Proceso de Wiener (Movimiento Browniano)

Proceso de Wiener (Movimiento Browniano)
Prof. Vı́quez
CA406
Universidad de Costa Rica
juanjose.viquez@ucr.ac.cr
9 de Mayo
Prof. Vı́quez (UCR)
Proceso de Wiener (Movimiento Browniano)
9 de Mayo
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Introducción
Antecedentes
Primeros Trabajos
El primero en describir el movimiento Browniano fue el romano Lucrecio
(60 a.C.) a través de un poema tı́tulado “Sobre la Naturaleza de las
Cosas”, en donde expresaba:
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Introducción
Antecedentes
Primeros Trabajos
El primero en describir el movimiento Browniano fue el romano Lucrecio
(60 a.C.) a través de un poema tı́tulado “Sobre la Naturaleza de las
Cosas”, en donde expresaba:
“Observa lo que acontece cuando rayos de sol son admitidos dentro de un
edificio y cómo arroja la luz sobre los lugares oscuros. Puedes ver la
multitud de pequeñas partı́culas moviéndose en un sinnúmero de
caminos... su baile es un indicio de movimientos subyacentes de materia
escondidos de nuestra vista... eso origina el movimiento de los átomos en
sı́ mismos (p.e., espontáneamente). Entonces los pequeños organismos que
son eliminados del impulso de los átomos son puestos en marcha por
golpes invisibles y a su vez en contra de unos diminutos cañones. Ası́, el
movimiento de los átomos emerge gradualmente de un nivel del sentido,
que estos cuerpos están en movimiento como vemos en el rayo de sol,
movidos por soplos que parecen invisibles.”
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Introducción
Antecedentes
Primeros Trabajos
El primero en describir el movimiento Browniano fue el romano Lucrecio
(60 a.C.) a través de un poema tı́tulado “Sobre la Naturaleza de las
Cosas”, en donde expresaba:
“Observa lo que acontece cuando rayos de sol son admitidos dentro de un
edificio y cómo arroja la luz sobre los lugares oscuros. Puedes ver la
multitud de pequeñas partı́culas moviéndose en un sinnúmero de
caminos... su baile es un indicio de movimientos subyacentes de materia
escondidos de nuestra vista... eso origina el movimiento de los átomos en
sı́ mismos (p.e., espontáneamente). Entonces los pequeños organismos que
son eliminados del impulso de los átomos son puestos en marcha por
golpes invisibles y a su vez en contra de unos diminutos cañones. Ası́, el
movimiento de los átomos emerge gradualmente de un nivel del sentido,
que estos cuerpos están en movimiento como vemos en el rayo de sol,
movidos por soplos que parecen invisibles.”
El autor presentó este hecho como prueba de la existencia de los átomos!
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Antecedentes
Primeros Trabajos
1785: Jan Ingenhousz describió el movimiento irregular de partćulas
de carbón pulverizadas en la superficie del alcohol.
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Antecedentes
Primeros Trabajos
1785: Jan Ingenhousz describió el movimiento irregular de partćulas
de carbón pulverizadas en la superficie del alcohol.
1827: El descubrimiento del movimiento Browniano se le atribuye
tradicionalmente al botánico Robert Brown. Según se dice, Brown
estdió partı́culas de polen flotando en el agua con un microscopio.
Dentro de las vacuolas de los granos de polen observó el
comportamiento errático y aleatorio de partı́culas diminutas. Al
repetir el experimento con partı́culas de polvo, concluyó que el
movimiento no se debı́a a que las partı́culas de polen estaban “vivas”,
aunque no explicó el origen del movimiento.
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Antecedentes
Primeros Trabajos
1785: Jan Ingenhousz describió el movimiento irregular de partćulas
de carbón pulverizadas en la superficie del alcohol.
1827: El descubrimiento del movimiento Browniano se le atribuye
tradicionalmente al botánico Robert Brown. Según se dice, Brown
estdió partı́culas de polen flotando en el agua con un microscopio.
Dentro de las vacuolas de los granos de polen observó el
comportamiento errático y aleatorio de partı́culas diminutas. Al
repetir el experimento con partı́culas de polvo, concluyó que el
movimiento no se debı́a a que las partı́culas de polen estaban “vivas”,
aunque no explicó el origen del movimiento.
1880: Thorvald N. Thiele describe por primera vez el movimiento
Browniano de una manera matemática, en un documento sobre el
método de los mı́nimos cuadrados.
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Antecedentes
Primeros Trabajos
1900: Louis Bachelier, en su tesis doctoral “La Teorı́a de la
Especulación”, estudió las propiedades del movimiento Browniano y
derivó una formula de valoración de opciones.
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Introducción
Antecedentes
Primeros Trabajos
1900: Louis Bachelier, en su tesis doctoral “La Teorı́a de la
Especulación”, estudió las propiedades del movimiento Browniano y
derivó una formula de valoración de opciones.
1905: El modelo lo inició Einstein en su artı́culo “Sobre el movimiento
postulado por la teorı́a cinética molecular del calor de pequeñas
partı́culas suspendidas en un lı́quido estacionario”. Este trabajo, y su
posterior confirmación experimental, fueron los que brindaron la
evidencia de la base atómica de la materia, la cual aún estaba en
duda al inicio del siglo pasado.
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Antecedentes
Primeros Trabajos
1900: Louis Bachelier, en su tesis doctoral “La Teorı́a de la
Especulación”, estudió las propiedades del movimiento Browniano y
derivó una formula de valoración de opciones.
1905: El modelo lo inició Einstein en su artı́culo “Sobre el movimiento
postulado por la teorı́a cinética molecular del calor de pequeñas
partı́culas suspendidas en un lı́quido estacionario”. Este trabajo, y su
posterior confirmación experimental, fueron los que brindaron la
evidencia de la base atómica de la materia, la cual aún estaba en
duda al inicio del siglo pasado.
1923: Fue Norbert Wiener quien definió el movimiento Browniano
matemáticamente como un proceso estocástico y demostró su
existencia. Es por esta razón que a este proceso también se le llama
proceso de Wiener.
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Antecedentes
Primeros Trabajos
Figura: Norbert Wiener (Estados Unidos, 1894-1964).
En sentido estricto, el movimiento Browniano es el fenómeno fı́sico
mientras que su modelo matemático es el proceso de Wiener, aunque es
común llamar a ambas cosas por el mismo nombre.
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Antecedentes
Movimiento de una Partı́cula de Polvo
Figura: Simulación del movimiento Browniano para una gran partı́cula (partı́cula
de polvo) que colisiona con una gran cantidad de partı́culas pequeñas (moléculas
de gas) que se mueven a distintas velocidades y en diferentes direcciones
aleatorias.
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Antecedentes
Movimiento de 5 Partı́culas
Figura: Simulación del movimiento Browniano de 5 partı́culas (en amarillo) que
colisionan con un conjunto grande de 800 partı́culas. Las partı́culas amarillas
dejan 5 caminos de movimiento leatorio.
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Definiciones y Preliminares
Sigma Algebras
σ-Algebra
Un conjunto A se dice σ-algebra de un conjunto X si satisface las
siguientes propiedades:
A es no-vacı́o: Existe al menos un A ⊂ X tal que A ∈ A.
A es cerrado bajo complemento: Si A ∈ A, entonces su
complemento Ac ∈ A, donde Ac := X − A := {x ∈ X / x ∈
/ A}.
A es cerrado sobre uniones: Si A1 , A2 , . . . ∈ A, entonces
∪i Ai ∈ A.
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Definiciones y Preliminares
Sigma Algebras
σ-Algebra
Un conjunto A se dice σ-algebra de un conjunto X si satisface las
siguientes propiedades:
A es no-vacı́o: Existe al menos un A ⊂ X tal que A ∈ A.
A es cerrado bajo complemento: Si A ∈ A, entonces su
complemento Ac ∈ A, donde Ac := X − A := {x ∈ X / x ∈
/ A}.
A es cerrado sobre uniones: Si A1 , A2 , . . . ∈ A, entonces
∪i Ai ∈ A.
La forma de entender la utilidad de trabajar con σ-algebras consiste en
verlas como la colección de conjuntos que son “medibles”, es decir,
aquellos conjuntos a los que les podemos asignar una medida. En
probabilidad se entenderı́a como la colección de eventos a los cuales se les
puede asignar probabilidades de ocurrencia.
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Definiciones y Preliminares
Espacio de Probabilidad
Espacio de Probabilidad
Un espacio de probabilidad es una tripleta (Ω, A, P) que modela un
experimento o proceso del mundo real que consiste de estados aleatorios.
El Espacio Muestral Ω: Es el conjunto de “resultados”, y cada
ejecución del experimento puede tener solamente un resultado ω.
La σ-Algebra A: Es la colección de “eventos”, donde cada evento A
se compone de cero o más resultados. Los eventos son aquellas
situaciones del experimento que podemos saber que “pasaron”.
Medida de Probabilidad P: Es la medida que nos dice la
probabilidad de que suceda un evento A.
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Definiciones y Preliminares
Espacio de Probabilidad
Espacio de Probabilidad
Un espacio de probabilidad es una tripleta (Ω, A, P) que modela un
experimento o proceso del mundo real que consiste de estados aleatorios.
El Espacio Muestral Ω: Es el conjunto de “resultados”, y cada
ejecución del experimento puede tener solamente un resultado ω.
La σ-Algebra A: Es la colección de “eventos”, donde cada evento A
se compone de cero o más resultados. Los eventos son aquellas
situaciones del experimento que podemos saber que “pasaron”.
Medida de Probabilidad P: Es la medida que nos dice la
probabilidad de que suceda un evento A.
Por ejemplo, si tiramos un dado, los resultados serı́an 1, 2, 3, 4, 5, 6;
mientras que los eventos serı́an conjuntos de resultados, como
{obtener números pares} = {2, 4, 6}, y P[{2, 4, 6}] = 21
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Definiciones y Preliminares
Información Disponible
Filtración
Considere un espacio de probabilidad (Ω, A, P), una filtración (Ft )t≥0 es
una familia creciente de σ-algebras incluidas en A.
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Definiciones y Preliminares
Información Disponible
Filtración
Considere un espacio de probabilidad (Ω, A, P), una filtración (Ft )t≥0 es
una familia creciente de σ-algebras incluidas en A.
La σ-algebra Ft representa la información disponible en el tiempo t.
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Definiciones y Preliminares
Información Disponible
Filtración
Considere un espacio de probabilidad (Ω, A, P), una filtración (Ft )t≥0 es
una familia creciente de σ-algebras incluidas en A.
La σ-algebra Ft representa la información disponible en el tiempo t.
Proceso Adaptado
Se dice que el proceso Xt está adaptado a Ft si Xt es Ft -medible
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Definiciones y Preliminares
Información Disponible
Filtración
Considere un espacio de probabilidad (Ω, A, P), una filtración (Ft )t≥0 es
una familia creciente de σ-algebras incluidas en A.
La σ-algebra Ft representa la información disponible en el tiempo t.
Proceso Adaptado
Se dice que el proceso Xt está adaptado a Ft si Xt es Ft -medible
La idea de estar adaptado consiste en que los conjuntos {Xt ∈ O} ∈ Ft
para todo conjunto O ⊂ B (la σ-algebra de Borel), es decir, que se les
pueda asignar una probabilidad de ocurrencia restringido a la información
recabada hasta el tiempo t. Otra forma de ver un proceso adaptado, es
que no se puede saber el futuro de dicho proceso, i.e., para cada
realización (trayectoria) ω y cada t, se conoce información sobre Xt (ω)
hasta el tiempo t.
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Definiciones y Preliminares
Información Generada por el Proceso Xt
Se puede construir una σ-algebra FtX a partir de las realizaciones del
proceso Xt hasta el tiempo t. Esta sigma algebra se conoce como la
“filtración natural” del proceso Xt .
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Definiciones y Preliminares
Información Generada por el Proceso Xt
Se puede construir una σ-algebra FtX a partir de las realizaciones del
proceso Xt hasta el tiempo t. Esta sigma algebra se conoce como la
“filtración natural” del proceso Xt .
Filtración Natural de Xt
El sı́mbolo FtX denota la información generada por X en el intervalo [0, t],
o alternativamente “lo que ha pasado con el proceso X durante el periodo
de tiempo [0, t]”, y es la menor σ-algebra que contiene a todos los eventos
{X ∈ O} := {ω / X(ω) ∈ O}, con O ∈ B.
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Definiciones y Preliminares
Información Generada por el Proceso Xt
Se puede construir una σ-algebra FtX a partir de las realizaciones del
proceso Xt hasta el tiempo t. Esta sigma algebra se conoce como la
“filtración natural” del proceso Xt .
Filtración Natural de Xt
El sı́mbolo FtX denota la información generada por X en el intervalo [0, t],
o alternativamente “lo que ha pasado con el proceso X durante el periodo
de tiempo [0, t]”, y es la menor σ-algebra que contiene a todos los eventos
{X ∈ O} := {ω / X(ω) ∈ O}, con O ∈ B.
Proceso Adaptado
Un proceso
estocástico (Yt )t≥0 se dice que está adaptado a la filtración
FtX t≥0 , y se escribe Yt ∈ FtX , si el valor de la variable aleatoria Yt
puede ser determinado completamente con las observaciones de
{Xs / 0 ≤ s ≤ t}, para todo t ≥ 0.
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Definiciones y Preliminares
Observaciones
Claramente, el proceso Xt está adaptado a FtX . Aún más, un
proceso
Yt es adaptado sii Yt (ω) = lı́mn→∞ Gn Xt1 (ω), . . . , Xtk (ω) , para
casi todo ω ∈ Ω, donde Gn son acotadas y continuas.
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Definiciones y Preliminares
Observaciones
Claramente, el proceso Xt está adaptado a FtX . Aún más, un
proceso
Yt es adaptado sii Yt (ω) = lı́mn→∞ Gn Xt1 (ω), . . . , Xtk (ω) , para
casi todo ω ∈ Ω, donde Gn son acotadas y continuas.
Respecto a esta filtración natural, decimos que un evento A es
FtX -medible, y lo escribimos A ∈ FtX , si basados en las observaciones
de la trayectoria {Xs / 0 ≤ s ≤ t} es posible decidir si dicho evento
ha ocurrido o no.
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Definiciones y Preliminares
Observaciones
Claramente, el proceso Xt está adaptado a FtX . Aún más, un
proceso
Yt es adaptado sii Yt (ω) = lı́mn→∞ Gn Xt1 (ω), . . . , Xtk (ω) , para
casi todo ω ∈ Ω, donde Gn son acotadas y continuas.
Respecto a esta filtración natural, decimos que un evento A es
FtX -medible, y lo escribimos A ∈ FtX , si basados en las observaciones
de la trayectoria {Xs / 0 ≤ s ≤ t} es posible decidir si dicho evento
ha ocurrido o no.
Análogamente, si una variable aleatoria Z puede ser determinada
completamente a partir de las observaciones de {Xs / 0 ≤ s ≤ t},
entonces escribimos Z ∈ FtX .
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Definiciones y Preliminares
Observaciones
Claramente, el proceso Xt está adaptado a FtX . Aún más, un
proceso
Yt es adaptado sii Yt (ω) = lı́mn→∞ Gn Xt1 (ω), . . . , Xtk (ω) , para
casi todo ω ∈ Ω, donde Gn son acotadas y continuas.
Respecto a esta filtración natural, decimos que un evento A es
FtX -medible, y lo escribimos A ∈ FtX , si basados en las observaciones
de la trayectoria {Xs / 0 ≤ s ≤ t} es posible decidir si dicho evento
ha ocurrido o no.
Análogamente, si una variable aleatoria Z puede ser determinada
completamente a partir de las observaciones de {Xs / 0 ≤ s ≤ t},
entonces escribimos Z ∈ FtX .
Se trabaja con filtraciones “completas”, es decir, filtraciones que
contienen a todos los conjuntos A de P-medida cero, i.e., todos los
eventos A ∈ A tal que si P[A] = 0 entonces A ∈ FtX para todo t.
Esto se requiere para que si X = Y P-a.s., entonces Yt también
está adaptado a FtX , i.e., Yt (ω) se puede describir completamente
(para la realización ω) con solo conocer el comportamiento de Xt (ω).
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Introducción
Definiciones y Preliminares
Ejemplos
Evento Medible: Considere el evento
Ar = {X(s) ≤ r, para todo s ≤ 9}. Si vemos la realización del
proceso X(ω) durante el intervalo de tiempo [0, 9], es fácil saber si su
trayectoria superó el umbral r o no, es decir, Ar ∈ F9X . Sin embargo,
nótese que A ∈
/ F8X , ya que es imposible decidir si A sucedió o no
con solo observar el proceso X hasta el tiempo 8.
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Introducción
Definiciones y Preliminares
Ejemplos
Evento Medible: Considere el evento
Ar = {X(s) ≤ r, para todo s ≤ 9}. Si vemos la realización del
proceso X(ω) durante el intervalo de tiempo [0, 9], es fácil saber si su
trayectoria superó el umbral r o no, es decir, Ar ∈ F9X . Sin embargo,
nótese que A ∈
/ F8X , ya que es imposible decidir si A sucedió o no
con solo observar el proceso X hasta el tiempo 8.
R5
Variable Aleatoria: Considere la variable aleatoria Z := 0 Xs ds.
Conociendo la trayectoria Xt en [0, 5], conocemos el valor de su
integral en ese intervalo, y por ende Z ∈ F5X .
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Introducción
Definiciones y Preliminares
Ejemplos
Evento Medible: Considere el evento
Ar = {X(s) ≤ r, para todo s ≤ 9}. Si vemos la realización del
proceso X(ω) durante el intervalo de tiempo [0, 9], es fácil saber si su
trayectoria superó el umbral r o no, es decir, Ar ∈ F9X . Sin embargo,
nótese que A ∈
/ F8X , ya que es imposible decidir si A sucedió o no
con solo observar el proceso X hasta el tiempo 8.
R5
Variable Aleatoria: Considere la variable aleatoria Z := 0 Xs ds.
Conociendo la trayectoria Xt en [0, 5], conocemos el valor de su
integral en ese intervalo, y por ende Z ∈ F5X .
Proceso Estocástico Adaptado: Considere el proceso estocástico
Yt := sups≤t Xs . Claramente, al observar la trayectoria de Xt hasta el
tiempo t, podemos saber cuánto fue el máximo valor alcanzado por
dicho proceso, y conocemos el valor de la variable aleatoria Yt , i.e.,
Yt ∈ FtX . Sin embargo, el proceso Zt := Yt+1 , no está adaptado a la
filtración FtX , ya que con la información obtenida hasta el tiempo t es
imposible conocer el máximo valor de X en el intervalo [0, t + 1].
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Movimiento Browniano
Definición
Proceso de Wiener (Movimiento Browniano)
Proceso de Wiener
Un proceso estocástico W se llama proceso de Wiener si las siguientes
condiciones se cumplen:
1
Valor Inicial: W0 = 0.
2
Incrementos Independientes: Si r < s ≤ t < u, entonces Wu − Wt
y Ws − Wr son variables aleatorias independientes.
3
Distribución Estacionaria: Para s < t, la variable aleatoria Wt − Ws
tienen distribución Gausiana N 0, (t − s) .
4
Continuidad: W tiene trayectorias continuas.
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Movimiento Browniano
Propiedades
Autosimilitud
Ley
1
Wt = c− 2 Wct
1
Si W es un proceso de Wiener, entonces Xt = c− 2 Wct es también un
proceso de Wiener, para todo c > 0.
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Movimiento Browniano
Propiedades
Autosimilitud
Ley
1
Wt = c− 2 Wct
1
Si W es un proceso de Wiener, entonces Xt = c− 2 Wct es también un
proceso de Wiener, para todo c > 0.
1
Prueba: Claramente X0 = c− 2 Wc0 = 0 y Xt es continua.
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Movimiento Browniano
Propiedades
Autosimilitud
Ley
1
Wt = c− 2 Wct
1
Si W es un proceso de Wiener, entonces Xt = c− 2 Wct es también un
proceso de Wiener, para todo c > 0.
1
Prueba: Claramente X0 = c− 2 W
c0 = 0 y Xt es continua. También tiene
incrementos ∆Xt,s := Xt − Xs independientes, ya que si r < s ≤ t < u
entonces cr < cs ≤ ct < cu y
1
1
P[∆Xu,t ∈ A, ∆Xs,r ∈ B] = P[c− 2 ∆Wcu,ct ∈ A, c− 2 ∆Wcs,cr ) ∈ B]
1
1
1
1
= P[∆Wcu,ct ∈ c 2 A, ∆Wcs,cr ∈ c 2 B] = P[∆Wcu,ct ∈ c 2 A]P[∆Wcs,cr ∈ c 2
1
1
= P[c− 2 ∆Wcu,ct ∈ A]P[c− 2 ∆Wcs,cr ∈ B] = P[∆Xu,t ∈ A]P[∆Xs,r ∈ B].
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Movimiento Browniano
Propiedades
Autosimilitud
Ley
1
Wt = c− 2 Wct
1
Si W es un proceso de Wiener, entonces Xt = c− 2 Wct es también un
proceso de Wiener, para todo c > 0.
1
Prueba: Claramente X0 = c− 2 W
c0 = 0 y Xt es continua. También tiene
incrementos ∆Xt,s := Xt − Xs independientes, ya que si r < s ≤ t < u
entonces cr < cs ≤ ct < cu y
1
1
P[∆Xu,t ∈ A, ∆Xs,r ∈ B] = P[c− 2 ∆Wcu,ct ∈ A, c− 2 ∆Wcs,cr ) ∈ B]
1
1
1
1
= P[∆Wcu,ct ∈ c 2 A, ∆Wcs,cr ∈ c 2 B] = P[∆Wcu,ct ∈ c 2 A]P[∆Wcs,cr ∈ c 2
1
1
= P[c− 2 ∆Wcu,ct ∈ A]P[c− 2 ∆Wcs,cr ∈ B] = P[∆Xu,t ∈ A]P[∆Xs,r ∈ B].
Finalmente, ∆Xt,s = Xt − Xs tiene distribución Gausiana N 0, (t − s) ,
1
1
P[∆Xt,s ≤ r] = P[c− 2 ∆Wct,cs ≤ r] = P[∆Wct,cs ≤ c 2 r]
Z c 21 r
Z r
2
u2
1
1
− 2c(t−s)
− u
e
=p
du = p
e 2(t−s) du.
2πc(t − s) −∞
2π(t − s) −∞
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Movimiento Browniano
Propiedades
No Monotonicidad
Wt No es Monótono en Ningún Intervalo
Para P casi todo ω ∈ Ω, no existe un intervalo en el cual Wt (ω) sea
monótono.
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Movimiento Browniano
Propiedades
No Monotonicidad
Wt No es Monótono en Ningún Intervalo
Para P casi todo ω ∈ Ω, no existe un intervalo en el cual Wt (ω) sea
monótono.
Prueba: Con [a, b] ⊂ [0, ∞), defina
A[a,b] := {Wt es creciente en t ∈ [a, b]}.
Vamos a probar que A[a,b] es un evento con probabilidad 0 (lo mismo
aplicarı́a con “decreciente”).
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Movimiento Browniano
Propiedades
No Monotonicidad
Wt No es Monótono en Ningún Intervalo
Para P casi todo ω ∈ Ω, no existe un intervalo en el cual Wt (ω) sea
monótono.
Prueba: Con [a, b] ⊂ [0, ∞), defina
A[a,b] := {Wt es creciente en t ∈ [a, b]}.
Vamos a probar que A[a,b] es un evento con probabilidad 0 (lo mismo
aplicarı́a con “decreciente”).
Para tn,k = a + k(b−a)
, sea An,k := {Wn,k−1 ≤ Wn,k }. Claramente,
T∞ Tn n
[a,b]
A
= n=1 k=1 An,k . Como tn,k−1 ≤ tn,k , los eventos An,k son
independientes y
1
P An,k = P Wn,k − Wn,k−1 ≥ 0 = ,
2
entonces
P A[a,b] ≤ P ∩nk=1 An,k = 2−n −−−→ 0.
n→∞
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Movimiento Browniano
Propiedades
No Diferenciabilidad
Wt No es Diferenciable en Ningún Lado
P casi siempre, Wt no es diferenciable en ningún t.
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Movimiento Browniano
Propiedades
No Diferenciabilidad
Wt No es Diferenciable en Ningún Lado
P casi siempre, Wt no es diferenciable en ningún t.
Prueba: Sea tn,N,k = kN
n , Yn,k := máxl=0,1,2 Wtn,N,k+l − Wtn,N,k+l−1 , y
defina B n = Bn (N, K) := ∪n−2
k=0 {Yn,k ≤ 4N K/n}. Entonces
∞
A := Wt es diferenciable para algún t ∈ [0, N ] ⊂ ∪∞
K=1 ∪N =1 Bn .
Prof. Vı́quez (UCR)
Proceso de Wiener (Movimiento Browniano)
9 de Mayo
17 / 23
Movimiento Browniano
Propiedades
No Diferenciabilidad
Wt No es Diferenciable en Ningún Lado
P casi siempre, Wt no es diferenciable en ningún t.
Prueba: Sea tn,N,k = kN
n , Yn,k := máxl=0,1,2 Wtn,N,k+l − Wtn,N,k+l−1 , y
defina B n = Bn (N, K) := ∪n−2
k=0 {Yn,k ≤ 4N K/n}. Entonces
∞
A := Wt es diferenciable para algún t ∈ [0, N ] ⊂ ∪∞
K=1 ∪N =1 Bn .
Ley
Ley
Como Wtn,N,k+l − Wtn,N,k+l−1 = W N = (N/n)1/2 W1 ∼ N (0, N/n),
n
entonces
an = P |Wtn,N,k+l − Wtn,N,k+l−1 | ≤ 4KN/n
8K(N/n)1/2
√
= P |W1 | ≤ 4K(N/n)1/2 ≤
−−−→ 0.
n→∞
2π
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Movimiento Browniano
Propiedades
No Diferenciabilidad
Wt No es Diferenciable en Ningún Lado
P casi siempre, Wt no es diferenciable en ningún t.
Prueba: Sea tn,N,k = kN
n , Yn,k := máxl=0,1,2 Wtn,N,k+l − Wtn,N,k+l−1 , y
defina B n = Bn (N, K) := ∪n−2
k=0 {Yn,k ≤ 4N K/n}. Entonces
∞
A := Wt es diferenciable para algún t ∈ [0, N ] ⊂ ∪∞
K=1 ∪N =1 Bn .
Ley
Ley
Como Wtn,N,k+l − Wtn,N,k+l−1 = W N = (N/n)1/2 W1 ∼ N (0, N/n),
n
entonces
an = P |Wtn,N,k+l − Wtn,N,k+l−1 | ≤ 4KN/n
8K(N/n)1/2
√
= P |W1 | ≤ 4K(N/n)1/2 ≤
−−−→ 0.
n→∞
2π
Se concluye que P[A] ≤ P[lı́m inf n→∞ Bn ] = 0, pues
lı́m P[Bn ] ≤ lı́m (a2n + (n − 2)a3n ) = 0.
n→∞
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n→∞
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Propiedades
Variación Cuadrática
Variación Cuadrática de Wt
Sea Πn : 0 ≤ tn0 ≤ · · · ≤ tnN (n) , una secuencia de particiones de [0, t], tal
que kΠn k := máx1≤k≤N (n) tnk − tnk−1 → 0 cuando n → ∞. Sea
N (n)
N (n)
Yn =
X
2
|Wtnk − Wtnk−1 | =
X
|∆Wtnk−1 ,tnk |2 ,
k=1
k=1
entonces E[|Yn − t|2 ] −−−→ 0.
n→∞
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Movimiento Browniano
Propiedades
Variación Cuadrática
Variación Cuadrática de Wt
Sea Πn : 0 ≤ tn0 ≤ · · · ≤ tnN (n) , una secuencia de particiones de [0, t], tal
que kΠn k := máx1≤k≤N (n) tnk − tnk−1 → 0 cuando n → ∞. Sea
N (n)
N (n)
Yn =
X
2
|Wtnk − Wtnk−1 | =
X
|∆Wtnk−1 ,tnk |2 ,
k=1
k=1
entonces E[|Yn − t|2 ] −−−→ 0.
n→∞
Esta variación cuadrática será de suma importancia para comprender la
llamada “fórmula de Itô”, y la constucción de la integral de Itô.
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Propiedades
Variación Cuadrática: Prueba
Noten que ∆Wtnk−1 ,tnk y ∆Wtnl−1 ,tnl son independientes si k 6= l, además
∆Wtnk−1 ,tnk ∼ N 0, (tnk − tnk−1 ) , por lo que
N (n)
E[Yn ] =
X
k=1
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N (n)
2
E[|∆Wtnk−1 ,tnk | ] =
X
(tnk − tnk−1 ) = t.
k=1
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Movimiento Browniano
Propiedades
Variación Cuadrática: Prueba
Noten que ∆Wtnk−1 ,tnk y ∆Wtnl−1 ,tnl son independientes si k 6= l, además
∆Wtnk−1 ,tnk ∼ N 0, (tnk − tnk−1 ) , por lo que
N (n)
E[Yn ] =
X
N (n)
2
E[|∆Wtnk−1 ,tnk | ] =
k=1
X
(tnk − tnk−1 ) = t.
k=1
Recordando que para una variable aleatoria normal N ∼ N (0, σ 2 ), se
cumple que E[|N |4 ] = 3σ 4 , se tiene entonces que,
N (n)
2
E[|Yn − t| ] = Var[Yn ] =
X
Var[|∆Wtnk−1 ,tnk |2 ]
k=1
√
4 √
2 2
n
n
= 3
tn
−
tn
k −tk−1
k −tk−1
=
N (n) z
X
}|
N (n)
{
X
2
2
E[|Wtnk−1 ,tnk | ] − E[|Wtnk−1 ,tnk | ] = 2
(tnk − tnk−1 )2
4
k=1
k=1
≤ 2tkΠn k −−−→ 0.
n→∞
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Movimiento Browniano Como Caminatas Aleatorias Reescaladas
Principio de Invarianza
Principio de Invarianza de Donsker
Sea Xi una secuencia i.i.d. de variables aleatorias definidas en (Ω, A, P) tal
que E[X
Pi ] = 0 y Var[Xi ] = 1. Para m ∈ N, tome la caminata aleatoria
Sm = m
i=1 Xi , y defina su forma continua ası́,
(
Sm
si t = m,
St =
Sm + (t − m)(Sm+1 − Sm ) si t ∈ (m, m + 1).
Finalmente, defina la caminata aleatoria continua y reescalada como
1
Stn := n− 2 Snt , para cada entero positivo n. Entonces
Ley
Stn −−−→ Wt ,
n→∞
i.e., la distribución de S n converge a la distribución de un movimiento
Browniano W .
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Movimiento Browniano Como Caminatas Aleatorias Reescaladas
Observaciones
Noten que la varianza de Sm es m, por lo que√su desviación estandar
√
es m, de ahı́ que el tamaño usual de St sea t y de que el
reescalamiento natural tenga potencia 12 .
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Movimiento Browniano Como Caminatas Aleatorias Reescaladas
Observaciones
Noten que la varianza de Sm es m, por lo que√su desviación estandar
√
es m, de ahı́ que el tamaño usual de St sea t y de que el
reescalamiento natural tenga potencia 12 .
Si se ve el gráfico de St , y se encoge el eje horizontal (tiempo) por un
√
factor de n y el eje vertical (espacio) por un factor n, se obtiene el
gráfico de Stn . Nótese
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Movimiento Browniano Como Caminatas Aleatorias Reescaladas
Observaciones
Noten que la varianza de Sm es m, por lo que√su desviación estandar
√
es m, de ahı́ que el tamaño usual de St sea t y de que el
reescalamiento natural tenga potencia 12 .
Si se ve el gráfico de St , y se encoge el eje horizontal (tiempo) por un
√
factor de n y el eje vertical (espacio) por un factor n, se obtiene el
gráfico de Stn . Nótese
Pbt2 c
Como St2 − St1 = i=bt
Xi , se deduce entonces que la variables
1 c+1
St1 , St2 − St1 , . . . , Stn − Stn−1 , son independientes si
t1 < t2 < · · · < tn . Por la ley de los grandes números, y como para un
n grande Stn es la suma de una cantidad grande de variables aleatorias
i.i.d., uno espera que esta suma sea aproximadamente normal.
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Movimiento Browniano Como Caminatas Aleatorias Reescaladas
Observaciones
Noten que la varianza de Sm es m, por lo que√su desviación estandar
√
es m, de ahı́ que el tamaño usual de St sea t y de que el
reescalamiento natural tenga potencia 12 .
Si se ve el gráfico de St , y se encoge el eje horizontal (tiempo) por un
√
factor de n y el eje vertical (espacio) por un factor n, se obtiene el
gráfico de Stn . Nótese
Pbt2 c
Como St2 − St1 = i=bt
Xi , se deduce entonces que la variables
1 c+1
St1 , St2 − St1 , . . . , Stn − Stn−1 , son independientes si
t1 < t2 < · · · < tn . Por la ley de los grandes números, y como para un
n grande Stn es la suma de una cantidad grande de variables aleatorias
i.i.d., uno espera que esta suma sea aproximadamente normal.
En particular, la caminata aleatoria simple, donde Xi = 1 con
probabilidad 21 y Xi = −1 con probabilidad 21 , satisface las
condiciones del teorema, por lo que se deduce que esa cadena de
Markov converge a W en distribución.
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Movimiento Browniano Como Caminatas Aleatorias Reescaladas
Ejemplo Gráfico
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Final de clase
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