ε ρ μ ε μ μ ε μ ε μ

Serie 2 Fundamentos de Espectroscopia 1.
Las cuatro ecuaciones de Maxwell están dadas por:  
  E  (1) 0


B
 E  
t



E
  B  0 j   0 0
t
(2) 
  B  0 (3) (4)  

Donde E y B son los campos eléctrico y magnético respectivamente,  la densidad de carga, j el vector densidad de corriente,  0 = 8.8544 × 10‐12 s4A2/(kg‐m3) la permitividad eléctrica del vacío, y  0 = 1.2566 × 10‐6 


kg‐m/(s A ) la permeabilidad magnética del vacío. Usando la identidad   (  u )   u  (  u ) y las ecuaciones de Maxwell en el vacío (donde tanto la densidad de carga como el vector densidad de corriente son cero), muestre que se puede obtener la ecuación de onda para: 2 2


2E
(a) El campo eléctrico  E   0  0
t 2 

2B
2
(b) Y el campo magnético  B   0  0
t 2
2
2
(c)
2.


Si el campo eléctrico de una onda electromagnética está dado por E  (0, E0 e
i ( k x  t )


E está el campo magnético B  (0, 0, B0 ei ( k x   t ) ) . (a)

¿a que velocidad viajan las perturbaciones eléctrica y magnética dadas por los campos E y B ? , 0) , y perpendicular a (b)
Represente los dos campos en un sistema de coordenadas x, y, z. Indique la dirección en que se propaga la onda electromagnética. Usando las ecuaciones de Maxwell, muestre que E0  cB0 . (c)
Determine el vector de Poynting definido como S 

1  
E  B . En la misma representación de los 0

campos eléctrico y magnético del inciso (a) represente el vector de Poymting S . ¿Cuál es la dirección del vector de Poynting? Calcule la magnitud del vector de Poynting ¿qué unidades tiene? 3.
4.
5.
6.
7.
(d)
La longitud de onda de la luz amarilla del sodio en el aire es de 5,890 Å. (a) ¿Cuál es su frecuencia? (b) ¿Cuál es su longitud de onda cuando atraviesa un cristal cuyo índice de refracción es de 1.52? (c) ¿A que velocidad viaja el haz a través del cristal? La velocidad de la luz amarilla del sodio en cierto líquido se determina experimentalmente y se encuentra que es 1.92  108 m/seg. ¿Cuál es el índice de refracción del líquido? Un satélite de comunicaciones, tiene unos paneles colectores de energía solar con un área total de 4 m2. Si la intensidad de la radiación solar fuera de la atmósfera terrestre (justo antes de entrar a la atmósfera) es de 1.4 kW/m2, y asumiendo que esa radiación incide perpendicularmente a los paneles y que se absorbe completamente en ellos, encontrar la potencia solar total absorbida en los paneles. Si una fuente emite ondas electromagnéticas con una potencia de 500 watts, ¿a qué distancia debe de estar un objeto para qe la intensidad que reciba de la fuente sea de 0.5 kw/m2? En un aparato de TV, las imágenes fantasma se forman cuando la señal del transmisor llega al receptor directamente e indirectamente. En este último caso, la señal sale del transmisor, se refleja por un edificio u otra masa metálica grande (como el edificio) y finalmente también llega al receptor. En una pantalla de TV de 14 pulgadas, la imagen fantasma aparece aproximadamente a 0.5 cm a la derecha de la imagen original. Si la señal reflejada (que origina el fantasma) llega 0.6 μs después que la señal original, ¿cuál es la diferencia entre las longitudes de las trayectorias recorridas por las dos señales? 8.
9.
Una fuente puntual emite luz verde con 100 watts de potencia y longitud de onda 500 nm. ¿Cuántos fotones por segundo están saliendo de la fuente? En telefonía celular, se tienen ondas electromagnéticas emitidas por una antena de microondas que pueden considerarse sinusoidales planas y con –por ejemplo‐ una longitud de onda de 4 cm y un campo eléctrico con ‐2 una amplitud de 4.5×10 V/m a una distancia de 4 km de la antena. Siendo éste el caso; (a) ¿Cuál es la frecuencia de la onda? (b) ¿Cuál es la amplitud del campo magnético? (c) ¿Cuál es la intensidad (la potencia promedio por unidad de área) de la onda? 10. Una esfera pulsante radia ondas esféricas en el aire produciendo una intensidad de 50 mwatts/m2 a una distancia de 1 m del centro de la esfera. ¿Cuál es la potencia acústica radiada? Si se tiene una superficie de 2 cm2 expuesta a la radiación acústica a una distancia de 10 m, ¿cuál es la energía acústica recibida durante 1 hora? (la superficie está orientada de tal forma que es perpendicular a la dirección radial dada por la línea que une la superficie con el centro de la esfera que radia). 11. En la superficie terrestre, la intensidad de la radiación solar en un día claro es de aproximadamente 1 kWatt/m2. Sobre un patio, se tiene la tapa de una caja de petri con 10 ml de agua expuesta al sol de tal manera que los rayos solares inciden perpendicularmente sobre la superficie del agua que se encuentra a 20C. Si el diámetro de la caja de petri es de 5.3 cm ¿en cuanto tiempo el agua elevará su temperatura de 20C a 25C? ¿Cuánta energía se usó? 12. En la superficie terrestre, la intensidad de la radiación solar en un día claro es de aproximadamente 1 kwatt/m2. Sobre un patio se tiene una celda solar constituida por una serie de paneles fotovoltaicos dispuestos de tal manera que trabajan a su eficiencia máxima (20%). La celda solar está orientada de tal forma que los rayos solares inciden perpendicularmente sobre su superficie. Si se desea alimentar a un televisor cuyo consumo de energía (por unidad de tiempo) es de 200 watts, calcúlese la superficie necesaria de paneles fotovoltaicos para mantener funcionando al televisor. 13. Un político va a la televisión a un noticiero con la cara frente a un foco de 150 watts. Si el foco está colocado a 3 metros de su cara, y se puede considerar como una fuente puntual: (a) ¿Qué energía por unidad de tiempo (o sea potencia) recibe en su cara? Considere la cabeza con un diámetro de aproximadamente 23 cm. (b) ¿Qué energía recibe el político si se mantiene por 10 minutos ante el foco? 14. Un haz de luz ultravioleta atraviesa dos materiales con los parámetros que se indican en la siguiente figura ¿En qué lugar de la pantalla incidirá el haz? n=2
n=3
n=1
n=1
y
Pantalla 45º
5 cm
7 cm 0.5 17 cm
15. Una lámina de vidrio (índice de refracción de 1.5) tiene un espesor de 5 mm. ¿Cuánto tiempo tarda la luz en atravesarla? Si la luz tiene una longitud de onda de 600 nm en el vacío, ¿cuántas ondas contendrá esta lámina? 16. Una lámina de vidrio (índice de refracción de 1.5) tiene un espesor de 10 mm. ¿Cuánto tiempo tarda la luz en atravesarla? Si la luz tiene una longitud de onda de 500 nm en el vacío, ¿cuántas longitudes de onda están contenidas a lo largo del espesor de la lámina? 17. Los índices de refracción de los plásticos interior y exterior de una fibra óptica son 1.5 y 1.2 respectivamente. Determine la apertura numérica de la fibra (el valor de no senmax, ver figura). 18. ¿Cuál es el radio mínimo para el cual, una fibra óptica cuya parte central tiene un diámetro de 0.05 mm, puede doblarse (curvarse) sin una pérdida seria de luz? (ver siguiente figura). El índice de refracción del material central es de 1.66, y el de la cubierta 1.52. 19. El ángulo de Brewster θB, es el ángulo incidente para el cual, la suma de los ángulos de los haces reflejado y refractado es π/2. Usando la ley de Snell, encuentre una expresión para el ángulo de Brewster en términos de los índices de refracción n1 y n2 (ver figura). 20. Muchas moléculas con actividad biológica, son también ópticamente activas. Cuando luz polarizada linealmente atraviesa una solución de estas sustancias, el plano de polarización es girado en sentido horario o antihorario, dependiendo de la sustancia. La magnitud del ángulo de giro depende de la cantidad de sustancia que se encuentre en el camino del rayo de luz. Los datos de la siguiente tabla muestran los ángulos de giro para dos aminoácidos (l‐leucina y ácido d‐glutámico) para una trayectoria del haz luminoso a lo largo de la sustancia de 100 cm. De los datos, encontrar la relación entre la concentración C en gramos por 100 mL y los ángulos de giro (en grados) para cada aminoácido. Angulo de giro (º)
l‐leucina ácido d‐glutámico
Concentración (g/100mL) ‐0.11 0.124
1.0
‐0.22 0.248
2.0
‐0.55 0.620
5.0
‐1.10 1.24
10.0
‐2.20 2.48
20.0
‐5.50 6.20
50.0
‐11.0 12.4
100.0
21. La ley de Lambert‐Beer establece que la luz absorbida por un medio óptico está dado por la fórmula: I  I 0 e  x Donde α es el coeficiente de absorción (en m‐1) e I0 es la intensidad del haz incidente (en x = 0). El coeficiente de absorción depende fuertemente de la frecuencia (y por lo tanto de la energía) del haz incidente. Para una solución, el coeficiente de absorción se puede expresar como:     c Donde ε es el coeficiente de absorción molar (en mol‐1×litro×m‐1), y [c] es la concentración molar (en mol/litro). En la siguiente gráfica se muestra la variación del coeficiente de absorción molar con respecto a la longitud de onda, para una solución de β‐caroteno, que es un pigmento que da color a ciertos vegetales como la zanahoria. Nótese como el β‐caroteno absorbe fuertemente entre 400 y 500 nm (Datos de: Carotenoids, ed. Otto Isler. Birkhauser Verlag, 1971). De acuerdo con la gráfica anterior, para luz azul (λ1 = 450 nm) y anaranjada (λ2 = 625 nm), se obtienen los valores ε1 = 1.39×105 mol‐1×litro×m‐1 y ε2 = 1059 mol‐1×litro×m‐1 para sus coeficientes de absorción molar correspondientes. a)
Si la solución de β‐caroteno tiene una concentración 0.1 mol/litro (0.1 M), calcular el espesor de solución que recorre el haz de luz, para el cual la intensidad del haz incidente (incidiendo perpendicularmente en la interfase) se reduce a la mitad de su valor. Considere los casos para los que el haz incidente tiene un “color” definido por las longitudes de onda 450 nm (azul) y de 625 nm (naranja). b) ¿Cuál de los dos colores es absorbido mayormente por la solución de β‐caroteno, y cual se transmite mejor y podemos ver al otro lado por la retina de nuestros ojos? c) ¿Cómo podría implementarse un método para medir una concentración arbitraria de pigmento en la solución, si se conocen todos los parámetros de la ecuación de Lambert‐Beer para una concentración de, por ejemplo, 1 mol/litro (0.1 M)? ¿Con qué fórmula calcularía la concentración y que variables se tendrían que medir? 22. La absorción de un medio óptico se cuantifica por medio de la absorbancia A (o densidad óptica) del medio absorbente, de tal manera que la ley de Lambert‐Beer en términos de la absorbancia es: I  I 0e  Aln(10)  I 0e A / 0.434 Con: A
‐1
 l
ln (10 )
 0.434   l α es el coeficiente de absorción (en m ), l es el trayecto recorrido por el haz de luz, I es la intensidad del haz después de recorrer el trayecto l. La absorbancia A no tiene unidades y se puede expresar en términos de las intensidades así:  I 
 I 
 I 
1
  
   0 . 434 ln 
 A   log 
ln 
ln (10 )  I 0 
 I0 
 I0 
Donde log es logaritmo en base 10 y ln es logaritmo natural. a) Calcular el coeficiente de absorción para la hemoglobina para una radiación de 414 nm, donde se tiene ‐1
que ε = 537,211 cm /M de acuerdo con la siguiente gráfica. Considere una concentración igual a la normal en la sangre, que es 150 g/litro. El peso molecular es de 64,500 g/mol. b) Calcule la absorbancia usando el resultado anterior, considerando que el contenedor de la solución de hemoglobina, tiene un espesor de 1 cm, y es igual al trayecto que viaja la radiación absorbiéndose por la solución. c) ¿Qué color tiene la solución? ¿por qué? (Sugerencia: el coeficiente de absorción y la absorbancia son proporcionales). 23. En la figura de abajo se muestran dos curvas de transmitancia vs. longitud de onda (señaladas como A y B) para los espectros de dos piedras preciosas: rubí y esmeralda. ¿Cuál gráfica corresponde al rubí y cuál a la esmeralda? Explique su respuesta. Esmeralda Rubí 24. El cloruro de sodio (la sal común) absorbe muy fuertemente en las longitudes de onda infrarrojas. La constante dieléctrica compleja para λ = 60 μm esta dada por: ~  16.8  i 91.4 Calcule, para la longitud de onda dada: a) el índice de refracción n, b) el coeficiente de absorción α, c) la absorbancia A, ~
d) el índice de refracción complejo ( n
),  n  i 
4
e) el coeficiente de reflexión R, f)
el coeficiente de transmisión T, dado por T 
muestra atravesado por el haz es de 0.5 cm. (1  R ) 2 e   l considerando que el espesor de la 25. La función dieléctrica para el oro, está dada por:  ( )   'i " donde la parte real es:  '  
 2 p2
 1    1
  2    2
1    1 
 2    2 
 0 .66 1 

 0 .962  2 

2
2
2
2 
2
2
2
2 
 4   2 2
(


)
(


)
(


)
(










1
1
1 
2
2   )  2 
 1
 2
y la parte imaginaria es: "
 p2
     1
     2
1    1 
 2    2 

 0.962 2  2

 0.661  1
2
2
2
2
2
2
2
2
  
 (1   )  1 (1   )  1 
 ( 2   )  2 ( 2   )  2 
4
2
2
   1.53 (constante dieléctrica en el límite de alta frecuencia para el oro)  p  1.3  1016 rad / seg (frecuencia de plasma)   1.109  1014 rad / seg (término de amortiguamiento) 1  4.028  1015 rad / seg
1  8 . 195  10
14
(frecuencia asociada a la energía del primer gap) rad / seg (término de amortiguamiento)  2  5.695  10 rad / seg (frecuencia asociada a la energía del segundo gap) 15
 2  2 . 005  10 15 rad / seg (término de amortiguamiento)  
2 c

(a) Graficar ε’ y ε” vs. λ (nm). (b) Graficar n y κ vs. λ (nm). (c) Graficar R (el coeficiente de reflexión, en %) vs. λ (nm). Datos tomados de: P.G.Etchegoin, E.C. Le Ru & M. Meyer. An analytic model for the optical properties of gold. The Journal of Chemical Physics, 125 (2006) 164705.