Riesgo

Posgrado de Especialización en Administración
de Organizaciones Financieras
Unidad 5
Riesgo y
Rentabilidad
1
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Certeza, Riesgo e Incertidumbre
Existen tres posibles situaciones cuando un individuo debe
tomar una decisión:
Certeza: El resultado real de una decisión es igual al esperado.
Riesgo:
Ø Se sabe cuáles son los eventos futuros.
Ø Se conoce la dimensión de los mismos
Ø Se conocen las probabilidades de ocurrencia.
Incertidumbre:
ØSe sabe cuáles son los eventos futuros.
ØPuede o no conocerse la dimensión de los mismos.
ØNo se conoce con anticipación las probabilidades de
ocurrencia.
2
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Representantes del riesgo
Existen dos representantes del riesgo en finanzas:
Varianza o desvío standard, que es la variabilidad de los
futuros rendimientos de una inversión en torno a su valor
esperado.
σ2 ó σ
Coeficiente Beta, que representa el riesgo de un activo con
respecto al mercado.
β
3
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Riesgo y rentabilidad
Riesgo
Estadística
Rentabilidad
Media
E(x) = ∑ x(t) . p(t)
Varianza
σ2(x) = ∑ (x(t) - E(x))2 . p(t)
Coeficiente de variación = σ(x)/E(x)
4
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El rendimiento esperado de un negocio
Supongamos que se está
evaluando un negocio y
por la experiencia del
pasado en otros negocios
similares, se puede tener
una idea acerca de cuales
pueden ser las
probabilidades de
ocurrencia de los futuros
rendimientos.
Después de realizar un
estudio cuidadoso,
aparecen tres posibles
resultados: el producto es
un éxito, es normal o es un
fracaso.
Escenario
Rendim.
Probab.
Suceso
20%
30%
Normal
15%
60%
Fracaso
-10%
10%
Rendimiento esperado = 0,20 x 0,30 + 0,15 x 0,60 + (-0,10) x 0,10 = 0,14 ó14%
5
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La varianza y el desvío estándar
Para el cálculo de la varianza (s 2) y el desvío
estándar (s ) debemos seguir los siguientes pasos:
1.Se calcula primero el valor esperado E(x).
2.Cálculo de la desviación de cada posible rendimiento respecto del
valor esperado.
3.Calculamos el cuadrado de cada desviación.
4.Multiplicamos cada una de las desviaciones cuadradas por su
probabilidad de ocurrencia.
5.Sumamos las desviaciones cuadradas: el valor obtenido es la
varianza de los posibles rendimientos respecto de su valor
esperado.
6.Obtenemos el desvío estándar calculando la raíz cuadrada de la
varianza.
6
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Escenario P(x)
E(r))2.P(x)
Suceso
30%
0,00108
Normal
60%
0,00000006
Fracaso
10%
0,00576
r
P(x) . r
20%
15%
-10%
Varianza 0,0069
6%
9%
-1%
Desvío
(r – E(r))2
(r –
0,0036
20%-14%= 6%
1%
0,0001
-24%
0,0576
E (r) 14%
Desvío
STD 0,083
Significa que se espera un rendimiento promedio del
14% con un desvío en más o en menos un 8,3%.
7
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El riesgo de un proyecto individual
Podemos distinguir tres situaciones
distintas:
• Flujo de fondos independientes en el tiempo:
El FF del año 1 es independiente del FF del año 2, etc.
• Flujo de fondos perfectamente correlacionados
Es totalmente contrario al anterior.
• Flujo de fondos con correlación intermedia:
Es el más común en la realidad pero el más difícil de
implementar.
8
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El riesgo de un proyecto individual
Ejemplo práctico: Un proyecto requiere una inversión
inicial de $10000, la distribución de probabilidades de los FF
que puede generar durante su vida útil es:
Año 1
Año 2
Año 3
Año 4
(p)
(p)
(p)
(p)
2000
0,2
0,5
0,7
0,8
4000
0,5
0,3
0,2
0,2
8000
0,3
0,2
0,1
FFN
9
0
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Primer caso: FF independientes, o sea no
hay correlación entre ellos.
• Cálculo del valor probable de los FF de cada
período (VPF):
VPFt = ∑ p(t,j)*F(t,j)
VPF1 = 2000.0,2 + 4000.0,5 + 8000.0,3 = 4800
VPF2 = 2000.0,5 + 4000.0,3 + 8000.0,2 = 3800
VPF3 = 2000.0,7 + 4000.0,2 + 8000.0,1 = 3000
VPN 4 = 2000.0,8 + 4000.0,2 + 8000.0 = 2400
10
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•Cálculo del desvío (riesgo) de cada uno de
los FF
σ(t) = ( ∑ (F(t,j)-VPF(t))2 p(j,t))1/2
[
]
σ1 = (2000− 4800) .0,2 + (4000− 4800) .0,5 + (8000− 4800) .0,3
2
2
2
σ 2 = 2271
σ 3 = 1844
σ 4 = 800
11
1/ 2
= 2227
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•Cálculo del VAN probable del proyecto
sabiendo que la tasa K es del 10% anual.
4800 3800 3000 2400
VANprob= −10000+
+
+
+
= 1397
2
3
4
1,10 1,10 1,10 1,10
•Cálculo del desvío del VAN probable:
 2227
2271
1844
800 
=
+
+
+
2.1
2..2
2 ..3
2.4 
(
1
,
10
)
(
1
,
10
)
(
1
,
10
)
(
1
,
10
)


2
2
2
2
1/ 2
= 3137
12
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•Cálculo del coeficiente de variación:
desvioVAN 3137
CV =
=
= 2,25
VANprob 1397
El CV es un factor ponderador para captar los riesgos
de un proyecto cuando lo comparamos con otros,
cuánto mayor será el CV mayor será el riesgo del
proyecto.
13
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Segundo caso: los FF están perfectamente
correlacionados.
El VAN probable no cambia con respecto
al caso anterior, pero el desvío tiene
otra forma de cálculo:
2227 2271 1844 800
σ =
+
+
+ 4 = 5833,2
2
3
1,1
1,1
1,1
1,1
El proyecto es más riesgoso por cuanto el desvío es
mayor.
14
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Teoría del portafolio
• Las fórmulas anteriores son genéricas para
calcular el rendimiento esperado y el riesgo de un
activo individual.
• La mayoría de los inversores no invierten en un
solo activo, sino que mantienen una cartera de
inversiones que incluyen acciones de diferentes
compañías, bonos, propiedades, monedas, etc.
Una compañía hace lo mismo cuando invierte en
diferentes negocios.
• Por lo tanto, a los inversores les interesa más
el
riesgo de su portafolio (combinación de
activos) que el riesgo de cada activo
15
individual.
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Teoría del portafolio
• La teoría del portafolio fue una de las contribuciones
científicas más importantes a las finanzas. Hizo su aparición
con Harry Markowitz en el año 1952 y fue perfeccionada
por Sharpe, Treynor y otros.
•Esta teoría explica que el riesgo de un activo individual no
debe ser juzgado sobre la base de las posibles desviaciones
del rendimiento esperado, sino en relación con su
contribución marginal al riesgo global de un portafolio de
activos. Según el grado de correlación de éste activo con los
demás que componen el portafolio, el activo será más o
menos riesgoso.
•Opera en este caso las propiedades de la diversificación.
16
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Rendimiento medio de una cartera
(esperanza matemática)
Rendimiento esperado de un portafolio con 2 activos:
Proporciones en cada activo
E(rp) = W AE(rA) + W B E(rB)
Rendimientos medios del activo A y el B
17
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Riesgo del portafolio
Cálculo de la varianza
s p2 = WA2s A2 + W B2s B2 + 2 WA W B s AB
El riesgo del portafolio se expresa a través del desvío estándar:
s = raiz cuadrada de la varianza
Aparece el concepto de covarianza (s AB) y asociado al mismo el
coeficiente de correlación lineal ρ(A,B) , ya que:
s AB = ρ(A,B) . σA .σB
Covarianza entre el activo A y B
ρ(A,B) = s AB / σA .σB
Coef. De correlación entre A y B.
18
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Covarianza
• La covarianza es una medida acerca de
cómo los rendimientos de los activos
tienden a moverse en la misma dirección.
• Puede ser positiva, negativa o cero:
Ø Positiva: si el rendimiento de un activo está
por encima de su media el otro mostrará
también un resultado por sobre la media ( y
al revés).
Ø Negativa: los rendimientos se mueven
inversamente.
Ø Cero: no habrá una relación regular entre
los rendimientos de los activos. 19
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Coeficiente de correlación
ρ(A,B)
Es el grado en el que los rendimientos de los valores
tienden a moverse en forma conjunta.
vEs semejante a la covarianza pero en términos
relativos, o sea, se divide la misma por los desvíos de
los rendimientos de ambos activos.
vEl valor de los coeficientes de correlación siempre se
encuentra entre los límites de -1 y +1.
20
-1 < ρ(A,B) < 1
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Coeficiente de correlación
• Un coeficiente de correlación de +1, indica que un aumento
en el rendimiento de un valor siempre está acompañado por un
aumento proporcional en el rendimiento de otro valor y, en
forma similar para las reducciones.
• Un coeficiente de correlación de –1, indica que un incremento
en el rendimiento de un valor siempre esta asociado con una
reducción proporcional en el rendimiento del otro valor y
viceversa.
• Un coeficiente de correlación cero, indica ausencia de
correlación, de manera que los rendimientos de cada valor
varían en forma independiente uno del otro
.
21
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ØCuando menor sea la correlación entre los rendimientos
de los activos, mayor serán los beneficios que se obtienen
de la diversificación.
Ø La diversificación reduce el riesgo cuando el coeficiente
de correlación es menor que 1. El mejor resultado se
obtiene cuando los activos financieros están
correlacionados negativamente.
Ø Cuando hay una correlación negativa perfecta hay
siempre una estrategia de cartera que eliminará
completamente el riesgo único.
22
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Ejemplo de rendimiento y riesgo de una cartera
Supongamos que se ha repartido una inversión entre dos activos: el
20% del dinero en el activo A (cuyos precios son menos estables),
y el 80% restante en el activo B (cuyos rendimientos son más estables).
Los rendimientos esperados para el próximo año y los desvíos estándar
son los siguientes:
Activo
Proporción
en la
cartera
Rendimiento
esperado
Desvio
A
20%
21%
40%
B
80%
15%
20%
23
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Ejemplo de rendimiento y riesgo de una
cartera
Si se invierte el 20 % del dinero en el activo A y el
restante
80 % en el activo B, el rendimiento esperado sería
igual a los rendimientos de los dos activos
ponderados por el porcentaje invertido en cada uno:
r(E) = (0,20 x 21 %) + (0,80 x 15 %) = 16,2 %
Ø El riesgo del portafolio si consideramos una
correlación del 0,5 es:
s
= 0,202 x 402 + 0,802 x 202 + 2 x 0,20 x 0,80 x 0,50 x 40 x
20
24
2
=64 + 256 +128 = 44824
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Ejemplo de rendimiento y riesgo de una
cartera
El riesgo del portafolio lo expresamos a través
de la
desviación típica o desvío estándar, que es la
raíz cuadrada de la varianza y está expresado en
la misma unidad de medida que el rendimiento
esperado:ØEl riesgo del portafolio si consideramos una correlación
1 se realiza con una fórmula más simplificada y es:
s = 21,16 %
s = 0,20 x 40 + 0,80 x 20 = 24%
En este caso el riesgo es máximo ya que están positiva y
perfectamente correlacionados, no disminuye el25riesgo
aunque se diversifique.
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Ejemplo de rendimiento y riesgo de una cartera
Ø El riesgo del portafolio si consideramos
una correlación de -1 será:
s
= 0,202 x 402 + 0,802 x 202 + 2 x 0,20 x 0,80 x (-1) x 40
x 20
2
s = 8%
Se reduce el riesgo ya que los rendimientos
se mueven en forma opuesta, pero para
que el riesgo sea nulo debería encontrarse
las proporciones adecuadas para cada
activo.
26
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Ejemplo de rendimiento y riesgo de
una cartera
• Podemos concluir que el riesgo
del portafolio depende de:
• La proporción o peso relativo (w)
de cada activo
• El desvío típico de (s ) cada activo
• La covarianza o correlación entre
los rendimientos de los activos
27
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Ejemplo del cálculo de la covarianza
Supongamos una cartera conformada por dos acciones A y B, considerando
distintos estados de la economía y la misma probabilidad de que sucedan, el
cuadro de las posibles rentabilidades es el siguiente:
RA
RB
depresión
-20%
5%
recesión
10%
20%
normal
30%
-12%
prosperidad
50%
9%
El rendimiento promedio de A es del 17,50% y el de B es del 5,50%
Los desvíos son del 25,86% y del 11,50% respectivamente.
28
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Ejemplo del cálculo de la covarianza
probab
1
2
RA - ERA
RB - ERB
(1x2)*prob
0,25
-37,50%
-0,50%
0,0469%
0,25
-7,50%
14,50%
-0,2719%
0,25
12,50%
-17,50%
-0,5469%
0,25
32,50%
3,50%
0,2844%
-0,4875%
Coef de correlación =
cov AB
= −0,1639
σ A .σ B
Covarianza entre las rentabilidades
del activo A y el B. Al ser negativa
disminuye el riesgo.
29
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La frontera de eficiencia
No todas las combinaciones entre rendimiento y riesgo son iguales; hay
combinaciones mejores que otras. Las mejores combinaciones forman lo que
se conoce como una cartera o portafolio “eficiente”
v Hay un rendimiento y riesgo asociado a cada portafolio posible.
v El conjunto de todos los portafolios que es posible formar se llama
conjunto de oportunidades.
v Dentro de este conjunto, hay un subconjunto de portafolios para cada nivel
de riesgo que maximizan el rendimiento y para cada nivel de rendimiento que
minimizan el riesgo.
v Este subconjunto forma el conjunto de portafolios eficientes y se
denomina frontera de eficiencia.
30
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La frontera de eficiencia
En la práctica, no es común que exista la limitación de invertir en sólo dos
valores sino que se forman carteras de múltiples valores que pueden
adquirirse en el mercado. Graficamos la frontera eficiente para valores
múltiples.
A la línea sólida se le conoce como el conjunto de eficiencia, y el punto A es
el comienzo de este conjunto eficiente ya que es la cartera de mínima
31
varianza.
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La frontera de eficiencia
• Los puntos sobre el interior representan combinaciones de
riesgo y rentabilidad ofrecidas por diferentes títulos
individuales, mientras que la línea sólida representa las
carteras finales que se pueden crear provenientes de los activos
individuales disponibles en el mercado.
• Combinando estos títulos en diferentes proporciones se puede
obtener una amplia gama de posibilidades de riesgos y
rentabilidades esperadas.
• Si se desea aumentar la rentabilidad esperada y reducir la
desviación típica, se estará interesado únicamente en aquellas
carteras que se encuentren sobre la curva que va desde A hasta
C. Harry Markowitz las llamó Carteras Eficientes.
•
A partir de aquí, la elección de la cartera dependerá del
grado de aversión al riesgo del inversionista.
32
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Riesgo específico y riesgo sistemático
Específico, propio o diversificable:
peligros especiales de cada
empresa.
Riesgo
De mercado, sistemático o no
diversificable: peligros de la
economía que afectan a todas las empresas (tipo de
cbio, inflación, rgo pais, etc)
vA medida que aumentamos el número de títulos disminuye
el riesgo específico y queda al riesgo de mercado
33
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Riesgo específico y riesgo sistemático
Si la covarianza media fuese cero, podría
eliminarse todo el riesgo especifico de cada
activo incluido en la cartera, simplemente
acumulando suficientes títulos.
Desafortunadamente las acciones tienden a
movilizarse en la misma dirección, y por
tanto están ligadas en su conjunto a una red de
covarianzas positivas.
Entonces no puede eliminarse el riesgo
sistemático, o riesgo de mercado, que es la
covarianza media de todos los títulos, marcando
un límite a los beneficios de la diversificación
34
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Riesgo específico y riesgo sistemático
Riesgo de la cartera
Mercado
Ünico
Cantidad de títulos
35
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El coeficiente β
• Si se quiere conocer la contribución de un activo individual
al riesgo de una cartera bien diversificada, no sirve de nada
saber cuál es su riesgo por separado.
• En realidad se necesita medir el riesgo de mercado, es
decir, la sensibilidad de los cambios en el
rendimiento del activo respecto a los cambios en
el rendimiento del mercado. Dicha sensibilidad se
denomina Beta.
• El parámetro β(k) correspondiente al activo k, puede
interpretarse como una medida de la contribución de ese
título k al riesgo total de una cartera suficientemente
grande que lo contenga. Más precisamente β(k) puede
tomarse como una medida de la parte denominada “no
36
diversificable” del riesgo total del título k.
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El coeficiente β
• BETA > 1: acción de elevada volatilidad,
varía más que el mercado
Ejemplo: una acción con una beta del 1,5 significa
que históricamente ha oscilado un 50% más que
el mercado, tanto en subidas como en bajadas: si
el mercado ha subido un 10%, esta acción ha
subido un 15%, y si el mercado ha bajado un
10%, esta acción lo ha hecho en un 15%.
• BETA = 1: acción con la misma
volatilidad que el mercado.
Ejemplo: si el mercado ha subido un 10%, esta
acción ha subido otro 10%, y si el mercado ha
bajado un 10%, esta acción ha bajado37 lo mismo.
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El coeficiente β
• BETA < 1: acción de poca volatilidad,
varía menos que el mercado
Ejemplo: una acción con una beta del 0,3 significa que dicha
acción ha oscilado históricamente un 30% de lo que lo ha
hecho el mercado: si el mercado ha subido un 10%, esta
acción ha subido un 3%, y si el mercado ha bajado un
10%, esta acción ha bajado un 3%.
• BETA < 0: es una situación poco habitual
pero que se puede presentar; significa que
la acción varía en sentido contrario a lo
que lo hace el mercado: si el mercado
sube la acción baja y viceversa.
38
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El coeficiente β
•Los valores de β pueden pronosticarse mediante la utilización
de una serie cronológica de las tasas de rendimiento del título
considerado en un período previo dado.
Con los datos obtenidos la Beta se calcula con la siguiente
fórmula:
Beta de la acción K = Covarianza de la acción K con el mercado
Varianza del mercado
39
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El coeficiente β
Rendimiento de la acción
beta = 1,5
20%
beta = 1
10%
beta = 0,5
5%
10%
rendimiento del mercado
40
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El coeficiente β
Ø La beta de una cartera de activos es el promedio
ponderado de las betas individuales.
Beta de la cartera = Beta de A x proporción de A +
Beta de B por proporción de B +…
Ø Activos financieros libre de riesgo (rf ) tienen β=0
Ø El mercado (rm) tiene β=1
41
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Teoría del mercado de capitales
ü La teoría de Markowits sobre la elección de portafolios
óptimos está elaborado a partir de activos riesgosos. No existe en
él un activo “libre de riesgo”. El riesgo es cuantificado por la
varianza.
ü La teoría del mercado de capitales y el modelo de fijación
de precios de capital –CAPM- intenta dar una explicación de
cómo se fijan los precios de los activos financieros. El riesgo es
cuantificado por el coeficiente beta.
üEl CAPM es una pieza central de las finanzas modernas que
realiza predicciones acerca de la relación entre el riesgo y el
rendimiento esperado.
üBasado en el trabajo original sobre la teoría del portafolio de
Harry Markowitz, fue desarrollado por William Sharpe, John
Lintner y Jack Treynor en 1965-66.
42
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Teoría del mercado de capitales
El modelo de Markowitz no considera la posibilidad de
construir una frontera de eficiencia en presencia de activos
riesgosos y de un activo libre de riesgo.
Si introducimos en el análisis un activo libre de riesgo,
construimos la recta de mercado de capitales, la que
muestra las distintas combinaciones de portafolios formados
por una tasa libre de riesgo y el portafolio M que integra la
frontera de eficiencia de Markowitz.
La recta es tangente a la anterior frontera de eficiencia en M.
43
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Recta del mercado de capitales (CML =
Capital Market Line)
El punto M representa a la cartera óptima y se denomina “Cartera de
Mercado”. Esta se obtiene en el punto tangencial de la línea trazada a partir
de la tasa libre de riesgo con la línea curva del conjunto de oportunidades. A
esta línea se la suele llamar línea del mercado de capitales.
44
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Expresión de la recta de mercado de capitales
r(cartera) = rf + ( (rm – rf ) / σm ) . σ(cartera)
rf
r(cartera)
rm
σ(cartera)
σm
Renta libre de riesgo
Renta promedio esperada de la cartera
Renta promedio del mercado
Riesgo de la cartera
Riesgo del mercado
La prima por riesgo de mercado se establece para portafolios eficientes que
combinan acciones con inversiones libres de riesgo. Con portafolios bien
diversificados, la medida relevante del riesgo es el desvío estándar del
portafolio.
45
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Recta del mercado de valores (SML :Security
Market Line )
vMientras que la CML funciona para portafolios diversificados, la SML
funciona tanto para portafolios como para activos individuales.
vLa SML tiene en cuenta además la correlación entre la variación en los
rendimientos del portafolio o activo individual con respecto a la variación
en los rendimientos del mercado.
46
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Modelo de fijación de precios de capital
(CAPM: The Capital Asset Pricing Model)
La ecuación del mercado de valores es la
base del CAPM desarrollado por William
Sharpe (Premio Nobel en 1990):
Comenzado con supuestos simplificadores para
un mundo hipotético de inversores, se transformó en
un modelo razonable y comprensible, muy utilizado
por los analistas en:
• Fijación de precios de activos y valuación de
empresas
• Presupuesto de capital (cálculo del valor actual neto)
47
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Rendimiento esperado según el CAPM
R(k) = Rf + (Rm – Rf ). σ(km)/σ2m
tasa libre
de riesgo
Precio
del riesgo
Cantidad de riesgo
Cantidad de riesgo = beta
R(k) = Rf + (Rm – Rf ). β
R(k) = rendimiento esperado de un activo o un portafolio.
Rm = rendimiento esperado del mercado.
Rf = tasa libre de riesgo
σ(km) = covarianza entre K y M.
σ2m = varianza del mercado
48
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Rendimiento esperado según el CAPM
• La diferencia entre la rentabilidad de
mercado y el tipo de interés libre de riesgo
se conoce como prima de riesgo de
mercado.
(Rm – Rf)
• Según el modelo de equilibrio de activos
financieros (CAPM), en un mercado
competitivo la prima de riesgo varia en
proporción directa a β
49
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Rendimiento esperado según el CAPM
El rendimiento esperado (R(k)) de un activo K está
determinado por:
1. El rendimiento libre de riesgo (que compensa
el valor tiempo del dinero) Rf.
2. El premio por el riesgo de mercado (que
debería compensar el riesgo sistemático) (Rm –
Rf)
3. El beta del título (que representa la medida del
riesgo sistemático presente en un título
determinado.
R(k) = Rf + (Rm – Rf ). β
50