Tema XI: CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE XI.1. La derivada: definición y primeras propiedades Tema XI: CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE XI.1. La derivada: definición y primeras propiedades Tema XI: CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE XI.1. La derivada: definición y primeras propiedades 1. Definición de derivada DEF. Sea f : A ⊂ R → R y a un punto interior del dominio. Se llama derivada de f en a al límite (si existe): f ′ (a) = lim x→a Se dice que f es derivable en a f (x) − f (a) x −a Tema XI: CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE XI.1. La derivada: definición y primeras propiedades 2. Derivadas laterales DEF. Las derivadas laterales de f en a son los límites laterales: f (x) − f (a) derivada por la izquierda f ′ (a− ) = lim − x −a x→a f ′ (a+ ) = lim x→a+ f (x) − f (a) x −a derivada por la derecha f (x) − f (a) x→a x −a ⇔ existen y son iguales f ′ (a) = f ′ (a− ) = f ′ (a+ ) Observación: Si el dominio de f es un intervalo cerrado, se pueden definir las derivadas laterales en los extremos aunque pueden no existir f es derivable en a ⇔ existe f ′ (a) = lim Tema XI: CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE XI.1. La derivada: definición y primeras propiedades 3. Relación entre continuidad y derivabilidad Sea f : A ⊂ R → R y a ∈ Int(A), Si f es derivable en a, entonces f es continua en a. Dem.: a ∈ Int(A) ⇒ a ∈ A y a ∈ A′ , así que: f continua en a ⇔ lim f (x) = f (a) x→a f (x) − f (a) x→a x −a f (x) − f (a) Dado x ∈ A, x 6= a, f (x) − f (a) = (x − a) x −a Tomando límites, lim (f (x) − f (a)) = f ′ (a) · 0 = 0 f derivable en a ⇒ existe f ′ (a) = lim x→a Observación: No toda función continua es derivable Tema XI: CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE XI.1. La derivada: definición y primeras propiedades 4. Operaciones con funciones derivables Sea f , g : A ⊂ R → R derivables en a ∈ Int(A), f + g : A ⊂ R → R es derivable en a (f + g)′ (a) = f ′ (a) + g ′ (a) f · g : A ⊂ R → R es derivable en a (f · g)′ (a) = f ′ (a) · g(a) + f (a) · g ′ (a) f (x)g(x) − f (a)g(a) = x −a f (x) − f (a) g(x) − g(a) lim g(x) + f (a) lim = x→a x→a x −a x −a ′ ′ f (a)g(a) + f (a)g (a) Dem.:(f · g)′ (a) = lim x→a Tema XI: CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE XI.1. La derivada: definición y primeras propiedades 4. Operaciones con funciones derivables (II) Sea f , g : A ⊂ R → R derivables en a ∈ Int(A), Si f (a) 6= 0, 1/f es derivable en a ′ 1 f ′ (a) (a) = − f (f (a))2 f Si g(a) 6= 0, entonces es derivable en a g ′ f f ′ (a)g(a) + f (a)g ′ (a) (a) = g (g(a))2 Si c ∈ R, entonces cf : A ⊂ R → R es derivable en a (cf )′ (a) = cf ′ (a) Tema XI: CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE XI.1. La derivada: definición y primeras propiedades 5. Función derivada DEF. Sea f : A ⊂ R → R una función derivable en todo A abierto, entonces se dice que f es derivable en A y se puede definir la función derivada de f como f′ : A ⊂ R → R ′ x 7→ f (x) Tema XI: CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE XI.1. La derivada: definición y primeras propiedades 6. Derivadas de las funciones elementales Función R → R x 7→ c constante R → R x 7→ x n , n ∈ N R+ → R x 7→ x α , α ∈ R R → R x 7→ ex R+ → R x 7→ ln x R → R x 7→ sen x R → R x → 7 cos x R − π2 + 2k π, k ∈ Z → R x 7→ tg x Función derivada 0 nx n−1 αx α−1 ex 1 x cos x − sen x 1 = 1 + tg2 x cos2 x