maquinas de carnot - Instituto de Física | PUCV

MAQUINAS DE CARNOT. RENDIMIENTO Y POTENCIA
Javier Martínez Mardones
Instituto de Física
Universidad Católica de Valparaíso
Casilla 4059, Valparaíso, Chile
jmartine@ucv.cl
RESUMEN
Uno de los problemas que dieron origen a la termodinámica fue el del rendimiento máximo de las
máquinas térmicas, que transforman calor en trabajo. En 1824, Carnot llega a la conclusión de
que el rendimiento de una máquina térmica que opera entre una fuente caliente y una fuente fría
es máximo en la máquina reversible y depende tan sólo de las temperaturas de las fuentes, pero
no del material utilizado. Presentaremos brevemente el resultado clásico de Carnot e incluiremos,
ideas relativamente recientes sobre rendimiento y la potencia de máquinas de Carnot de ciclos
con velocidad finita.
1. INTRODUCIÓN
Uno de los problemas que dieron origen a la termodinámica fue el rendimiento de las máquinas
térmicas. En 1824, Sadi Carnot publicaba “Refelxions sur la puissance du feu et sur les machines
propres a developper cette puissance”. En su escrito, ignorado por sus contemporáneos y hoy
famoso, Carnot se preguntaba por el máximo rendimiento de una máquina térmica que trabajara
tomando calor a una temperatura T1 y cediendo calor a una temperatura T2. El resultado de
Carnot, establece que el rendimiento es máximo cuando el proceso cíclico es reversible y que
dicho rendimiento máximo sólo depende de las temperaturas T1 y T2, pero no del material
utilizado en la máquina.
Por lo general, ésta es la única referencia a un rendimiento macroscópico con que se encuentra un
estudiantes de ciencias en su carrera universitaria. El interés teórico de este resultado es
indudable, pero su relación con la práctica es escaso. El factor temporal, el gran ausente de la
termodinámica clásica, es imprescindible en cualquier situación con visos de realidad. Para ser
reversible, un proceso debe llevarse a cabo con considerable lentitud, por lo cual la potencia
desarrollada durante el mismo es muy baja. Ello no significa, que la termodinámica clásica tenga
poco interés práctico: es ella la que indica en qué sentido evolucionan los procesos, cuáles son las
condiciones de equilibrio y en qué condiciones se maximiza el rendimiento. Sus enseñanzas,
deben ser combinadas con factores temporales para ganar en amplitud, eficiencia y realismo.
En general, los criterios termodinámicos y los cinéticos se contraponen. Máximo rendimiento
implica reversibilidad, y por lo tanto lentitud, en tanto que máxima velocidad o potencia supone
irreversibilidad, disipación, disminución del rendimiento. Armonizar ambos criterios supone un
atractivo reto intelectual.
Este trabajo pretende presentar una introducción sencilla a estas dos situaciones problemáticas.
En la primera parte centraremos nuestra atención en una máquina de Carnot reversible. En la
segunda parte, trataremos un ciclo de Carnot llevado a cabo con velocidades finita y nos
preguntaremos por su máxima potencia, por el rendimiento a máxima potencia y otras cuestiones
afines. Intentaremos presentar los temas con la claridad suficiente para que el texto pueda ser
utilizado, en un curso de termodinámica.
2. MAQUINA DE CARNOT
La máquina de Carnot, que opera entre dos fuentes térmicas a temperaturas T1 y T2 ( T1  T2 ),
absorbe una cierta cantidad de calor Q1 de la fuente caliente, transforma parcialmente ésta en
trabajo W, y el resto, el calor Q2, es cedido a la fuente fría. Puesto que la máquina trabaja
cíclicamente, Q1, Q2 y W se refieren respectivamente a las cantidades de calor absorbido o cedido
y al trabajo efectuado en cada ciclo.
Como la energía interna de la máquina no varía durante un ciclo (ya que se trata de una función
de estado), el primer principio permite escribir
Q1  Q 2  W
(1)
El rendimiento  se definirá, como es habitual, como el cuociente entre el trabajo por ciclo, W, y
el calor recibido, Q1, es decir
  W Q1  1 - Q 2 Q1
(2)
Por otra parte, al tener en cuenta el segundo principio, el balance global de entropía establece que
 S to t =  S 1 +  S 2   S m á q  0
donde
 S m áq
(3)
 S1
y  S 2 son las variaciones de entropía de las fuentes 1 y 2 en un ciclo, así mismo,
es la variación de entropía de la máquina en un ciclo. Como la entropía es una función de
estado,
 S m áq
se verifica que
debe ser nula y, puesto que las temperaturas de las fuentes permanecen constantes,
 S 1   Q 1 T1
y
 S 2   Q 2 T2
. Por lo tanto, (3) se convierte en
 Q 1 T1  Q 2 T 2  0
(4)
relación que puede reordenarse del modo siguiente
Q 2 Q 1  T 2 T1
(5)
donde la igualdad vale para el caso reversible y la desigualdad en el caso irreversible. Por
consiguiente, al combinar (2) y (5) se puede escribir para el caso reversible
  1  T 2 T1
(6)
La expresión (6) pone de manifiesto que el rendimiento es máximo cuando la máquina es
reversible y sólo depende de las temperaturas de las fuentes, pero no de la sustancia que opera
entre las fuentes. Conviene destacar que la deducción de Carnot fue diferente, ya que trabajó en
el contexto de la antigua teoría del calórico, mucho antes de que fuera introducida la entropía.
Sin embargo, para que el ciclo se lleve a cabo reversiblemente, ha de realizarse con infinita
lentitud, lo cual hace que la potencia de la máquina reversible resulte ser nula; sin embargo, en la
práctica interesa operar con potencias diferentes de cero, ya que precisa obtener el trabajo en un
tiempo finito. Ahora bien, un ciclo ejecutado en tiempo finito implica una reducción del
rendimiento, lo que obliga a optar entre los criterios de máximo rendimiento y de máxima
potencia.
2. POTENCIA Y RENDIMIENTO DE CICLOS A VELOCIDAD FINITA
Para estudiar este problema, seguiremos en esta trabajo las grandes líneas del artículo de Curzon
y Ahlborn de 1975. Supondremos que cuando la máquina se halla en contacto con una fuente
térmica, el flujo de calor intercambiado viene dado por una ley lineal de la forma de la ley de
Newton
dQ
dt
j
   1 
1
j
T
jf
 Tj

j  1, 2 
(7)
donde
T1 f
y
T2 f
se refieren a la temperatura del fluido mientras intercambia calor con las fuentes
a temperaturas T y T 2 , respectivamente, y el coeficientes  1 y  2 depende de la conductividad
térmica de las paredes y de factores geométricos. Para simplificar al máximo supondremos que
1   2   .
1
Los tiempos de duración de los respectivos intercambios
recibido, Q 1 , o cedido Q 2 , mediante
t j    1
j
Q
j

T
jf
t1
Tj
y
t2
se relacionan con el calor total

j  1, 2 
(8)
y supondremos para simplificar que el tiempo empleado en las etapas adiabáticas es  veces el
que se emplea en las isotermas, con lo que la duración total del ciclo viene dada por
t   1     t1  t 2  con t 1 y t 2 dados por (8).
La potencia se define como el cuociente entre el trabajo realizado por el ciclo dividido por el
tiempo t que dura el ciclo,
P W t
(9)
Por otra parte, la ecuación (4) puede escribirse en la forma

Q1
T1

Q2
T2
  iSc  0
(10)
donde  i S c es la entropía producida durante un ciclo, la cual es nula si el ciclo se recorre
reversiblemente.
La entropía producida en un sistema al pasar una cantidad de calor Q desde un subsistema a
temperatura T a otro subsistema a temperatura T’ viene dada por
1 
 1
 iS c  Q 


T '
T
(11)
resultado que puede obtenerse a partir de la definición macroscópica de entropía, según la cual
S 

 Q rev
(12)
T
donde  Q r e v es la cantidad de calor intercambiada en un proceso ideal reversible que conduzca
desde el estado inicial hasta el estado final considerados. Al calcular (11) se supone que los
respectivos subsistemas, cuyas temperaturas permanecen constantes, intercambian la cantidad de
calor Q con fuentes térmicas a su misma temperatura, en un proceso reversible ideal que
conducirá al mismo estado final que el proceso real que se lleva a cabo sin estas fuentes térmicas.
Por lo tanto, de acuerdo con (11) la entropía producida en un ciclo viene dada por
 1
1
 S   Q1 

T
 1 T1 f

 1
1

  Q2 

T
T2 f

 2




(13)
Al introducir (13) en (10) queda simplemente

Q1
T1 f

Q2
 0
(14)
T2 f
Note que, a diferencia de (10), donde figuraban las temperaturas de las fuentes térmicas, en (14)
aparecen las temperaturas de la propia sustancia de trabajo, resultado que refleja que sólo hay
irreversibilidad en el intercambio con las fuentes, pero no en el interior de la máquina.
Con estos resultados, podemos dirigir nuestra atención a diversas preguntas. ¿En qué condiciones
se maximiza la potencia? ¿En qué situaciones se maximiza el cuociente rendimiento/tiempo?
¿Cuánto vale el rendimiento en cada uno de estos casos? Responderemos a ellas en los párrafos
siguientes.
3.1 MAXIMIZACIÓN DE LA POTENCIA
Nos ocuparemos ahora de las condiciones en que se hace máxima la potencia. El trabajo por
ciclo, igual a la diferencia Q 1  Q 2 , será tanto mayor cuando mayor sea Q 1 y menor Q 2 . Según
(14), ello requiere aumentar T1 f y disminuir T 2 f , ya que Q 1 Q 2  T1 f T 2 f . Pero si T1 f aumenta y
disminuye, se reduce el ritmo de intercambio de calor, expresado por (7). Tenemos entonces
ciclos de gran rendimiento pero de ritmo lento: cada ciclo produce mucho trabajo, pero se tienen
pocos ciclos por unidad de tiempo. Si se hace máximo el ritmo, para lo cual conviene reducir T1 f
T2 f
e incrementar T 2 f , se pierde rendimiento: se tienen así muchos ciclos por unidad de tiempo pero
poco trabajo por cada ciclo. Entre estas dos situaciones de potencia mínima hay una situación de
potencia máxima.
Nos proponemos buscar los valores de
T1 f
y
T2 f
correspondientes a la situación de máxima
potencia. Para ello, escribimos la potencia en función de
P   Q1  Q 2 
y eliminando
Q1
y
Q2
y
T1 f
Q1  Q 2 
Q1
t 

1      T1  T1 f



T2 f
Q2
 T2  T2 f


 
1
(15)
por medio de la relación (14) se obtiene
P 
T1 f  T 2 f 
T1 f

1
   T1  T1 f


T2 f
 T2  T2 f
resultado que puede expresarse, en términos de las variables
siguiente


 
x 1  T1  T1 f
(16)
,
x2  T2  T2 f
, del modo
P 
  T1  T 2  x 1  x 2 
 1     T1 x 2
(17)
 T 2 x1 
La condición para que la máxima potencia sea máxima es que se verifique
P
 0
x j

j  1, 2 

j , k  1, 2 ; j  k
(18)
lo que conduce a las ecuaciones
Tj
xk

xj
T1 x 2  T 2 x 1
T1  T 2  x 1  x 2

(19)
de las que se sigue
T2
x2 
T1
(20)
x1
y finalmente
x j    1
j
T1T 2  T1
(21)
2
Conseguimos así los resultados buscados para el valor de la potencia máxima y del rendimiento
en las condiciones de potencia máxima, que son
Pm á x 


1 
 m áx
pot
T2 

T1 
1
T2
2
(22)
(23)
T1
Ambos resultados son de gran interés; el segundo en especial, ya que sólo depende de las
temperaturas de las fuentes, por lo cual resulta muy general. No es tan general como el resultado
de Carnot porque nos hemos limitado a la conducción térmica como única fuente de
irreversibilidad, despreciando otros procesos disipativos. Así, a una central térmica que trabaja
entre 565ºC y 25ºC, le correspondería un rendimiento de Carnot máximo de 64,1%, mientras que
el rendimiento a máxima potencia valdría 40%. En el supuesto de que su rendimiento real fuera
del 36%, si se tuvieran en cuenta tan sólo argumentos de equilibrio, diríamos que el rendimiento
de la central es extraordinariamente bajo. En cambio, si tenemos en cuenta que a la central le
puede interesar operar entre máximo rendimiento y máxima potencia, vemos que el rendimiento
real no es tan insatisfactorio, ya que está cerca del 40% correspondiente al máximo teórico. Note
que en la práctica interesará establecer un compromiso entre máximo rendimiento y máxima
potencia; si el combustible es muy caro, se tenderá a aumentar el rendimiento a expensas de la
potencia. En caso contrario, se incrementará la potencia en detrimento del rendimiento.
3.2 MAXIMIZACIÓN DEL RENDIMIENTO POR UNIDAD DE TIEMPO
Otra posible situación de interés sería la correspondiente al máximo rendimiento y el mínimo de
duración. En esta sección maximizaremos pues el cuociente rendimiento/duración del ciclo. Este
cuociente se puede expresar en la forma
1
 t 
T2 f
T1 f

Q1
1    
   T1  T1 f

Q2

 T2  T2 f


 
(24)
En esta expresión hemos tenido en cuenta las definiciones y resultados de la sección anterior.
Este resultado si tomamos en cuenta (14), a
 t 
T1 f  T 2 f
1
T1 f
T1 f
T2 f

T1  T1 f
(25)
T2  T2 f
El sistema de ecuaciones a que conduce la maximización de este cuociente es más complicado,
que el caso anterior. Resulta más conveniente definir  1  T1 T1 f y  2  T 2 f T 2
T 
1  2 
 T1 
 1 2  1
 t 
 1
 1 2
(26)
 1   2  1 
Para mayor facilidad supondremos también que  1   2 , lo que reduce la generalidad de nuestro
resultado pero permite obtener fórmulas simples e ilustrativas. Se tiene así

 T2 

 T1 
 t  1  

2

1
   1    1 

(27)
El valor de  que maximiza (27) es la solución de
 T2 
1 
    
 T1 
Dos casos límites son de especial interés:
i) Cuando T 2 T1 es muy pequeño, se tiene
ser
2
2
 1     0

   T 2 T1 
1
y el rendimiento correspondiente resulta
3
 1  1   T 2 T1 
1
3
(28)
Note que este resultado es menos general que el obtenido en (23) para el rendimiento a
máxima potencia, ya que refiere a un tipo más restringido de situaciones. El rendimiento a
máxima potencia (23) es mayor que el rendimiento (28). Por ejemplo, cuando T 2 T1  1 / 8 el
rendimiento de Carnot (6) sería del 87,5 %, el rendimiento a máxima potencia el 65 % y el
rendimiento (29) sería tan sólo del 50 %.
ii) La otra situación de interés se presenta cuando
máximo se presenta en
  1   1 4  1   T 2 T1  
T 2 / T1
es próximo a la unidad, en cuyo caso el
y el rendimiento correspondiente es
 ii   1 2  1   T 2 T1  
(29)
que es la mitad del rendimiento de Carnot
4. CONCLUSION
Hemos presentado un estudio del rendimiento máximo y del rendimiento en condiciones de
máxima potencia. Creemos que su inclusión en el curriculum de termodinámica resultaría
sencillo y sería enriquecedor.
El interés de esta temática no se agota en la pedagogía, sino que incide en la investigación actual.
En efecto, los problemas que en ella se plantean han llamado la atención de los especialistas y
han motivado la aparición de trabajos, de interés tanto aplicado como fundamental.
REFERENCIAS
Carnot, S., Reflexiones sobre la potencia motriz del fuego, Alianza Editorial, Madrid, 1988.
Criado, M. y Casas-Vazquez, J., Termodinámica Química y de los Procesos Irreversibles,
Addison Wesley Iberoamericana, Madrid, 1998.
Curson, F.L. and Ahlborn, B., Efficiency of a Carnot engine at maximun power output, Am. J.
Phys. 43, 22-24, 1975.
Jou, D., Termodinámica fuera del equilibrio y rendimiento de procesos irreversibles, Universidad
Autónoma de Barcelona, Barcelona, 1987.
Jou, D. y Llebot, J.E., Introducción a la termodinámica de procesos biológicos, Labor,
Barcelona, 1988.
Lee, M.H., Carnot cycle for photon gas, Am. J. Phys. 69, 874-878, 2001.
Ma, S.K., Statistical Mechanics, World Scientific Pubisher, Singapur, 1985.