KANT Y LA MATEMÁTICA (Raúl Meléndez – Universidad Nacional

KANT Y LA MATEMÁTICA
(Raúl Meléndez – Universidad Nacional de Colombia)
I.
Introducción: matemática y metafísica en el pensamiento de Kant.
El propósito central de esta sesión del curso es aclarar y examinar la respuesta que da
Kant a la pregunta ¿Cómo es posible el conocimiento sintético a priori en la matemática?
Para comprender bien la pregunta misma es necesario tener claras las distinciones entre
analítico/sintético y a priori / a posteriori, que se emplean en su formulación. Un
conocimiento a priori es un conocimiento que no se funda en la experiencia y puede,
entonces justificarse sin recurrir a ella. El conocimiento a posteriori se basa en la
experiencia y no podemos validarlo independientemente de ella. En cuanto a la distinción
entre juicios analíticos y sintéticos, Kant la caracteriza de la siguiente manera:
En todos los juicios en los que se piensa la relación entre un sujeto y un predicado
(...), tal relación puede tener dos formas: o bien el predicado B pertenece al sujeto
A como algo que está (implícitamente) contenido en el concepto A, o bien B se halla
completamente fuera del concepto A, aunque guarde con él alguna conexión. En el
primer caso llamo al juicio analítico; en el segundo sintético. (CRP, Introducción, B
10)
Se ha objetado a esta caracterización de la distinción que no es del todo clara por que se
hace en términos demasiado metafóricos. ¿Qué quiere decir, más precisamente, que un
predicado “está contenido” en el concepto del sujeto, o que está “fuera de él”? No
obstante, como veremos más adelante, Kant usa un criterio para determinar si un juicio
es analítico o no, en el que no se emplean estas metáforas (ver CRP, B 190): si un juicio
puede justificarse mediante un mero análisis lógico de los conceptos que se emplean en
su formulación, si su verdad puede ser establecida empleando solamente razones lógicas
(Kant se refiere explícitamente al principio de contradicción), entonces es analítico; en
caso contrario es sintético. Baste esto, por ahora, para aclarar nuestra pregunta central.
Antes de dedicarnos a cumplir con el propósito central de esta exposición, haremos
algunas observaciones preliminares, cuyo objeto es permitirnos relacionarlo con los
problemas centrales de la Crítica de la razón pura y, en general, de la filosofía teórica de
Kant.
La pregunta por las condiciones que hacen posible un conocimiento matemático puro,
que sea expresable en juicios sintéticos a priori, puede verse como un caso particular de
una cuestión más amplia que en el prólogo a la primera edición de la Crítica de la razón
pura se plantea como el problema fundamental de esta obra: “¿Qué y cuánto pueden
conocer el entendimiento y la razón con independencia de toda experiencia?” (CRP,
Prólogo a la primera edición, A XVII).
[Recordemos que en la pregunta ¿Cómo es posible el conocimiento? se expresa uno de
los dos sentidos en que el profesor Luis Eduardo Hoyos interpretó en su conferencia una
de las cuatro preguntas centrales de la filosofía kantiana, a saber: ¿Qué puedo saber?
(resolver esta pregunta es la tarea principal de la filosofía teórica de Kant).El otro
sentido en que puede entenderse esta cuestión es: ¿Cuáles son los límites del
conocimiento?]
Es significativo que Kant se pregunte por las fuentes, los alcances y los límites del
conocimiento a priori, y no de todo el conocimiento empírico. Este interés específico en lo
que podemos conocer a priori, a diferencia de lo que podemos conocer apoyándonos en
la experiencia, se comprende si se lo relaciona con el propósito, que motivó y orientó
casi todo el pensamiento de Kant, de criticar las pretensiones de la metafísica tradicional.
En ella se buscaba alcanzar, precisamente, un conocimiento a priori, ya sea del ser en
general o de “seres especiales”, tales como el alma o Dios. Kant se propone, pues,
juzgar acerca de estas pretensiones e indagar acerca de la posibilidad misma de la
metafísica haciendo una crítica de la razón pura, cuya tarea fundamental es trazar (¿o
hallar?) los límites de lo que podemos conocer sin apoyarnos en la experiencia. Pero la
crítica de la razón pura debe permitir no solamente rechazar las “arrogancias infundadas”
de las que, según Kant, está plagada la metafísica tradicional. Ella también ha de cumplir
una función positiva que consiste en mostrar cómo la metafísica puede dejar de andar a
tientas, dando palos de ciego, y encarrilarse, por fin, en la segura vía de la ciencia, por la
que ya han venido andando firmemente la matemática y la ciencia de la naturaleza.
La posibilidad de conocer algo a priori, que Kant ve como una pretensión muy
problemática de la metafísica tradicional, la acepta él como ya actualizada, y de manera
ejemplar, en el caso de la matemática y la física puras. En estas dos ciencias ya bien
establecidas, a diferencia de la metafísica, la cuestión que se plantea no es si es posible
conocer algo a priori, sino cómo ello ya ha sido posible; y la respuesta a esta segunda
cuestión puede contribuir a aclarar el problema general de la posibilidad del conocimiento
a priori, de la posibilidad de los juicios sintéticos a priori. La solución a este problema
general debe permitir, a su vez, hacer explícitas las condiciones que han de cumplirse
para que sea posible la metafísica como ciencia.
En el prólogo a la segunda edición de la CRP, Kant subraya que tanto la matemática
como la física puras han tomado el camino seguro de la ciencia (esto puede interpretarse
como que han llegado a un genuino conocimiento sintético a priori) gracias a dos
importantes revoluciones del pensamiento. En el caso de la matemática tal revolución es
descrita así:
Una nueva luz se abrió al primero (llámese Tales o como se quiera) que demostró el
triángulo equilátero. En efecto advirtió que no debía indagar lo que veía en la figura
o en el mero concepto de ella y, por así decirlo, leer, a partir de ahí, sus
propiedades, sino extraer éstas a priori por medio de lo que él mismo pensaba y
exponía (por construcción) en conceptos. Advirtió también que, para saber a priori
algo con certeza, no debía añadir a la cosa sino lo que necesariamente se seguía de
lo que él mismo, con arreglo a su concepto, había puesto en ella. (CRP, Prólogo a la
segunda edición, B XI-XII)
En este pasaje se expresa ya, de manera condensada, la tesis básica de la filosofía
kantiana de la matemática, según la cual ella constituye un conocimiento que no es
empírico o a posteriori, es decir, no se funda en la intuición visual, empírica de objetos
(en este caso: lo que se ve en las figuras geométricas), pero tampoco es meramente
conceptual o analítico, es decir, no se funda exclusivamente en el análisis lógico de
conceptos (lo que “se ve” en el mero concepto). Posteriormente aclararemos la idea de
que el conocimiento matemático se funda en la intuición, y no en la mera lógica, pero no
en la intuición sensible o empírica, sino en las intuiciones puras (que son, para Kant, el
tiempo y el espacio).
También en este pasaje está expresada la idea clave para comprender cómo explica Kant
la posibilidad de un conocimiento a priori de objetos de la experiencia: de ellos podemos
conocer a priori solamente lo que nuestra razón ha puesto en ellos para darles forma,
ordenarlos. Sin esta forma, sin este orden aportados por nuestra razón no podríamos
tener experiencia de ellos, ni podríamos pensarlos. La razón pone condiciones para que
sea posible la experiencia y el pensamiento y es de estas condiciones que podemos tener
un conocimiento a priori.
Esta misma idea es la que está enfatizada por Kant en su descripción de la revolución
que convirtió a la física en una ciencia:
Entendieron [Galileo, Torricelli, Stahl] que la razón sólo reconoce lo que ella misma
produce según su bosquejo, que la razón tiene que anticiparse con los principios de
sus juicios de acuerdo con leyes constantes y que tiene que obligar a la naturaleza a
responder sus preguntas, pero sin dejarse conducir con andaderas, por así decirlo.
(...) De modo que incluso la física sólo debe tan provechosa revolución de su método
a una idea , la de buscar (no fingir) en la naturaleza lo que la misma razón pone en
ella, lo uqe debe aprender de ella, de lo cual no sabría nada por sí sola. (CRP, B XIIIXIV)
En esta última frase está muy fugazmente sugerido uno de los errores fundamentales de
la metafísica tradicional que le habrían impedido convertirse en una ciencia genuina:
fingir que es parte intrínseca de la realidad lo que la razón ha puesto en ella (por
ejemplo espacio y tiempo, causalidad). La razón proyecta sobre la realidad, que ella
percibe y conoce, sus propias condiciones y es como si olvidara que ellas provienen de sí
misma, como si fueran parte de esa realidad y existieran independientemente de ella.
Para que la metafísica tome el camino de la ciencia se hace necesaria, según Kant, una
revolución análoga a las que se han dado en la matemática y la física, una revolución
que él se ve en la tarea de realizar y que no es otra que su crítica de la razón pura:
Intentemos, pues, por una vez, si no adelantaremos más en las tareas de la
metafísica suponiendo que los objetos deben conformarse a nuestro conocimiento,
cosa que concuerda ya mejor con la deseada posibilidad de un conocimiento a priori
de dichos objetos, un conocimiento que pretende establecer algo sobre éstos antes
de que nos sean dados. (CRP, BXVI)
En la Crítica de la razón pura la metafísica se convierte en una investigación sobre la
posibilidad, las fuentes y los límites del conocimiento a priori. Esta investigación conduce
a un resultado negativo acerca de la metafísica tradicional, al mostrar que nuestro
conocimiento a priori no puede traspasar los límites de los fenómenos, de la experiencia
posible. Hay sin embargo una función positiva que cumple tal crítica. Por medio de ella
se despeja el terreno para el uso práctico o moral de la razón, en el que ella se ve
obligada a ir más allá de tales límites, pues con ella se evita que la razón pura se apropie
de tareas que sólo pueden ser competencia de la razón práctica. La labor crítica pone a
cada uso de la razón, el teórico y el práctico en su lugar, de modo que el primero no
usurpe tareas que no le son propias. El hecho de que Kant hable aún de un uso de la
razón que puede aventurarse, como lo pretendía ilegítimamente la metafísica tradicional,
a ir más allá de toda experiencia posible, ha llevado, principalmente a quienes no
aceptan una fundamentación racional de lo moral y lo estético, a sospechar que Kant
quiso saltar, también ilegítimamente, los límites que él mismo había trazado a la razón.
No discutiremos esta cuestión, pues no queremos aventurarnos a
ir más allá de los
límites que nos hemos trazado en esta exposición.
Vistas las anteriores conexiones entre el propósito central de esta charla y las tareas
centrales de la filosofía teórica de Kant, nos dedicaremos en lo que sigue a perseguir
nuestro objetivo, que es examinar la explicación que él ofrece de la posibilidad de la
matemática, concebida ésta como un conocimiento sintético a priori, y de las fuentes de
las que surge.
II.
La matemática como conocimiento sintético a priori.
El “hecho”, cuya explicación por parte de Kant queremos examinar, a saber, que las
verdades de la matemática son sintéticas a priori, está lejos de ser una obviedad
aceptada unánimemente. De acuerdo con la concepción kantiana de la matemática, en
ella se amplía nuestro conocimiento y esta ampliación se hace sin recurrir a la
experiencia, independientemente de ella. Esta concepción se opone a la de quienes
piensan que la matemática no constituye sino un mero análisis lógico que hace explícitas
las implicaciones de verdades que ya poseemos, y que no aumenta nuestro
conocimiento. ¿Con qué razones defiende Kant su punto de vista sobre el carácter
sintético a priori de la matemática?
Para justificar que las proposiciones de la matemática valen a priori (lo cual, de hecho,
no ha sido tan discutido como su carácter sintético), Kant emplea los criterios de
necesidad y universalidad. Lo que se afirma en una proposición necesaria no es
solamente cierto, sino que tiene que ser así, no puede ser de otro modo. Si una
proposición vale a posteriori, si está fundada en el darse de ciertos hechos de la
experiencia, no puede ser, entonces, necesaria, ya que lo que ocurre de hecho, pudo
haber ocurrido de otro modo. Si los hechos son contingentes, en este sentido, las
verdades necesarias no pueden fundarse en ellos y tienen, por lo tanto, que valer a
priori. Para Kant, las verdades de la matemática son necesarias, ellas no nos dicen sólo
que algo es el caso, sino también que no puede ser de otra manera. Según el criterio
anterior, las verdades de la matemática deben ser también verdades a priori, es decir,
independientes de los hechos contingentes, de los que tenemos noticia a través de la
experiencia.
Las verdades de la matemática también cumplirían con el criterio de universalidad. Si se
afirma, por ejemplo que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos
rectos, esto se afirma para todos los triángulos posibles, y no solamente para aquellos
que
hayamos
tenido
la
oportunidad
de
examinar
visualmente
para
confirmar
empíricamente la proposición. La evidencia empírica o inductiva no permite alcanzar la
universalidad estricta de un juicio matemático. Si hemos verificado empíricamente,
mediante la percepción sensible, que para muchos triángulos vale la proposición, ¿cómo
podríamos saber que también se cumple para los demás. La universalidad que se obtiene
por medio de una generalización empírica (por ejemplo: “todos los jugadores
profesionales activos de fútbol tienen menos de 55 años”) no es la universalidad estricta
de los juicios matemáticos, a la cual se ha de llegar por medio de una demostración
rigurosa. Kant, seguramente influido por Hume en este punto, sostiene que la
argumentación inductiva con la que se pretende justificar la universalidad de una
generalización empírica es una “extensión arbitraria de la validez” (ver CRP, B 4). La
verdad de los juicios matemáticos y su universalidad estricta no puede tener su fuente
en la experiencia, en la evidencia empírica; dicha fuente ha de ser a priori, como lo son
los juicios matemáticos.
La afirmación según la cual los juicios matemáticos son sintéticos es mucho más
polémica y problemática. El carácter necesario de las proposiciones matemáticas parece
no ser compatible con su carácter sintético. Se piensa, en efecto, que la necesidad de las
matemáticas estaría estrechamente relacionada con su carácter lógico, analítico. La
necesidad matemática no sería diferente, según este punto de vista, de la necesidad
lógica: lo que afirma un juicio matemático tiene que ser así y no de otro modo, porque
es impensable o ininteligible que sea de otro modo. Negar una proposición matemática
necesaria implicaría caer en una inconsistencia lógica, contravenir las leyes lógicas que
han de cumplirse para que podamos pensar algo. Pero, en tal caso, las verdades
matemáticas se fundarían solamente en la lógica y no podrían ser sintéticas, ni ampliar
nuestro conocimiento. Si Kant concede necesidad a las proposiciones matemáticas, y se
apoya en ello para justificar su validez a priori, ¿no lo obliga ello a afirmar el carácter
analítico, lógico de las mismas?
Cabe aquí observar que desarrollos en la geometría posteriores a Kant, han llevado a
pensar que las proposiciones matemáticas no expresan verdades analíticas y necesarias
(o por lo menos no todas). En las geometrías no euclidianas se pueden demostrar como
teoremas proposiciones que niegan algunos de los teoremas de la geometría euclidiana.
Es, entonces, lógicamente posible negar una proposición geométrica lo cual llevaría a
rechazar que se trata de una verdad necesaria (que lo que ella afirma no puede ser de
otro modo). Curiosamente, lo anterior se ha usado tanto para objetar la concepción de
Kant, como para vindicarla. Se le puede objetar que él afirmaba el carácter necesario de
los axiomas y teoremas de la geometría euclidiana, que en su concepción de la
geometría no pueden admitirse como posibles geometrías diferentes a la euclidiana y
que la historia posterior de esta disciplina lo ha refutado. Pero, por otra parte, se alega,
a favor de Kant, que el desarrollo de geometrías no euclidianas no lo refuta, sino que,
por el contrario, corrobora su idea de que las proposiciones de la geometría son
sintéticas. Si fuesen analíticas, se arguye, no podrían negarse sin incurrir en
contradicción
lógica
y
no
serían
posibles
sistemas
no
euclidianos,
lógicamente
consistentes.
El problema es que, al parecer, Kant está preso en un dilema problemático: o bien
concede necesidad a la matemática, pero entonces no puede afirmar que ella constituya
un conocimiento sintético, o bien afirma el carácter sintético de la misma, pero entonces
no puede otorgarle necesidad. Una aclaración del sentido en que Kant habría afirmado el
carácter necesario de la matemática y de la distinción entre posibilidad lógica y
posibilidad real permite mostrar que tal dilema es falso y que ni una refutación ni una
vindicación de Kant siguiendo las anteriores sugerencias serían correctas. La necesidad
que Kant atribuye a las proposiciones de la matemática no es mera necesidad lógica y no
implica que si ellas se niegan se infrinjan principios lógicos como el de no-contradicción.
Si Kant concediera que las proposiciones matemáticas son necesarias en este sentido,
entonces el fundamento de su verdad sería la lógica y ellas no serían sintéticas. La
posibilidad lógica se diferencia de la real en que algo es posible, en el primer sentido, si
cumple las condiciones exigidas por las leyes lógicas del pensar, y algo es posible, en el
sentido real, si cumple no sólo las condiciones del pensar, sino también las de la
intuición, las que permiten que podamos tener experiencia de objetos reales. La
negación de una proposición matemática, por ejemplo del quinto postulado de los
Elementos de Euclides, sería posible lógicamente, como lo muestran las geometrías no
euclidianas, pero no sería una posibilidad real, pues al negarla estaríamos dejando de
cumplir condiciones que deben valer para que los objetos nos sean dados en la
experiencia. Estas condiciones son exigidas a priori y constituyen lo que Kant llama
intuiciones puras o formas puras de la sensibilidad.
Kant tiene clara conciencia de que su afirmación del carácter sintético de las
matemáticas genera fuertes resistencias:
Al advertirse que todas las conclusiones de los matemáticos se desarrollaban de
acuerdo con el principio de contradicción (cosa exigida por el carácter de toda
certeza apodíctica), se supuso que las proposiciones básicas se conocían igualmente
a partir de dicho principio. Pero se equivocaron, ya que una proposición sintética
puede ser entendida, efectivamente, de acuerdo con el principio de contradicción,
pero no por sí misma, sino sólo en la medida en que se presupone otra proposición
sintética de la cual pueda derivarse. (CRP, Introducción, B14)
Este pasaje ha llevado a interpretar que, según Kant, las demostraciones matemáticas
son puramente lógicas y que la intuición jugaría un papel esencial solamente el la
justificación de los axiomas. Más adelante (en la última parte de esta exposición)
veremos que la intuición juega un papel esencial en las demostraciones constructivas de
la geometría euclidiana, del que la concepción kantiana da razón. Por otro lado, para
Kant la aritmética, así como la geometría euclidiana, también se funda en la intuición
pura, pese a que él no la concibe como una disciplina axiomática. Al afirmar Kant que las
conclusiones matemáticas se desarrollan según el principio de contradicción no debe
entenderse que son puramente lógicas1 y al referirse a las proposiciones sintéticas de las
cuales tendría que derivarse una proposición sintética, puede estar refiriéndose no a los
axiomas, sino quizá también a proposiciones que expresan otros supuestos usados en la
demostración, por ejemplo, en la construcción de figuras.
En los siguientes pasajes encontramos razones que da Kant para defender su concepción
de los juicios de la matemática como sintéticos:
Se podría pensar de entrada que la proposición 7+5=12 es una simple proposición
analítica, que se sigue, de acuerdo con el principio de contradicción, del concepto de
suma de siete y cinco. Pero, si se observa más de cerca, se advierte que el concepto
de suma de siete y cinco no contiene otra cosa que la unión de ambos números en
uno solo, con lo cual no se piensa en absoluto cuál sea ese número único que
sintetiza los dos. El concepto de doce no está todavía pensado en modo alguno al
pensar yo simplemente dicha unión de siete y cinco. Puedo analizar mi concepto de
esa posible suma el tiempo que quiera, pero no encontraré en tal concepto el doce.
Hay que ir más allá de esos conceptos y acudir a la intuición correspondiente a uno
de los dos, los cinco dedos de nuestra mano, por ejemplo, o bien (como hace Segner
en su aritmética) cinco puntos, e ir añadiendo sucesivamente al concepto de siete las
unidades del cinco dado en la intuición. (CRP, B 15)
De la misma forma ningún principio de la geometría pura es analítico. ‘la línea recta
es la más corta entre dos puntos’ es una proposición sintética. En efecto, mi
concepto de recto no contiene ninguna magnitud, sino sólo cualidad. El concepto ‘la
1
Ver Friedman, Michael, p. 82 ss.
más corta’ es, pues, añadido enteramente desde fuera. Ningún análisis puede
extraerlo del concepto de línea recta. Hay que acudir, pues, a la intuición, único
factor por medio del cual es posible la síntesis.
¿Qué criterio está empleando aquí Kant para argumentar que las proposiciones de la
aritmética y de la geometría son sintéticas? Kant argumenta en ambos casos que lo que
se predica del sujeto en el juicio no puede derivarse de un análisis lógico del concepto al
que se hace referencia en el sujeto. Pero no queda del todo claro que quiere decir aquí
“derivarse de un análisis lógico” o “analizar mi concepto de esa posible suma el tiempo
que quiera”. Podemos interpretar esto como deducir lógicamente el juicio en el que se
atribuye al sujeto el predicado de la definición del concepto que aparece en el sujeto.
Pero puede preguntarse ahora por la noción de deducción lógica que ha de emplearse
aquí. ¿Qué reglas de inferencia es lícito usar en ella? ¿A qué principios lógicos podemos
recurrir en una deducción lógica? ¿En qué lenguaje se ha de formular? Puede hacerse
una interpretación de la distinción kantiana entre analítico y sintético, que él caracteriza,
como vimos antes, en términos muy metafóricos, en términos del criterio que él emplea
aquí y que menciona explícitamente en CRP, B 190: un juicio es analítico si su verdad
puede demostrarse de manera puramente lógica a partir de la definición de los conceptos
que aparecen en el juicio y de principios puramente lógicos; de lo contrario se trata de
un juicio sintético. Pero esta interpretación no elimina todas las vaguedades de la
distinción, si no se aclara suficientemente qué se ha de entender por ‘demostrar de
manera puramente lógica’ y qué principios o supuestos han de contar como puramente
lógicos. La distinción entre analítico y sintético es, pues, relativa a la concepción que se
tenga de la lógica; y la concepción que tenía Kant de la lógica es muy diferente de la que
surge a raíz del desarrollo de la llamada ‘nueva lógica matemática’. Esto hace muy difícil
juzgar quién tiene la razón en la controversia acerca de si la matemática es sintética o
analítica, si Kant o los logicistas que se han opuesto a su concepción (como Frege,
Russell o los positivistas lógicos influidos, en este punto por ellos). Dadas las
concepciones diferentes de la lógica que tienen el primero y sus opositores, no parece
que estén hablando de lo mismo, pues no comparten la misma noción de analiticidad. Al
examinar la idea de Kant de que la mera lógica no es suficiente para fundamentar la
verdad de los juicios matemáticos y se requiere para ello la intuición, es, en todo caso,
importante tener muy en cuenta que para él la lógica es, fundamentalmente, la lógica
aristotélica (ver CRP, B VIII).
En la tercera y última parte de esta exposición haremos énfasis en que, en efecto, de
esta lógica no se puede derivar la geometría euclidiana ni la aritmética y discutiremos el
papel de la intuición y la construcción en las demostraciones de la geometría euclidiana y
en la aritmética. Antes de ello, expondremos brevemente la concepción de Kant del
espacio y el tiempo como intuiciones puras que constituyen la fuente del conocimiento
sintético a priori de la matemática.
III.
Lógica, intuición y construcción en la matemática.
En la Introducción ya hemos dado con la idea clave para explicar cómo es posible
ampliar nuestro conocimiento sin apoyarnos para ello en la experiencia: la razón sólo
puede conocer a priori lo que ella misma pone como condiciones para que podamos
tener experiencia y podamos pensar los objetos de conocimiento. En el caso particular de
la matemática, se alcanza, según Kant un conocimiento de las condiciones formales de la
sensibilidad, que han de cumplirse para poder intuir los objetos a través de los sentidos.
Estas condiciones formales de la sensibilidad son las intuiciones puras: espacio y tiempo.
Espacio y tiempo son anteriores a la experiencia, pues todas las experiencias de objetos
exteriores han de ser ya espaciales (han de estar ya ordenadas en el espacio) y todas las
experiencias de objetos exteriores o interiores han de ser ya temporales (han de estar ya
ordenadas en el tiempo. El espacio y el tiempo son condiciones de posibilidad de toda
experiencia posible y por ello son a priori.
[Analogía con la fábrica de hielo, en la que una condición para que un pedazo de hielo
sea producido en ella es que haya sido congelado en recipientes con moldes de forma
cúbica y de cierto tamaño. Estas condiciones prmiten afirmar ciertas cosas a priori de los
pedazos de hielo producidos en la fábrica]
Kant argumenta también que espacio y tiempo son intuiciones y no conceptos
discursivos o, más bien, que sólo podemos tener conceptos de espacio y tiempo si hay el
espacio y el tiempo como intuiciones puras. Si hablamos de espacios o tiempos en plural,
que pueden valer como instancias particulares que caen bajo conceptos generales de
espacio y tiempo, ellos sólo son representables como partes del espacio y del tiempo
singulares e infinitos. Tales conceptos presuponen, entonces, el espacio y el tiempo
únicos, infinitos y omni-comprensivos de los cuales tendríamos una representación
intuitiva, a priori.
En la exposición trascendental del espacio y el tiempo (en la Estética Trascendental)
Kant explica cómo ellos constituyen los fundamentos que hacen posible la síntesis a
priori en las matemáticas y a la vez justifica la tesis de que espacio y tiempo son
intuiciones puras:
La
geometría
es
una
ciencia
que
establece
las
propiedades
del
espacio
sintéticamente y, no obstante, a priori. ¿Cuál ha de ser, pues, la representación del
espacio para que sea posible semejante conocimiento del mismo? Tiene que ser
originariamente una intuición, ya que de un simple concepto no pueden extraerse
proposiciones que vayan más allá del concepto, cosa que sin embargo ocurre en la
geometría. Esa intuición tiene que hallarse en nosotros a priori, es decir,
previamente a toda percepción de objetos, y, consiguientemente, ha de ser una
intuición pura, no empírica. En efecto, las proposiciones de la geometría son todas
apodícticas, es decir, van acompañadas de la conciencia de su necesidad, como, por
ejemplo, la que afirma que el espacio tiene sólo tres dimensiones. Tales
proposiciones no pueden ser juicios empíricos o de experiencia, como tampoco ser
deducidas de ellos. (CRP, Estética trascendental, B 40-41)
Aclarar la estructura del argumento trascendental:
La única explicación del hecho. Sólo si condiciones trascendentales es posible hecho a
explicar. Como el hecho se da, las condiciones tienen que darse también: si no se dieran
no hubiera podido darse ese hecho.
Examinemos a continuación, a la luz de algunos ejemplos de la geometría euclidiana, el
papel que juegan la lógica, la intuición y la construcción en las demostraciones
geométricas. Un ejemplo que da el propio Kant es el de la demostración euclídea de que
la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos rectos:
Demos al filósofo el concepto de triángulo y dejémosle que halle a su manera la
relación existente entre la suma de sus ángulos y un ángulo recto. No cuenta más
que con el concepto de una figura cerrada por tres líneas rectas y con el concepto de
otros tantos ángulos. Por mucho tiempo que reflexione sobre este concepto no
sacará ninguna conclusión nueva. Puede analizar y clarificar el concepto de línea
recta, el de ángulo o el del número tres, pero no llegar a propiedades no contenidas
en estos conceptos. Dejemos que sea ahora el geómetra el que se ocupe de esta
cuestión. Comienza por construir en seguida un triángulo. Como sabe que la suma de
dos ángulos rectos equivale a la de todos los ángulos adyacentes que pueden
trazarse desde un punto sobre una línea recta, prolonga un lado del triángulo y
obtiene dos ángulos adyacentes que, sumados, valen dos rectos. De estos dos
ángulos divide el externo trazando una paralela al lado opuesto del triángulo y ve
que surge de este modo un ángulo adyacente externo igual a uno interno; y así
sucesivamente. A través de una cadena de inferencias y guiado siempre por la
intuición, el geómetra consigue así una solución evidente y, ala vez, universal del
problema. (CRP, B 716)
¿Qué papel juega la intuición, y de qué tipo de intuición se trata, en esta demostración?
Hay varios pasos en la construcción que parecen sólo poder justificarse por medio de la
intuición: ¿Cómo saber que un lado del triángulo puede prolongarse, que hay, por así
decirlo, espacio para ello? ¿acaso porque vemos que hay espacio? ¿Y cómo lo vemos? Lo
que vemos es una parte blanca del telón donde proyectamos la imagen del triángulo o
del
papel
donde
lo
estamos
dibujando
que
necesariamente
está
localizada
espacialmente, pero, ¿vemos el espacio? Y, ¿Qué pasaría si el triángulo no estuviese
construido en la parte del espacio en que lo está sino al borde, en los límites finales del
espacio? El espacio es ilimitado e infinito, diríamos. Pero cómo saberlo? No puede
saberse esto por medio de la intuición visual, empírica, ya que con ella nunca podremos
abarcar lo infinito ¿Lo sabemos por medio de la lógica? La infinitud del espacio, que
justificaría poder prolongar cualquier segmento de recta, como se establece en el
postulado 2 de los Elementos, sería una de sus propiedades que podemos conocer,
según Kant, apoyándonos en la intuición pura, es decir, en las condiciones que pone la
razón para poder percibir y ordenar fenómenos sensibles.
La siguiente analogía puede arrojar luz sobre este punto: supongamos que en una
fábrica se producen pedazos de hielo y que una condición necesaria para que sea posible
producirlos es que ellos sean congelados en moldes o recipientes que dan una forma
cúbica y un cierto tamaño a los pedazos de hielo. Entonces podemos afirmar a priori, es
decir, sin necesitar examinar empíricamente ningún pedazo de hielo que haya sido
producido de hecho en la fábrica, que tales pedazos de hielo serán cúbicos y que su
volumen no excederá cierto límite. Esto es así porque nosotros mismos hemos puesto
condiciones,
los
pedazos
de
hielo
sólo
se
congelan
en
ciertos
moldes,
que
necesariamente han de darse para que ellos puedan ser producidos. Entonces,
argumentando trascendentalmente, podemos decir que si un pedazo de hielo fue
producido, necesariamente se dieron ciertas condiciones que hacen que él tenga cierta
forma y tamaño. De manera análoga, si el espacio y el tiempo son condiciones de
posibilidad de los fenómenos, podemos conocer de ellos a priori lo que resulta como
consecuencia de estas condiciones; un ejemplo podría ser la infinitud del espacio y la
posibilidad de prolongar indefinidamente cualquier segmento de recta.
Si algunas de las propiedades básicas que se siguen de las condiciones formales de la
sensibilidad, se formulan como axiomas podríamos deducir lógicamente de ellas los
demás teoremas de la geometría. Las intuiciones puras o formas a priori de la
sensibilidad, jugarían, entonces, un papel en la formulación y justificación de los
axiomas, pero no en las demostraciones, que serían puramente lógicas. Esto no ocurre,
sin embargo, en la geometría euclidiana, como lo mostraremos en el siguiente ejemplo.
[Construcción del triángulo equilátero.]
Se ha observado repetidamente que en esta construcción se emplea un supuesto que no
se sigue lógicamente de los principios básicos, no demostrados del sistema axiomático
euclidiano: la existencia del punto de intersección C entre los dos círculos trazados.
¿Cómo saber que los círculos son continuos y no tienen huecos, por ejemplo allí donde
presuntamente se intersecan? Es la continuidad del círculo (también de las rectas) , la
cual no se puede demostrar de modo puramente lógico a partir de los axiomas, una
propiedad que percibimos sensiblemente, mediante la intuición visual, empírica? ¿Es
nuestra intuición visual los suficientemente fina y perfecta como para determinar si un
círculo es continuo o no? ¿Y si nos ayuda en el caso de estos círculos que hemos
construido, nos ayuda también en el caso de todos los círculos que podamos construir,
muchos de los cuales no hemos examinado, ni podemos examinar visualmente? La
continuidad de las figuras construidas sería una propiedad que no se justifica de manera
exclusivamente lógica y que, sin embargo, predicamos de ellas de manera a priori y
necesaria. De acuerdo con la concepción kantiana, sólo podemos conocer algo a priori y
de modo no puramente lógico o analítico, gracias a la intuición pura. La continuidad sólo
podría validarse como una consecuencia de las condiciones puras de la sensibilidad.
Otro ejemplo de una propiedad geométrica que no se sigue lógicamente de los axiomas
de la geometría euclidiana, sino que se validaría por medio de construcciones basadas,
según Kant, en la intuición pura, es la divisibilidad infinita de un segmento de recta. En
la geometría euclidiana esta propiedad de los segmentos de recta se justifica no
lógicamente, sino recurriendo a la repetibilidad indefinida de una construcción, la cula se
apoyaría no sólo en la intuición pura del espacio sino también en la del tiempo.
El que las construcciones y la intuición jueguen un papel imprescindible, esencial, en las
demostraciones euclidianas, se ha visto como un defecto de la axiomatización euclidiana,
que ya ha sido remediado en modernas axiomatizaciones formales y rigurosas, como la
de Hilbert. En ellas se hacen explícitos todos los supuestos que se requieren para deducir
de modo puramente lógico los teoremas; no se dejan lagunas que deben ser llenadas
apelando a la intuición. Hay axiomas, pues, que permiten justificar lógicamente lo que en
las demostraciones euclidianas se validaba recurriendo a las construcciones, que sólo
serían posibles gracias a la intuición. Sin embargo, estos axiomas no pueden formularse
con los medios de la lógica aristotélica. En ellos se usan recursos de la nueva lógica
matemática, como las cuantificaciones que dependen de otras cuantificaciones, que no
estaban disponibles en la lógica aristotélica. Si se tiene en cuenta lo que Kant concebía
como lógica y las limitaciones de ésta, se comprenden mejor las razones que lo llevaron
a afirmar que los juicios de la matemática no son analíticos. Por otra parte, si bien la
nueva lógica permite desterrar la intuición de las demostraciones, con ello no se resuelve
la cuestión de si los axiomas de un sistema geométrico completamente formalizado son
analíticos, si ellos pueden deducirse de principios puramente lógicos.
Para finalizar haremos algunas breves observaciones sobre el papel de la intuición en la
aritmética.
Los números naturales sólo pueden representarse por medio de construcciones en las
que se añaden sucesivamente unidades homogéneas. Tales construcciones presuponen
la intuición pura del tiempo.
La definición fregeana de número no presupone la noción de tiempo. Pero para
formularla se requieren las herramientas técnicas de la nueva lógica matemática.