Determinación de la probabilidad de escape en un sistema galáctico

TRABAJO FIN DE ESTUDIOS
MÁSTER INTERUNIVERSITARIO EN MODELIZACIÓN MATEMÁTICA,
ESTADÍSTICA Y COMPUTACIÓN
Determinación de la probabilidad de escape en un
sistema galáctico
Wafaa Kanaan
Tutor: Víctor Lanchares Barrasa
Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática
Curso 2011-2012
Determinación de la probabilidad de escape en un sistema galáctico, trabajo fin
de estudios
de Wafaa Kanaan , dirigido por Víctor Lanchares Barrasa (publicado por la Universidad de
La Rioja), se difunde bajo una Licencia
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El autor
Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2012
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UNIVERSIDAD DE LA RIOJA
Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e
Informática
TRABAJO FIN DE MÁSTER
Máster en Modelización Matemática,
Estadı́stica y Computación
Determinación de la probabilidad
de escape en un sistema galáctico
Alumna:
Director:
Wafaa Kanaan
Vı́ctor Lanchares Barrasa
Logroño, 7 de septiembre de 2012
Introducción
Todas las estrellas que podemos ver a simple vista en una noche oscura
pertenecen a nuestra galaxia, la Vı́a Láctea. Determinar su forma y estructura
no es sencillo y a ello dedicaron su esfuerzo los astrónomos desde el trabajo
pionero de William Herschel [6]. La figura 1 muestra, de manera esquemática,
la estructura de la Vı́a Láctea, en la que puede verse su forma espiral, pero
también que se trata de un disco plano con un engrosamiento central.
30 kpc
C
N
C
S
Sol
Sol
Figura 1: La Vı́a Láctea vista desde arriba se muestra como un sistema
circular con brazos espirales. Vista de lado aparece como un disco con un
engrosamiento central. El Sol está situado aproximadamente a dos tercios de
distancia del centro C. La Galaxia gira alrededor de un eje central, donde N
y S representan los polos norte y sur galácticos respectivamente.
El diámetro estimado del disco es de unos 30 kiloparsecs, donde un parsec
es una unidad de distancia que equivale a 3.26 años luz. Por el contrario, el
espesor del disco es tan solo de un kiloparsec. La galaxia gira alrededor de su
eje, pero no como un sólido rı́gido, sino que las estrellas giran individualmente
alrededor del centro galáctico, preferentemente en órbitas casi circulares. Por
ejemplo el Sol tarda unos 200 millones de años en completar una órbita. Se
cree que hay unos 100 mil millones de estrellas en la galaxia, aunque también
hay presente materia oscura, representada en la figura 1 por una lı́nea de
trazo negro.
La distancia entre estrellas dentro de la galaxia fueron determinadas hacia mediados del siglo XIX por el método de paralaje trigonométrica. Sin
iii
iv
Introducción
Figura 2: Clasificación de Hubble de los diferentes tipos de galaxias, atendiendo a su forma. Las galaxias que no responden a este esquema se clasifican
como irregulares (I).
embargo, este método tiene un rango de aplicación que está en torno a 100
parsecs. A partir de 1912, se pudo estimar la distancia a un tipo especial de
estrellas, las variables Cefeidas, lo que permitió probar que nuestra galaxia
era mayor de lo que se pensaba previamente.
Gracias a la observación de Cefeidas, en la década de 1920, Hubble [7]
descubrió que ciertas nebulosas brillantes, que hasta entonces habı́an sido
consideradas parte de la Vı́a Láctea, eran en realidad objetos que estaban
muy alejados de ella. Su descubrimiento desterró la creencia de que todo
el universo observable se reducı́a a nuestra propia galaxia y se vio que estas
nebulosas eran en realidad otras galaxias, es decir, estructuras con un enorme
número de estrellas, gas, polvo y materia oscura.
La galaxia más cercana a la nuestra es la Galaxia de Andrómeda (M31) y
tiene una estructura espiral similar a la nuestra. Las galaxias espirales, como
ası́ se denominan a estas galaxias, son probablemente las más numerosas
entre las galaxias brillantes. Comparten con la Vı́a Láctea las caracterı́sticas
principales, como son la rotación, el aplanamiento, el engrosamiento central
y la presencia de materia oscura. Según la clasificación de Hubble, de 1926,
se subdividen en diferentes tipos: Sa, Sb y Sc, en orden decreciente, según la
importancia del núcleo, o engrosamiento central, en relación con el disco que
lo rodea. Algunas de estas galaxias tienen en la parte central estructuras con
aspecto de barra y a este tipo de galaxias se les denomina espirales barradas
y, con el mismo criterio que las espirales, se subdividen en SBa, SBb y SBc.
Mientras que las galaxias espirales son las más abundante entre las galaxias brillantes, el grupo más numeroso entre todas las galaxias es el que se
clasifica como elı́pticas. Estas tienen forma elipsoidal, apenas rotan y casi no
tienen gas y polvo. Las galaxias elı́pticas se subdividen en E0, E1, . . . , E7,
Introducción
v
Elíptica
Espiral
Figura 3: Curvas isofotas para galaxias elı́pticas y espirales.
donde el número se va incrementando a medida que la forma de la galaxia se
va lejando más de un cı́rculo. La figura 2 muestra, de manera esquemática,
la clasificación de las galaxias, según el sistema propuesto por Hubble.
A diferencia de las estrellas, que presentan una imagen puntual, las galaxias tienen apariencia nebulosa, con las formas descritas previamente. Gracias a los dispositivos de captación de luz disponibles actualmente, es posible
obtener una distribución precisa de la luz proveniente de estos objetos. Esta distribución queda descrita de manera conveniente mediante las isofotas,
que son curvas de nivel de igual intensidad lumı́nica (véase la figura 3). El
problema principal estriba en determinar dónde termina una galaxia, ya que
no hay un borde definido, debido a la disminución gradual del brillo desde
el centro hacia la periferia. En este sentido, para estimar el tamaño de una
galaxia se usa el radio de Holmberg, que corresponde a la isofota con un
brillo de 26.5 magnitudes por segundo de arco cuadrado. Sin embargo, este
lı́mite no es del todo real ya que, en la década de 1970, la observación de las
nubes de hidrógeno que rodean las galaxias espirales puso de manifiesto que
los tamaños de la galaxias debı́an de ser mucho mayores que la parte visible
observable.
No obstante, este hecho también se puede deducir del estudio sistemático de las órbitas de las estrellas, principalmente en las galaxias dominadas
estelarmente, es decir, con poco gas y polvo, como son las elı́pticas y las espirales de tipos tempranos (Sa, Sb, SBa, SBb). De este modo, podemos decir
que el estudio de las órbitas estelares dentro de las galaxias constituye una
importante fuente de información sobre las mismas. De hecho, su estudio no
solo es importante por conocer los tipos de órbitas que se dan en estos sistemas, sino porque también las órbitas son necesarias para construir modelos
autoconsistentes de galaxias.
Por autoconsistente podemos entender un modelo en el que se cumple que
el potencial gravitatorio galáctico, creado por las estrellas, gas y polvo, da
lugar a una distribución de masas similar a la que se deduce de las isofotas.
Pero además, la superposición de todas las órbitas estables, que se derivan
de la acción del potencial gravitatorio galáctico, reproducen la forma de la
Introducción
vi
galaxia. En este sentido podemos hablar de pares potencial-densidad que
tengan la propiedad de autoconsistencia.
Estos modelos están creados teniendo en cuenta que la función potencial
Φ(x, y, z) satisface la ecuación de Poisson (ver, por ejemplo, [1, 4, 5])
∆Φ(x, y, z) = 4πGρ(x, y, z),
donde ∆ representa el operador de Laplace, G es la constante de gravitación
universal y ρ(x, y, z) es la función de densidad. Los modelos clásicos más
usados [1, 3] son:
1. Modelo de Plummer
GM
,
ΦP = − √ 2
R + b2
donde R2 = x2 +y 2 +z 2 , M es la masa de la galaxia y b es una constante.
2. Modelo de Kuzmin
ΦK = − q
GM
r2 + (a + |z|)2
,
con r2 = x2 + y 2 .
3. Modelo de Miyamoto-Nagai
Φ = −q
GM
,
√
2
2
2
2
r + (a + z + b )
donde a y b son constantes. Obsérvese que este modelo generaliza los
dos anteriores, ya que si a = 0 se tiene el modelo de Plummer y si b = 0
el de Kuzmin.
4. Modelo logarı́tmico
1
z2
ΦL = v02 ln RC2 + r2 + 2 ,
2
qΦ
"
#
donde v0 , RC y qΦ son constantes con |qΦ | < 1.
Estos son los potenciales usados con mayor frecuencia, aunque hay otros modelos que se usan en la literatura (para una relación amplia de los diferentes
modelos de potencial puede consultarse el libro de Binney & Tremaine [1]).
Introducción
vii
En cualquier caso, cerca del centro galáctico todos los potenciales anteriores
admiten un desarrollo en serie de potencias de la forma
Φ(x, y, z) = a r2 + b z 2 + c r2 z 2 + d r4 + e z 4 ,
(1)
con a, b, c, d y e parámetros que dependen del modelo y de las constantes
del mismo. Nosotros consideraremos el caso en que a = b y d = e.
Tomando como potencial galáctico la expresión anterior, más manejable y
sencilla, numerosos autores han estudiado el comportamiento de los sistemas
galácticos desde diferentes puntos de vista, fundamentalmente desde el de los
sistemas dinámicos (véase [3] para una compilación extensa de referencias).
Considerado como un sistema dinámico, se pueden aplicar las numerosas
herramientas que existen para su estudio con el fin de obtener información
relevante. En concreto, se puede establecer un atlas de soluciones periódicas
con su tipo de estabilidad, se puede estudiar el grado de regularidad del
sistema o la dinámica de escape. A esta última parte vamos a dedicar el
objeto de esta memoria.
Un sistema con escape es aquel en el que si la energı́a del sistema supera
un cierto lı́mite, algunas órbitas pueden escapar al infinito. Existen numerosos ejemplos de sistemas con escape y entre ellos se encuentran los modelos
galácticos con un potencial como el anterior. Para estos sistemas un parámetro de importancia es la probabilidad de escape para un determinado nivel
de energı́a. Esta probabilidad se puede obtener de diversas maneras, una de
las cuales se basa en la aplicación del Método de Montecarlo. Para ello suelen
tomarse grandes muestras con diferentes tipos de órbitas evaluando, con un
criterio fiable, cuándo la órbita escapa o no. Lo que nos proponemos hacer
en esta Memoria es estimar el tamaño óptimo de la muestra que nos dé con
cierta precisón, en un margen de confianza establecido, la probabilidad de
escape. Esto, sin duda, contribuye a optimizar el cálculo de probabilidades
de escape, aunque, como se verá, el problema es más difı́cil de lo que parece,
ya que la forma en la que se tome la muestra influye en gran medida en la
probabilidad obtenida. Este es tanto más acusado para probabilidades bajas.
viii
Introducción
Índice general
Introducción
III
1. Planteamiento del problema
1.1. Potencial y curvas de velocidad cero . . .
1.2. Equilibrios . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Equilibrios en el plano z = 0 . . .
1.2.2. Equilibrios fuera del plano z = 0 .
1.3. Mecanismo de escape . . . . . . . . . . .
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1
3
4
5
7
9
2. Probabilidad de escape por el método de Monte Carlo
2.1. Determinación del tamaño muestral . . . . . . . . . . . .
2.2. Cálculo de la probabilidad para Lz constante . . . . . . .
2.2.1. Muestra uniforme frente a muestra aleatoria . . .
2.3. Probabilidad de escape con energı́a fija . . . . . . . . . .
.
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15
17
19
22
26
.
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3. Conclusiones
29
Bibliografı́a
31
ix
Capı́tulo 1
Planteamiento del problema
El problema que vamos a considerar es el de evaluar la probabilidad de
escape de una estrella de las inmediaciones del núcleo de la galaxia. En
general, los núcleos galácticos presentan una acumulación de masa, que puede
ser un agujero negro, y ejercen su atracción sobre las estrellas más distantes
del centro, hasta un cierto lı́mite que fijaremos en 1.5 kiloparsecs, es decir
estrellas alejadas del centro no más de 4890 años luz.
Para estudiar el problema debemos modelar el tipo de atracción que ejerce el núcleo sobre una estrella. El modelo más sencillo serı́a mediante la ley
de gravitación de Newton, pero este modelo no recoge bien la estructura real
de una galaxia. En el modelo de Newton es como si toda la masa del núcleo
galáctico estuviera situada en un punto que se localiza en el centro del mismo. Es por ello que se consideran otros modelos diferentes, aunque, eso sı́,
basados siempre en la mecánica clásica. Como se ha dicho en la introducción
de esta memoria, las galaxias dominadas estelarmente pueden ser modeladas
por potenciales relativamente sencillos, que dan lugar a estructuras autoconsistentes. En estos casos, la fuerza con la que una estrella es atraı́da por el
núcleo viene determinada por el potencial. En el modelo que nosostros vamos
a considerar, la función de potencial, creada por la atracción del núcleo, va
a venir dada por la expresión (1) y que escribiremos como
V (r, z) =
h
i
ω2 2
(r + z 2 ) − α(r4 + z 4 ) + 2βr2 z 2 .
2
Aquı́, se ha supuesto que la galaxia tiene simetrı́a de rotación, además de ser
simétrica respecto a un plano, que es el denominado plano galáctico. Esto
qiere decir que si la galaxia es girada alrededor de un eje perpendicular al
plano galáctico, que pasa por el centro de la galaxia, siempre verı́amos la
misma figura. Bajo este supuesto, r = x2 + y 2 es la distancia de una estrella
al centro de la galaxia, medida sobre el plano galáctico (el plano de simetrı́a);
1
2
Capı́tulo 1. Planteamiento del problema
z es la altura de una estrella sobre el plano galáctico; ω es la velocidad angular
con que gira la galaxia; α y β son parámetros que dependen de la forma de la
galaxia y es un parámetro de escala, que no es relevante, salvo para medir
la importancia relativa de los dos términos del potencial.
Si a la energı́a creada por el potencial del centro de la galaxia le sumamos
la energı́a cinética de la estrella, debida a su velocidad, se obtiene la función
de energı́a
L2
1
H = (p2r + p2z ) + z2 + V (r, z),
2
2r
donde pr es la velocidad radial (pr = dr/dt), pz es la velocidad vertical
~ × R,
~˙
(pz = dz/dt) y Lz es la tercera componente del momento angular, R
~ = (x, y, z) y R
~˙ = dR/dt.
~
donde R
Suponiendo que el sistema considerado es conservativo y, debido a las
simetrı́as del problema, tanto H como Lz son constantes, es decir, dH/dt =
dLz /dt = 0. Por otra parte, r, z, pr y pz definen un conjunto de variables
canónicas, de manera que H es la función hamiltoniana del sistema. De aquı́ se
deducen las ecuaciones del movimiento, que son un conjunto de ecuaciones
diferenciales que nos indican cómo cambian la posición (r y z) y velocidad
(pr y pz ) de la estrella con el tiempo. Estas ecuaciones se escriben como
∂H
dr
=
= pr ,
dt
∂pr
∂H
dz
=
= pz ,
ż =
dt
∂pz
ṙ =
∂H
L2
pr
=−
= 3z − ω 2 r + (4αr3 + 4βrz 2 ),
ṗr =
dt
∂r
r
pz
∂H
ṗz =
=−
= −ω 2 z + (4αz 3 + 4βr2 z).
dt
∂z
(1.1)
En este punto, fijaremos los valores de los parámetros que aparecen en el
problema, que tomaremos como
ω = 1,
= 1,
α = 0,2,
β = −1,2.
Con esta elección de valores para ω y , las unidades de medida son:
una unidad de longitud = 1 kiloparsec,
una unidad de tiempo = 107 años,
una unidad de masa = 1 masa solar.
1.1. Potencial y curvas de velocidad cero
3
Los parámetros definidos anteriormente son idénticos para cada estrella,
sin embargo, Lz y H dependen de cada una en particular, ya que representan
su energı́a y la tercera componente de su momento angular que, obviamente, cambiarán con cada estrella considerada. Dependiendo de estos valores,
podemos encontrar dos tipos de movimiento: acotados y no acotados, que
denominaremos de escape. En realidad hay un valor crı́tico de la energı́a, que
recibe el nombre de energı́a de escape, de manera que por encima de dicho
valor la estrella puede escapar de la atracción del núcleo galáctico.
1.1.
Potencial y curvas de velocidad cero
Para comprender el mecanismo de escape es conveniente estudiar las regiones en las que una estrella puede estar localizada, en función de su energı́a
y su momento angular. Esto puede deducirse a partir de la función de potencial efectivo, que se obtiene de H restando ṙ2 + ż 2 . En este caso resulta
h
i
L2z
ω2 2
L2z
2
4
4
2 2
+
V
(r,
z)
=
+
(r
+
z
)
−
α(r
+
z
)
+
2βr
z
.
2r2
2r2
2
Como la energı́a, dada por H, se conserva, una vez fijado un nivel de energı́a,
el mayor valor del potencial efectivo se alcanza cuando la velocidad es 0, es
decir, cuando p2r + p2z = 0. De aquı́ resultan las curvas de velocidad cero, que
son las curvas de nivel que se obtienen de
Ve =
Ve = H
para diferentes valores de la energı́a H. La figura 1.1 muestra varias de estas
curvas para los valores establecidos de ω = 1, = 1, α = 0,2, β = −1,2 y un
valor de Lz = 0,1.
Una estrella con energı́a inicial H solo puede desplazarse hacia regiones
donde el valor de Ve sea menor que H. Esto es ası́ ya que, si hay una ganancia
de velocidad, p2r + p2z será una cantidad mayor que cero, obligando a que Ve
sea menor, para que la energı́a se conserve. Por tanto, si una estrella tiene
una energı́a que da lugar a una curva de velocidad cero cerrada, su órbita
se mantendrá siempre en el interior de dicha curva y la estrella no puede
escapar de la atracción del núcleo galáctico. Este es el caso que aparece en
la figura 1.1 para un valor de la energı́a igual a 0.2. Por el contrario, si la
curva de velocidad cero es no acotada, la estrella puede llegar a escapar de la
influencia del núcleo, como en el caso de la figura 1.1 para una energı́a igual
a 0.4.
Entre estos dos valores de la energı́a se encuentra el valor crı́tico de la
misma que separa los movimientos acotados de los de escape. Este valor,
4
Capı́tulo 1. Planteamiento del problema
1.0
0.316513
z
0.5
0.0
0.2
0.2
0.4
-0.5
0.5
-1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
r
Figura 1.1: Diferentes curvas de velocidad cero. Son las curvas de nivel del
potencial efectivo Ve para diferentes valores de la energı́a.
para Lz = 0,1, es H = 0,316513. Ası́, por debajo de este valor las estrellas
están atrapadas en una cierta región, mientras que para valores superiores
pueden tener una trayectoria de escape. El cambio de situación está asociado
a la aparición de un punto de equilibrio inestable de tipo centro × silla, que
se ve claramente en la curva de color rojo de la figura 1.1. Las coordenadas
de este punto se pueden obtener resolviendo numéricamente las ecuaciones
(1.1) cuando son igualadas a 0. Estas soluciones corresponden a puntos de
equilibrio, es decir, puntos en los que una estrella podrı́a permanecer por
tiempo indefinido si no actuaran otras fuerzas sobre ella. Cuando Lz = 0,1
se obtienen los siguientes puntos de equilibrio
E1,2 ≡ (pr = 0, pz = 0, r = 0,188086, z = ±1,20924),
E3 ≡ (pr = 0, pz = 0, r = 0,323203, z = 0),
E4 ≡ (pr = 0, pz = 0, r = 1,1144, z = 0).
Como vemos hay cuatro equilibrios, dos de los cuales no aparecen reflejados
en la figura 1.1. Si los tenemos en cuenta, vemos que si la energı́a se hace
mayor que 0,586415 aparecen nuevos canales de escape debidos a los puntos
de silla correspondientes a E1,2 (ver figura 1.2, curva azul).
1.2.
Equilibrios
Los equilibrios dependen del valor de Lz y, en general de los parámetros
del sistema. Aunque nosotros hayamos fijado dichos valores, vamos a hacer
un análisis más detallado de su existencia ası́ como de su tipologı́a. Igualando
1.2. Equilibrios
5
1.5
0.586415
0.586415
1.0
0.8
0.5
z
0.2
0.0
-0.5
0.316513
0.8
0.2
0.8
0.316513
-1.0
-1.5 0.586415
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
r
Figura 1.2: Curvas de velocidad cero, cuando Lz = 0,1 y valores de la energı́a
superiores. Se puede apreciar que aparecen nuevos canales de escape, asociados a los equilibrios inestables fuera del plano z = 0.
a cero las ecuaciones (1.1), se obtiene que para las soluciones de equilibrio
debe ser
pr = 0, pz = 0, [ω 2 − (4αz 2 + 4βr2 )]z = 0
De la tercera igualdad se sigue que hay dos tipos de equilibrios; aquellos con
z = 0 y aquellos en los que z viene dado por
√ 2
ω − 4βr2
√
.
(1.2)
z=±
2 α
1.2.1.
Equilibrios en el plano z = 0
Si z = 0, sustituyendo en la tercera ecuación de (1.1), se tiene un equilibrio
siempre que r satisfaga la ecuación
P(r) ≡ 4αr6 − ω 2 r4 + L2z = 0.
(1.3)
Aplicando la regla de los signos de Descartes [11], la ecuación (1.3) tiene a
lo más dos raı́ces reales positivas. Si α > 0, como es el caso que estamos
considerando, a partir de la resultante de P(r) podemos concluir lo siguiente:
1. Si 0 ≤ L2z <
ω6
, existen dos equilibrios con z = 0.
1082 α2
2. Si L2z =
ω6
existe un solo equilibrio con z = 0.
1082 α2
3. Si L2z >
ω6
no hay equilibrios con z = 0.
1082 α2
6
Capı́tulo 1. Planteamiento del problema
Además, es fácil ver que, cuando
L2z
ción (1.3) viene dada por
ω6
, la raı́z doble de la ecua=
1082 α2
ω
.
(1.4)
6α
A partir de aquı́, deducimos que, cuando P(r) tiene dos raı́ces positivas r1 y
r2 , éstas satisfacen
0 < r1 < rd ,
r2 > rd .
(1.5)
rd = √
Una vez estudiada la existencia de estos equilibrios, nos centramos ahora
en su naturaleza, analizando su estabilidad lineal. Para ello debemos ver cómo
son los valores propios que resultan de la matriz asociada a la linealización
del sistema (1.1) en torno a los puntos de equilibrio. Esta matriz resulta ser
∂2H
∂pr ∂r
∂2H
∂pr ∂z
∂2H
∂p2r

 ∂2H

 ∂pz ∂r


 − ∂2H

∂r2

∂2H
∂pz ∂z
∂2H
∂pz ∂pr

M=
2
∂ H
− ∂z∂r
2
2
∂ H
∂ H
− ∂r∂z
− ∂r∂p
r
2
2
− ∂∂zH2
∂2H
∂pr ∂pz






2
∂ H 

− ∂r∂p
z 

∂2H
∂p2z
2
∂ H
∂ H
− ∂z∂p
− ∂z∂p
r
z
pr =0,pz =0,z=0,r=r1,2
de donde se obtienen los siguientes valores propios
q
2
− ω2,
λ1,2 = ± 4βr1,2
q
λ3,4 = ±
6
2
12αr1,2
− ω 2 r1,2
− 3L2z
2
r1,2
(1.6)
.
Como en nuestro caso β < 0, los dos primeros valores propios son imaginarios puros, para los dos puntos de equilibrio. Sin embargo, la naturaleza de
λ3,4 va a depender de r. En efecto, puesto que estamos en una solución de
equilibrio, se cumple
P(r) = 0 ⇒ L2z = ω 2 r4 − 4αr6 .
Por tanto,
q
λ3,4 = ±
4
2
4r1,2
(6αr1,2
− ω2)
2
r1,2
,
y, teniendo en cuenta (1.4) y (1.5), λ3,4 son imaginarios cuando r = r1 y
son reales cuando r = r2 . En consecuencia, cuando r = r1 tenemos un punto de tipo centro y cuando r = r2 el equilibrio es de tipo centro × silla,
que habitualmente se denomina simplemente punto de silla. Cuando los dos
equilibrios coinciden los valores propios λ3,4 se anulan y se produce una bifurcación que, por la naturaleza de los equilibrios que intervienen, va a ser
de tipo silla-nodo.
1.2. Equilibrios
1.2.2.
7
Equilibrios fuera del plano z = 0
El análisis de estos puntos se hace de manera similar al efectuado en
la subsección anterior. Para empezar, sustituimos el valor de z dado por
la ecuación (1.2) en la tercera de las ecuaciones (1.1). De este modo, para
obtener un punto de equilibrio, r ha de verificar la ecuación
Q(r) ≡ 4(α2 − β 2 )r6 − ω 2 (α − β)r4 + αL2z = 0.
(1.7)
El estudio conjunto de las ecuaciones (1.2) y (1.7) es más dificultoso que en
el caso z = 0, ya que sus soluciones dependen no solo del valor de Lz , sino
también de α y β. Aquı́ analizaremos solo el caso en que α > 0 y β < 0,
como es el caso que nos va a ocupar. También supondremos > 0.
En estas condiciones, por cada solución de la ecuación (1.7) se obtienen
valores válidos de z dados por (1.2), ya que β < 0. Por tanto, solo debemos
ocuparnos de estudiar las soluciones de (1.7).
Para poder determinar el número de soluciones de (1.7) vemos que la
secuencia de coeficientes del polinomio Q(r) es la siguiente
potencia
r6
coeficiente 4(α2 − β 2 )
signo
+/−
r5
0
r4
r3
−ω 2 (α − β) 0
−
r2
0
r1
0
r0
αL2z
+
De aquı́ se deduce que si α2 − β 2 > 0 el número de soluciones puede ser a
lo sumo dos, mientras que si α2 − β 2 < 0 el número de soluciones es siempre
una.
Caso α2 − β 2 < 0
Como ya se ha dicho, en este caso siempre hay una solución de la ecuación (1.7), que da lugar a dos puntos de equilibrio situados simétricamente
respecto al plano z = 0. Su naturaleza depende de los valores propios de la
matriz del sistema lineal asociado. Esta matriz tiene la siguiente estructura




M =
donde
A=−
∂ 2H
,
∂r2
0 0 1
0 0 0
A B 0
B C 0
B=−
∂ 2H
,
∂z∂r
0
1
0
0



,

C=−
∂ 2H
,
∂z 2
8
Capı́tulo 1. Planteamiento del problema
por lo que los valores propios son solución de la ecuación
λ4 − (A + C)λ2 + (AC − B 2 ).
Una condición suficiente para que el equilibrio sea de tipo centro × silla es
que AC − B 2 < 0. Ahora bien, teniendo en cuenta que se satisface (1.7),
resulta
AC − B 2 = −
8(α − β) (4βr2 − ω 2 ) (6αr2 + 6βr2 − ω 2 )
.
α
(1.8)
Como α2 − β 2 < 0 y α > 0 y β < 0 es evidente que AC − B 2 < 0 y el punto
de equilibrio es de tipo centro × silla.
Caso α2 − β 2 > 0
Al igual que se hizo en la subsección 1.2.1, a partir de la resultante de
Q(r), podemos concluir lo siguiente:
ω 6 (α − β)
, existen cuatro equilibrios con z 6= 0, simétri108α2 (α + β)2
cos dos a dos respecto al plano z = 0.
1. Si 0 ≤ L2z <
ω 6 (α − β)
2. Si
=
existen dos equilibrios con z 6= 0, simétricos
108α2 (α + β)2
respecto al plano z = 0.
L2z
3. Si L2z >
ω 6 (α − β)
no hay equilibrios con z 6= 0.
108α2 (α + β)2
Además, puede verse que, cuando L2z =
ω 6 (α − β)
, la raı́z doble de
108α2 (α + β)2
la ecuación (1.7) viene dada por
rd = q
w
.
(1.9)
6(α + β)
A partir de aquı́, deducimos que, cuando Q(r) tiene dos raı́ces positivas r1 y
r2 , éstas satisfacen
0 < r1 < rd ,
r2 > rd .
(1.10)
La estabilidad de los puntos de equilibrio se sigue de (1.8), (1.9) y (1.10).
Puede verse que los equilibrios para los que r = r1 son de tipo centro × silla,
mientras que aquellos para los que r = r2 son de tipo centro. Cuando los
equilibrios coinciden, r1 = r2 , se produce una bifurcación silla-nodo.
1.3. Mecanismo de escape
9
Lz = 0.1
Lz = 0.24
1.0
0.5
0.5
0.5
0.0
0.0
0.0
-0.5
z
1.0
z
z
Lz = 0.05
1.0
-0.5
-1.0
-0.5
-1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
r
1.0
1.2
-1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r
1.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
r
Figura 1.3: Curvas de velocidad cero, cuando α2 − β 2 > 0. En la figura
ω = = α = 1 y β = −0,5. De izquierda a derecha va aumentando el
valor de la tercera componente del momento angular (Lz = 0,05, 0,1 y 0,24),
pasando de una situación en la que hay seis equilibrios hasta otra en la que
no hay ninguno.
En la figura 1.3 pueden verse las curvas de velocidad cero en el caso en
que α2 − β 2 > 0, donde se observa la evolución de los puntos crı́ticos a
medida que Lz va aumentando, pasando de haber seis equilibrios hasta que
no hay ninguno. Además, de las dos bifurcaciones que tienen lugar, siempre
se produce primero la que afecta a los equilibrios en el plano z = 0. En
ω6
, mientras que
efecto, la primera bifurcación se produce cuando L2z =
1082 α2
ω 6 (α − β)
la segunda tiene lugar para L2z =
. Restando ambos valores
108α2 (α + β)2
resulta
ω 6 (α − β)
ω6
(3α + β)βω 6
−
=−
< 0.
108α2 (α + β)2 1082 α2
1082 α2 (α + β)2
1.3.
Mecanismo de escape
La discusión hecha sobre los de puntos de equilibrio, ası́ como de las
correspondientes curvas de velocidad cero, refleja la existencia de diferentes
situaciones, en cada una de las cuales el problema de determinar órbitas
acotadas o no es diferente. En este trabajo, nos centraremos exclusivamente
en el caso en que los parámetros del sistema son los que quedaron fijados
anteriormente: ω = = 1, α = 0,2 y β = −1,2. En estas condiciones,
se ha visto que siempre existen dos equilibrios fuera del plano z = 0, que
son de tipo centro × silla y que hemos denominado E1,2 . Además, mientras
Lz < 0,481125 hay otros dos equilibrios en el plano z = 0, uno de tipo centro,
10
Capı́tulo 1. Planteamiento del problema
1.0
Órbita de Lyapunov
z
0.5
0.0
0.32
! 0.5
! 1.0
0.32
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
r
Figura 1.4: Órbita de Lyapunov para el nivel de energı́a 0,32, cuando Lz =
0,1.
E3 y otro de tipo centro × silla, E4 .
Es este último punto de equilibrio el que propicia la separación entre
movimientos acotados y no acotados. De hecho, si la energı́a es superior a
la del punto E4 , las curvas de velocidad cero se abren en las inmediaciones
de E4 . En esa apertura se encuentra una órbita que actúa de puente y es
la denominada órbita de Lyapunov. En una primera aproximación podemos
calcularla resolviendo el sistema lineal asociado al equilibrio E4 , para un valor
de la energı́a ligeramente por encima del de E4 . La estructura del sistema
lineal es muy simple, ya que el sistema de ecuaciones (1.1) se desacopla en
dos subsistemas, uno en r, pr y otro en z, pz :
(
ṙ = pr ,
ṗr = 4(6αr22 − ω 2 )r,
(
ż = pz ,
ṗz = (4βr22 − ω 2 )z,
donde r2 = 1,1144 es la coordenada r de E4 .
El primer subsistema está asociado a los valores propios reales λ3,4 (ver
Eq. (1.6)), dando lugar a soluciones que no son periódicas. Por el contrario,
el subsistema en z es el asociado a los valores propios imaginarios λ1,2 y da
lugar a soluciones periódicas. De este modo, en una primera aproximación, la
órbita de Lyapunov es tal que r = r2 y aparecerá como un segmento vertical
que actúa de puente o puerta en las curvas de velocidad cero. En la figura 1.4
se muestra la órbita de Lyapunov para un valor de la energı́a igual a 0,32.
La importancia de la órbita de Lyapunov estriba en el hecho de que toda
trayectoria que la cruce en una dirección no puede volver a cruzarla en la
11
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0.0
z
z
1.3. Mecanismo de escape
0.32
-0.2
! 0.4
-0.4
-0.6
0.32
! 0.2
! 0.6
0.32
0.2
0.4
0.6
0.8
r
1.0
1.2
1.4
0.32
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
r
Figura 1.5: Dos órbitas con comportamiento de escape distinto para un nivel
de energı́a igual a 0,32 y Lz = 0,1.
dirección contraria [3, 9]. Es decir, la órbita de Lyapunov es la puerta de salida
para las trayectorias de escape. Dado que su disposición es aproximadamente
vertical con r = r2 , podemos suponer que si para una trayectoria existe un
tiempo t para el cual r(t) > r2 , entonces la trayectoria es una trayectoria de
escape. No todas las órbitas escapan, sino solo aquellas que en algún momento
cruzan por la órbita de Lyapunov. En la figura 1.5 pueden verse dos órbitas
diferentes, una de las cuales escapa y la otra no.
Por otra parte, debemos hablar de escape efectivo, en el sentido de que
si el tiempo de escape es superior a un determinado tiempo lı́mite, hemos de
considerar que la trayectoria no ha escapado realmente. Este tiempo lı́mite
lo hemos fijado en 109 años, por lo que en las unidades de tiempo elegidas
equivale a t = 100. De este modo, si una órbita no ha escapado en 100
unidades de tiempo no va a ser considerada de escape. Nuestro objetivo es
estimar la probabilidad de escape para una estrella con una energı́a y un
momento angular dados en un tiempo inferior a 100.
En una primera aproximación podemos ver lo que sucede mediante secciones de Poincaré. Una sección de Poincaré es una sección del espacio de fases
del sistema, transversal a las órbitas. Sobre la misma se define una función,
denominada aplicación de Poincaré, que a un punto P de dicha sección le
hace corresponder el primer punto de la órbita que pasa por P que está en
la sección de Poincaré y que la corta en una dirección determinada.
En nuestro caso, hemos tomado como sección de Poincaré el plano z = 0,
cuando pz > 0, de manera que la sección está contenida en el plano (r, pr ),
donde puede verse con facilidad el escape. El lı́mite de la sección, fijado un
12
Capı́tulo 1. Planteamiento del problema
valor de la energı́a H, viene dado por
H=
L2
p2r
r2
+ z2 +
− 0,2r4 ,
2
2r
2
que resulta de hacer z = pz = 0 en la función hamiltoniana, cuando ésta
toma el valor de energı́a H.
Sobre la misma, y con Lz = 0, 1, hemos tomado al azar 1000 condiciones
iniciales y hemos calculado numéricamente, para cada una de ellas, las imágenes de la aplicación de Poincaré con t < 100. Empezando con una energı́a
por debajo de la de escape, H = 0,2, se aprecian en la sección estructuras
regulares bien definidas (ver figura 1.3), correspondientes, en general, a movimientos cuasiperiódicos sobre toros invariantes. Cuando el valor de la energı́a
aumenta, H = 0,3, apenas quedan estructuras regulares y, aunque las órbitas
todavı́a no pueden ser de escape, su movimiento presenta un comportamiento caótico, de forma que la órbita que pasa por un punto de la sección de
Poincaré, pasa por un entorno de casi todo punto de la misma, excepción
hecha de las zonas de comportamiento regular. Este comportamiento preludia el escape en cuanto hay un canal abierto para el mismo. Y esto puede
verse en la figura 1.3 cuando H = 0,32, ligeramente por encima de la energı́a
de escape. En concreto, vemos cómo alguna de las trayectorias escapa por
el canal abierto, aunque la mayorı́a de las trayectorias ocupan la práctica
totalidad de la sección, en un movimiento irregular, no encontrando el canal
de escape en el tiempo efectivo. Por tanto, la probabilidad de escape en este
caso es esperable que no sea muy alta.
Cuando la energı́a aumenta, vemos cómo cada vez más órbitas encuentran
el canal de escape, al tiempo que empiezan a aparecer zonas blancas en la
sección de Poincaré. Estas zonas corresponden a aquellas órbitas que encuentran el canal de escape muy rápido y por tanto no regresan a la superficie de
sección con r < 1,5. Por otra parte, la densidad de puntos sobre la misma
disminuye, indicando que los tiempos de escape disminuyen, al tiempo que
aumenta la probabilidad de escape.
Por último, las secciones de Poincaré muestran claramente que las órbitas
que escapan lo hacen con pr > 0 y con valores de pr cada vez mayores. Esto
indica que una vez que la órbita empieza a alejarse, lo hace cada vez más
rápido.
1.3. Mecanismo de escape
13
Figura 1.6: Secciones de Poincaré con z = 0 y pz > 0 para Lz = 0,1 y
diferentes valores de la energı́a.
14
Capı́tulo 1. Planteamiento del problema
Capı́tulo 2
Probabilidad de escape por el
método de Monte Carlo
Como se ha visto, cuando Lz = 0,1, existen tres canales de escape, aunque
la energı́a de escape está vinculada al punto de silla E4 . En este capı́tulo consideraremos solamente la posibilidad de escape por el canal que se encuentra
en el plano galáctico, asociado al punto de silla E4 . Para ello tomaremos
valores de la energı́a comprendidos entre la correspondiente a E4 y la correspondiente a E1,2 , es decir, valores en el intervalo (0,316513, 0,586415).
Para estimar la probabilidad aplicaremos el método de Monte Carlo. Dado un nivel de energı́a H, tomaremos un paquete de condiciones iniciales
distribuidas de manera uniforme en todo el espacio de configuración, que no
es otra cosa que el conjunto
L2
1
E = {(r, z, pr , pz ) ∈ R4 | (p2r + p2z ) + z2 + V (r, z) = H, r < r2 , Lz = 0,1}.
2
2r
Mediante un método de integración numérica, implementado en la rutina
DSolve de M athematica, propagaremos cada una de las condiciones iniciales
hasta el valor efectivo de tiempo TF = 100, equivalente a la vida media de
una galaxia, estimada en 109 años. Si antes de este periodo de tiempo se ha
cruzado la órbita de Lyapunov, diremos que hay escape, mientras que si se
alcanza el valor TF , sin cruzar la órbita de Lyapunov, diremos que la órbita
ha quedado atrapada. Para saber que se ha cruzado la órbita de Lyapunov
hemos establecido un criterio sencillo, asociado al valor de r, ya que si r
alcanza un cierto valor crı́tico, habremos sobrepasado la órbita de Lyapunov.
Este valor crı́tico lo hemos establecido en rc = 1,2, algo superior al valor de la
coordenada r de E4 . Por tanto, toda órbita que, en un momento determinado
anterior a TF , alcance un valor de r superior rc , será considerada de escape.
15
16
Capı́tulo 2. Probabilidad de escape por el método de Monte Carlo
X
pr
z
r
Er,z
Spre,pz
r
z
Figura 2.1: Volumen de condiciones iniciales para un nivel de energı́a h =
0,32. En la parte superior como producto de los conjuntos Er,z y Sper ,pz . En
la parte inferior dos cortes para pz = 0 y pz = 0,5.
De este modo, si N es el número total de condiciones iniciales tomadas
en E y NE el total de condiciones iniciales que dan lugar a órbitas de escape,
la probabilidad de escape, para el nivel de energı́a H, se obtiene mediante el
cociente
NE
.
pe =
N
Una primera cuestión que debemos resolver es cómo construir el conjunto
de N condiciones iniciales dentro de E. En este sentido es importante notar
que E puede obtenerse como producto de los siguientes conjuntos
L2z
+ V (r, z) = e ≤ H, r < r2 },
2r2
= {(pr , pz ) ∈ R2 | p2r + p2z = 2(H − e)},
Er,z = {(r, z) ∈ R2 |
Sper ,pz
donde el primero es el conjunto de todos los puntos (r, z) en el interior de la
curva de velocidad cero, para un nivel de energı́a H, mientras que el segundo
es una circunferencia, cuyo radio es función de r y z. Esquemáticamente
e
podemos ver el conjunto E, como producto de Er,z , Spr,pz
en la figura 2.1,
donde, además se pueden apreciar diferentes cortes del volumen en el espacio
(r, z, pr ), para valores de pz = 0 y pz = 0,5.
Con esta descomposición podemos tomar puntos uniformemente distrie
buidos en los conjuntos Er,z y Spr,pz
para tener la muestra. En concreto,
tomamos puntos en un rectángulo que contiene al conjunto Er,z , para luego
seleccionar los que realmente están en su interior. Cada punto seleccionado
define una circunferencia, de la que se selecciona una colección de puntos
igualmente espaciados. Este proceso de construcción de la muestra se puede
2.1. Determinación del tamaño muestral
17
0.6
0.4
z
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
r
Figura 2.2: Muestra de puntos igualmente espaciados sobre el conjunto Er,z ,
cuando H = 0,32 y Lz = 0,1.
ver en la figura 2.2, donde se observa la colección de puntos uniformemente
distribuidos en un rectángulo, y resaltados en otro color los que pertenecen
a Er,z .
2.1.
Determinación del tamaño muestral
Una vez visto el sistema de construcción de la muestra, la siguiente cuestión es determinar su tamaño. Evidentemente, cuanto mayor sea el tamaño,
mejor será la estimación de la probabilidad. Sin embargo, estamos interesados en buscar el tamaño óptimo de la misma, con el fin de evitar cálculos
innecesarios. En este sentido, podemos considerar, que para una determinada
energı́a y, fijado el valor de Lz , la probabilidad de que una órbita escape es
p, de manera que o escapa con probabilidad p o no escapa con probabilidad
1 − p. Es decir, podemos suponer que tenemos una distribución binomial, por
lo que se puede estimar el tamaño de la muestra mediante la ecuación [8]
TM =
z 2 p (1 − p)
,
ε2
(2.1)
que depende de tres factores:
1. El nivel o intervalo de confianza z. Designa la probabilidad de que la
muestra seleccionada sea correcta. Un intervalo de confianza del 95 %
significa que únicamente en un 5 % de los casos los resultados obtenidos
de la muestra resultarı́an incorrectos. El intervalo de confianza más
utilizado es del 95 % [2]. Intervalos de confianza más elevados son una
18
Capı́tulo 2. Probabilidad de escape por el método de Monte Carlo
TM
8000
6000
4000
2000
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
p
Figura 2.3: El tamaño de la muestra,TM , en función de la probabilidad, para
un nivel de confianza del 5 % y un error muestral del 1 %.
garantı́a de que los resultados obtenidos tengan una menor probabilidad
de estar equivocados. Sin embargo, también suponen un importante
incremento de los costos de la investigación. Un nivel de confianza del
95 % corresponde a z = 1,96.
2. El error de muestreo ε. Expresa el grado de congruencia entre el valor
de los datos recabados del análisis de la muestra, y el valor real que
tendrı́an esos mismos datos cuando son extrapolados a la población
general. El error de muestreo marca ası́ la diferencia entre las caracterı́sticas de la muestra y las de la población de la cual fue seleccionada
dicha muestra [10]. Como ejemplo, cuando una investigación cuantitativa presente un error de muestreo del 3 %, un dato obtenido de un 30 %
de la muestra equivale, dentro de la poblacin general, a ese mismo 30 %,
pero comprendido en una horquilla de ±3 puntos. Es decir, un 30 % en
la muestra se traducirı́a en un 27–33 % del total de la población. En
general, el error de muestreo no debe ser superior al 5 % para que los
resultados sean realmente informativos y útiles.
3. La varianza de la población. Al tratarse de una distribución binomial
dicha varianza es igual a p (1 − p). Como, en general, desconocemos el
valor de p, en el peor de los casos podemos tomar p = 0,5, obteniendo
de este modo una cota superior del tamaño muestral.
Por ejemplo, si queremos determinar el tamaño de la muestra con un nivel
de confianza del 95 % (z = 1,96) y un error muestral del 2 %, en el peor de
2.2. Cálculo de la probabilidad para Lz constante
19
p
P
0.60
0.04
0.55
0.03
0.50
0.02
0.45
0.01
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
ã
10 000 30 000 50 000 70 000
100 000
150 000
TM
Figura 2.4: Probabilidad de escape en función del tamaño muestral cuando
Lz = 0,1. A la izquierda H = 0,32 y a la derecha H = 0,4.
los casos el tamaño de la misma será
TM =
1,962 0,52
= 2401.
0,022
Si el error muestral se reduce a un 1 %, entonces el tamaño muestral serı́a
cuatro veces mayor. En concreto TM = 9604. En el problema que estamos
considerando, tomaremos el error muestral del 1 %. Ası́, el tamaño muestral
variará en función de la probabilidad de escape, pasando de 0 a 9604 cuando
la probabilidad varı́e entro 0 y 0,5, disminuyendo de nuevo el tamaño muestral
hasta 0 cuando p = 1. La gráfica de la figura 2.3 reproduce la función (2.1)
donde se aprecia la variación del tamaño de la muestra con la probabilidad.
Para comprobar de una manera numérica que esta estimación del tamaño muestral es adecuada, hemos calculado la probabilidad de escape para
diferentes tamaños de la muestra, hasta valores cercanos a 200000 puntos.
Hemos tomado Lz = 0,1 y dos valores de la energı́a diferentes, uno cercano
a la energı́a de escape y otro mayor, de manera que en un caso la probabilidad es pequeña, mientras que en el otro es cercana a 0,5. Estos valores son
H = 0,32 y H = 0,4. El resultado se ve en la figura 2.4, en la que puede
apreciarse cómo a partir de 10000 puntos la probabilidad se mantiene en un
rango pequeño de valores. Incluso en el caso en que la probabilidad es cercana a 0,5 muestras con 3000 o 4000 puntos arrojan un valor aceptable de la
probabilidad.
2.2.
Cálculo de la probabilidad para Lz constante
Una vez visto cómo determinar el tamaño muestral nos proponemos ver
cómo cambia la probabilidad de escape a medida que la energı́a aumenta,
20
Capı́tulo 2. Probabilidad de escape por el método de Monte Carlo
mientras Lz se mantiene constante y que tomaremos igual a 0, 1. Sin embargo,
nos encontramos con un problema y es que el tamaño de la muestra depende
de la probabilidad de escape, que es justamente lo que queremos determinar.
En principio nos interesaremos solo por ver que las estimaciones hechas
son correctas y luego propondremos una manera de dar una primera aproximación de la probabilidad, que nos permita refinarla por el método de Monte
Carlo, con un tamaño adecuado de la muestra.
Como se vio en la sección anterior, tamaños de la muestra suficientemente elevados dan lugar a probabilidades más o menos constantes, o al menos
en un rango de variación relativamente pequeño. Teniendo esto en cuenta,
tomaremos muestras con un número de puntos suficientemente alto, entre
40000 y 50000, con el fin de obtener un valor de la probabilidad que supondremos como el real. En realidad está afectado de error, pero lo usaremos
como base para validar la probabilidad obtenida con tamaños de muestra
menores. El valor de la energı́a, el tamaño de la muestra y la probabilidad
obtenida aparecen recogidos en la tabla 2.1
Energı́a
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
0,42
0,44
0,46
0,48
0,50
0,52
0,54
0,56
Tamaño Probabilidad
45501
0,035930
41304
0,213418
42573
0,314049
40388
0,424185
41620
0,514248
41686
0,599170
41688
0,675710
41242
0,727414
40932
0,761531
41440
0,774493
44352
0,778051
42141
0,780665
42208
0,817807
Cuadro 2.1: Probabilidad de escape, con Lz = 0,1, para valores crecientes de
la energı́a con un tamaño muestral entre 40000 y 50000.
Como era de esperar, la probabilidad es una función creciente de la
energı́a, ya que la apertura del canal de escape es mayor cuanto mayor es
ésta. Además el crecimiento es muy rápido al principio, amortiguándose a
2.2. Cálculo de la probabilidad para Lz constante
21
p
0.8
0.6
0.4
0.2
0.40
0.45
0.50
0.55
H
Figura 2.5: Ajuste de la probabilidad de escape mediante mı́nimos cuadrados.
En rojo el polinomio de segundo grado obtenido usando todos los puntos. En
negro el polinomio obtenido usando los dos extremos y el punto central.
medida que la energı́a aumenta. De hecho si la energı́a siguiera aumentando deberı́amos ver cómo la probabilidad se acerca asintóticamente a uno.
No obstante, para los valores considerados, por debajo de la energı́a de los
puntos E1,2 , la función de probabilidad puede ajustarse bastante bien por el
polinomio de segundo grado
p(H) = −3,94003 + 17,8975H − 16,8887H 2 ,
que resulta de aplicar el método de mı́nimos cuadrados al conjunto de datos
de la tabla 2.1. Una aproximación similar se obtiene eligiendo tan solo tres
puntos de control, con energı́as 0,32, 0,44 y 0,56. En este caso el polinomio
es
p̄(H) = −4,09126 + 18,4161H − 17,2319H 2 .
En la figura 2.5 se ven los polinomios p(H) (en rojo), p̄(H) (en negro) y
los puntos en los que se ha calculado la probabilidad. Estos polinomios nos
van a servir para estimar a priori la probabilidad de escape para un valor de
la energı́a. Esta estimación nos va a determinar, mediante (2.1), el tamaño
muestral óptimo para obtener un nuevo valor de la probabilidad de escape
refinado usando el método de Monte Carlo.
Esto es lo que hemos hecho para los propios puntos de la tabla 2.1, obteniendo como resultado el conjunto de valores de la table 2.2, donde el tamaño
de la muestra utilizada no es exactamente el teórico, que aparece en la tercera columna, sino uno aproximado. En la última columna aparece el error
relativo respecto al valor obtenido con una muestra grande (tabla 2.1) y que
se mantiene dentro del margen de confianza del 5 % que se estableció para el
cálculo del tamaño de la muestra.
22
Capı́tulo 2. Probabilidad de escape por el método de Monte Carlo
Energı́a
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
0,42
0,44
0,46
0,48
0,50
0,52
0,54
0,56
p̄(H)
Tamaño Probabilidad Error relativo
0,035930
1381
0,037013
0,030
0,178194
5626
0,219505
0,030
0,305268
8147
0,317511
0,010
0,418557
9349
0,417941
0,010
0,51806
9591
0,531043
0,030
0,603778
9190
0,614231
0,030
0,675710
8418
0,669305
0,009
0,733857
7503
0,718422
0,010
0,778218
6630
0,761250
0,004
0,808793
5941
0,770982
0,005
0,825583
5532
0,778700
0,007
0,828588
5456
0,771596
0,010
0,817807
5724
0,805948
0,010
Cuadro 2.2: Estimación de la probabilidad de escape mediante p̄(H) y su
refinamiento con un tamaño muestral óptimo. En la última columna se recoge
el error relativo, tomando como valor de referencia la probabilidad dada en
la tabla 2.1.
Si el valor de la tercera componente del momento angular se incrementa, el
comportamiento observado, respecto a la probabilidad de escape, es similar.
La diferencia ahora estriba en el hecho de que los puntos de equilibrio E3 y
E4 se van acercando, al tiempo que sus energı́as cambian. Por este motivo, la
energı́a de escape se ve afectada, que aumenta con Lz . Además, se vio que si
Lz alcanza un valor crı́tico, los puntos de equilibrio E3 y E4 desaparecen, no
pudiéndose hablar, en este caso, de un sistema con escape. Como ejemplo,
en la figura 2.6 se representa la variación de la probabilidad de escape en
función de la energı́a cuando Lz = 0,2. Como puede verse el comportamiento
es similar al que aparece en la figura 2.5, con la única diferencia de los rangos
de energı́a. Si Lz es mucho mayor, por encima del valor crı́tico, es decir cuando
no hay un escape propiamente dicho, todas las órbitas consideradas en una
cierta porción del espacio de fases escapan.
2.2.1.
Muestra uniforme frente a muestra aleatoria
Hasta ahora todas las muestras tomadas han sido uniformes, en el sentido de que los puntos seleccionados en el volumen fásico están igualmente
espaciados en r y z, dentro del conjunto Er,z y en θ dentro del conjunto
Sper ,pz . Esto permite elegir tamaños muestrales cercanos a un valor prefijado,
2.2. Cálculo de la probabilidad para Lz constante
23
P
0.8
0.6
0.4
0.2
ã
0.4
0.5
0.6
0.7
Figura 2.6: Probabilidad de escape cuando Lz = 0,2.
jugando convenientemente con los espaciados. Es ası́ como hemos construido
nuestras muestras. Inicialmente se ha elegido un espaciado para r y z dentro
de Er,z . Una vez calculado el total de puntos N dentro de este conjunto se
han elegido M puntos en Sper ,pz , de manera que N ×M sea un entero próximo
al tamaño TM de la muestra y que exceda dicho valor.
Este sistema de construcción de muestras puede no ser bueno, sobre todo
cuando el tamaño de la misma es pequeño. La cuestión es que si el espaciado
en r y z es muy fino, podemos tener muchos puntos en el conjunto Er,z , lo
que obliga a tener muy pocos en Sper ,pz . Por tanto no estaremos muestreando
convenientemente todo el volumen fásico y la probabilidad aparecerá falseada. En la figura 2.7 se ven dos muestras diferentes en Er,z . La primera es poco
densa y requiere de un número de puntos alto en Sper ,pz . Por el contrario, la
segunda es tan densa que no requiere más que de un punto en Sper ,pz . No
obstante, la primera muestra va a ser más representativa que la segunda, ya
que muestrea mejor el total del volumen.
Consideremos un ejemplo, con H = 0,32, donde el tamaño de la muestra
está en torno a los 1400 puntos y tomemos diferentes espaciados en r y z, haciendo que la densidad de puntos vaya en aumento y observemos qué ocurre.
El resultado se ve en la tabla 2.3, en la que puede apreciarse que el aumento
en la densidad de la malla en Er,z no contribuye a una mejor estimación de la
probabilidad, debido a que el número de puntos en Sper ,pz disminuye, por lo
que no tenemos un buen muestreo del volumen. De hecho, solo el valor dado
en la primera fila está dentro del intervalo de confianza del 5 %.
Por tanto, podemos ver que la elección de la muestra es un factor determinante para obtener una buena estimación de la probabilidad de escape.
Por este motivo, y para evitar sesgos, se han construido muestras aleatorias,
Capı́tulo 2. Probabilidad de escape por el método de Monte Carlo
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0.0
z
z
24
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
0.2
0.4
0.6
0.8
r
1.0
1.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
r
Figura 2.7: Dos muestras de diferente densidad sobre el conjunto Er,z para
una energı́a H = 0,32.
de manera que minimicen una preferencia por determinados ángulos en el
conjunto Sper ,pz . En concreto, hemos tomado ternas aleatorias (r, z, θ), con
0 < r < r2 , −1 < z < 1 y 0 ≤ θ < 2π, seleccionando aquellas para las que
el par (r, z) está dentro del conjunto Er,z (ver figura 2.8). Con esta selección
mostramos en la tabla 2.4 algunos de los valores que resultan para la probabilidad de escape, con el tamaño de la muestra. Como se ve no siempre se
consigue que los valores se ajusten al dato tomado como referencia.
No obstante, la dispersión de valores obtenida es menor que para muestras uniformes con diferentes densidades y la media de valores se aproxima
al valor de referencia. En cualquier caso, si tomamos muestras aleatorias por
encima del lı́mite superior del tamaño muestral en el peor de los casos, es decir cuando la probabilidad es 0,5, la dispersión es mucho menor y los valores
obtenidos están, salvo contadas excepciones, dentro del intervalo de confianza del 5 %. Podemos concluir, por tanto, que a pesar de que la tabla 2.2 da
unas estimaciones de la probabilidad de escape acordes con lo esperado, el
resultado es dependiente de la manera de tomar la muestra. En este sentido, cuando la muestra es uniforme es preciso equilibrar la densidad en los
conjuntos Er,z y Sper ,pz para que la muestra sea lo más representativa posible.
Por otro lado, si la muestra es aleatoria, es preciso tomar varias muestras
para obtener un valor promedio que se acercará al valor de referencia. En
cualquier caso, si el tamaño muestral se elige por encima del valor máximo
dado por la ecuación (2.1) los valores de probabilidad obtenidos están, ex-
2.2. Cálculo de la probabilidad para Lz constante
Puntos en Er,z
77
96
125
173
252
393
702
1569
Puntos en Sper ,pz
20
16
12
8
6
4
2
1
25
Tamaño Probabilidad
1540
0,037013
1536
0,039714
1500
0,050667
1384
0,064306
1512
0,070767
1572
0,099873
1404
0,195157
1569
0,180370
Cuadro 2.3: Estimación de la probabilidad de escape para diferentes muestras
uniformes, en función de la densidad de la misma en los conjuntos Er,z y Sper ,pz .
ceptuando algunos casos aislados, dentro del intervalo de confianza esperado.
Además los resultados mejoran cuando la probabilidad es relativamente alta,
lo que significa que, a partir de un cierto nivel de energı́a, la probabilidad
dada por la muestra óptima puede tomarse como una buena estimación de
la probabilidad de escape.
Tamaño muestra
1424
1519
1642
1637
Probabilidad
0,0377219 0,036866 0,033496 0,0403177
Cuadro 2.4: Estimación de la probabilidad de escape para diferentes muestras
aleatorias para H = 0,32 y Lz = 0,1.
Por último debemos decir que en ningún momento hemos hecho uso de
las simetrı́as del problema. En concreto, las condiciones iniciales
(r0 , z0 , pr0 , pz0 ),
(r0 , −z0 , pr0 , pz0 ),
dan lugar a órbitas simétricas respecto al plano z = 0. Es decir, bastarı́a
tomar una muestra de la mitad del volumen fásico para estimar la probabilidad. En este sentido, si muestreamos la mitad del volumen, sin modificar
el tamaño muestral, nuestra muestra serı́a en realidad dos veces mayor, ayudando a mejorar la representatividad de la misma y, por tanto, la estimación
de la probabilidad de escape.
26
Capı́tulo 2. Probabilidad de escape por el método de Monte Carlo
0.6
0.4
z
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
r
Figura 2.8: Muestra de puntos tomados al azar, proyectada sobre Er,z , para
una energı́a H = 0,32.
2.3.
Probabilidad de escape con energı́a fija
Otra cuestión que puede ser de interés en el estudio del escape es la influencia de un incremento del momento angular cuando la energı́a se mantiene
constante. Debido al aumento de la energı́a de escape con el aumento de Lz ,
deberemos distinguir entre energı́as bajas y altas. Por ejemplo, si la energı́a
elegida es 0,32, el aumento de Lz contribuye a disminuir la probabilidad de
escape hasta hacerla cero, debido a que a partir de un cierto valor de Lz las
curvas de velocidad cero son cerradas. Además, si seguimos incrementando
el valor de Lz llegará un momento en que no existan órbitas con una energı́a
tan baja.
Para energı́as mayores, el efecto de un incremento de Lz es interesante, ya
que tiende a estabilizar, e incluso disminuir, la misma, hasta que se sobrepasa
el valor crı́tico de Lz , cuando todas las órbitas escapan. La figura 2.9 nos
muestra el comportamiento de la probabilidad de escape para dos valores
de la energı́a H = 0,48 y H = 0,58, en donde se aprecia claramente lo
que acabamos de decir. Aunque inicialmente se observa un incremento de
órbitas que escapan, luego se produce un amortiguamiento, hasta que, una
vez superado el valor crı́tico de Lz la probabilidad aumenta hasta que todas
las órbitas escapan.
En cierto modo, lo que se observa es compatible con un resultado esperado
y es que el momento angular actúa como un mecanismo de estabilización.
No obstante, como la estructura del flujo fásico, regulada por los puntos
de equilibrio, depende en gran medida del valor del momento angular, este
2.3. Probabilidad de escape con energı́a fija
27
p
P
1.0
1.0
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.2
0.4
0.6
0.8
L
0.2
0.4
0.6
0.8
L
Figura 2.9: Probabilidad de escape para H = 0,48 (izquierda) y H = 0,58
(derecha) en función de Lz .
papel estabilizador queda diluido, ya que un aumento excesivo del mismo
tiene como resultado la destrucción de zonas de movimiento confinado, que
son las que se encuentran en torno al equilibrio de tipo centro, E3 .
28
Capı́tulo 2. Probabilidad de escape por el método de Monte Carlo
Capı́tulo 3
Conclusiones
En este trabajo se ha estudiado la probabilidad de escape en un sistema
hamiltoniano simple de dos grados de libertad, mediante la aplicación del
método de Monte Carlo. En concreto se ha estudiado un sistema galáctico
que presenta varios canales de escape, aunque solo se ha tenido en cuenta el
canal que se encuentra asociado al punto de silla situado en el plano galáctico,
para unos ciertos valores de los parámetros del sistema. Las conclusiones más
relevantes son las siguientes:
Se ha estudiado la dinámica elemental del sistema en función de los
parámetros que lo definen, en el sentido de que se han encontrado los
puntos de equilibrio y sus propiedades de estabilidad lineal. Este estudio ha permitido determinar la existencia de canales de escape ası́ como
la energı́a de escape. También se han estudiado las bifurcaciones, dando como resultado que los canales de escape se ven afectados por la
variación de la tercera componente del momento angular.
Se ha estudiado el mecanismo de escape, asociado a una órbita inestable
de Lyapunov, que se ha determinado en primera aproximación.
Se ha obtenido la probabilidad de escape mediante la toma de diferentes
muestras uniformes de condiciones iniciales en el volumen fásico. Como
resultado se ha visto que, a partir de un cierto número de condiciones iniciales, la probabilidad de escape se mantiene aproximadamente
constante. Al mismo tiempo se observa, como era de esperar, que la
probabilidad de escape aumenta con el aumento de la energı́a.
Bajo la hipótesis de que el escape, para una condición inicial dada,
sigue una distribución binomial, se ha determinado el tamaño de una
muestra óptima, dentro de unos niveles de confianza preestablecidos.
29
30
Capı́tulo 3. Conclusiones
Esto permite hacer cálculos de la probabilidad de escape con costes
computacionales menores.
Se ha analizado el tipo de muestreo, comparando los resultados ofrecidos por muestras uniformes y muestras aleatorias. Estas últimas son
preferibles cuando el tamaño muestral no es muy grande.
La variación del momento angular modifica la probabilidad de escape,
de manera que un aumento moderado del mismo hace disminuir la
probabilidad de escape. Sin embargo, un gran aumento del mismo tiene
como resultado un aumento de la probabilidad de escape, que tiende
a 1, a medida que nos acercamos al valor crı́tico de Lz en el que se
produce una bifurcación silla-nodo.
Como trabajo futuro queda pendiente el estudio del escape bajo otras
configuraciones de los parámetros, ası́ como estudiar el papel jugado por los
otros canales de escape, para energı́as más altas.
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