Fı́sica Atómica y Materia Condensada. Ejemplo en el que se utiliza (casi) todo lo aprendido sobre átomos. 1. La tabla que se muestra a continuación tiene los primeros diez niveles de energı́a de germanio (Ge, Z = 32) y fue tomada de NIST, pero le falta alguna información. Llenar los datos que faltan, indicando en cada caso el razonamiento que se siguió para obtener el valor propuesto. No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Configuración 4s2 4p2 4s2 4p2 4s2 4p2 4s2 4p2 4s2 4p2 4s2 4p5s 4s2 4p5s 4s2 4p5s 4s2 4p5s 4s4p3 Término 3 P 3 P 3 P e g i j l 1 o P o J Nivel (cm−1 ) a 0.0000 b 557.1341 c 1409.9609 2 7125.2989 h 16367.3332 0 37451.6893 1 37702.3054 m 39117.9021 n 40020.5604 p 41926.726 gJ 0 1.50111 d f 0 0 k 1.500 1.068 2.011 2. Suponiendo que el acoplamiento LS es válido para germanio, ¿entre qué niveles de la tabla hay transiciones dipolares eléctricas? ¿A qué longitudes de onda ocurren estas transiciones permitidas? Respuestas: 1. Como son los diez primeros niveles primero necesitamos considerar la configuración base. Con 32 electrones se obtiene 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p2 . Entonces de la tabla vemos que los niveles del 1 al 5 corresponden a la configuración base. Del 6 al 9 son de la primera configuración excitada, y el 10 es de la siguiente configuración excitada. Para obtener el término base tomamos los dos electrones 4p en capa abierta. El microestado con máxima proyección de espı́n y al mismo tiempo máxima proyección de momento angular orbital es (1+ , 0+ ) (igual que en carbón), lo que da lugar, usando la primera regla de Hund, al término base 3 P (S = 1 y L = 1), tal y como aparece en la tabla. Con S = 1 y L = 1 se pueden obtener J = 0, 1 y 2. a) Como la capa 4p está menos de medio llena la tercera regla de Hund señala que el nivel más bajo es el de menor momento angular electrónico total. Por tanto a = 0. 1 b) Para el siguiente nivel b = 1. c) Para el nivel más alto de este término 3 P se debe tener c = 2. d) Empleamos la fórmula de Landé para obtener el factor gJ de este nivel, con S = 1, L = 1 y J = 2. Tomaremos gs = 2. gJ = J(J + 1) + L(L + 1) − S(S + 1) + gs [J(J + 1) − L(L + 1) + S(S + 1)] 2J(J + 1) Se obtiene d = 3/2 = 1.5. El valor en la tabla de NIST es 1.49458. e) El siguiente término de esta configuración se obtiene considerando el microestado con el mayor valor de la proyección de momento angular orbital ML sin importar el valor de MS . En nuestro caso se trata de (1+ , 1− ), que corresponde a L = 2 y S = 0, lo que da lugar a e = 1 D. Este término tiene un solo valor de momento angular total J = 2, tal y como aparece en la tabla. f) Usando nuevamente la fórmula de Landé, con L = 2, S = 0 y J = 2 se obtiene f = 1. La tabla de NIST da gJ = 1.00639. g) Empezamos con 2 electrones en la capa 4p, con 15 microestados diferentes. Para la base acoplada del término 3 P usamos 9 combinaciones lineales y para la base del término 1 D usamos 5 combinaciones lineales. Queda una sola combinación lineal que debe corresponder al término con L = 0 y S = 0. Por tanto g = 1 S. h) El único valor posible de J es h = 2. Ahora estudiaremos la primera configuración excitada 4s2 4p5s. Tenemos un electrón 4p (`1 = 1)y un electrón 5s (`2 = 0). El valor de las sumas de los momentos angulares orbital y de espı́n que se pueden obtener son L = 1 y S = 0, 1. El término de menor energı́a corresponde al de mayor valor de espı́n S = 1. Con L = 1 y S = 1 se obtienen J = 0, 1 y 2, en orden creciente de energı́a (si le hacemos caso a Hund-3). i) Por tanto i = 3 P o (empleamos el superı́ndice o porque se trata de un estado impar (un electrón 4p en orbital impar y un electrón 5s en orbital par). j) Se trata del siguiente nivel del mismo término. Por consiguiente j = 3 o P . k) Nuevamente empleamos la fórmula de Landé, con L = 1, S = 1 y J = 1, resultando k = 3/2. En la tabla de NIST se tiene gJ = 1.435. l) Es el último nivel del término. Por tanto l = m = J = 2. 3 P o , y necesariamente n) Ahora tenemos el siguiente término de la configuración, con L = 1 y S = 0. El único valor posible de J es por tanto n = 1. 2 o) Por último necesitamos el nivel más bajo de la configuración 4s4p3 . Notar que se trata de una configuración con dos capas abiertas, pero que no es difı́cil de analizar. Tenemos un electrón en la capa 4s y tres electrones en la capa 4p. El microestado con máximo valor de MS (Hund1) es (4s+ , 1+ , 0+ , −1+ ) con ML = 0 y MS = 2. Por lo tanto se trata del término o = 5 S o . Nuevamente empleamos el superı́ndice o porque se trata de un estado impar (un electrón 4s en orbital par y tres electrones 4p en orbitales impares). p) Para este término (L = 0 y S = 2) el único valor de J = p = 2. 2. Para obtener las transiciones dipolares eléctricas en acoplamiento LS consideramos las reglas de selección. En primer lugar utilizamos la regla que dice que debe haber un cambio en la paridad del estado. Por tanto NO hay transiciones dipolares entre niveles de la misma configuración {1, 2, 3, 4, 5} (par) o {6, 7, 8, 9} (impar). Puede haber transiciones entre cada nivel del primer conjunto {1, 2, 3, 4, 5} y cada nivel del segundo conjunto {6, 7, 8, 9}, o también el último nivel 10. Para eliminar las transiciones que no son posibles en acoplamiento LS consideramos las reglas aproximadas ∆S = 0, ∆L = 0, ±1 y además J = 0 → J = 0 no está permitida. Por tanto: a) La transición 1 a 6 NO está permitida (es J = 0 → J = 0). b) Las transiciones 1 a 7 y 1 a 8 SI son permitidas. Para obtener las longitudes de onda a las que ocurren tomamos los recı́procos de las diferencias de niveles de energı́a. La transición 1 a 7 ocurre a λ= 1 = 265.236 nm 37702.3054 − 0. y la transición 1 a 8 ocurre a λ= 1 = 255.637 nm 39117.9021 − 0. La transición 1 a 9 NO está permitida ya que pasa de S = 1 a S = 0. La transición 1 a 10 tampoco es permitida (va de S = 1 a S = 2). Siguiendo con el análisis, se obtienen los datos para las transiciones permitidas que se muestran en la tabla a continuación. Los niveles pares (1 al 5) se encuentran en los renglones y los niveles impares (6 a 9) en las columnas. Como no hay transiciones dipolares eléctricas entre los niveles pares (1 al 5) y el nivel 10, se ha suprimido este último de la tabla. En donde no aparece una longitud de onda se indica la regla de selección que no se satisface. Con ∆J0 la transición viola la regla de selección estricta que prohibe J = 0 → J = 0. Las transiciones con ∆J = 2 son estrictamente prohibidas, mientras que las transiciones con ∆S = 1 son prohibidas en acoplamiento LS. Todas las longitudes de onda están dadas en nm. 3 6 4s 4p5s 3 P0 ∆J0 271.043 |∆J| = 2 |∆S| = 1 |∆S| = 1 2 1 4s2 4p2 3 P0 2 4s2 4p2 3 P1 3 4s2 4p2 3 P2 4 4s2 4p2 1 D2 5 4s2 4p2 1 S0 7 4s 4p5s 3 P1 265.236 269.214 275.540 |∆S| = 1 |∆S| = 1 2 4 8 4s 4p5s 3 P2 |∆J| = 2 259.331 265.196 |∆S| = 1 |∆S| = 1 2 9 4s 4p5s 1 P1 |∆S| = 1 |∆S| = 1 |∆S| = 1 303.995 422.775 2