Respuesta transitoria de circuitos RLC

Laboratorio de Análisis de Circuitos
Práctica 8
Respuesta transitoria de circuitos RLC
1
Objetivos
1
Verificar experimentalmente el valor de
resistencia que se necesita para que un
circuito RLC en serie sea críticamente
amortiguado, y además corroborar el
rango de valores que aquél puede tener
para que el sistema tenga una respuesta
subamortiguada o sobreamortiguada.
2
3
s 2 + 2 ξ ωn s + ω2n = 0
y cuyas raíces son los valores característicos:
s1, 2 = −ξ ω n ± ω n
ξ2 −1 .
Dependiendo del valor de ξ, dichos valores
pueden ser reales, imaginarios o complejos,
dando los siguientes comportamientos en la
respuesta del sistema:
Para otra configuración diferente de
circuito RLC verificar la relación que
existe entre el valor de la resistencia del
circuito y el tipo de respuesta que tiene el
sistema eléctrico.
si ξ = 0, entonces s1, 2 = ± j ω n (valores
imaginarios), y el sistema será no
amortiguado (caso teórico ideal);
Corroborar con Proteus ISIS la respuesta
de cada uno de los circuitos probados en
esta práctica.
si 0 < ξ < 1, entonces
s1, 2 = − ξ ωn ± j ωn 1 − ξ 2 (valores
complejos conjugados), y el sistema será
subamortiguado;
2
Introducción
si ξ = 1, entonces s1, 2 = −ξ ωn (valores
reales negativos iguales), y el sistema será
críticamente amortiguado;
El modelo matemático de un sistema de
segundo orden es una ecuación diferencial que
puede escribirse como
finalmente, si ξ > 1, entonces
s1, 2 = −ξ ωn ± ω n ξ 2 − 1 (valores reales
negativos diferentes), y el sistema será
sobreamortiguado.
2
d x(t)
dx(t)
+ 2 ξ ωn
+ ω 2n x ( t ) = ω2n f ( t )
2
dt
dt
en la cual al parámetro ξ se le denomina
coeficiente de amortiguamiento, y al ωn se le
conoce como frecuencia angular natural de
oscilación. La función f ( t ) es la entrada o
función de excitación del sistema y x ( t ) es
la salida o respuesta del mismo.
Es importante el análisis cualitativo de los
diferentes tipos de sistemas de segundo orden,
de manera de poder reconocerlos a partir de la
gráfica de su respuesta.
Para el caso particular de los sistemas de
segundo orden subamortiguados, presentan
varios parámetros de interés en su respuesta,
La ecuación característica que corresponde al
modelo matemático anterior es:
1
como lo son la frecuencia de oscilación y su
inverso el periodo de oscilación, el sobrepaso,
el tiempo de sobrepaso, el tiempo de
levantamiento y el tiempo de asentamiento.
1
Frecuencia de oscilación, f, es el número
de oscilaciones que tiene la respuesta del
sistema por unidad de tiempo:
f=
ω
2π
donde ω = ωn
2
Periodo de oscilación, T, es el tiempo
que transcurre en una oscilación completa
de la respuesta del sistema:
T=
3
⎞
⎟.
2 ⎟
1− ξ ⎠
ξπ
Dado que las cantidades ξ y ωn quedan en
función de los valores de los dispositivos que
conforman al circuito, es posible calcular los
valores de estos últimos si se establece que la
respuesta del sistema es críticamente
amortiguada, o bien se conocen otros
parámetros de diseño, como el periodo para el
caso de la respuesta subamortiguada.
Tiempo de sobrepaso, tp, es el tiempo
necesario para que la respuesta alcance su
valor máximo:
π
ωn
1 − ξ2
.
Tiempo de levantamiento, tl, es el tiempo
necesario para que la respuesta alcance su
valor final por primera vez:
tl =
6
En el diseño de circuitos se presenta con
frecuencia el problema de la obtención de los
valores de los dispositivos eléctricos, en este
caso del resistor, del inductor y del
condensador, de tal forma que, dada la
configuración del sistema, se obtenga una
salida determinada.
Sobrepaso, Sp, es el valor máximo de la
respuesta, considerando la respuesta
permanente unitaria (vf = 1):
tp =
5
Figura 1 Parámetros de la respuesta de un
sistema subamortiguado.
1
.
f
⎛
Sp = exp ⎜ −
⎜
⎝
4
1 − ξ2 .
π−φ
ωn 1 − ξ
3
a) Medición de la resistencia interna del
generador de funciones
, donde φ = áng cos ξ .
2
Ajuste con ayuda de un osciloscopio la salida
de un generador de funciones, de manera que
se obtenga una señal cuadrada con 5 V de valor
pico (en caso de que no sea posible, ajústelo al
valor entero mayor que pueda obtener del
equipo). Dado que el osciloscopio tiene una
resistencia interna muy grande del orden de
1 MΩ, el voltaje medido corresponderá al de la
fuente ideal, pues la caída de potencial en la
resistencia interna es prácticamente nula.
Tiempo de asentamiento, ta, es el tiempo
que transcurre para que la respuesta oscile
entre el 95% y el 105% de su valor
permanente:
ta =
Desarrollo
3
.
ξω n
En la Figura 1 se ilustran los parámetros
mencionados en los párrafos anteriores.
2
d) Armado del circuito del experimento 1
Conecte un resistor a la salida del generador de
funciones, y vuelva a medir con el
osciloscopio el voltaje pico en las terminales
del generador.
Arme el circuito mostrado en la Figura 2 con
un resistor con un valor de resistencia de
R = 68 Ω. Note que las resistencias rg y rL
son las resistencias internas del generador de
funciones y del inductor, respectivamente.
Aplique una señal cuadrada con una amplitud
de 5 V pico y una frecuencia de 200 Hz.
La diferencia de los valores corresponderá a la
caída de potencial en la resistencia interna, y
dado que se establece un circuito divisor de
voltaje, será posible determinar el valor de la
resistencia interna de dicho generador de
funciones.
Observe en el osciloscopio la señal de salida
del circuito, vC, y verifique el tipo de sistema
al que corresponda (subamortiguado,
sobreamortiguado, críticamente amortiguado).
b) Medición de la resistencia interna del
inductor
Conecte en serie un inductor y un multímetro,
ajustado de manera que pueda emplearse como
amperímetro.
Aplique al conjunto anterior la salida de una
fuente de voltaje de 5 V, corroborando su
valor con ayuda del osciloscopio.
Entonces, la resistencia interna del inductor se
podrá obtener con la división del valor de
dicho voltaje entre la lectura de la corriente
obtenida con el multímetro.
c) Medición de la inductancia
Conecte al inductor las terminales del
generador de funciones, con una señal
cuadrada de 5 V pico y con una frecuencia de
200 Hz.
Figura 2 Circuito RLC en serie.
Posteriormente cambie el resistor por uno que
tenga una resistencia de R = 820 Ω, y de igual
manera verifique el tipo de sistema al que
corresponde su respuesta.
Verifique con el osciloscopio la señal de
voltaje de dicho inductor, y determine el
tiempo en que se obtiene una variación del
63.2% de la diferencia del valor final y el valor
inicial. Dicho valor es la constante de tiempo
del circuito RL, la cual debe ser igual a:
Finalmente realice la misma operación, pero
para un resistor con una resistencia de
R = 1.8 kΩ.
Para el circuito cuya respuesta corresponda a
un sistema subamortiguado, mida el periodo, T,
del transitorio, el sobrepaso, Sp, el tiempo de
sobrepaso, tp, el tiempo de levantamiento, tl,
y el tiempo de asentamiento, ta.
L
τ= .
R
Dado que se conoce R, el cual es la suma de
las resistencias internas del generador de
funciones y del inductor, es posible determinar
el valor de la inductancia L.
Para los circuitos cuya respuesta corresponda a
sistemas críticamente amortiguado o
sobreamortiguado, mida los tiempos en que el
voltaje de salida, vo, alcanza el 50% y el 90%
del valor de estado permanente.
3
c) Dibuje la señal que obtuvo en el
osciloscopio para el cálculo de la inductancia,
acotando los valores máximo y mínimo del
voltaje en el inductor, así como el tiempo y su
respectivo valor de voltaje en el punto en que
se midió el 63.2% de la diferencia de los
valores final e inicial.
e) Armado del circuito del experimento 2
Arme el circuito mostrado en la Figura 3 con
un resistor con un valor de resistencia de
R = 68 Ω.
Nuevamente aplique una señal cuadrada con
una amplitud de 5 V pico y una frecuencia de
200 Hz.
Obtenga el valor de la inductancia medida con
base en el procedimiento anterior.
Observe en el osciloscopio la señal de salida
del circuito, vC, y establezca a qué el tipo de
sistema corresponde el sistema eléctrico
analizado (subamortiguado, sobreamortiguado
o críticamente amortiguado.
d) Obtenga la ecuación diferencial que
modela al sistema eléctrico de la Figura 2, y
determine los valores teóricos de R para los
cuales el circuito tiene las respuestas:
Cambie el resistor por un con resistencia de
R = 180 Ω, posteriormente por otro con
resistencia de R = 1 kΩ, y de manera similar
al experimento 1, determine a qué tipo de
sistema eléctrico corresponde cada uno de los
casos observados.
1
subamortiguada, con ξ = 0.2;
2
críticamente amortiguada;
3
sobreamortiguada, con ξ = 2.
Incluya la memoria de cálculo de estos valores
de resistencia R.
e) Para el caso de circuito con respuesta
subamortiguada, obtenga los valores teóricos
del periodo, T, del transitorio, el sobrepaso,
Sp, el tiempo de sobrepaso, tp, el tiempo de
levantamiento, tl, y el tiempo de asentamiento,
ta, y compárelos con los valores medidos
experimentalmente. Haga los comentarios que
considere pertinentes.
f) Para los casos en que el circuito se
comporte como un sistema críticamente
amortiguado o sobreamortiguado, determine
los tiempos para los cuales la salida alcanza
tanto el 50% como el 90% de la respuesta
permanente, y compárelos con los medidos en
el osciloscopio. Haga los comentarios que
sean importantes.
Figura 3 Circuito RLC en derivación.
4
g) Obtenga con Proteus ISIS las respuestas de
los tres circuitos del experimento 1, conectando
una fuente de voltaje VPULSE con un valor
inicial de 0, valor de pulso de 5, tiempo de
retraso de 0, tiempos de levantamiento y de
caída de 1 us (µs), un ancho de pulso de 2.5
ms y un periodo de 5 ms, e imprima las
gráficas de los voltajes de salida vC, para cada
uno de los casos. Acote en la gráfica
correspondiente los parámetros obtenidos en
los incisos e) y f). Realice la comparación de
Informe
a) Anote los valores obtenidos para la
medición de la resistencia interna del
generador de funciones, y escriba el proceso
que siguió para determinar dicha resistencia.
b) De manera similar, registre los valores
que midió para la determinación de la
resistencia interna del inductor, y obtenga su
valor.
4
los valores obtenidos con los teóricos, y haga
los comentarios que crea que son de interés.
6
h) Demuestre que la ecuación diferencial que
modela al sistema eléctrico de la Figura 3 es:
_____________________________________
d 2 v C rg rL C + R rL C + L d v C
+
d t2
(R + rg ) L C
dt
_____________________________________
rg + rL + R
_____________________________________
+
(R + rg ) L C
vC =
_____________________________________
rL v f
(R + rg ) L C
_____________________________________
i) A partir de la comparación de la ecuación
diferencial mostrada en la Introducción, y esta
última expresión, obtenga los valores de ω n
y ξ , para cada valor de resistencia empleado
en el segundo experimento. Incluya la
memoria de cálculo.
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
j) Escriba el tipo de sistema al que
correspondió cada uno de los casos del circuito
del experimento 2 observados durante la
práctica, relacionándolo con el valor de la
resistencia R empleado.
7
k) Verifique que las señales del voltaje de
salida vC se relacionan con el tipo de sistema
al que corresponde el circuito, con base en su
valor particular de coeficiente de
amortiguamiento ξ .
Bibliografía
Dorf, Svoboda, Circuitos eléctricos, Quinta
edición, Alfaomega, México, 2003.
Desoer, Kuh, Basic Circuit Theory, McGrawHill, EUA, 1969.
Ogata, Dinámica de Sistemas, Prentice Hall
Hispanoamericana, México, 1987.
l) Con el empleo de Proteus ISIS, obtenga
las gráficas del voltaje vC para las
configuraciones críticamente amortiguada y
subamortiguada, conectando una fuente de
voltaje VPULSE similar al del punto g).
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Conclusiones, sugerencias y
comentarios
Facultad de Ingeniería, UNAM
Laboratorio de Análisis de Circuitos, DIMEI
octubre de 2008
Equipo y material empleado
Un osciloscopio
un generador de funciones
una fuente de poder
un multímetro
resistores de 68, 180, 820, 1000 y 1800 Ω
un inductor (50 mH aprox.)
un condensador de 0.22 µF
una tableta de experimentación (protoboard).
5