APROXIMACIÓN A UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Autor: Mª Isabel Conde Collado
APROXIMACIÓN A UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Mediante el estudio de dos ejemplos concretos de distribuciones se intentará un
acercamiento al ajuste de distribuciones a una distribución normal.
1º- LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Intentaremos hacer una exposición sencilla sobre la distribución binomial como
distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta que describe datos discretos,
resultantes de un experimento denominado proceso de Bernoulli, en honor del matemático
suizo Jacob Bernoulli, y de la aproximación de la binomial a la distribución normal.
Podemos servirnos de los resultados de un número fijo de lanzamientos de una
moneda como ejemplo de un proceso de Bernoulli. Este proceso lo describimos así:
1.En cada lanzamiento sólo hay dos resultados posibles: cara o cruz, éxito o
fracaso. La probabilidad del resultado de cualquier lanzamiento permanece
fija con el tiempo.
2.La probabilidad de que salga cara sigue siendo de 0.5 en cada lanzamiento,
cualquiera que sea el número de veces que la moneda sea arrojada.
3.Los lanzamientos son estadísticamente independientes, es decir, el resultado de
un lanzamiento no afecta al de cualquier otro lanzamiento.
La probabilidad de un éxito la representamos con p y q=( 1- p ) representa la
probabilidad de un fracaso. Para representar cierto número de éxitos, utilizaremos el símbolo
r y para indicar el número total de lanzamientos de la moneda emplearemos n.
Introducir el nº de tiradas n =
20
Introducir probabilidad de un éxito p =
0,5
La probabilidad de r éxitos en n lanzamientos según la formula binomial es :
n! / r! (n-r)! pr qn-r
En la siguiente tabla se muestran los valores de la probabilidad de obtener 0, 1, 2...20
caras (éxitos) en el lanzamiento de la moneda 20 veces
Nº de éxitos
r
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Binomial
B(n,p)
0,0000
0,0000
0,0002
0,0011
0,0046
0,0148
0,0370
0,0739
0,1201
0,1602
0,1762
0,1602
0,1201
0,0739
0,0370
0,0148
0,0046
0,0011
0,0002
0,0000
0,0000
La representación gráfica de esta tabla de la distribución binomial:
En la gráfica se observa que el perfil del histograma se asemeja a la campana de
Gauss, es decir a una distribución normal
Aproximación de la binomial mediante la normal
Si vamos cambiando los valores de p, por ejemplo: consideramos p1=0,2, p2=0,3,
p3=0,5, p4=0,8, para el mismo valor de n se obtiene la siguiente tabla:
Nº de éxitos Binomial
r
B(n,p1)
0
0,1216
1
0,2702
2
0,2852
3
0,1901
4
0,0898
5
0,0319
6
0,0089
7
0,0020
8
0,0004
9
0,0001
10
0,0000
11
0,0000
12
0,0000
13
0,0000
14
0,0000
15
0,0000
16
0,0000
17
0,0000
18
0,0000
19
0,0000
20
0,0000
Binomial
B(n,p2)
0,0008
0,0068
0,0278
0,0716
0,1304
0,1789
0,1916
0,1643
0,1144
0,0654
0,0308
0,0120
0,0039
0,0010
0,0002
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
Binomial
B(n,p3)
0,0000
0,0000
0,0002
0,0011
0,0046
0,0148
0,0370
0,0739
0,1201
0,1602
0,1762
0,1602
0,1201
0,0739
0,0370
0,0148
0,0046
0,0011
0,0002
0,0000
0,0000
Binomial
B(n,p4)
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0005
0,0020
0,0074
0,0222
0,0545
0,1091
0,1746
0,2182
0,2054
0,1369
0,0576
0,0115
Calculamos los productos np, nq y representamos la tabla:
p1
Producto np=
Producto nq=
p2
2
18
p3
6
14
p4
10
10
16
4
Se observa que cuando los productos np y nq son ambos mayores que 5, la
aproximación de la binomial a una normal es casi perfecta como en el caso de n=20 y p3=0,5
Simulación del lanzamiento de una moneda
Podemos simular el lanzamiento de una moneda n veces y contar el número de
éxitos(caras) mediante la función aleatorio y calcular la probabilidad de éxito p como número
de caras obtenidas dividido entre número de lanzamientos.
Hallamos en una tabla las probabilidades de obtener r éxitos mediante la binomial y
la normal y representamos los datos.
Por ejemplo:
Nº de tiradas
100
Nº de exitos
94
Probabilidad de éxito
Producto np=
Producto nq=
0,94
62
38
Para ajustar a una normal, la media =np, desviación típica=√npq se obtiene:
Media
62
Desvtípica
4,85
En la siguiente gráfica aparece representada junto a la función de probabilidad de una
B(n,p) la distribución normal que tiene su misma media y su misma desviación típica.
En la práctica para calcular probabilidades de las distribuciones binomiales, cuando
los valores de n son grandes, se utiliza la normal; siendo mucho mejor esta aproximación,
para un mismo valor de p, cuando aumentamos el valor de n.
2º- UNA DISTRIBUCIÓN EMPÍRICA
Veamos ahora otro ejemplo de distribución en que es fácil apreciar que los resultados
se aproximan a una distribución normal
La tabla adjunta muestra la altura en cm de 100 estudiantes, agrupados los datos en
intervalos de clase de extremos xa, xb de amplitud 5, y en la que se han calculado las marcas
de clase xi y la media y la desviación típica de la distribución
xa
150
155
160
165
170
175
180
185
190
xb
155
160
165
170
175
180
185
190
195
xi
152,5
157,5
162,5
167,5
172,5
177,5
182,5
187,5
192,5
media x= 172,05
desviación típica s= 8,3694385
fi
1
6
14
20
24
18
10
5
2
100
xi fi
152,5
945
2275
3350
4140
3195
1825
937,5
385
17205
xi2 fi
23256,25
148837,5
369687,5
561125
714150
567112,5
333062,5
175781,25
74112,5
2967125
Representamos el histograma de la distribución de frecuencias:
Se puede observar que el perfil del histograma recuerda a la curva normal.
Teniendo en cuenta que en una distribución normal:
el 68% de los datos está en el intervalo (x-s, x+s) ( x =media, s=desviación típica)
el 95% de los datos está en el intervalo (x-2s, x+2s)
y el 99% de los datos está en el intervalo (x-3s, x+3s)
Podemos comprobar si se cumplen aproximadamente estos porcentajes y considerar
que la población de partida es normal:
(x-s, x+s)=
(x-2s, x+2s)=
x-3s, x+3s)=
(
163,68
155,31
146,94
180,42
188,79
197,16
76%
97%
100%
Esto nos indica que efectivamente se podría considerar la población como una
distribución normal
Para una mayor precisión podemos comparar la distribución empírica con la normal
N((x,s), en nuestro ejemplo con la N(172,05 ; 8,37).
Tipificamos los extremos de cada intervalo hallando:
za=( xa -x)/s,
zb=( xb -x)/s
y calculamos en cada caso P( xa<X< xb ), siendo:
P( xa<X< xb)=P( za<Z< zb )=P( Z< zb ) - P( Z< za )
xa
150
155
160
165
170
175
180
185
190
xb
fri
155
0,01
160
0,06
165
0,14
170
0,20
175
0,24
180
0,18
185
0,10
190
0,05
195
0,02
media x= 172,05
desviación típica s= 8,36943845
za
zb
-2,6345854 -2,0371737
-2,04
-1,44
-1,44
-0,84
-0,84
-0,24
-0,24
0,35
0,35
0,95
0,95
1,55
1,55
2,14
2,14
2,74
p(X<xa)
0,00421201
0,02081632
0,07496736
0,19979592
0,40325192
0,63775817
0,82891453
0,93910408
0,98401189
p(X<xb)
0,02081632
0,07496736
0,19979592
0,40325192
0,63775817
0,82891453
0,93910408
0,98401189
0,99694779
Si comparamos las probabilidades obtenidas con las frecuencias relativas,
observamos que las diferencias parecen suficientemente pequeñas como para aceptar que los
datos provienen efectivamente de una distribución normal.
Confirmamos esta apreciación representando las frecuencias y las probabilidades en
el mismo diagrama:
Se puede observar en el diagrama que sería correcto ajustar la distribución de las
estaturas a una normal.