Fotodiodos en la determinación de la constante de Planck

Fotodiodos en la determinación de
la constante de Planck
Universidad Nacional de La Plata
Grupo 2
Franchino Viñas, Sebastián
f ranchsebs@yahoo.com.ar
Muglia, Juan
juanchomu@hotmail.com
Hernández Maiztegui, Francisco
f ranx22182@hotmail.com
Panelo, Mauro
Salazar Landea, Ignacio
mauropanelo@yahoo.com.ar
peznacho@gmail.com
Resumen
Las ideas de Planck acerca de la cuantificación de la energı́a llevaron al
comienzo de una nueva era en la fı́sica. El rol de la constante de Planck (h)
en la fı́sica moderna es sin duda indiscutible. En el presente trabajo determinamos h relacionando la temperatura del filamente de un foco, con la intensidad de
la corriente que circula por un fotodiodo polarizado inversamente situado frente
a dicho emisor. El valor que obtenemos es h = (6, 6 ± 0, 7) 10−34 J s, claramente comprendido dentro del valor h = (6, 62606896 ± 0, 00000033) 10−34 J s que
Alonso cita en su libro[1] .
1.
Introducción
A fines del siglo XIX, prácticamente todos los fenómenos de la naturaleza parecı́an
explicados por las leyes fı́sicas acumuladas a la fecha. Se creı́a que sólo era cuestión de
tiempo para encontrar la relación existente entre los procesos todavı́a no entendidos
y las leyes logradas por los grandes genios (vale citar a Newton y a Maxwell): Lord
Kelvin sólo veı́a dos pequeñas nubes en el cielo de la fı́sica. Dichas nubes transformadas
en huracán, fueron el puntapié inicial para el desarrollo de la fı́sica moderna, tanto
relativista como cuántica.
La idea fundamental de la mecánica cuántica es creer que la naturaleza prefiere la
discreción al continuo: por ejemplo, una onda transporta energı́a en “paquetes” indivisibles. Partiendo de esta y otras hipótesis, se llega a leyes que siempre involucran una
constante h (llamada constante de Planck en honor a su inventor/descubridor Max
Planck) que determina el tamaño de los cuantos o partes indivisibles. El mismo Planck fue el primero en determinar el valor de h; el valor al que llegó es h = (6, 55 ±
0, 01) 10−34 J s, realmente cercano al actualmente aceptado de h = (6, 62606896 ±
0, 00000033) 10−34 J s[1] .
En el presente trabajo, utilizando la teorı́a de radiación de cuerpo negro de Planck
analizamos la irradancia de un foco común para una frecuencia dada. Para ello utilizamos un fotodiodo, elemento sensible a la intensidad de la radiación electromagnética en
una zona del espectro. Finalmente, determinamos h considerando el ajuste a los datos
obtenidos basándonos en la ecuación de Planck para la irradiancia de un cuerpo negro.
1
1.1.
1.1.1.
Fundamentos Fı́sicos
Radiación de cuerpo negro
Se denomina cuerpo negro a aquel que absorbe en su totalidad la radiación que
sobre él incide1 . En la práctica, el interior de una caja con un pequeño agujero se
comporta como tal, y permite realizar experiencias en las que se observa que la energı́a
radiada por unidad de intervalo de frecuencia es sólo función de la temperatura de la
misma y la frecuencia de la onda emitida. Los datos experimentales obtenidos señaron
el fracaso de muchas teorı́as que intentaban explicar la radiación del cuerpo negro.
Uno de los primeros intentos de explicar el fenómeno fue el de Wien, a fines del
siglo XIX, quien consideró a los átomos como osciladores armónicos que emiten luz con
una frecuencia propia. El resultado que obtuvo es
C1 ν 3
u(ν) dν =
c4 exp
C2 ν
T
dν
(1)
donde u es la energı́a radiada por un cuerpo negro por unidad de volumen y de frecuencia, ν la frecuencia de emisión, T la temperatura absoluta a la que se encuentra el
cuerpo, c la velocidad de las ondas electromagnéticas en el vacı́o y C1 y C2 constantes
que se deben ajustar a los datos experimentales. A partir de esta ecuación se obtienen
buenos ajustes sólo para altas frecuencias.
Luego, ya a comienzos del siglo XX, Lord Rayleigh y su discı́pulo Jeans, analizaron
el problema desde el electromagnetismo. Dedujeron que en una cavidad metálica debı́an
establecerse ondas electromagnéticas estacionarias, que consideraron como osciladores
armónicos donde el grado de libertad es la amplitud del campo eléctrico. Utilizando
además el principio de equipartición de la energı́a llegaron a la siguiente ecuación (k
es la constante de Boltzmann):
8 π ν2 k T
dν
(2)
c3
Si bien dicha función aproxima para frecuencias bajas bien a los datos experimentales, a altas frecuencias difiere notablemente de ellos. A este inconveniente se le dio el
nombre de “catástrofe ultravioleta”.
Fue Max Planck, también a principio del siglo XX, quien encontró la falla de la fı́sica
clásica al analizar el problema de la emisión. La equipartición de la energı́a analizada
desde la mecánica estadı́stica, como ya dijimos, asocia una energı́a promedio (Ē) a cada
oscilador igual a k T : Planck sugiere, sin embargo, que para frecuencias altas la energı́a
media debe tender a cero. Esta propuesta de introducir una dependencia de la energı́a
media con la frecuencia de emisión, la filtra en sus cálculos utilizando un concepto que
va más allá de la fı́sica clásica: la energı́a correspondiente a los osciladores se encuentra
cuantizada, o dicho de otra manera, sólo puede tomar valores que son múltiplos de una
cantidad ∆E que depende de la frecuencia (0, ∆E, 2 ∆E, ..., n ∆E).
Utilizando esos nuevos conceptos, se puede realizar un cálculo totalmente análogo
al de Boltzmann para obtener la expresión de la energı́a media de un oscilador, sólo
u(ν) dν =
1
Un libro que detalla los cálculos aquı́ realizados es el de Eisberg-Resnick[2] .
2
que en vez de considerar sumas sobre un continuo se hacen sumas discretas. El cálculo
clásico (Ēc )y el de Planck (Ē) resultan ser:
R∞
nl El dl
R∞
=k T
Ēc = −∞
E dl
−∞ l
P∞
l ∆E El
∆E
P∞
Ē = l=0
=
(3)
exp(∆E / k T ) − 1
l=0 El
Comparando con los valores experimentales, Planck observó que su teorı́a se adaptaba bien a los datos disponibles si ∆E dependı́a linealmente de la frecuencia:
∆E = h ν → Ē =
hν
exp(h ν / k T ) − 1
(4)
Podemos ahora volver a la ecuación de Rayleigh-Jeans y reemplazar el valor medio
de energı́a k T considerado para el oscilador por el que figura en (4), para obtener la
ley de radiación de Planck ampliamente validada por numerosos experimentos2 :
u(ν) =
8 π ν2
hν
8 π h ν3
dν
=
c3
exp(h ν / k T ) − 1
c3
1
dν
exp(h ν / k T ) − 1
(5)
A partir de dicha ecuación deducimos que la intensidad de la radiación de un cuerpo
negro para una frecuencia ν, a una temperatura “T” y en un punto del espacio (de
posición “r”) cumple:
I(T, r, ν) = C(r)
1.1.2.
ν3
exp(h ν / k T ) − 1
(6)
Resistencias y su variación con la Temperatura
El valor de una resistencia se encuentra vinculado claramente a la temperatura a la
que se encuentra la misma. Empı́ricamente se obtiene la siguiente relación que vincula
la resistencia R de tungsteno a la temperatura T , sabiendo que a la temperatura T0 la
resistencia tenı́a un valor R0 :
T = T0
1.1.3.
R
R0
56
(7)
Fotodiodos
Por un fotodiodo polarizado inversamente circula una corriente (i) que es proporcional a la intensidad lumı́nica sobre el mismo, siempre que esta supere una intensidad
umbral. La corriente que circula cuando no incide luz sobre él, se denomina corriente
oscura. Además, a fines prácticos el fotodiodo es sensible sólo en una región del espectro
2
Observar que para frecuencias altas se obtiene la ecuación propuesta por Wien, mientras que un
desarrollo lineal de la exponencial exp(h ν / k T ) alrededor de cero conduce a la ecuación de RayleighJeans.
3
electromagnético (ν0 ± ∆ν), por lo que en principio se puede considerar la intensidad
sobre el fotodiodo correspondiente a una única frecuencia ν0 con una incertidumbre
∆ν. A partir de dichas observaciones, resulta la siguiente relación, donde a es una
constante e I(T ,ν0 ) la intensidad para una frecuencia ν0 a una temperatura T :
i(T, ν0 ) = a I(T, ν0 )
(8)
Si el fotodiodo recibe radiación de un cuerpo negro con h ν0 k T , combinamos
(6) y (8) para obtener, con b y D constantes:
h ν0
−
ν3
i(T, ν0 ) = a C(r)
= b exp k T ⇐⇒
exp(h ν / k T )
⇐⇒ ln (i(T, ν0 )) = −
2.
hν
+D
kT
(9)
Dispositivo y Procedimiento Experimental
El circuito que utilizamos para realizar la determinación de la constante de Plank,
es el que se observa en la Figura 1 : el mismo permite registrar la corriente que circula
por el fotodiodo polarizado inversamente para una temperatura dada del filamento de
tungsteno de una lámpara.
Para ello, conectamos la lámpara a un transformador de voltaje variable en un rango
de 0 y 250 V., y este a la red de distribución domiciliaria de electricidad. Aumentando
el voltaje en la salida del transformador, logramos un incremento en la temperatura
del filamento; a su vez, esto ocasiona una variación en la radiación emitida por el
filamento que tiene como resultado una variación en la corriente que circula por el
fotodiodo. Intentando evitar la influencia de la radiación no proveniente del foco en
el comportamiento del fotodiodo, colocamos la lámpara junto con el fotodiodo en un
tubo de acrı́lico negro.
Figura 1. Circuito utilizado.
Para determinar la temperatura del filamento, recordamos que ella se encuentra
relacionada con la resistencia del mismo (R) de acuerdo a la ecuación (7). También
es válida la ley de Ohm, que relaciona la resistencia R con la corriente efectiva a
4
través de la lámpara (i1 ) y la diferencia de potencial efectiva en los bornes de la
misma (V1 )3 . Gracias a un amperı́metro conectado en serie y un voltı́metro en paralelo
podemos registrar estas últimas magnitudes, que en definitiva, nos permiten determinar
la temperatura del filamento si conocemos su resistencia para una dada temperatura.
Es por ello que determinamos la resistencia de las dos bombilla utilizadas (una de 40
y otra de 75 W.) a temperatura ambiente:
“medimos la resistencia” de la bombilla mediante un multı́metro de resolución
0, 1Ω; a este valor le restamos la resistencia de los cables para obtener la verdadera
resistencia del filamento, que tendrá una incertidumbre del doble de la resolución
del instrumento (0, 2 Ω);
la temperatura ambiente es medida utilizando una termocupla Cole - Parmer
Instrument Company modelo 91100-10 de resolución 0,1o C; la incertidumbre en
este caso está dada por la resolución del instrumento (en la tabla 1 se detallan
las medidas para las dos lámparas utilizadas).
Potencia de la R de la lámpara R de los R de la lámpara Temperatura
Lámpara [W]
medida [Ω]
cables [Ω] determinada [Ω] Ambiente [o C]
40
86, 2 ± 0, 1
0, 9 ± 0, 1
85, 3 ± 0, 2
18, 8 ± 0, 1
75
45, 5 ± 0, 1
0, 9 ± 0, 1
44, 6 ± 0, 2
17, 7 ± 0, 1
Tabla 1. Determinación de la resistencia del filamento a temperatura ambiente.
Por otro lado, no medimos la corriente i2 que circula por el fotodiodo, sino que
utilizamos un amplificador y registramos mediante un voltı́metro la diferencia de potencial V2 en su salida: esta es proporcional a i2 , por lo que la relación (9) continúa
siendo válida si reemplazamos V2 por i2 (sólo varı́a la constante D). Llegados a este
punto, cabe aclarar que el fotodiodo no responde de la misma manera a radiación de
diferentes longitudes de onda. La figura 2 muestra la sensibilidad relativa en función
de la longitud de onda. Consideramos que la longitud de onda de la radiación a la
que responde el fotodiodo es de (950 ± 100) nm., descartando longitudes de onda con
sensibilidad relativa menor a 0,5. Continuando con las caracterı́sticas del fotodiodo, en
la figura 3 se muestra la dependencia de la corriente inversa que circula por el diodo
con la intensidad lumı́nica.
3
La ley de Ohm establece para un circuito resistivo puro como el considerado que R =
5
V1
.
i
Figura 2. Sensibilidad relativa respecto de la longitud de onda incidente.
Figura 3. Corriente inversa respecto de la irradiancia.
La experiencia en sı́, la comenzamos incrementando el voltaje que entrega el transformador en pasos de aproximadamente 15 V. Luego de transcurridos 20 seg. que permiten al sistema equilibrarse, anotamos las lecturas de los voltı́metros y el amperı́metro;
en todos los casos obtenemos intervalos, debido a que los valores que entregan varı́an
en el tiempo entre un valor mı́nimo y uno máximo. Consideramos como valor representativo de dicho intervalo al centro del mismo, y le asignamos una incertidumbre igual
a la mitad del largo del intervalo (despreciamos la incertidumbre por la resolución del
instrumento frente a este valor). Una vez que llegamos a un valor de 220 V. en la
salida del transformador, comenzamos a disminuirlo en pasos siempre cercanos a 15 V.
y realizamos la toma de datos correspondiente.
3.
Resultados y Discusión
Haciendo uso de la ecuación (7), determinamos, para cada valor de voltaje y corriente en las lámparas, la correspondiente temperatura a la que se encontraban las mismas.
Luego, con los datos de diferencia de potencial en el fotodiodo medidos directamente,
hacemos los gráficos de logaritmo natural del voltaje V2 en función de la recı́proca de
la temperatura del filamento incluyendo los datos conseguidos tanto al aumentar como
disminuir la temperatura. La incertidumbre para estas magnitudes las determinamos
mediante el método de propagación de incertidumbres. En esos gráficos observamos
que para valores altos de temperatura, existe un comportamiento lineal entre los dos
parámetros; ello no se da para temperaturas cercanas a la ambiente.
6
Figura 4. Gráfico de ln(V) en función de 1/T para la lámpara de 75 watts. Es claro en este gráfico
que la linealidad sólo se da a partir de ciertas temperaturas.
Figura 5. Gráfico de ln(V) en función de 1/T para la lámpara de 40 watts. Aquı́ es aún más
evidente la no linealidad para ciertas temperaturas.
Aducimos la no linealidad de esos puntos al hecho de que el filamento de la lámpara,
a temperaturas bajas, no emite radiación con una intensidad superior a la umbral (para
7
longitudes de onda cercanas a aquellas en las que el fotodiodo es sensible). Entonces,
la corriente no se comporta linealmente con la intensidad y esto conduce a los puntos
obtenidos. A manera estimativa, la energı́a por unidad de volumen que emite el foco
en la región (950 ± 100) nm a una temperatura de 750 K es aproximadamente 1 mJ3
mientras que para 1200 K asciende a 2200 mJ3 . Esta explicación concuerda con el hecho
de que el voltaje medido en la salida del amplificador, para temperaturas bajas, toma
un valor constante.
Dado que deseamos utilizar la relación lineal existente a partir de cierta intensidad,
eliminamos los datos para bajas temperaturas de ambos gráficos, y ajustamos los puntos
restantes a ecuaciones de la forma y = M x + B. Los mismos resultan ser buenos, a
juzgar por el valor del Reduced χ2 .
Figura 6. Ajuste lineal del gráfico de ln(V) en función de
El resultado del ajuste es:
M = (−14800 ± 100) K
B = (7, 79 ± 0, 06) ln(V )
Reduced χ2 = 0, 9992
8
1
T
para la lámpara de 75 watts.
Figura 7. Ajuste lineal del gráfico de ln(V) en función de 1/T para la lámpara de 40 watts.
El resultado del ajuste es:
M = (−15000 ± 100)K
B = (7, 31 ± 0, 06)ln(V )
Reducedχ2 = 0, 99952
Con estos resultados, podemos determinar la constante de Planck recordando que
de acuerdo a la ecuación (9), la pendiente M toma la siguiente forma:
M=
hc
M kλ
hν
=
=⇒ h =
k
kλ
c
En esta ecuación, k = (1, 38065 ± 0, 00001) 10−23 KJ es la constante de Boltzmann[1] ,
y c = (299612000 ± 1) ms es la velocidad de la luz en el aire[1] . La longitud de onda que
consideramos, como se discute en la sección dispositivo experimental, es λ = (950 ±
100) nm.
A partir de los datos recabados para cada lámpara, determinamos un valor de la
constante de Planck con una incertidumbre dada nuevamente por la propagación de
errores correspondiente:
Para la lámpara de 75 W: h1 = (6, 5 ± 0, 7) 10−34 J s
Para la lámpara de 40 W: h2 = (6, 6 ± 0, 7) 10−34 J s
Para obtener el valor final, realizamos un promedio de los mismos y le asignamos
como incertidumbre la correspondiente a uno de ellos:
h = (6, 6 ± 0, 7) 10−34 J s
9
El valor de h que Alonso[1] da es h = (6, 62606896 ± 0, 00000033) 10−34 J s, que
está incluido en el resultado obtenido. Por otro lado, la incertidumbre porcentual en
nuestro valor ronda el 10 %, que, si bien es alta, se debe a la incertidumbre en la longitud
de onda cercana también al 10 %. Utilizar un fotodiodo con una curva de sensibilidad
relativa con un pico más pronunciado, seguramente acarrearı́a una disminución en la
incertidumbre final de h.
Además, a pesar de haber determinado la inversa de la temperatura de una manera
totalmente indirecta, la incertidumbre que le corresponde se mantiene en todos los
casos menor al 5 % lo que permite realizar un buen ajuste a los datos.
4.
Conclusiones
Utilizando una bombilla común y un fotodiodo determinamos el valor h = (6, 6 ±
0, 7) 10−34 J s para la constante de Planck. Dicho valor incluye al observado en la
bibliografı́a (h = (6, 62606896±0, 00000033)10−34 J s de Alonso[1] ), por lo que podemos
establecer que el método experimental es exacto.
Por otra parte, la incertidumbre del valor final cercana al 10 % habla de una precisión baja. Seguramente podrı́amos disminuirla utilizando un fotodiodo con sensibilidad
concentrada en un intervalo menor de longitudes de onda.
Finalmente, serı́a apropiado poder verificar que para bajas temperaturas la diferencia de potencial que detectamos a la salida del amplificador corresponde a la corriente
oscura.
Referencias
[1] Alonso, M. y Finn, E., Fı́sica, pág. 948, Pearson Eduación (1995).
[2] Eisberg, R. y Resnick, R., Fı́sica Cuántica, pág. 19 a 39, Noriega Editores (1997).
10