Capı́tulo 2. Cinemática en una dimensión La meánica, la más antigüa de las ciencias fı́sicas es el estudio del movimiento de los cuerpos. 1. Distinción entre cinemática y dinámica Cuando describimos el mvimiento nos ocupamos de la parte de la mecánica que llamamos cinemática. Cuando relacionamos el movimiento con las fuerzas que intervienen en él y con las propiedades de los cuerposen movimiento, nos ocupamos de la dinámica. 2. Concepto de partı́cula Matemáticamente una partı́cula se considera como un punto, como un objeto sin tamaño de manera que no hay que hacer consideraciones de rotación o vibración. En realidad no existe en la naturaleza nada que pueda llamarse un objeto sin extensión. Sin embargo, los objetos reales a menudo se comportan, con gran aproximación como partı́culas. Un cuerpo no necesita ser realmente pequeño para poder ser tratado como partı́cula. Por ejemplo, con respecto a la distancia tierra sol, el sol y la tierra pueden ser tratados ordinariamente como partı́culas: 106 RT ∼ 11 = 10−5 D 10 3. Espacio y tiempo Vamos a tratar estos dos conceptos no desde un punto de vista filosófico (¿ Qué son?) sino en su relación con el movimiento de los cuerpos. 17 18 3..1 Capı́tulo 2 Movimiento A un cuerpo le asignaremos una posición en el espacio en un instante de tiempo. Como varie una en función del otro nos proporcionará su movimiento. 3..2 Medida Intuitivamente estamos introduciendo la observación cuantitativa, es decir la medición. Con un patrón de longitud podemos medir la distacia recorrida y con un patrón de tiempo el tiempo empleado. El hecho de que Galileo se plantease tales medidas dió lugar al nacimieto de la Fı́sica como ciencia, separándose ası́ de la filosofı́a para la cual los razonamientos sobre los hechos naturales eran suficiente prueba de los mismos. 3..3 Homogeneidad del tiempo En lo que hemos dicho hasta ahora es imprescindible hacer una suposición de partida: el patrón de tiempo no varı́a con el transcurso del mismo. Como no podemos contrastarlo experimentalmente consideramos la homogeneidad del tiempo como una hipótesis necesaria. 4. 4..1 Movimiento en una dimensión Posición Puesto que el movimiento se realiza en una recta, llamaremos ~i al vector unitario en la dirección positiva, de manera que la posición de la partı́cula e un instante dado será: ~ = x(t)~i r(t) (4.1) Podemos representar la curva x(t) que denominaremos trayectoria de la partı́cula 4..2 Velocidad Da cuenta de la rapidez con que varı́a la posición con el tiempo y se define como: ~ ~˙ = dr(t) = ẋ~i ~ = r(t) v(t) dt (4.2) Cinemática en una dimensión 19 t 1 Figura 2..1: Posición,velocidad y tiempo 4..3 Aceleración Da cuenta de la rapidez con que varı́a la velocidad con el tiempo y se define como: 2 ~ ~ = v(t) ~˙ = d r(t) = ẍ~i a(t) dt2 4..4 (4.3) Ejemplos Ejemplo 1 ¿Es posible que una persona camine a través de una habitación con velocidad negativa y aceleración positiva?. Poner un ejemplo y hacer un gráfico. Supongamos que inicialmente su velocidad es ~v = −v0~i donde v0 > 0 y que acelera con una aceleración constante ~a = a0~i con a0 > 0. El movimiento será: ~x = (−v0 t + a0 t2 /2)~i de forma que ~v = (−v0 + a0 t)~i que está dirigida en la dirección negativa del eje x en el intervalo temporal 0 < t < v0 /g mientras que la aceleración está siempre dirigida en la dirección positiva del eje x 20 5. Capı́tulo 2 Condiciones iniciales Conocida la aceleración que tiene una partı́cula en una dimensión ~a = a(t)~i (5.4) podemos determinar su velocidad y posición mediante dos integraciones sucesivas. En cada integración hay que introducir una constante arbitraria. Ello significa que hay infinitas trayectorias posibles con la misma aceleración, tantas como los diferentes valosres de las constantes arbitrarias. El movimiento concreto de una partı́cula dada dependerá de los valores particulares que tomen estas constantes. Para fijarlas hay que conocer la posición y la velocidad inicial 5..1 Posición inicial 5..2 Velocidad inicial 6. 6..1 Movimiento uniformemente acelerado Caı́da libre (Resnick 3-10, 3-11) Cinemática en una dimensión 21 Problemas el Tema II (5-10-2008) 1.) La posición de una partı́cula que se mueve a lo largo del eje de las x depende del tiempo de acuerdo con la ecuación x = a0 t2 − b0 t3 en donde x está en cm y t en segundos a) ¿Que dimensiones y unidades deben tener a0 y b0 ? b) Supongamos que en dichas unidades los valores de a0 y b0 son 3 y 1 respectivamente.Si parte del arigen, ¿Cuanto tarda la partı́cula en recorrer la máxima distancia posible hacia la derecha? c) ¿En que posición se encuentra al cabo de los primeros 4 segundos?. ¿Con que velocidad?. ¿Con que aceleración?. 2.) Una partı́cula que parte del reposo desde el origen, tiene una aceleración que aumenta linealmente con el tiempo a = kt siendo el cambio de la aceleración k = 1, 5 m/sg 3 a) Hacer una gráfica de a en función de t durante el primer intervalo de 10sg b) Hacer la gráfica de v en función de t en el mismo perı́odo y calcular la velocidad a los 5sg de empezar el movimiento c) Hacer la gráfica correspondiente de x en función de t y determinar lo que ha avanzado la partı́cula en los primeros 5 sg y en los siguientes 5 3.) La posición de una partı́cula que se mueve a lo largo del eje x varı́a con el tiempo según la ecuación v0 x = (1 − e−kt ) k en la cual v0 y k son constantes a) Hacer una gráfica de x en función de t b) Determinar la distancia total que recorre la partı́cula c) Demostrar que la aceleración está dirigida en sentido contrario a la velocidad d) Razonar como se puede requerir un tiempo infinito para recorrer una distancia finita 4.) Un coche sale de una ciudad a 70km/h. Al cabo de 15 minutos otro coche sale del mismo lugar a 80Km/H. ¿Cuanto tiempo tarda el segundo coche en alcanzar al primero y a qué distancia de la ciudad ocurre? 5.) Una ciudad A se encuentra 54Km al norte de otra ciudad B. Si un coche sale de A hacia el sur a 60Km/h y al mismo tiempo otro sale de B hacia A a 75Km/h, determinar a que distancia de A se cruzan y cuanto tiempo después de haber salido 6.) Una partı́cula sigue un movimiento rectilı́neo dado por ẍ = 6at − bω 3 sen(ωt). En t = 0 su velocidad y posición son cero. Determinar la posición y velocidad en cualquier instante 22 Capı́tulo 2 7.) Una partı́cula sigue un movimiento rectilı́neo con una velocidad dada por v = k/x donde k es una constante positiva. Si para t = 0 se encuentra en x = 2, determinar posición, velocidad y aceleración como funciones del tiempo 8.) Una partı́cula se mueve en en el seno de un lı́quido con una aceleración opuesta a la velocidad en forma a = −kv 2 . Determinar la velocidad en función del tiempo y de la posición si las condiciones iniciales son x = 0 y v = v0 cuando t = 0. 9.) Si un cuerpo recorre la mitad de su distancia total de caida libre durante el último segundo de su movimiento a partir del reposo, calcular el tiempo y la altura desde la cual cae. 10.) Un globo va subiendo a razón de 12 m/seg. Cuando se encuentra a 80 m sobre el suelo suelta un paquete. ¿Cuanto tiempo tarda el paquete en llegar al suelo? 11.) Un paracaidista después de saltar, cae sin rozamiento durante 50 m hasta que se abre el paracaidas que le frena a razón de 2 m/sg 2 . LLega al suelo con una velocidad de 3 m/sg a) ¿Cuanto tiempo ha estado en el aire? b) ¿Desde que altura saltó? 12.) Una pelota se lanza al aire con velocidad v0 . Demostrar que la altura que alcanza es la mitad de la que alcanzarı́a en el mismo tiempo si no hubiese gravedad. 13.) Una pelota se lanza al aire con velocidad v0 . En cada rebote pierde 2/3 de la velocidad. Calcular el tiempo que tarda en pararse y el espacio recorrido durante ese tiempo. Determinar cual serı́a la velocidad equivalente a la que se hubiera tenido que mover un cuerpo con movimiento uniforme para recorrer la misma distancia en el mismo tiempo. 14.) Se suelta una moneda al borde de un acantilado de 105 m de altura. ¿ Con qué velocidad debe lanzarse una piedra 1 segundo después para que alcance a la moneda a 15 m del suelo? Cinemática en una dimensión 7. 23 Problemas 1.) La posición de una partı́cula que se mueve a lo largo del eje de las x depende del tiempo de acuerdo con la ecuación x = a0 t2 − b0 t3 en donde x está en cm y t en segundos a) ¿Que dimensiones y unidades deben tener a0 y b0 ? b) Supongamos que en dichas unidades los valores de a0 y b0 son 3 y 1 respectivamente.Si parte del arigen, ¿Cuanto tarda la partı́cula en recorrer la máxima distancia posible hacia la derecha? c) ¿En que posición se encuentra al cabo de los primeros 4 segundos?. ¿Con que velocidad?. ¿Con que aceleración?. Solución • a) [a0 ] = LT −2 [b0 ] = LT −3 • b) dx 2a0 = 0 =⇒ 2a0 t − 3b0 t2 = 0 =⇒ t = = 2sg dt 3b0 x(t = 2sg) = 4cm • c) x(t = 4sg) = −16cm v = 2a0 t − 3b0 t2 =⇒ v(t = 4sg) = −24cm/sg a = 2a0 − 6b0 t =⇒ a(t = 4sg) = −18cm/sg 2 24 Capı́tulo 2 5 1 t 2 3 0 –5 –10 –15 –20 Problema 1: Posición, velocidad y aceleración 4 Cinemática en una dimensión 25 2.) Una partı́cula que parte del reposo desde el origen, tiene una aceleración que aumenta linealmente con el tiempo a = kt siendo el cambio de la aceleración k = 1, 5 m/sg 3 a) Hacer una gráfica de a en función de t durante el primer intervalo de 10sg b) Hacer la gráfica de v en función de t en el mismo perı́odo y calcular la velocidad a los 5sg de empezar el movimiento c) Hacer la gráfica correspondiente de x en función de t y determinar lo que ha avanzado la partı́cula en los primeros 5 sg y en los siguientes 5 Solución 100 50 0 5 t Problema 2: Posición, velocidad y aceleración 26 Capı́tulo 2 3.) La posición de una partı́cula que se mueve a lo largo del eje x varı́a con el tiempo según la ecuación v0 x = (1 − e−kt ) k en la cual v0 y k son constantes a) Hacer una gráfica de x en función de t b) Determinar la distancia total que recorre la partı́cula c) Demostrar que la aceleración está dirigida en sentido contrario a la velocidad d) Razonar como se puede requerir un tiempo infinito para recorrer una distancia finita Solución a) 1 0 5 t –1 Problema 3: Posición, velocidad y aceleración b) el máximo de x se alcanza cuando dx = 0 =⇒ 0 = v0 e−kt =⇒ t = ∞ dt luego xm = x(t = ∞) = v0 k Cinemática en una dimensión 27 c) v= a= dx = v0 e−kt dt dv = −kv0 e−kt = −kv dt d) Igual que Aquiles y la tortuga 28 Capı́tulo 2 4.) Un coche sale de una ciudad a 70km/h. Al cabo de 15 minutos otro coche sale del mismo lugar a 80Km/H. ¿Cuanto tiempo tarda el segundo coche en alcanzar al primero y a qué distancia de la ciudad ocurre? Solución Sea v1 = 70km/h = 70.103 /3600m/sg = 700m/36/sg v2 = 80km/h = 800m/36sg t0 = 15s 200 150 100 50 0 1 1.5 2 t Problema 4: Posición de los dos coches • El movimiento del primer coche será x1 = v 1 t • el del segundo x2 = v2 (t − t0 ) • Por tanto coinciden al cabo de un tiempo T despues de la salida del primer coche tal que v1 T = v2 (T − t0 ) 1 v2 t0 = T = t0 v2 − v1 1 − vv12 T = 15sg1 − 7/8 = 120sg = 2h. • En este periodo han recorrido un espacio x1 (T ) = 70km/h.2h = 140Km Cinemática en una dimensión 29 5.) Una ciudad A se encuentra 54Km al norte de otra ciudad B. Si un coche sale de A hacia el sur a 60Km/h y al mismo tiempo otro sale de B hacia A a 75Km/h, determinar a que distancia de A se cruzan y cuanto tiempo después de haber salido Solución Sea v1 = 60km/h = 60.103 /3600m/sg = 600m/36/sg v2 = 75km/h = 7500m/36sg x0 = 54km 40 20 0 0.2 t 0.4 Problema 5: Posición de los dos coches • Tomando el origen en A El movimiento del primer coche será x1 = v 1 t • el del segundo x2 = x0 − v2 t • Por tanto coinciden al cabo de un tiempo T despues de la salida del primer coche tal que v1 T = x0 − v2 T 54km x0 = = 0.4h T = v2 + v1 135km/h • En este periodo han recorrido un espacio x1 (T ) = 60km/h.(0.4h) = 24Km 30 Capı́tulo 2 6.) Una partı́cula sigue un movimiento rectilı́neo dado por ẍ = 6at − bω 3 sen(ωt). En t = 0 su velocidad y posición son cero. Determinar la posición y velocidad en cualquier instante Solución • Integrando ẍ = 6at − bω 3 sen(ωt) ẋ = 3at2 + bω 2 cos(ωt) + c1 con las condiciones iniciales dadas c1 = −bω 2 v = 3at2 + bω 2 cos(ωt) − bω 2 • Integrando la velocidad x = at3 + bω sin(ωt) + c2 donde c2 = 0 de acuerdo con las condiciones iniciales Cinemática en una dimensión 31 7.) Una partı́cula sigue un movimiento rectilı́neo con una velocidad dada por v = k/x donde k es una constante positiva. Si para t = 0 se encuentra en x = 2, determinar posición, velocidad y aceleración como funciones del tiempo Solución Problema 7: Posición, velocidad y aceleración • Integrando = k/x 1/2x2 − kt + c1 = 0 dx dt con las condiciones iniciales dadas c1 = −2 √ x = 2kt + 4 • derivando v=√ k 2kt + 4 k2 a= √ ( 2kt + 4)3 32 Capı́tulo 2 8.) Una partı́cula se mueve en en el seno de un lı́quido con una aceleración opuesta a la velocidad en forma a = −kv 2 . Determinar la velocidad en función del tiempo y de la posición si las condiciones iniciales son x = 0 y v = v0 cuando t = 0. Solución Problema 8: Gráfica de v en función de x a = −kv 2 dv = −kdt v2 integrando 1 1 v0 = kt + =⇒ v = v v0 1 + v0 kt integrando de nuevo x= 1 v0 ln k v o bien, eliminando el tiempo v = v0 e−kx Cinemática en una dimensión 33 9.) Si un cuerpo recorre la mitad de su distancia total de caida libre durante el último segundo de su movimiento a partir del reposo, calcular el tiempo y la altura desde la cual cae. Solución Las condiciones iniciales son z(0) = h ż(0) = 0 y por tanto 1 z = h − gt2 2 v = −gt El tiempo total T de caida corresponde a s 1 z(T ) = 0 = h − gT 2 =⇒ T = + 2 Sea t0 = 1sg, entonces en T − t0 recorre 2h g (1) h 2 s z(T − t0 ) = h 1 = h − g(T − t0 )2 =⇒ T − t0 = + 2 2 Combinando (1) y (2) s s s s √ 2h h h 1 h − = ( 2 − 1) = √ = t0 g g g ( 2 + 1) g Despejando h: √ h = g( 2 + 1)2 t20 = 57.1 m √ T = (2 + 2)t0 = 3.4 sg h g (2) 34 Capı́tulo 2 10.) Un globo va subiendo a razón de 12 m/seg. Cuando se encuentra a 80 m sobre el suelo suelta un paquete. ¿Cuanto tiempo tarda el paquete en llegar al suelo? Solución La altura inicial es: h = 80 m Su velocidad inicial es v0 = 12 m/sg luego 1 z = h + v0 t − gt2 2 El tiempo que tarda en llegar al suelo es: 1 z(T ) = 0 =⇒ h + v0 T − gT 2 = 0 2 s " # 2gh v0 1 + 1 + 2 = 5.4 sg T = g v0 Cinemática en una dimensión 35 11.) Un paracaidista después de saltar, cae sin rozamiento durante 50 m hasta que se abre el paracaidas que le frena a razón de 2 m/sg 2 . LLega al suelo con una velocidad de 3 m/sg a) ¿Cuanto tiempo ha estado en el aire? b) ¿Desde que altura saltó? Solución Sea h1 = 50m Es la composición de dos movimientos acelerados • Hasta que se abre el paracaidas h > z > h2 = h − h1 , 0 < t < T1 Caı́da con acelración −g, posición inicial h y velocidad inicial cero 1 z = h − gt2 2 v = −gt Este movimiento termina en el momento que se abre el paracaidas, lo que ocurrirá en el instante t = T1 tal que z = h − h1 = h2 . Por lo tanto: s 1 2h1 h1 = gT12 =⇒ T1 = = 3.2 sg 2 g La velocidad en ese instante será v1 = v(T1 ) = − p 2gh1 = −31.3 m/sg • Al abrirse al paracaidas h2 > z > 0, T1 < t < T2 Caı́da con aceleración a, posición inicial h2 = h(T1 ) y velocidad inicial v1 = v(T1 ) 1 z = h2 + v1 (t − T1 ) + a(t − T1 )2 2 v = v1 + a(t − T1 ) Llegará al suelo en el instante t = T2 tal que z(T2 ) = 0 yv2 = v(T2 ) donde v2 = −3m/sg. Por tanto 1 0 = z(T2 ) = h2 + v1 (T2 − T1 ) + a(T2 − T1 )2 2 v2 = v(T2 ) = v1 + a(T2 − T1 ) Por tanto T2 − T1 = v2 − v1 = 14.15 sg =⇒ T2 = 17.34 sg a v 2 − v22 = 242.6 m h2 = 1 2a 36 Capı́tulo 2 12.) Una pelota se lanza al aire con velocidad v0 . Demostrar que la altura que alcanza es la mitad de la que alcanzarı́a en el mismo tiempo si no hubiese gravedad. Solución La ecuación del ovimiento es 1 z = v0 t − gt2 2 v = v0 − gt La altura que alcanza corresponde al instante T en que v = 0. Por tanto: T = v0 g h = z(T ) = luego h = v0 T 2 v02 2g Cinemática en una dimensión 37 13.) Una pelota se lanza al aire con velocidad v0 . En cada rebote pierde 2/3 de la velocidad. Calcular el tiempo que tarda en pararse y el espacio recorrido durante ese tiempo. Determinar cual serı́a la velocidad equivalente a la que se hubiera tenido que mover un cuerpo con movimiento uniforme para recorrer la misma distancia en el mismo tiempo. Solución Como hemos visto en el problema anterior • En el primer rebote (subida y bajada) emplearı́a un tiempo T1 = 2v0 g h1 = v02 g y recorrerı́a una distancia • En el segundo la velocidad inicial es v0 q donde q = 13 : Por tanto: T2 = 2v0 q g h1 = v02 q 2 g Tn = 2v0 q n g hn = v02 q 2n g y recorrerı́a una distancia • En el rebote n−ésimo: y recorrerı́a una distancia Luego el tiempo total será T = ∞ X n=0 = limk→∞ k X 2v0 n=0 Como q < 1, q k → 0 y por tanto Tn = ∞ X 2v0 n=0 g qn 2v0 q = limk→∞ g g n µ 1 − q k+1 1−q ¶ 38 Capı́tulo 2 2v0 T = g En cuanto a h ∞ X h= µ hn = n=0 = limk→∞ k X v2 n=0 Es decir = ∞ X v2 µ 0 2n 1 1 − q2 y por tanto h= g ¶ = v0 T 1+q luego la velocidad equivalente es V = 3v0 g q v2 = limk→∞ 0 g q v2 h= 0 g ¶ n=0 0 2n g 1 1−q 3v0 v0 = 1+q 4 µ 9v02 8g 1 − q 2k+2 1 − q2 ¶ Cinemática en una dimensión 39 14.) Se suelta una moneda al borde de un acantilado de 105 m de altura. ¿ Con qué velocidad debe lanzarse una piedra 1 segundo después para que alcance a la moneda a 15 m del suelo? Solución xm = h − 1/2gt2 xp = h − v0 (t − t0 ) − 1/2g(t − t0 )2 luego t= p 2(h − h0 )/g = 4.3sg v0 (t− t0 ) = 1/2g(t)2 − 1/2g(t − t0 )2 v= gt0 2t − t0 = 11.3m/sg 2 t − t0