ACTIVIDAD 2: La distribución Normal

Actividad 2: La distribución Normal
ACTIVIDAD 2: La distribución Normal
CASO 2-1: CLASE DE BIOLOGÍA______________________________________
El Dr. Saigí es profesor de Biología en una prestigiosa universidad. Está preparando una
clase en la que pretende mostrar con ejemplos el hecho de que la distribución normal es
muy útil a la hora de describir el comportamiento de muchas variables fisiológicas de los
seres vivos. Así, p.e., se sospecha que la longitud de una determinada planta sigue un
comportamiento aproximadamente normal con media µ = 64 cm y desviación estándar σ =
3,1 cm.
El Dr. Saigí pretende comparar los resultados obtenidos en una práctica de campo, en la que
sus alumnos midieron 60 plantas de la especie anterior, con una simulación por ordenador
realizada a partir de una normal.
1.
Simular con Minitab la medición de 60 plantas de la especie anterior. A fin de que todos
obtengamos los mismos datos, usar como base para la generación de datos aleatorios
provenientes de una normal el número 333.
Seleccionamos Calc > Set Base :
Ahora usamos la opción Calc > Random Data > Normal :
A2 - 1
Estadística Aplicada con Minitab
Habremos generado 60 valores aleatorios procedentes de una distribución normal con los parámetros
indicados.
2.
Mostrar un resumen descriptivo y gráfico (histograma + gráfico de normalidad) de los
datos obtenidos en el apartado anterior mediante simulación.
Seleccionar Stat > Basic Statistics > Display Descriptive Statistics
> Graphs… :
El programa nos dará el siguiente output:
Descriptive Statistics
Variable
SIMULADO
N
60
Mean
64,584
Median
64,523
TrMean
64,635
Variable
SIMULADO
Minimum
58,051
Maximum
70,316
Q1
62,734
Q3
66,640
StDev
2,931
SE Mean
0,378
Histogram of SIMULADOS, with Normal Curve
Frequency
10
5
0
60
65
70
SIMULADOS
A2 - 2
Actividad 2: La distribución Normal
Ahora queremos un gráfico de normalidad:
Normality Test:
Stat
>
Basic
Statistics
>
Normal Probability Plot
,999
,99
Probability
,95
,80
,50
,20
,05
,01
,001
60
65
70
SIMULADOS
Av erage: 64,5844
StDev : 2,93060
N: 60
Anderson-Darling Normality Test
A-Squared: 0,236
P-Value: 0,780
Observar que los puntos se aproximan bastante a la línea roja, lo cual era de esperar puesto que esto
ocurrirá siempre que los datos sean aproximables por una distribución normal (y de hecho estos datos
provienen de una normal).
A2 - 3
Estadística Aplicada con Minitab
3.
Hacer lo mismo que en el apartado 2 pero ahora con los datos obtenidos en el campo,
los cuales se encuentran en el archivo campo.mtw . ¿Qué podrían concluir los alumnos
del Dr. Saigí?.
Repitiendo los pasos anteriores con estos nuevos datos, obtendremos los siguientes resultados:
Descriptive Statistics
Variable
Longitud
N
60
Mean
65,357
Median
66,000
TrMean
65,402
Variable
Longitud
Minimum
57,200
Maximum
71,300
Q1
62,425
Q3
68,225
StDev
3,472
SE Mean
0,448
Histogram of Longitud, with Normal Curve
8
7
Frequency
6
5
4
3
2
1
0
60
65
70
Longitud
Normal Probability Plot
,999
,99
Probability
,95
,80
,50
,20
,05
,01
,001
60
65
70
Longitud
Av erage: 65,3567
StDev : 3,47155
N: 60
W-test f or Normality
R:
0,9853
P-Value (approx): > 0,1000
Si bien ahora los puntos se alejan más que antes de la línea roja, siguen estando lo suficientemente
próximos a la misma como para que consideremos que se distribuyen de forma aproximadamente
normal. Parece pues que los dos conjuntos de datos son bastante similares.
A2 - 4
Actividad 2: La distribución Normal
CASO 2-2: SALARIOS MEDIOS_______________________________________
Según viene publicado en una prestigiosa revista de economía, el salario semanal medio de
los profesores universitarios europeos es de 406,15 €. Se estima además que la desviación
estándar de dichos salarios es de 55,50 €. Supongamos ahora que pretendemos tomar una
muestra aleatoria de 100 profesores para estudiar sus salarios. Calcular las siguientes
probabilidades referentes a la media de dicha muestra:
1.
La probabilidad de que la media de la muestra sea menor de 400 €.
En primer lugar, observar lo siguiente: como n = 100 >> 30, por el Teorema Central del Límite
tendremos que la distribución de las medias muestrales X se podrá aproximar por una normal con
media 406,15 y desviación estándar 5,50.
Hemos de hallar P ( X < 400) :
Seleccionamos: Calc > Probability Distributions > Normal :
Cumulative Distribution Function
Normal with mean = 406,150 and standard deviation = 5,55000
x
400,0000
P( X <= x)
0,1339
A2 - 5
Estadística Aplicada con Minitab
2.
La probabilidad de que la media de la muestra esté entre 400 y 410 € .
Sabemos que P (400 < X < 410) = P ( X < 410) − P ( X < 400)
probabilidades ya la hemos calculado en el apartado anterior.
. La segunda de éstas
Para calcular la primera se razona análogamente, obteniendo que:
Cumulative Distribution Function
Normal with mean = 406,150 and standard deviation = 5,55000
x
410,0000
P( X <= x)
0,7561
Por tanto, tendremos: P (400 < X < 410) = P ( X < 410) − P ( X < 400) = 0,6222
3. La probabilidad de que la media de la muestra sea mayor de 415 € .
En este caso, P ( X > 415) = 1 − P ( X < 415) . Hemos de calcular pues esta última probabilidad, lo
cual haremos de forma análoga a los apartados anteriores.
Obtendremos lo siguiente:
Cumulative Distribution Function
Normal with mean = 406,150 and standard deviation = 5,55000
x
415,0000
P( X <= x)
0,9446
Por consiguiente, P ( X > 415) = 1 − P ( X < 415) = 0,0554
4. Hallar el valor del salario medio c tal que P ( X < c ) = 0,95 .
Seleccionamos nuevamente: Calc > Probability Distributions > Normal , pero
ahora elegiremos la opción Inverse Cumulative Probability , con lo que
obtendremos :
Inverse Cumulative Distribution Function
Normal with mean = 406,150 and standard deviation = 5,55000
P( X <= x)
0,9500
x
415,2789
A2 - 6
Actividad 2: La distribución Normal
CASO 2-3: APROXIMACIÓN NORMAL A UNA BINOMIAL__________________
Para muchas combinaciones de n y p es posible aproximar bastante bien una distribución
binomial B(n,p) mediante una distribución normal de media µ = np y varianza σ2 = np(1-p).
Generalmente, esta aproximación tiende a ser tanto mejor cuanto mayor es el número de
pruebas n.
1.
Introducir en la columna C1 de una hoja de trabajo los números 0, 1, 2, ..., 16. En la
columna C2 calcular P(X = 0), P(X = 1), ..., P(X = 16), siendo X una binomial de
parámetros n = 16 y p = 0,5.
Seleccionamos: Calc > Make Patterned Data > Simple Set of Numbers :
Ahora hacemos: Calc > Probability Distributions > Binomial :
A2 - 7
Estadística Aplicada con Minitab
El resultado será el siguiente:
Data Display
2.
Row
C1
C2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0,000015
0,000244
0,001831
0,008545
0,027771
0,066650
0,122192
0,174561
0,196381
0,174561
0,122192
0,066650
0,027771
0,008545
0,001831
0,000244
0,000015
Introducir en la columna C3 el valor de la función de densidad de probabilidad (f.d.p.)
asociada a los valores de la C1 para una distribución normal que aproxime a la binomial
anterior.
Observar que: µ = n*p = 8 y σ2 = n*p*(1-p) = 4
Hacemos: Calc > Probability Distributions > Normal :
A2 - 8
Actividad 2: La distribución Normal
3.
Dibujar un diagrama de barras con los datos de las columnas C1 (en eje x) y C2 (en eje
y). Superpuesto a él, dibujad la función de densidad que se obtiene a partir de las
columnas C1 (en eje x) y C3 (en eje y). ¿Qué observas?.
A fin de superponer ambos gráficos, elegimos la opción: Graph > Layout :
Seleccionamos: Graph > Chart :
Finalmente hacemos: Graph > Plot :
A2 - 9
Estadística Aplicada con Minitab
Para representar los gráficos superpuestos basta con hacer: Graph > End Layout :
Aproximación normal a una binomial
0,2
C2 y C3
binomial
fdp normal
0,1
0,0
0 1 2
3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
C1
A partir del gráfico anterior se comprende mejor el hecho de que podemos aproximar la probabilidad de
que una variable binomial tome un determinado valor mediante la f.d.p. de una distribución normal.
Así, p.e., podemos estimar P(X = 7) (área en azul) por P(6,5 < X < 7,5) (área comprendida entre
la curva roja y ambos puntos). En el primer caso estamos considerando que la variable X es binomial,
mientras que en el segundo consideramos que es normal (y por tanto hacemos uso de la aproximación
por continuidad, puesto que para cualquier variable continua la probabilidad puntual es cero).
A2 - 10