 857
funcio n de utilidad, 892
informacion perfecta, 881
indiferencia al riesgo, 894
nodos de decision, 867
nodos de sucesos, 867
nodos terminales, 867
preferencia por el riesgo, 891
probabilidad a priori, 876
tabla de perdida
de oportunidades, 862
tabla de perdidas, 862
tabla de rendimientos, 857
teorema de Bayes, 876
TreePlan, 868
valor de la informacion muestral, 881
valor de la informacion perfecta, 881
valor esperado de la informacion
pelfecta, 882
valor esperado neto de la informacion
muestral, 883
valor monetario esperado, 865
VEIM,884
VEIP, 881
VME,865
EJERCICIOS V APLICACIONES DEL CAPiTULO
21.47. Un consultor esta considerando la posibilidad
de presentar ofertas detalladas para la adjudicacion de dos contratos. La preparacion de la
oferta para el primero cuesta 100 $, mientras
que la preparacion de la oferta para el segundo
cuesta 150 $. Si se acepta la oferta para el primer contrato y se realiza el trabajo, el beneficio
es de 800 $. Si se acepta la oferta para el se-
gundo contrato y se realiza el trabajo, el beneficio es de 1.200 $. Los costes de Ia preparacion
de la oferta deben restarse de estos beneficio~
EI consultor puede presentar, si 10 desea, ofertas para los dos contratos. Sin embargo, no tiene los recursos necesarios para realizar los dos
trabajos si multaneamente. Si presenta una oferta, esta es aceptada y el consultor no puede rea-
898
Estadistica para administraci6n y economia
lizar el trabajo, 10 contabiliza como un coste de
200 $ de perdida de fondo de comercio. En el
proceso de toma de decisiones, hay cuatro estados de la naturaleza posibles:
s I: se rechazan ambas ofertas
S2: se acepta la oferta para el primer contrato y
se rechaza la oferta para el segundo
S3: se acepta la oferta para el segundo contrato
y se rechaza la oferta para el primero
S4: se aceptan ambas ofertas
a) El consultor tiene cuatro cursos de acci6n
posibles. z,Cwlles son?
b) Elabore la tabla de rendimientos del problema de decision de este consultor.
e) z,Que acci6n se elige segun el criterio maximin?
d) z,Que acci6n se elige segun el criterio de la
perdida de oportunidades minimax?
21.48. Vuelva al ejercicio 21.47. El consultor cree que
la probabilidad de que se acepte la oferta para
el primer contrato es de 0,7 y la probabilidad de
que se acepte la oferta para el segundo es de
0,4. Tambien cree que la aceptaci6n de una oferta es independiente de la aceptaci6n de la otra.
a) z,Cuales son las probabilidades de los cuatro
estados de la naturaleza?
b) Segun el criterio del valor monetario esperado, z,que acci6n debe elegir el consultor y
cua! es el valor monetario esperado de esta
acci6n?
e) Construya el arbol de decisi6n del problema
del consultor.
d) z,Cual es el valor esperado de la informaci6n
perfecta para este consultor?
e) El consultor tiene la posibilidad de conseguir «informaci6n privilegiada» sobre las
perspectivas de la oferta para el primer contrato. Esta informaci6n es total mente fiable
en el sentido de que Ie permitirfa saber con
seguridad que oferta se aceptaria. Sin embargo, no dispone de mas informaci6n sobre
las perspectivas de la oferta para el segundo
contrato. Z, Cual es el valor esperado de esta
«informaci6n privilegiada»?
21.49. Vuelva a los ejercicios 2l.47 y 21.48. Este consultor se enfrenta a nueve rendimientos posibles
(en d6Iares):
- 250
- 150
0
550
700
750
950
l.950
Se asigna una utilidad de 0 a una perdida de
250 $ Y una utilidad de 100 a un beneficio de
1.050 $. La tabla adjunta muestra las probabilidades, P, de cada rendimiento intermedio, /, por
las que el consultor es indiferente entre un rendimiento de I con seguridad y un juego de azar
en el que ganarfa 1.050 $ con la probabilidad P
y perderfa 250 $ con la probabilidad (1 - P).
Segun el criterio de la utilidad esperada, z,que
acci6n debe elegir el consultor y cual es la utilidad esperada de esa acci6n?
Rendimiento - 150 - 100
p
0,05
0
550 700
750
950
0,10 0,20 0,65 0,70 0,75 0,85
Bibliografla
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TABLAS
Tabla 1.
DEL APENDICE
Funci6n de distribuci6n acumulada de la distribuci6n normal estandar.
o
z
Z
F(z)
Z
F(z)
Z
F(z)
Z
F(z)
Z
F(z)
Z
F(z)
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,5000
0,5040
0,5080
0,5120
0,5160
0,5 199
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,6217
0,6255
0,6293
0,6331
0,6368
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,7291
0,7324
0,7357
0,7389
0,7422
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,8186
0,8212
0,8238
0,8264
0,8289
1,21
\ ,22
1,23
1,24
1,25
0,8869
0,8888
0,8907
0,8925
0,8944
1,5 1
1,52
1,53
1,54
1,55
0,9345
0,9357
0,9370
0,9382
0,9394
0,06
0,07
0,08
0,Q9
0,10
0,5239
0,5279
0,5319
0,5359
0,5398
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,6406
0,6443
0,6480
0,6517
0,6554
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,7454
0,7486
0,7517
0,7549
0,7580
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
0,8315
0,8340
0,8365
0,8389
0,841 3
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
0,8962
0,8980
0,8997
0,9015
0,9032
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
0,9406
0,941 8
0,9429
0,9441
0,945 2
0,11
0, 12
0, 13
0,14
0,15
0,5438
0,5478
0,5517
0;5557
0,5596
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,659\
0,6628
0,6664
0,6700
0,6736
0,7 1
0,72
0,73
0,74
0,75
0,7611
0,7642
0,7673
0,7704
0,7734
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
0,8438
0,8461
0,8485
0,8508
0,8531
1,3 1
1,32
1,33
1,34
1,35
0,9049
0,9066
0,9082
0,9099
0,9115
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
0,9463
0,9474
0,9484
0,9495
0,9505
0,16
0,17
0, 18
0,19
0,20
0,5636
0,5675
0,57 14
0,5753
0,5793
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,6772
0,6803
0,6844
0,6879
0,6915
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,7764
0,7794
0,7823
0,7852
0,7881
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
0,8554
0,8577
0,8599
0,8621
0,8643
1,36
1,37
\ ,38
1,39
1,40
0,9131
0,9147
0,9162
0,9177
0,9192
1,66
1,67
1,68
\,69
1,70
0,9515
0,9525
0,95 35
0,9545
0,9554
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,5832
0,5871
0,5910
0,5948
0,5987
0,5 1
0,52
0,53
0,54
0,55
0,6950
0,6985
0,7019
0,7054
0,7088
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,7910
0,7939
0,7967
0,7995
0,8023
1,1 1
1, 12
1,13
1,14
1,1 5
0,8665
0,8686
0,8708
0,8729
0,8749
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
0,9207
0,9222
0,9236
0,9251
0,9265
1,7 1
1,72
1,73
1,74
1,75
0,9564
0,9573
0,9582
0,9591
0,9599
0,26
0,27
0,28
0.29
0,30
0,6026
0,6064
0,6 103
0,6 141
0,6179
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,7123
0,7157
0,7190
0,7224
0,7257
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,8051
0,8078
0,8106
0,8133
0,8 159
1, 16
1,17
1, 18
1, 19
\ ,20
0,8770
0,8790
0,8810
0,8830
0,8849
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
0,9279
0,9292
0,9306
0,93 19
0,9332
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
0,9608
0,9616
0,9625
0,9633
0,9641