El equilibrio competitivo - Blog de Adolfo García de la Sienra Guajardo

EL EQUILIBRIO COMPETITIVO
ADOLFO GARCÍA DE LA SIENRA
Instituto de Filosofía
Facultad de Economía
Universidad Veracruzana
asienrag@gmail.com
1. Equilibrio de las economías de intercambio puro
Las economías de intercambio puro se caracterizan por la existencia de un
conjunto de consumidores, dotados con una canasta de bienes que pueden intercambiar con el objeto de arribar a la elección de un menú de
consumo preferido, y un jugador ficticio que elige precios con el objeto
de maximizar el valor monetario del excedente de demanda. Este último
jugador ha sido llamado el participante del mercado1 pero aquí será llamado
el Regulador. La correspondencia de reacción de cualquier consumidor
es indiferente a las estrategias que adopten los demás consumidores: sólo
toma en cuenta la estrategia del Regulador. A su vez, el Regulador reacciona ante cualquier asignación (perfil de menús de consumo) eligiendo
el sistema de precios que maximiza el excedente de demanda provocado
por esa asignación. Como ningún consumidor toma en cuenta los menús
de consumo elegidos por los otros consumidores para elegir el propio,
sino solamente el precio fijado por el Regulador, y ninguno de ellos puede con su propia elección por sí sola forzar la elección del Regulador, los
consumidores son llamados ‘tomadores de precios’. Así, una economía de
intercambio puro constará de I = M + 1 jugadores, siendo 1; : : : ; M los
consumidores (M 1) e I el Regulador. Podemos así proceder a definir
la estructura correspondiente.
DEFINICIÓN 1 E es una economía de intercambio puro syss existen (, X1 , . . . ,
XM , P, u1 , . . . uI , ω 1 , . . . , ω M tales que
1 “Market participant” en K.J. Arrow y G. Debreu, “Existence of an Equilibrium for a Competitive
Economy”, p. 79.
1
2
GARCÍA DE LA SIENRA
(0) E = h(; X1 ; : : : ; XM ; P; u1 ; : : : uI ; ω 1 ; : : : ; ω M i;
(1) h(; X1 ; : : : ; XM ; P; u1 ; : : : uI ; i es un juego en forma estratégica;
(2) si i 6= I , Xi es un subconjunto compacto y convexo del ortante
semipositivo L del espacio euclideano RL , tal que 0 2 Xi ;
(3) si i
6= I , ω
es un elemento de Xi .
i
(4) P es el simplex unitario f(p1 ; : : : ; pL )
euclideano RL ;
(7)
L
m
l
1
l
6= I , u (x ; x ; p) = u (x ; x0 ; p0);
P
u (x ; : : : ; x ; p) = p = (x ω );
para todo i =
6 I , u es continua, cuasicóncava y monótona creciente
(5) si i
(6)
2 j P = p = 1g del espacio
i
i
i
i
i
i
M
I
1
M
i 1
i
i
i
con respecto a xi .
Como las funciones de utilidad de los consumidores sólo dependen de
las propias estrategias o acciones de esos agentes (Axioma D1(5)), en adelante escribiremos ui (xi ) omitiendo las demás variables. ω i es la dotación
PM
inicial del agente i. ω = i=1 ω i es la dotación total. Una asignación es un
elemento (xi ) = (x1 ; : : : ; xM ) de X = X1 XM . El conjunto presupuestal
de i dado el sistema de precios p es
Bp;ω i
= fx 2 X j px pω g:
i
i
i
i
La correspondencia de reacción del consumidor i es
ri (xi ; p)
= fx0 2 B ; j u (x0 ) = máx
i
p ωi
i
i
2
x00
Bp;ωi
i
ui (xi 00 ) g:
Esta correspondencia de reacción es llamada también la correspondencia de
demanda walrasiana; sus elementos son precisamente los vectores que el
consumidor i está dispuesto a demandar porque son los que maximizan su
función de utilidad. La correspondencia de reacción del regulador I es
rI (xi ; p)
= fp0 2 P j u ((x ) ; p0 ) = máx
I
i
00
2 uI (xi ; p ) g:
p00 P
La correspondencia de demanda agregada dado el sistema de precios p es
'(p) =
M
X
=
i 1
ri ((xi ) ; p) :
TEORÍA DE JUEGOS
3
La correspondencia de demanda excedente es
(p) = '(p) r fωg:
La demanda excedente es una familia de vectores cuyas entradas miden la
cantidad de bienes disponibles no demandados o demandados en exceso:
los valores negativos de las entradas de los vectores nos dicen cuántos bienes disponibles de cada tipo no están siendo demandados por los agentes;
los positivos cuántos están siendo demandados en exceso (de modo que se
demandan más de los que hay en la dotación total ω). Así, las entradas negativas indican exceso de oferta y las positivas exceso de demanda. Cuando
hay igualdad entre la oferta y la demanda, se tiene (p) = f0g.
Claramente, al maximizar su utilidad dada una asignación (xi ), el Regulador maximiza pz, donde z = x1 + + xM ω, lo cual implica asignar
números más grandes a las entradas positivas, aumentando así los precios
de los bienes más demandados a costa de los precios de los menos demandados. Se ve, pues, que el Regulador lo único que hace es poner en vigor
la ley de la oferta y la demanda. Como dice Debreu:
para reducir el exceso de demanda, el peso del sistema de precios se recarga
sobre aquellos bienes para los que el exceso de demanda es mayor.2
Así, al postular una asignación con exceso de demanda, la respuesta del
Regulador obliga a los consumidores a retirar dicha postulación, pues la
fijación de precios muy altos para los bienes demandados en exceso hace
que los mismos consumos no sean factibles para al menos algunos de los
agentes. Ante el precio postulado por el Regulador, los consumidores tienen que replantear su elección, restringiéndola a menús que estén dentro
de sus respectivos conjuntos presupuestales y haciendo que el valor del exceso de demanda bajo este nuevo precio sea efectivamente cero. Éste es el
sentido de la famosa Ley de Walras.
TEOREMA 1 (Ley de Walras). El valor del exceso de demanda es igual a cero bajo
cualquier sistema de precios; i.e. para todo p 2 P y z 2 (p), pz = 0.
Demostración: Como las funciones de utilidad son monótonas crecientes,
cualquier agente preferirá los menús más generosos, lo cual lo lleva a gastar
2
G. Debreu, “Market Equilibrium”, p. 113.
4
GARCÍA DE LA SIENRA
todo su presupuesto pωi . Así, sea z = x1 + + xM
Entonces pxi = pω i y, por ende, pz = 0. ω
2 (p), con x 2 B ;
i
p ωi
.
Sin embargo, la Ley de Walras no quiere decir que la oferta y la demanda
sean iguales. Pues puede suceder que algún bien gratuito sea deseable, en
cuyo caso se demandará de ese bien más de lo que hay disponible. Decimos
que el bien l es deseable si pl = 0 implica que hay un exceso de demanda de
ese bien: zl (p) > 0. Es muy posible encontrar en la realidad bienes deseables. De hecho casi todos los bienes son deseables, pues poner sus precios
en cero conduciría seguramente a un exceso de demanda de los mismos.
Lo que hace un precio positivo es precisamente reflejar la escasés del bien
en cuestión (o la insaciedad de los consumidores). La “tarea” del Regulador es precisamente la de fijar un precio que impida que los consumidores
demanden más de lo que hay. El juego para I consiste en fijar un sistema
de precios p que obligue a los mercados a despejarse. I tiene que hacer
eso con base en el conocimiento de las funciones de utilidad y dotaciones
iniciales de los mercaderes. Pero la acción que conduce a I a postular ese
precio de equilibrio debe ser el resultado de que I maximice su función
de utilidad, pues I es también un jugador.
La idea de un precio de equilibrio es precisamente la de un precio que
iguala la oferta con la demanda del bien. Éste es el sentido del concepto de
equilibrio walrasiano, cuya definición precisa es la siguiente.
DEFINICIÓN 2 Un equilibrio competitivo o walrasiano es un asignación de consumos y precios ( x̂1 ; : : : ; x̂M ; p̂) tal que
(1) para cada consumidor i: el menú x̂i maximiza la utilidad de i: x̂i
ri (( x̂i ) ; p̂),
2
(2) el sistema de precios p̂ despeja los mercados, en el sentido de que
iguala la oferta y la demanda: ( p̂) = f0g.
TEOREMA 2 Si todos los bienes son deseables, (( x̂i ) ; p̂) es un equilibrio competitivo
de la economía de intercambio puro E syss (( x̂i ) ; p̂) es un equilibrio de Nash de E.
Demostración: Es fácil ver que un equilibrio walrasiano es un equilibrio de
Nash, pues la condición (1) de la Definición 2 afirma que todos los consumidores maximizan su utilidad dada la acción p̂ del Regulador, mientras
5
TEORÍA DE JUEGOS
que la condición (2) implica que también el Regulador I maximiza su utilidad:
p̂ 2 rI (( x̂i ) ; p̂) ;
pues la utilidad máxima del Regulador cuando los
mercados se despejan
PM
es exactamente igual a 0, ya que p ω
= p 0 = 0 para todo
x̂
i=1 i
p 2 P.
Por otra parte, si (( x̂i ) ; p̂) es un equilibrio de Nash, es inmediato que
los menús ( x̂i ) maximizan la utilidad de los consumidores. Además, si
PM
ω, entonces p̂ maximiza uI (( x̂i ) ; p) = pẑ
x̂
p̂ 2 rI (( x̂i ) ; p̂) y ẑ =
i=1 i
sujeto a p 2 P. Al ser esto así notamos, en primer lugar, que no es posible que haya un exceso de oferta para todos los bienes (ẑl < 0 para todo
l), pues en tal caso tendríamos pẑ < 0, contraviniendo la Ley de Walras.
Más aun, ni siquiera es posible tener exceso de oferta para algún bien l,
pues en ese caso el precio p̂l debería ser cero, ya que para maximizar uI
el Regulador tendría que asignar precios positivos a aquellos bienes l 0 con
ẑl 0. Por otra parte, tampoco puede haber exceso de demanda positivo
de algún bien. Pues, si lo hubiera, para maximizar uI el Regulador tendría
que asignar precios positivos sólo a los excedentes positivos (de hecho, sólo
a los máximos excedentes positivos). Pero esto haría p̂ẑ > 0, contraviniendo nuevamente la Ley de Walras. Sólo queda ẑl = 0 para todo l, pero esto
significa ẑ = 0. 0
Por virtud del Teorema 2, es suficiente demostrar que una economía de
intercambio puro tiene un equilibrio de Nash para demostrar que tiene
un equilibrio competitivo.
TEOREMA 3 Existe un equilibrio competitivo en toda economía de intercambio puro
en la que todos los bienes son deseables.
Demostración: Sea E una economía de intercambio puro y sea r :X
X P la correspondencia definida mediante la condición
r((xi ) ; p)
P !
= r ((x ) ; p) r ((x ) ; p) :
1
i
I
i
Sólo hay que demostrar que r tiene un punto fijo, para lo cual necesitamos
usar el teorema de Kakutani. Por ende, es suficiente establecer lo siguiente:
6
GARCÍA DE LA SIENRA
(1) X P es un subconjunto no vacío y convexo del espacio euclideano
RI L ;
(2) X
P es compacto;
(3) r es una correspondencia semicontinua superiormente (scs);
(4) r((xi ) ; p) es convexo para todo ((xi ) ; p)
2 X P.
Procedo a demostrar cada una de estas aserciones.
(1) Observamos que X P es un subconjunto no vacío y convexo del espacio euclideano RI L , pues tanto Xi como P son subconjuntos no vacíos y
convexos de RL .
(2) X
RL .
P es compacto en R
IL
porque tanto Xi como P son compactos en
(3) Basta demostrar que ri es semicontinua superior (scs) para todo i 2 (.
Sea (x0 ; p0 ) un punto cualquiera de S = X P y sea (xk ; pk ) una secuencia
en S que converge a (x0 ; p0 ), (yki ) una secuencia en Xi con límite y0i tal que
yki 2 ri (xk ; pk ) para i = 1; : : : ; M, y qk una secuencia en P con límite q0
tal que qk 2 rI (xk ; pk ). Tenemos que mostrar que hay una vecindad Vi de
(x0 ; p0 ) en la que ri es acotada, una vecindad VI en la que rI es acotada,
que y0i 2 ri (x0 ; p0 ) y que q0 2 rI (x0 ; p0 ). Antes que nada obsérvese que ri es
acotada en cualquier punto de S para todo i 2 ( porque el codominio de
ri es compacto. En segundo lugar, si yki 2 ri (xk ; pk ) entonces pk yki = pk xki y
ui (yki ) = ui (xki ). Como ui es continua en la iésima variable,
ui (y0i )
= lı́m
u (y ) = lı́m u (x ) = u (x ) :
!1
!1
k
i
i
k
k
i
k
i
i
0
i
Análogamente si qk 2 rI (xk ; pk ), tenemos qk zk
ω, de donde se sigue que
q0 z0
= lı́m
q lı́m z
!1
!1
= lı́m
qz
!1
= lı́m
pz
!1
= lı́m
p lı́m z
!1
!1
=pz
k
k
k
k
k k
k
k k
k
k
k
k
0 0
k
=pz
k k
donde zk
=
PM
k
= xi
i 1
7
TEORÍA DE JUEGOS
de donde se obtiene q0
2 r (x ; p ).
0
I
0
(4) Finalmente, r((xi ) ; p) es convexo para todo ((xi ) ; p) 2 S. En efecto,
sean (xi ) y (x0i ) elementos arbitrarios de ri ((xi ) ; p) (i 6= I ) y ; números
no negativos con + = 1. Tenemos
p( x0i + x00i )
= px0 + px00
= px + px
= px
= pω;
i
i
i
i
i
por lo que x0i + x00i
variable,
ui ( x0i + x00i )
2B;
pω
. Además, como ui es semicóncava en la iésima
mín(u ( x0 ) ; u ( x00 ))
u (x ) :
i
i
i
i
i
i
De manera que el menú x0i + x00i está en el conjunto presupuestal y
su utilidad no es menor a la del menú que maximiza la utilidad en ese
conjunto. Esto implica que x0i + x00i 2 ri ((xi ) ; p). Análogamente, si
PM
p0 ; p00 2 rI ((xi ) ; p), y z = i=1 xi ω, p0 z = pz = p00 z y
( p0 + p00 )z = p0 z + p00 z
= pz + pz
= pz;
(1)
(2)
(3)
de donde p0 + p00 2 rI ((xi ) ; p). Esto establece que ri ((xi ) ; p) es convexo
para todo i 2 ( y ((xi ) ; p) en X P. Como el producto cartesiano de
conjuntos convexos es convexo, se sigue que r((xi ) ; p) es convexo para
todo ((xi ) ; p) en X P.
Las satisfacción de las condiciones (1)–(4) implica que hay un punto fijo
(( x̂i ) ; p̂) de la correspondencia r. Este punto fijo es un equilibrio de Nash
del juego E. Se concluye que (( x̂i ) ; p̂) es un equilibrio competitivo. 1.1. Ejemplo
Supóngase que hay dos agentes en una economía de intercambio puro,
con dotaciones iniciales ω 1 = (2; 1) y ω 2 = (1; 4), respectivamente. Ambos
8
GARCÍA DE LA SIENRA
comparten el mismo espacio de consumo ω, el ortante no negativo de R2 , y
ambos posen una función de utilidad de la forma Cobb-Douglas, de modo
que el Problema del Consumidor para el agente i (i = 1; 2) es
Maximizar( xi1 ;xi2 ) 2Xi xi1 xi21 s.a. p1 xi1 + p2xi2
pω
i
Calcúlense las funciones de demanda de los agentes, encuéntrense los
precios de equilibrio que despejan el mercado del bien 1, y demuéstrense
que los mismos precios también despejan el mercado del bien 2.
1.1.1. Resolución
Para determinar la función de demanda del agente 1, construimos el lagrangiano:
L(x11 ; x12 ; )
= x x
11
1
12
+
p1 ω 11 + p2 ω 12
p1 x11
p2 x22
:
Las condiciones de primer orden son, entonces,
L
= x11 1x112 p1 = 0
x11
(4)
L
= (1 )x11x12 p2 = 0
x12
(5)
L
= p1ω11 + p2ω12
p1 x11
p2x22
= 0:
(6)
Despejando en (1) y (2), obtenemos
= p1 1x11 1x112 (7)
= (1 )p2 1x11x12
(8)
y
9
TEORÍA DE JUEGOS
Así,
p1 1x11 1 x112 = (1 )p2 1x11x12 :
(9)
Para separar variables, multiplicamos ambos lados de (6) por x12 y obtenemos
p1 1x11 1 x12 = (1 )p2 1x11 :
(10)
1 Multiplicando ahora ambos lados de (7) por x11
,
p1 1x12 = (1 )p2 1x11:
(11)
Despejando x12 , obtenemos
x12
=
1
(1
)p1 p2 1x11:
(12)
Al sustituir la parte derecha de (9) por x12 en la tercera condición, obtenemos:
p1 ω 11 + p2 ω 12
= p x + p (1 )p p
= p x + (1 )p x
= p x + (1 )x
= p 1 + (1 ) x
=p x :
1
1
11
1 2
1
11
1
1
2
1
1
11
1
1
x11
11
11
1
1
1
11
11
Luego, x̂11 = ω11 + p1 1p2 ω 12 y, sustituyendo x11 con x̂11 en la ecuación
(9), obtenemos
x̂12
= (1 )
p1 p2 1 ω 11 + ω 12
Por lo tanto, la función de demanda walrasiana es
'1(p1; p2; pω 1) =
(1
ω 11 + p1 1 p2 ω 21 ) p1p2 1ω11 + ω21
(13)
La función de demanda del agente 2 es, análogamente,
'2(p1; p2; pω 2) =
(1
ω 12 + p1 1 p2 ω 22 ) p1p2 1ω12 + ω22
(14)
10
GARCÍA DE LA SIENRA
El mercado del primer bien se despeja syss
ω 11 + p1 1p2 ω 21
+
ω 12 + p1 1p2 ω 22
= 3;
(15)
lo cual implica que
3(1 )
:
5
El precio p2 se puede expresar en función de p1 , pues tenemos
p1 1 p2
=
(16)
3(1 )
p1
(17)
5
Para que el sistema (p1 ; p2 ) esté en el simplex, se tiene que cumplir la
siguiente ecuación:
p2
=
3(1 )
p1 = 1:
5
Despejando p1 obtenemos
(18)
= 25+ 3
(19)
p1 +
p̂1
Sustituyendo este valor de p1 en la ecuación 17, tenemos
3(1 )
(20)
2 + 3
Podemos calcular ahora la riqueza de los jugadores en equilibrio. Tenemos
p̂2
=
w1
= p̂ω
=
=
y
w2
1
5
3(1 )
2+
1
2 + 3
2 + 3
7 + 3
2 + 3
= p̂ω
2
5
)
= 2 + 3 1 + 2 + 3 4
= 12 7
2 + 3
3(1
11
TEORÍA DE JUEGOS
La demanda walrasiana con estas determinaciones queda así:
2
3
7 + 3
6 5 7
'1( p̂; w1 ) = 4 7 + 3 5
3
(21)
y
2
3
7 + 3
6 5 7
'2( p̂; w2 ) = 4 7 + 3 5
3
Es fácil ver que '1 ( p̂; w1 )
Así, el sistema
7 + 3 7 + 3
;
5
3
(22)
+ ' ( p̂; w ) = (3; 5) = ω.
;
2
2
7
12
5
;(
7
12
3
;
5
3(1 )
;
2 + 3 2 + 3
es un equilibrio competitivo.
2. El equilibrio competitivo en economías privadas con producción
En esta sección abordaremos el estudio del equilibrio de una economía
con producción, siguiendo básicamente la misma metodología que en la
sección anterior.
Supondremos que hay M consumidores en la economía, denotados por
el índice i y representados por los primeros M números enteros positivos.
Supondremos también que hay N productores, denotados por el índice j y
representados por los enteros positivos M + 1; : : : ; M + N . El “mercado” (el
Regulador) será considerado asimismo como un agente, representado por
el entero positivo M + N + 1. Tanto los consumidores, como los productores
y el mercado, serán llamados agentes, de manera que hay en total M + N + 1
agentes en la economía. El conjunto de los consumidores será denotado
por }, el de los productores por 1, y el de todos los agentes por (.
Suponemos que hay L (tipos de) mercancías en la economía, denotados
por el índice l. Cada tipo de mercancía es un bien o un servicio (incluyendo por lo tanto los gastos de trabajo), ubicado en un lugar y en un tiempo
determinados. Cada consumidor i tiene que escoger un menú o cesta de
12
GARCÍA DE LA SIENRA
consumo en un conjunto de posibles cestas Xi , el cual es naturalmente un
subconjunto del espacio RL de mercancías. Asimismo, cada productor j
debe escoger su proceso productivo en un conjunto Yj , el cual también es
un subconjunto del espacio de mercancías RL . Si xi 2 Xi , las coordenadas
positivas de xi representan las cantidades de mercancías que el agente i
consumiría si adoptase la decisión de tomar xi como su menú de consumo; las coordenadas negativas representan el número de horas de trabajo
que el agente i tendría que laborar en ciertos oficios si adoptara tal menú. Si yj 2 Yj , las coordenadas positivas de yj representan las cantidades
de productos o outputs netos que el productor j tendría que producir si
decidiera adoptar el plan de producción yj ; las coordenadas negativas representan las cantidades de insumos o inputs netos, incluyendo el trabajo.
Recordemos que la adición de dos conjuntos de vectores V ; W (de la
misma dimensión), denotada por V + W, es la familia de todas las sumas
de sus elementos, definida por la ecuación:
V
+ W = fv + w j v 2 V y w 2 W g:
La resta V
W
W se define como la suma V
=f
+(
W), donde
w j w 2 W g:
P
Se define inductivamente la adición =1 V de conjuntos de vectores (de
P
la misma dimensión), a saber: si = 1, entonces
=1 V es igual a V1 ; si
P
P 1 > 1 entonces =1 V es igual a =1 V + VP .
De aquí en adelante, X denotará la suma i2M Xi y Y denotará la suP
ma j 2N Yj . Con estos elementos conceptuales podemos proceder ahora a
introducir nuestra primera definición.
DEFINICIÓN 3 E es una economía potencial de propiedad privada syss existen
Xi , i , (ωi ), ( ij ), Yj , P, tales que
(0) E = h(Xi ; i ) i2M ; (ω i ) i2M ; ( ij ) ( i;j) 2M N ; (Yj ) j2N ; P; i
(1) Para todo i 2 M, Xi es un subconjunto cerrado y convexo de RL
que está inferiormente acotado; es decir, existe un vector vi tal que
vi xi para todo xi 2 Xi .
13
TEORÍA DE JUEGOS
(2) Para todo i 2 M, (Xi ; i ) es una estructura de preferencia tal que
i es cuasiconvexa, continua, y carece de punto de saturación; es
decir, no hay un vector xi 2 Xi tal que xi i x0i para todo x0i 2 Xi .
2 M, ω 2 X y, para algún x 2 X , x < ω .
Para todo i 2 M y j 2 N , es un número real no negativo; más
P
aun, para cada j 2 N , 2 = 1.
Para todo j 2 N , Y es un subconjunto compacto y convexo de R
(3) Para todo i
(4)
i
i
i
i
i
ij
ij
i M
(5)
i
L
j
que contiene al vector 0.
(6) Y \ L = f0g; es decir, no puede haber ningún output neto en la
producción agregada sin que haya al menos algún input neto de
trabajo.
= f0g; es decir, la producción es irreversible.
P
P es el simplex unitario f(p ; : : : ; p ) 2 j
= p = 1g.
(7) Y
(8)
(9)
\(
Y)
1
L
L
l
h 1
h
, la función de decisión, es una función
:( Y
2
i M
Xi
Y
2
j M
Yj
P !
[
2
i M
Xi
[
[
2
Yj
[ P:
j N
Un estado de la economía es un (M + N + 1)-tuplo ordenado ((xi ) ; (yj ) ; p)
de elementos de RL , el cual es una asignación posible de menús de consumo (xi ) a los consumidores, de producciones (yj ) a los productores y de un
precio p por el mercado. Esta posibilidad se debe entender en un sentido
muy abstracto, como una asignación imaginable pero quizá irrealizable.
Dado un estado ((xi ) ; (yj ) ; p), la demanda neta determinada por el mismo
P
P
es la diferencia x y, donde x = i2M xi y y = j 2N yj . La demanda excedente
es z = x y ω, de modo que el conjunto de todas las demandas exceP
dentes es Z = X Y fω g, donde ω = i2M ω i . Un equilibrio de mercado es
un estado de la economía cuya demanda excedente es igual o menor que
0. Denotamos con M el conjunto de todos los equilibrios de mercado.
A diferencia de los estados, que permiten asignaciones realmente imposibles para los agentes, un estado realizable es uno que es realmente posible,
en el sentido de que xi 2 Xi para todo i, yj 2 Yj para todo j, y x y ω.
Es decir, xi es un consumo factible para el agente i, yj es una producción
14
GARCÍA DE LA SIENRA
factible para j, y ((xi ) ; (yj ) ; p) es un equilibrio de mercado. El conjunto de
todos los estados realizables es denotado por A. Es fácil ver que
Y
A=
2
Xi
Y
i M
2
Yj
\ M:
j N
Decimos que un menú de consumo xi para el iésimo consumidor es
realizable si existe un estado realizable cuyo componente correspondiente
a ese consumidor es xi . El conjunto de todos los consumos realizables del
bi .
agente i es llamado su conjunto de consumo realizable y es denotado por X
LEMA 1 Sea h(Xi ; i ) i2M ; (ω i ) i2M ; ( ij ) ( i;j) 2M N ; (Yj ) j2N ; P; i una economía potencial de propiedad privada. Cada estructura de preferencia (Xi ; ) (i 2 }) es
representable mediante una función de utilidad ui que es semicóncava y continua.
Demostración: Como Xi es convexo, se sigue que es también conexo. Además, por el axioma (2), i es semiconvexa y continua. Se desprende que
existe una función de utilidad continua y cuasicóncava para (Xi ; i ). DEFINICIÓN 4 Se dice que el sistema de vectores
(x1 ; : : : ; xm ; y1 ; : : : ; yn ; p )
es un equilibrio competitivo syss satisface las siguientes condiciones para todo
i 2 } y j 2 1:
(1) xi maximiza ui (xi ) sobre
n
xi
h
2 X j px pω + máx 0;
i
i
i
X
2
io
ij p yj :
j N
(2) yj maximiza p yj sobre el conjunto Yj .
2 P.
z 0 y p z = 0.
(3) p
(4)
h
La expresión máx 0;
n
P
p yj
j 2N ij
i
es necesaria para garantizar que el
h
P
conjunto xi 2 Xi j p xi p wi + máx 0; j 2N ij p yj
todos los estados posibles.
io
esté definido para
15
TEORÍA DE JUEGOS
TEOREMA 4 Sea E = h(Xi ; i ) i2M ; (wi ) i2M ; ( ij ) ( i;j) 2M N ; (Yj ) j2N ; P; d i una eco0
bi ; ) i2M ; (wi ) i2M ; ( ij ) ( i;j) 2M N ; (Yj ) j 2N ; P; d i la economía
nomía, y sea E = h( X
i
que resulta de sustituir los conjuntos Xi por los conjuntos de consumos realizables
bi . Entonces (xi ; : : : ; xm ; y1 ; : : : ; yn ; p ) es un equilibrio competitivo para E syss
X
(x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn , p ) es un equilibrio competitivo para E0 .
DEFINICIÓN 5 Sea
E = h(Xi ; i ) i2M ; (wi ) i2M ; ( ij ) ( i;j) 2M N ; (Yj ) j2N ; P; d i
una economía potencial de propiedad privada. El sistema social potencial
asociado a E es la estructura
S = hX1 ; : : : ; Xm ; Y1 ; : : : ; Yn ; P; '1 ; : : : ; 'M +N +1; f1 ; : : : ; fM +N +1i
definida como sigue, donde S
(1) Para i
= X X Y Y P:
1
1
m
2 M y s = (x ; : : : ; x ; y ; : : : ; y ; p) 2 S,
1
'i (s) =
m
1
n
h
n
2 X j px pω + máx 0;
xi
i
i
i
X
2
2 N y s = (x ; : : : ; x ; y ; : : : ; y ; p) 2 S,
1
m
1
n
'j (s) = Yj :
2 S, ' + + (s) = P:
Para i 2 M y s = (x ; : : : ; x ; y ; : : : ; y ; p) 2 S,
(3) Para s
(4)
M
N
1
1
fi (s)
1
n
= u (x ) :
i
(5) Para j
fj (s)
m
i
2 N y s = (x ; : : : ; x ; y ; : : : ; y ; p) 2 S,
1
m
= py :
(6) Para s
j
2 S, f
M
+N +1(s)
= pz:
1
n
io
ij pyj :
j N
(2) Para j
n
16
GARCÍA DE LA SIENRA
Definimos la función de beneficios máximos j :P ! R, como la función
que asigna a cada p 2 P el máximo beneficio posible para el productor j
dado el sistema de precios p; i.e. j = máxyj 2Yj pyj :
DEFINICIÓN 6 Sea E una economía potencial de propiedad privada y
S = hX1 ; : : : ; Xm ; Y1 ; : : : ; Yn ; P; '1 ; : : : ; 'M +N +1 ; f1 ; : : : ; fM +N +1 i el sistema social potencial asociado a ella. Para cada agente 2 I de la economía potencial y estado s de la misma definimos su conjunto de acciones óptimas, (s),
del siguiente modo:
(1) Para i 2 } y s 2 S sea i (s) el conjunto
fx 2 ' (s) j u (x ) = máx
i
i
i
i
x0i
0
2'i ( s) ui (xi ) g:
2 1 y s = (x; y; p) 2 S, sea (s) el conjunto
fy 2 Y j py = (p) g:
(2) Para j
j
j
j
j
j
(3) Para el mercado, dado s
= (x; y; p) 2 S, sea M
+N +1(s) el conjunto
fp0 2 P j p0 z = máx 2 qzg:
q P
El conjunto global de acciones óptimas dado s
(s) =
Y
2(
2 S es
(s) :
DEFINICIÓN 7 Una economía de propiedad privada es una economía potencial de propiedad privada tal que ( ; s) 2 (s) para todo ( ; s) 2 I S.
LEMA 2 Para todo p 2 P, pωi
> mínx 2Xb pxi .
i
i
Demostración: Por el axioma 3, existen menús de consumo x̃i 2 Xi tales que
x̃i < ω i . Dado que 0 2 Yj y Yj es convexo para todo j, podemos encontrar
P
P
ỹj 2 Yj tales que i2} x̃i + j 2N ỹj ω. Esto implica que (( x̃i ) ; ( ỹj )) es
bi . Claramente, pω i > px̃i mínx 2Xb pxi . factible y, por ende, x̃i 2 X
i
i
TEOREMA 5 Sea E una economía potencial de propiedad privada y S su sistema
social potencial asociado. Si E es en efecto una economía de propiedad privada,
b = hX
b1 ; : : : ; X
bm ; Y1 ; : : : ; Yn ; P; ' ; f i es un sistema social.
entonces S
17
TEORÍA DE JUEGOS
Demostración: Tenemos que probar que
b = hX
b1 ; : : : ; X
bm ; Y1 ; : : : ; Yn ; P; ' ; f i
S
es un sistema social.
Por hipótesis, los conjuntos Yj y P son no vacíos, compactos y convexos.
bi , que para todo i 0 6= i
bi tenemos, por la definición de X
Para cualquier xi 2 X
y j 2 1 existen consumos xi y producciones yj tales que
X
x y
vi
i
i0
Puesto que xi
xi
+ ω:
0
v , se sigue que
0
i0
X
x y
vi
6=i
i
i0
6=i
vi
0
+ ω:
Ahora bien, como el conjunto de todos los vectores de la forma y
P
bi
v + ω es acotado, pues los conjuntos Yj son acotados, se sigue que X
i 6=i i
bi , de modo que X
bi 6= ∅;
es acotado para todo i 2 }. Es fácil ver que ω i 2 X
bi es cerrado y convexo.
también es fácil ver que X
Para probar que ' es continua, mostraremos que es scs y sci. Como '
es constantemente igual a los conjuntos Yj y P para 2 ( n }, es obvio que
b es fácil ver que el conjunto
es continua en estos casos. Si = i 2 } y s 2 S,
de todos los vectores que satisfacen la desigualdad
0
0
h
pxi
pω + máx 0;
i
X
2
ij pyj
i
j 1
es acotado. Considérese ahora una secuencia (sk ) en b
S que converge a s0 ,
bi que converge a xi , y supóngase que xki 2 'i (sk )
una secuencia (xki ) en X
para todo k. Esto significa que
h
pk xki
p ω + máx 0;
k
i
X
2
ij pk ykj
i
j 1
para todo k. Así, en el límite,
h
p0 xi
p ω + máx 0;
0
i
X
2
j 1
i
ij p0y0j ;
18
GARCÍA DE LA SIENRA
y por ende xi 2 'i (s0 ).
b
a s0 y supóngase
Considérese ahora una secuencia (s
h k ) en S que converja
i
P
que xi 2 'i (s0 ). Sea rk = pk ω i + máx 0; j 2N ij pk ykj . Conforme (sk ) ! s0 ,
(pk ) ! p0 y (rk ) ! r0 . Como xi 2 'i (s0 ), tenemos p0 xi r0 .
Si p0 xi < r0 , entonces pk xi < rk para todo k suficientemente grande.
Constrúyase la secuencia (xki ) con elementos de arbitrarios de 'i (sk ) (el
cual es no vacío, pues al menos ω i 2 'i (sk ) para todo k), pero a partir de
una k lo suficientemente grande sea xki = xi para todo k.
bi tal que p0 x0 < pωi r0 . Para k suficienteSi p0 xi = r0 , tómese un x0i 2 X
i
0
mente grande, pk xi < rk . Para 2 (0; 1) suficientemente pequeña,
pk [xi + (1
)x0i 2 'i (sk ).
de modo que xi + (1
Sea
k = mín[1; (rk
pk x0i ) =(pk xi
)x0i ℄ rk ;
pk x0i ) ℄:
Entonces, para k suficientemente grande, k
>0y
k xi + (1 k )x0i 2 'i (sk ) :
Además, como ( k )
lı́m [k xi + (1
k
!1
! 1,
k )x0i ℄ = xi :
Esto establece que 'i es sci para todo i 2 }.
Finalmente, es fácil ver que las funciones f ( 2 () son continuas y cuasicóncavas. La ley fundamental de un sistema social se cumple por virtud
de la definición de economía de propiedad privada. TEOREMA 6 Sea E una economía de propiedad privada y S su sistema social
asociado. Entonces s = (xi ; : : : ; xm ; y1 ; : : : ; yn ; p ) es un equilibrio competitivo
para E syss s es un equilibrio del sistema social S.
TEOREMA 7 Si S es el sistema social asociado a una economía de propiedad privada, entonces existe un equilibrio de S.
COROLARIO 1 Existe un equilibrio competitivo para una economía de propiedad
privada.
19
TEORÍA DE JUEGOS
3. Los Teoremas del Bienestar
DEFINICIÓN 8 Una asignación (x1 ; : : : ; xM ) es una especificación de un vector de consumo xi 2 Xi para cada consumidor i 2 I . La asignación
(x1 ; : : : ; xM ) es factible syss
M
X
=
xi
ω
i 1
DEFINICIÓN 9 Decimos que una asignación factible (x1 ; : : : ; xM ) domina a
la asignación factible (x01 ; : : : ; x0M ) en el sentido de Pareto syss xi x0i para
i
todo i y xi i x0i para algún i. La asignación (x1 ; : : : ; xM ) es un óptimo de
Pareto si no existe ninguna otra asignación factible que la domine en el
sentido de Pareto.
TEOREMA 8 (I TEOREMA
competitivo entonces
DEL
BIENESTAR) Si ( x̂1 ; : : : ; x̂M ; p̂) es un equilibrio
( x̂1 ; : : : ; x̂M )
es un óptimo de Pareto.
Demostración: Mostraremos que cualquier asignación (xi ) que domine a
( x̂1 ; : : : ; x̂M )
no puede ser factible. En efecto, como el consumidor es insaciado, siempre
consume hasta el límite de sus recursos:
p̂x̂i
= p̂ω = w :
i
i
Además,
xi
i
x̂i
implica
p̂xi
> p̂x̂i = wi ;
pues, de lo contrario, el consumidor hubiera podido comprar un consumo
estrictamente preferido al que maximiza su utilidad. Por añadidura,
xi
i
x̂i
implica
p̂xi
p̂x̂ = w ;
i
i
20
GARCÍA DE LA SIENRA
porque si no el consumidor hubiera podido comprar un menú que le brinda tanta utilidad como x̂i a un precio más bajo. En resumen, tenemos
p̂x̂ = w
para todo i 2 I , con
p̂xi
i
p̂xi
> p̂x̂i = wi
i
para al menos un i. Por lo tanto,
M
X
=
p̂xi
>
i 1
M
X
=
p̂x̂i
= p̂ω;
i 1
y (xi ) no pude ser factible porque
PM
= xi
i 1
ω implica P =
M
i 1
p̂xi
p̂ω.
TEOREMA 9 (II TEOREMA DEL BIENESTAR) Supóngase que Xi es un cono convexo que contiene el origen 0. Si i es monótona, estrictamente convexa y continua
para cada i entonces, para toda asignación óptima de Pareto ( x̂i ) 2 Mi=1 Xi con x̂i
semipositivo para todo i, factible con respecto a una dotación inicial total positiva
ω, existe un vector de precios p̂ tal que ( x̂i ; p̂) es un equilibrio competitivo.
Demostración: Sea ( x̂1 ; : : : ; x̂M ) una asignación óptima de Pareto, donde los
menús x̂i (i = 1; : : : ; M) son todos semipositivos, factible con respecto a
la dotación inicial total ω positiva. Tómense como dotaciones iniciales ω i
precisamente las x̂i : sea ω i = x̂i para cada i. Sean
Vi
= fx 2 X j x x̂ g ;
i
i
i
i
V
i
=
M
X
=
i 1
Vi ;
ω
=
M
X
=
x̂i :
i 1
Los Vi —y por tanto V —son no vacíos porque para cualquier x̂i existe un
menú con coordenadas mayores que x̂i para cada i, debido a que Xi es
un cono que contiene a 0 y la relación de preferencia es monótona. La
dotación ω no está en V porque si estuviera habría una asignación factible
que domina a ( x̂i ) en el sentido de Pareto. V es convexo porque xi , x0i 2 Vi ,
para xi 6= x0i ; implica xi + (1 )x0i 2 Vi , ya que es estrictamente
i
PM
P
M
convexa; pero, para cualesquiera elementos i=1 xi , i=1 x0i de V ,
M
X
=
i 1
xi + (1
)
M
X
=
i 1
x0i
=
M
X
=
i 1
xi + (1 )x0i 2 V :
21
TEORÍA DE JUEGOS
Por el teorema del hiperplano separador,3 existe un vector p̂ 2 RL , p̂ 6=
0, jjp̂jj < 1 tal que p̂x p̂ω para todo x 2 V .
Sostengo que p̂ es un vector de equilibrio. Para demostrar esta aserción
basta establecer que p̂ es positivo y que
xi
i
> p̂x̂i
implica p̂xi
x̂i
para todo i.
PM
En primer
lugar,
si
x
x
x̂
i
i
i para cada i, entonces p̂
i
=
1
i
PM
p̂
.
Pues
supóngase
lo
primero.
Por
monotonía
ninguno
de
los
x̂
i
i =1
menús xi es 0, pues los x̂i son todos semipositivos. Sea un número mayor
que 1 y obsérvese que, nuevamente por monotonía,
xi i xi para cada i,
PM
PM
x
p̂
.
Se
tiene que
x̂
de modo que xi 2 Vi y p̂
i
i=1
i=1 i
p̂
M
X
=
!
= lı́m
p̂
!
xi
Por lo tanto, si xi
modo que
X
j
=
1
i 1
p̂ xi +
M
X
6=i
i
!
x̂j
p̂x̂
i
xi
p̂
i 1
M
X
=
!
x̂i
:
i 1
x̂i para algún i, entonces p̂ xi +
p̂ω = p̂
x̂i +
X
j
de donde se deduce que p̂xi
p̂xi
!
para todo
6=i
P
j
6=i x̂j
p̂ω, de
!
x̂j
;
p̂x̂ . Esto establece:
x 2 V:
i
i
i
Para mostrar que el vector p̂ es de hecho semipositivo, para cualquier
l (1 l L) sea l un número positivo mayor que 1 y nótese que x̂i +
l el x̂i , donde el es el vector canónico en la dirección l. Por monotonía,
x̂i + l el i x̂i , de manera que
p̂x̂i + l p̂el
= p̂x̂ + p̂ p̂x̂ :
i
l
l
i
Como l > 0, esto prueba que p̂l 0 para todo l. Sin embargo, como
p̂ 6= 0, se sigue que p̂ 0 y por ende que p̂ω > 0. Incidentalmente, esto
3
Takayama (1985), teorema 0.B.2, p. 44.
22
GARCÍA DE LA SIENRA
implica que hay al menos un i para el que p̂x̂i > 0, pues si tuviéramos
PM
p̂x̂i 0 para todo i sería p̂ i=1 x̂i = p̂ω 0, contrariamente a lo que
acabamos de ver.
Sea x̂i tal que p̂x̂i > 0, y sea x0i = x̂i , con 0 < < 1. Como 0 2 Xi ,
0
xi 2 Xi y, además, p̂x0i = p̂x̂i < p̂x̂i . Supóngase que hay un xi 2 Vi tal que
p̂xi = p̂x̂i . Entonces, para cualquier 2 [0; 1), p̂[ xi + (1 )x0i ℄ < p̂x̂i . Sin
embargo, para un lo suficientemente cerca de 1, xi + (1 )x0i i x̂i ,
por la continuidad de i . Pero esto quiere decir que xi + (1 )x0i 2 Vi .
Tenemos así un elemento de Vi cuyo precio es menor que p̂x̂i , lo cual es
imposible. Esto prueba que p̂xi > p̂x̂i siempre que xi i x̂i . Por lo tanto,
en particular, si l es un número positivo para l arbitrario (1 l L),
x̂i + l el i x̂i y
p̂x̂i + l p̂l
> p̂x̂i ;
lo cual prueba que p̂l > 0 para todo l. Se tiene, así que p̂ > 0 y por ende
que p̂x̂i > 0 para todo i. Se infiere que p̂xi > p̂x̂i siempre que xi i x̂i para
todo i. Por lo tanto, ( x̂i ; p̂) es un equilibrio competitivo.