UNIDAD 07. POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS

POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS
OBJETIVOS
1
2
Conocer las características, fundamentos y particularidades
que encierra el trazado de polígonos: triángulos, cuadriláteros y métodos generales de construcción.
1 FORMAS POLIGONALES
Según el numero de lados, los polígonos pueden clasificarse en: triángulos, cuadiláteros,
pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos …
Si un polígono tiene su lados iguales se dice
que es equilátero y si tiene todos sus ángulos
iguales equiángulo . El cumplimiento de ambas
condiciones –ser equilátero y equiángulo– trae
consigo la denominación de polígono regular.
En los polígonos regulares y sólo en éstos, aparecen otros nuevos elementos: centro (punto
interior que se encuentra a igual distancia de
sus vértices); apotema (perpendicular trazada
desde el centro a cualquiera de sus lados); radio (distancia del centro a cualquiera de sus
vértices); y ángulo en el centro (aquel que forman dos apotemas o dos radios consecutivos).
Si un polígono tiene sus vértices en una circunferencia se dice está inscrito en ella; y si
sus lados son tangentes a la misma se dice
está circunscrito a la circunferencia.
G
on
ag
dia
di
C
Isósceles
Escaleno
Rectángulo
a=b=c
a=b=c
a=b=c
© A = 90º
C
C
al
B
Equilátero
ap
e
ot
m
n
go
C
radio
a
C
C
Obtusángulo
C
© A > 90º
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
F
lado
α
A
c
c
B A
Ángulo exterior
Ángulo interior
Triángulo
3
60°
180°
Cuadrado
4
90°
360°
Pentágono
5
108°
540°
Hexágono
6
120°
720°
Heptágono
7
128,6°
Octógono
8
135°
1.080°
Eneágono
9
140°
1.260°
Decágono
10
144°
1.440°
Undecágono
11
147,3°
1.620°
Dodecágono
12
150°
1.800°
n
siendo:
A
c
α
α
Hb
A
c
B
na
nc
Mb
Ma
hb
ha
A
O
B
Hc
2.3.1
A
2.3.2
Alturas (ha , hb , hc ).
Ortocentro (H).
• Triángulo órtico (Ha Hb Hc ).
•
Mediatrices (na , nb , nc ).
Circuncentro (O).
• Triángulo complementario (Ma Mb Mc ).
•
•
C
C
α
α = 180° ( n – 2 ) / n
Tb
mc
Mb
G
ma
A
Ma
•
•
Ta
mb
2/3
va
I
vb
1/3
Mc
2.3.3
B
Mc
•
nα
α
2.2 Clasificación y características.
B
nb
H
900°
…(* )
c
B A
2.2.2 En función de sus ángulos.
Ha
hc
Σαι
α
n-ágono
B
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN LOS TRIÁNGULOS
C
C
LADOS
POLÍGONO
c
B A
2.2.1 En función de sus lados.
E
D
(*) ..…
Oblicuángulos
Acutángulo
al
2.2.1 En función de sus lados.
2 TRIÁNGULOS
Dividir, con precisión y soltura, la circunferencia en un número cualquiera de partes iguales o, lo que es igual, inscribir polígonos regulares en una circunferencia.
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
A
Las figuras más sencillas, y fundamentales en
la configuración de una forma, son los polígonos. La palabra polígono proviene del griego,
poli (varios) y gono (ángulos). Se definen como figuras planas limitadas por una línea
quebrada y cerrada.
A cada segmento quebrado se le llama lado
del polígono. Los vértices se designan con una
letra mayúscula (A, B,C,…) siguiendo el orden
alfabético. Otros elementos básicos son las
diagonales (segmentos que unen dos vértices
no consecutivos); ángulos interiores (los formados en el interior de un polígono entre dos
lados adyacentes); ángulo exterior (el formado
por un lado cualquiera y la prolongación de un
lado adyacente); y perímetro (la suma de las
longitudes de los lados).
3
Verificar la importancia que tiene la geometría de las formas
poligonales para el estudio de la estructura interna de los
objetos naturales o de los creados por el hombre.
vc
B
Medianas (ma , mb , mc ).
Baricentro o c.d.g. (G).
A
Tc
2.3.4
•
•
B
Bisectrices (va , vb , vc ).
Incentro ( I ).
• Equilátero: lados y ángulos iguales.
2.1 Definición y propiedades.
• Isósceles: dos lados y dos ángulos iguales.
El triángulo es el polígono de tres lados y, por
tanto, el más sencillo de los polígonos que se
pueden construir.
En él podemos destacar las siguientes propiedades:
• «La suma de los ángulos internos vale 180°».
Esto es:
©A + ©B + ©C = 180°.
• «Un lado de un triángulo es siempre menor
que la suma de los otros dos y mayor que su
diferencia».
Así:
a < (b + c)
;
a > ( b - c ).
• «En un triángulo, a mayor lado se opone, siem-
pre, mayor ángulo».
2.3 Líneas y puntos notables.
• Escaleno: lados y ángulos distintos.
2.3.1 Alturas ( ha , hb , h c ) .
2.2.2 En función de sus ángulos.
• Rectángulo: con un ángulo recto. El lado
opuesto a este ángulo se denomina hipotenusa y catetos a los otros dos.
• Acutángulo: con los tres ángulos agudos.
• Obtusángulo: con un ángulo obtuso.
2.2.3 En función de sus líneas.
• Rectilíneo: con los tres lados líneas rectas.
• Curvilíneo: con los tres lados líneas curvas.
• Mixtilíneo: con dos lados líneas rectas y uno
curvo y viceversa.
Son las distancias de cada vértice ( A, B, C ) al
lado opuesto. El punto común a las tres alturas
se llama Ortocentro ( H ). Se denomina triángulo órtico al que tiene por vértices los pies Ha ,
H b ,H c de las alturas del triángulo considerado.
2.3.2 Mediatrices ( na , nb , nc ) .
Son las mediatrices de cada uno de los lados
del triángulo. Las tres rectas se cortan en un
mismo punto llamado Circuncentro (O ), que
es centro de la circunferencia circunscrita al
triángulo. La unión de los puntos medios de los
lados ( M a , M b , M c ) determinan el triángulo
complementario del dado.
2.3.3 Medianas ( ma , mb , mc ) .
Son las distancias de cada vértice ( A ,B ,C ) al
punto medio del lado opuesto ( M a , M b , M c ) .
El punto común se llama Baricentro ( G ) , centro de gravedad (c.d.g.) del triángulo, y dista
de cada vértice las dos terceras partes de su
longitud correspondiente.
2.3.4 Bisectrices ( va , vb , vc ) .
Son las bisectrices de los ángulos del triángulo. Su punto común recibe el nombre de
Incentro ( I ) ; esto es, el centro de la circunferencia inscrita al triángulo (tangente a los lados en los puntos Ta ,Tb ,Tc ).
73
3 CUADRILÁTEROS
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS
3.1 Definición.
El cuadrilátero es el polígono de cuatro lados. Sin duda es uno de los polígonos que
resulta más familiar. No obstante, no todos
los cuadriláteros tienen la misma forma, y al
igual que sucede con cualquier otra forma
poligonal, pueden clasificarse en base a sus
ángulos dos grandes grupos: los convexos y
los cóncavos.
C
TRAPECIOS
D
TRAPEZOIDE
Convexo
B
C
Rectángulo
• Convexo: Cuando el polígono está situado en
Cóncavo
A
uno de los semiplanos determinados por cualquiera de sus lados. En este caso los ángulos
interiores son siempre menores de 180°.
Isósceles
Escaleno
PARALELOGRAMOS
D
A
180°
• Cóncavo: Cuando considerando todas y ca-
da una de las rectas que componen sus lados, el polígono se encuentra en ambos semiplanos. En este caso existe siempre un ángulo mayor de 180°.
3.2 Propiedades fundamentales.
• «La suma de los cuatro ángulos interiores
de un cuadrilátero es igual a 360°, esto es, a
la suma de los ángulos de los dos triángulos
en que se descompone».
• «Todo cuadrilátero convexo que tenga dos
ángulos opuestos suplementarios es inscribible en una circunferencia».
En la figura α y β son ángulos inscritos, opuestos y suplementarios; verificándose que la suma de sus ángulos centrales es igual a 360°.
• «En todo cuadrilátero circunscribible las sumas de los lados opuestos son iguales».
Esto es:
AB + CD = BC + AD
C
D
A + B + C + D = 360º
A
α
B
2β
D
2α
Cuadrilátero
inscrito
3.3 Árbol
genealógico
del cuadrado.
α + β = 180º
β
Cuadrado
D
CONSIDERACIONES GEOMÉTRICAS
d
C
D
d
C
A
Cuadrilátero
circunscrito
En un trapecio, la paralela a un lado trazada
desde un extremo de la base menor, lo descompone en un paralelogramo ADCE y un
triángulo CEB que tiene como lados la diferencia de las bases y los lados no paralelos
del trapecio.
a
AB + CD = BC + AD
c
b
c
B
A
C
b
E
B
3.4.1
D
C
3.4.2 Construcción de un trapecio conocidos
sus lados paralelos y sus diagonales.
3.2 Propiedades de los cuadriláteros.
• Romboide: Tiene sus lados y ángulos opues-
• Rectángulo: Tiene dos ángulos rectos. La unión
• Rombo: Cuenta con lados iguales y ángulos
de sus vértices determina su altura.
les. Sus diagonales son iguales.
• Escaleno: No posee ninguna característica
indicada en los dos anteriores.
74
3.3.3 Paralelogramos.
Cuadriláteros que tienen los lados opuestos
iguales y paralelos dos a dos.
3.3.2 Trapecios.
Cuadriláteros que tienen, únicamente, dos lados opuestos paralelos llamados bases, siendo su altura la distancia entre ambos.
• Isósceles: Tiene los lados no paralelos igua-
3.4 Consideraciones geométricas para la
construcción de cuadriláteros.
3.4.1 Construcción de un trapecio conocido
los cuatro lados.
a
3.3 Clasificación y características.
3.3.1 Trapezoides.
Cuadriláteros que no tienen lados paralelos.
Rombo
Triangulación de un cuadrilátero
Sustituyendo en la expresión anterior, se tiene:
(a + b) + (c + d) = (a + d) + (b + c)
Rectángulo
B
A
En efecto, los puntos de contacto dividen a
cada lado en dos segmentos, siendo iguales
los segmentos parciales concurrentes en un
mismo vértice (sabido es que desde un punto
exterior a una circunferencia los segmentos
de tangente son iguales).
De lo que se deduce que ambos miembros de
la igualdad valen a + b + c + d , que es, por
consiguiente, la suma de dos lados opuestos
del cuadrilátero.
Romboide
B
3.1 Cuadriláteros.
A
B
3.4.2
E
C
En general, para dibujar un cuadrilátero es
aconsejable triangular el polígono y, así, su
trazado se limita a dibujar los triángulos.
tos iguales entre sí.
D
• Rectángulo: Lados opuestos iguales, ángulos
B
rectos y diagonales iguales. Es equiángulo.
O
opuestos iguales dos a dos. Las diagonales son
distintas y se cortan bajo 90°. Es equilátero.
• Cuadrado: Paralelogramo de lados iguales y
ángulos rectos. Sus diagonales, iguales, se
cortan bajo 90°. Es equilátero y equiángulo.
3.4.3
A
En un trapecio, si se traza una recta CE paralela a una diagonal desde el extremo de la
base menor, se forma un triángulo CAE que
tiene como lados la suma de las bases y las
diagonales del trapecio.
3.4.3 El trapecio isósceles como cuadrilátero
inscriptible en una circunferencia.
El único tipo de trapecio que es inscriptible
en una circunferencia es el isósceles . Lo que
nos viene a decir que las mediatrices de los
lados de todo trapecio isósceles, concurren
en el centro de su circunferencia circunscrita.
4 TRAZADO DE POLÍGONOS REGULARES
INSCRITOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Conocer el trazado y características de los polígonos regulares tiene importancia no sólo en la resolución de problemas técnicos para piezas industriales, sino también como elemento auxiliar en la
construcción y, por supuesto, en las artes plásticas,
especialmente en las decorativas, donde los elementos ornamentales como lacerías, mosaicos, etc.
se fundamentan en esquemas poligonales.
45°
O
Por ello, vamos a recordar cómo dividir la circunferencia en partes iguales con objeto de inscribir en
ella polígonos regulares. Para su exposición seguiremos un orden fundamentado en el razonamiento
lógico, la precisión y la dificultad del trazado.
4.1 División en 3, 6, 12, ... partes iguales.
Transportando cuerdas iguales al radio de la circunferencia se obtienen los seis vértices del hexágono
regular. Uniendo alternativamente, triángulos equiláteros .
4.1 Triángulo, hexágono y dodecágono regular.
4.2 Cuadrado y octógono regular.
Si se prolongan las apotemas del hexágono se obtienen, sobre la circunferencia, el resto de los vértices que definen el dodecágono regular .
l10
4.2 División en 4, 8, 16, ... partes iguales.
A
N
Los extremos de dos diámetros perpendiculares dibujan, sobre la circunferencia, un cuadrado inscrito.
l5
Sus bisectrices determinan otros cuatro puntos para
inscribir el octógono regular . El trazado de nuevas bisectrices determina los polígonos de 16, 32, … lados.
l7
4.3 División en 7, 14, ... partes iguales.
La mediatriz de un radio cualquiera (OR) determina,
con la circunferencia, la magnitud MN que define el
lado del heptágono regular . El transporte de esta
magnitud ( l 7 ) , desde un punto cualquiera de la circunferencia a modo de cuerda, determina el polígono regular de siete lados. Como en construcciones
anteriores, las apotemas (mediatrices de los lados)
cortarán a la circunferencia en los puntos medios de
los arcos; lo que define el polígono regular de 14 lados y, así, sucesivamente.
O
l9
C
l10
O
M
4.4 Pentágono y decágono regular.
A
1
La magnitud PO define el lado ( l 10 ) del decágono
regular inscrito en la circunferencia.
A
2
1
C
l9
2
2
3
4.5 División en un nº cualquiera de partes iguales.
( PROCEDIMIENTO GENERAL)
4
- Ejemplo: División de la circunferencia en 9 partes.
5
- Paso 1.- Se comienza por dividir un diámetro de la
circunferencia ( AB ) en el mismo número de partes
iguales en que se desea dividir la circunferencia. En
este caso, en 9 partes.
Con centro en los extremos A y B , se trazan dos arcos, de radio AB, que se cortan en P.
P
R
4.3 Heptágono regular.
4.4 División en 5, 10, ... partes iguales.
Con centro M , punto medio de un radio (obtenido
en la construcción anterior), y radio MA se determina el punto P . La magnitud AP es el lado ( l 5 ) del
pentágono regular inscrito.
M
6
O
7
P
O
8
9
El punto obtenido ( P ) se une con la marca o división
segunda del diámetro, prolongando dicha recta hasta
que corte a la circunferencia en el punto C.
- Paso 2.- El segmento AC determina el lado del polígono solución, en este caso la magnitud ( l 9 ) del lado del eneágono regular .
B
4.5 Eneágono regular inscrito en la circunferencia.
B
75
5 CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS
REGULARES DE LADO CONOCIDO
l5
DATO:
D
D
5.1 Pentágono de lado conocido.
1
- Paso 1.- Se traza el segmento AB = l 5 (dato ) .
Por el extremo A se traza un arco de radio AB, y
una perpendicular que determina el punto N .
2
3
N
N
E
N
E
C
A continuación se dibuja la mediatriz ( m ) de AB,
obteniendo su punto medio M .
- Paso 2.- Con centro en M y radio MN se traza un
arco que corta en P a la prolongación de AB . A
continuación con centro en B y radio BP (diagonal
del pentágono regular solución) se dibuja un arco
que corta al anterior en E y a la mediatriz m en el
punto D , ambos vértices del pentágono solución.
- Paso 3.- Con centro en D y B y con radio AB se
trazan dos arcos que se cortan en el punto C ,
último vértice del pentágono regular solución.
m
M
A
- Paso 1.- Se comienza por trazar una circunferencia de centro O y radio arbitrario. A continuación se divide la circunferencia en tantas partes
iguales como lados tiene el polígono que se pretende dibujar; para ello se aplica el procedimiento
general visto en el apartado 4.5.
- Paso 3.- La distancia OB = OA determina el radio de la circunferencia circunscrita al polígono
buscado; transportando el lado dado se dibuja el
undecágono deseado.
A
l 11
DATO:
1
l 11
2
M
Q
B
P
A
B
l 11
A
B
Q
B
3
M
A
R
1
C
2
3
4
- Paso 2.- Una vez obtenido el lado MQ del undecágono inscrito en la circunferencia de radio arbitrario, se trata de definir el radio de la circunferencia concéntrica que ha de contener al polígono
solución, semejante al trazado. Se trata pues, de
encajar el segmento dado AB = l11 , en el ángulo
central MOQ.
Para ello, se traslada la magnitud l11 (dato) = MR
sobre la recta MQ , a partir del punto M , y por R
se traza la paralela al diámetro MN , que corta a
la prolongación del radio OQ en el punto B , resultando encajado el segmento AB = l11 .
M
P
B
5.1 Construcción de un pentágono regular.
5.2 N-ágono regular. ( MÉTODO GENERAL)
- Ejemplo: Construcción del undecágono regular
de lado conocido.
m
it
arb
rari
5
o
6
O
P
O
O
7
D
8
9
10
N
5.2
11
N
E
F
Construcción de un undecágono regular.
PENTÁGONO ESTRELLADO
HEPTÁGONO ESTRELLADO
OCTÓGONO ESTRELLADO
ENEÁGONO ESTRELLADO
6 POLÍGONOS REGULARES
ESTRELLADOS
Partiendo de un polígono regular, y únicamente
cambiando el orden de la unión de sus vértices, se
construyen otros polígonos diferentes llamados estrellados o cóncavos, cuyos lados y ángulos son
iguales.
La alternancia en la unión de los vértices o lados
no consecutivos es lo que se denomina paso de
un polígono estrellado. El polígono se cierra en el
mismo vértice que se comenzó: su trazado puede
hacerse sin levantar el lápiz del papel.
Por ejemplo, si partimos de un pentágono regular convexo y unimos sus vértices saltando de dos en dos
(con paso 2), se obtiene una estrella pentagonal.
En este tipo de polígonos cóncavos existen dos términos que identifican a cada forma estrellada:
- El género: número de cuerdas utilizadas (igual al
número de puntas o vértices).
- La especie: número de vueltas completas para cerrar la forma (igual al paso).
76
5º género
2ª especie
7º género
2ª especie
8º género
3ª especie
9º género
4ª especie
1
CONSTRUCCIÓN Y RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS ( I )
1. Construye el TRIÁNGULO definido por sus lados a = 66 mm., b = 75
mm. y c = 60 mm. Dibuja su CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA.
mm. y la altura ha = 54 mm. que parte del vértice desigual. Dibuja
la CIRCUNFERENCIA INSCRITA al triángulo y las dos EXINSCRITAS
de igual radio señalando, con toda precisión, los PUNTOS DE CONTACTO con las rectas que determinan los lados del triángulo.
nombre y apellidos
cuya suma de catetos b + c = 80 mm.
5. Dibuja el TRIÁNGULO ESCALENO ABC conocido el lado a = 70
nº
curso/grupo
fecha
mm. y las medianas mb = 75 mm. y mc = 50 mm. Recuerda la métrica
que se establece en las medianas respecto al baricentro o c.d.g.
2
ISÓSCELES
DATOS:
p = a + b + c = MN = 160 mm. ;
ha = 54 mm.
a = 66 mm. ; b = 75 mm. ; c = 60 mm.
A
3
21
4. Dibuja el TRIÁNGULO RECTÁNGULO de hipotenusa a = 60 mm. y
ESCALENO
DATOS:
3
3. Dibuja el TRIÁNGULO RECTÁNGULO de hipotenusa a = 70 mm. y
©C = 60°. Utiliza el método del ARCO CAPAZ.
2. Construye el TRIÁNGULO ISÓSCELES conociendo su perímetro p =160
1
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA
POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS
2
RECTÁNGULO
B
c
DATOS:
M
4
a = 70 mm.
©C = 60º
N
RECTÁNGULO
DATOS:
5
a = 60 mm.
b + c = 80 mm.
ESCALENO
DATOS:
a = 70 mm.
mb = 75 mm.
mc = 50 mm.
B
C
a
B
b+c
B
C
a
1
CONSTRUCCIÓN Y RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS ( I )
1. Construye el TRIÁNGULO definido por sus lados a = 66 mm., b = 75
mm. y c = 60 mm. Dibuja su CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA.
mm. y la altura ha = 54 mm. que parte del vértice desigual. Dibuja
la CIRCUNFERENCIA INSCRITA al triángulo y las dos EXINSCRITAS
de igual radio señalando, con toda precisión, los PUNTOS DE CONTACTO con las rectas que determinan los lados del triángulo.
nombre y apellidos
4. Dibuja el TRIÁNGULO RECTÁNGULO de hipotenusa a = 60 mm. y
cuya suma de catetos b + c = 80 mm.
5. Dibuja el TRIÁNGULO ESCALENO ABC conocido el lado a = 70
nº
curso/grupo
fecha
mm. y las medianas mb = 75 mm. y mc = 50 mm. Recuerda la métrica
que se establece en las medianas respecto al baricentro o c.d.g.
2
ESCALENO
DATOS:
21
3
3. Dibuja el TRIÁNGULO RECTÁNGULO de hipotenusa a = 70 mm. y
©C = 60°. Utiliza el método del ARCO CAPAZ.
2. Construye el TRIÁNGULO ISÓSCELES conociendo su perímetro p =160
1
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA
POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS
2
ISÓSCELES
DATOS:
p = a + b + c = MN = 160 mm. ;
ha = 54 mm.
a = 66 mm. ; b = 75 mm. ; c = 60 mm.
AO = ha
C
En el ¬ MBA: MB = BA
A
S2
S3
ha
b
a
O
S1
A
A
3
B
B
c
RECTÁNGULO
DATOS:
M
B
=
4
a = 70 mm.
©C = 60º
RECTÁNGULO
DATOS:
O
N
C
5
a = 60 mm.
b + c = 80 mm.
=
ESCALENO
DATOS:
a = 70 mm.
mb = 75 mm.
A
mc = 50 mm.
o
ca
z
pa
de
90 °
=
A
G: Baricentro o
Centro de gravedad
del triángulo.
Ar
c
C1
Mc
Mb
a
C2
b1
a
C
C
mc
O
3)
60°
B
B
(2 /
G
b2
(2 / 3)
a
=
mb
A / 2 = 45°
A2
b+c
DOS SOLUCIONES
A1
B
B
C
a
VERIFICACIONES
1. Construir el TRIÁNGULO definido por los lados a = 55 mm., c = 64 mm. y ©C = 60º.
TRIÁNGULO ACUTÁNGULO
DATOS:
a = 55 mm.
c = 64 mm.
©C = 60°
A
B
c
2. Dibujar el TRIÁNGULO ISÓSCELES de perímetro p = 155 mm. y ©B = ©C = 75º.
TRIÁNGULO ISÓSCELES
DATOS:
p = 155 mm.
©B = ©C = 75°
p=a+b+c
78
VERIFICACIONES
1. Construir el
el TRIÁNGULO
TRIÁNGULOdefinido
definidopor
porlos
loslados
ladosa =
a 55
= 55
mm.,
mm.,c =c64
= 64
mm.
mm.
y ©C
y ©C
= 60º.
= 60º.
TRIÁNGULO ACUTÁNGULO
ACUTÁNGULO
DATOS:
a = 55 mm.
c = 64 mm.
C
55
°
60
Arc
oc
ap
az
de
©C = 60°
b
a
O
A
A
c
B
B
cMC
C = 60°
2. Dibujar el TRIÁNGULO
TRIÁNGULO ISÓSCELES
ISÓSCELES
dede
perímetro
perímetro
pp
= 155
= 155
mm.
mm.y y
©B
©B
= ©C
= ©C
= 75º.
= 75º.
TRIÁNGULO ISÓSCELES
TRIÁNGULO
ISÓSCELES
p = 155
mm. ; ©B = ©C = 75°
DATOS:
DATOS:
A
p = 155 mm.
©B = ©C = 75°
37° 30’
37° 30’
75°
B/2 = 37° 30’
B/2 = 37° 30’
M
M
N
B
C
p=a+b+c
78
1
CONSTRUCCIÓN Y RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS ( II )
1. Dibuja el TRIÁNGULO RECTÁNGULO ABC, sabiendo que su perímetro es p = 110mm. y su ©B = 60°.
a = 70 mm., la altura ha = 50 mm. y la mediana ma = 55 mm. que
parten del mismo vértice A.
3. Construye el TRIÁNGULO RECTÁNGULO de hipotenusa a = 70
1
RECTÁNGULO
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA
POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS
DATOS:
nombre y apellidos
5. Construye el TRIÁNGULO ABC, dado el lado c = 65 mm. y la situanº
ción exacta de su BARICENTRO G. Dibuja su TRIÁNGULO COMPLEMENTARIO y la CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA al primero.
p = a + b + c = 110 mm.
2
; © B = 60°
ESCALENO
DATOS:
curso/grupo
fecha
a = 70 mm. ; ha = 50 mm. ; ma = 55 mm.
B
RECTÁNGULO
DATOS:
a = 70 mm.
b - c = 18 mm.
22
ha = 55 mm. y hb = 50 mm. Traza su TRIÁNGULO ÓRTICO.
C
p
3
3
mm. y diferencia de catetos ( b - c ) = 18 mm.
4. Dibuja el TRIÁNGULO ESCALENO ABC, conociendo a = 60 mm.,
2. Construye el TRIÁNGULO ESCALENO ABC, conociendo el lado
2
a
4
ESCALENO
DATOS:
5
a = 60 mm.
ha = 55 mm.
hb = 50 mm.
ESCALENO
DATOS:
c = AB = 65 mm.
G = Baricentro (c.d.g.)
G
C
B
C
a
A
B
1
CONSTRUCCIÓN Y RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS ( II )
1. Dibuja el TRIÁNGULO RECTÁNGULO ABC, sabiendo que su perímetro es p = 110mm. y su ©B = 60°.
a = 70 mm., la altura ha = 50 mm. y la mediana ma = 55 mm. que
parten del mismo vértice A.
3. Construye el TRIÁNGULO RECTÁNGULO de hipotenusa a = 70
1
RECTÁNGULO
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA
POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS
nombre y apellidos
ha = 55 mm. y hb = 50 mm. Traza su TRIÁNGULO ÓRTICO.
5. Construye el TRIÁNGULO ABC, dado el lado c = 65 mm. y la situanº
ción exacta de su BARICENTRO G. Dibuja su TRIÁNGULO COMPLEMENTARIO y la CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA al primero.
p = a + b + c = 110 mm.
DATOS:
3
mm. y diferencia de catetos ( b - c ) = 18 mm.
4. Dibuja el TRIÁNGULO ESCALENO ABC, conociendo a = 60 mm.,
2. Construye el TRIÁNGULO ESCALENO ABC, conociendo el lado
22
2
2
; © B = 60°
ESCALENO
curso/grupo
fecha
a = 70 mm. ; ha = 50 mm. ; ma = 55 mm.
DATOS:
A2
A1
C
30°
A/2 = 45°
RECTÁNGULO
DATOS:
B
B
B
p
a
4
a = 70 mm.
b - c = 18 mm.
ESCALENO
DATOS:
5
a = 60 mm.
ha = 55 mm.
hb = 50 mm.
C
C
Ma
a
ESCALENO
A
c = AB = 65 mm.
G = Baricentro (c.d.g.)
DATOS:
GMc = 1/3 mc
;
GC = 2/3 mc
C
Hb
a
ha
Arco capaz
de 90°
med
h
b
iana
B
a
3
B/2 = 30°
60°
A
ha
m
a
45°
Mb
Hc
c
Ma
b
O
H
45°
C
C
b-c
c
A
B
B
me
Ma
Ha
a
G
G
a
C
C
A
=
c
Mc
dia
na
=
b
¬Ha Hb Hc órtico del ¬ABC
¬ Ma Mb Mc complementario del ¬ ABC
B
VERIFICACIONES
1. Construir el TRIÁNGULO ABC, rectángulo en A, dado el lado AB = c = 40 mm. y la
mediana ma = 35 mm.
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
DATOS:
2. Construir el TRIÁNGULO ESCALENO ABC , dada la altura ha = 35 mm., la mediana
ma = 44 mm. y el radio de la circunferencia circunscrita r = 30 mm.
TRIÁNGULO ESCALENO
AB = c = 40 mm.
ma = 35 mm.
DATOS:
ha = 35 mm.
ma = 44 mm.
r = 30 mm.
p
ha
A
A
B
c
80
q
VERIFICACIONES
1. Construir el TRIÁNGULO
TRIÁNGULOABC,
ABCrectángulo
, rectánguloenenA,Adado
, dado
el el
lado
lado
ABAB
= c==c 40
= 40
mm.
mm.
y la
y
= 35
35 mm.
mediana
la mediana
mam
a = mm.
2. Construir el TRIÁNGULO
TRIÁNGULO ESCALENO
ESCALENOABC
ABC,
, dada
dadala
laaltura
altura hhaa==35
35mm.,
mm., la
la mediana
44mm.
mm.yyelelradio
radiode
delalacircunferencia
circunferenciacircunscrita
circunscrita
r =r 30
= 30
mm.
mm.
m
maa== 44
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
DATOS:
TRIÁNGULO ESCALENO
AB = c = 40 mm.
ma = 35 mm.
DATOS:
ha = 35 mm.
ma = 44 mm.
r = 30 mm.
C
ê
na
A
p
r
A
Ma
p
ma
Mc
=
A
ha
ma
nc
A
O
ha
ê
ma
B
q
Ma
B
C
=
q
B
a
c
COMENTARIO
- El punto Ma de la hipotenusa a (desconocida) se proyecta
sobre el cateto AB = c en su punto medio Mc .
COMENTARIO
- Se trazan dos rectas paralelas p y q distantes ha.
- Por ello, Ma se encontrará en el punto intersección de
la mediatriz de AB ( nc ) y la mediana ma.
- A continuación, desde un punto A, de una de ellas, se traza
el arco de radio ma que corta a la recta q en Ma (punto medio
del lado BC por definir).
- Una vez determinado el punto Ma , se une con B prolongando la recta hasta cortar en el punto C al cateto perpendicular al AB.
- Con centro en A y radio r se obtiene el centro O de la
circunferencia circunscrita, situado en la mediatriz del lado a
que nace en Ma.
- La intersección de la circunferencia circunscrita con la recta q,
determina los otros dos vértices B y C del triángulo solución.
80
1
CONSTRUCCIÓN Y RELACIONES MÉTRICAS EN LOS CUADRILÁTEROS
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA
POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS
Construye, dejando patentes los TRAZADOS AUXILIARES correspondientes, los siguientes CUADRILÁTEROS:
1. CUADRADO, dada la magnitud de la diagonal d = 50 mm.
5. TRAPECIO ISÓSCELES, conociendo la diagonal d, la diferencia entre
2. RECTÁNGULO, teniendo como datos el lado a y la diagonal d.
3. RECTÁNGULO, teniendo como datos el lado a y la suma de la
diagonal y el otro lado paralelo ( b + d ).
4. ROMBO, dada la distancia h entre lados opuestos y la diagonal
mayor d1.
1
CUADRADO
DATOS:
2
d = 50 mm.
nombre y apellidos
sus bases ( a - b) y el ángulo en A. El ejercicio se resuelve aplicando
la primera consideración geométrica vista en la teoría.
6. PARALELOGRAMO ROMBOIDE, de base 44 mm. y diagonales de
nº
valores 60 y 70 mm. Para resolver el ejercicio, debes de tener en
cuenta la segunda de las consideraciones geométricas vistas en la
parte teórica de esta lección.
RECTÁNGULO
DATOS:
3
a = 40 mm.
d = 65 mm.
curso/grupo
RECTÁNGULO
fecha
a = 50 mm.
DATOS:
b + d = 88 mm.
D
C
a
d
A
A
B
a
4
ROMBO
DATOS:
h = 35 mm.
d1 = 70 mm.
5
TRAPECIO ISÓSCELES
DATOS:
A
b+d
6
d = 70 mm.
a - b = 24 mm.
ROMBOIDE
DATOS:
a = 44 mm.
d1 = 60 mm.
d2 = 70 mm.
© A = 75°
75°
A
h
A
A
a-b
B
a
2
3
23
1
CONSTRUCCIÓN Y RELACIONES MÉTRICAS EN LOS CUADRILÁTEROS
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA
POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS
Construye, dejando patentes los TRAZADOS AUXILIARES correspondientes, los siguientes CUADRILÁTEROS:
1. CUADRADO, dada la magnitud de la diagonal d = 50 mm.
5. TRAPECIO ISÓSCELES, conociendo la diagonal d, la diferencia entre
2. RECTÁNGULO, teniendo como datos el lado a y la diagonal d.
3. RECTÁNGULO, teniendo como datos el lado a y la suma de la
diagonal y el otro lado paralelo ( b + d ).
4. ROMBO, dada la distancia h entre lados opuestos y la diagonal
mayor d1.
1
CUADRADO
DATOS:
2
d = 50 mm.
6. PARALELOGRAMO ROMBOIDE, de base 44 mm. y diagonales de
nº
valores 60 y 70 mm. Para resolver el ejercicio, debes de tener en
cuenta la segunda de las consideraciones geométricas vistas en la
parte teórica de esta lección.
DATOS:
D
D
3
a = 40 mm.
d = 65 mm.
C
3
23
nombre y apellidos
sus bases ( a - b) y el ángulo en A. El ejercicio se resuelve aplicando
la primera consideración geométrica vista en la teoría.
RECTÁNGULO
2
curso/grupo
RECTÁNGULO
D
fecha
a = 50 mm.
DATOS:
b + d = 88 mm.
C
α
b
d
C
d
a
d
A
O
A
B
α
B
A
a
B
b
E
d
b+d
b+d
ROMBO
DATOS:
h = 35 mm.
d1 = 70 mm.
5
TRAPECIO ISÓSCELES
DATOS:
6
d = 70 mm.
a - b = 24 mm.
ROMBOIDE
DATOS:
a = 44 mm.
d1 = 60 mm.
d2 = 70 mm.
© A = 75°
C
b
D
C
a
C
1
D
d
d1
D
d2
4
d
B
75°
A
h
A
a-b
A’
B
a
A
B
a
E
a
VERIFICACIONES
1. Construir un PARALELOGRAMO RECTÁNGULO conocida su diagonal d = 65 mm. y
la suma de sus lados: a + b = 90 mm.
PARALELOGRAMO RECTÁNGULO
DATOS:
d = 65 mm.
2. Construir un TRAPECIO, conocidos sus lados paralelos a y b y el valor de los otros dos
c y d. Aplicar la CONSIDERACIÓN GEOMÉTRICA del apartado teórico 3.4.1.
TRAPECIO ESCALENO
a + b = 90 mm.
DATOS:
Bases: a = 55 mm. y b = 35 mm.
Lados: c = 40 mm. y d = 50 mm.
A
a+b
82
B
a
VERIFICACIONES
1. Construir un PARALELOGRAMO
PARALELOGRAMO RECTÁNGULO
RECTÁNGULOconocida
conocidasusudiagonal
diagonaldd= =6565mm.
mm.y
y
lala
suma
suma
dede
sussus
lados:
lados:
a +ab+=b90
= 90
mm.
mm.
PARALELOGRAMO RECTÁNGULO
DATOS:
2.
2. Construir
Construirun
unTRAPECIO,
TRAPECIO, conocidos
conocidossus
suslados
ladosparalelos
paralelosaayybbyyel
elvalor
valorde
delos
losotros
otrosdos
dos
cc yy d.
d. Aplicar
Aplicarla
laCONSIDERACIÓN
CONSIDERACIÓN GEOMÉTRICA
GEOMÉTRICAdel
delapartado
apartadoteórico
teórico 3.4.1.
3.4 .1.
TRAPECIO ESCALENO
d = 65 mm.
DATOS:
a + b = 90 mm.
A2
Bases: a = 55 mm. y b = 35 mm.
Lados: c = 40 mm. y d = 50 mm.
D2
b
65
D
d
A1
C
D1
d
d
50
40
d
c
B / 2 = 45°
E
B1
B2
a+b
82
C
A
B
a-b
a
1
MESA DE PING - PONG
Las ilustraciones muestran las dimensiones de una MESA REGLAMENTARIA DE PING-PONG, plegable mediante barras articuladas en los
puntos A, B, C, D y sus simétricos.
Para facilitar la posición de los datos, se dan situados algunos de ellos.
Tan solo debes continuar razonando y dibujando el resto de las posiciones que conforman la representación. Deja constancia de las construcciones auxiliares.
15
2
25
En posición DESPLEGADA las CUATRO PATAS de las esquinas deben
quedar VERTICALES, y en posición PLEGADA, la DISTANCIA entre
los semiplanos verticales de los tableros debe de ser de 12 cm., la ANCHURA entre extremos de patas plegadas 50 cm. y la ALTURA total
180 cm., quedando la barra AD en posición vertical.
A la vista de las DIMENSIONES ACOTADAS, representa gráficamente,
a escala 1 / 10, la POSICIÓN del NUDO o ARTICULACIÓN A (magnitudes x, z ) y la POSICIÓN que adoptan las BARRAS cuando la mesa
se encuentra DESPLEGADA y PLEGADA.
24
2
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA
POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS
3
nombre y apellidos
nº
curso/grupo
fecha
12
27
4
76
C
SOLUCIÓN
X=
cm.
Z=
cm.
25
B
C
A
X
D
25
z
180
MESA DE PING-PONG
DESPLEGADA
25
50
B
C’
12
180
C
D
76
D
B
A
z
25
X
76
D’
PLEGADO DE LA MESA
e = 1 / 10
1
MESA DE PING - PONG
Las ilustraciones muestran las dimensiones de una MESA REGLAMENTARIA DE PING-PONG, plegable mediante barras articuladas en los
puntos A, B, C, D y sus simétricos.
En posición DESPLEGADA las CUATRO PATAS de las esquinas deben
quedar VERTICALES, y en posición PLEGADA, la DISTANCIA entre
los semiplanos verticales de los tableros debe de ser de 12 cm., la ANCHURA entre extremos de patas plegadas 50 cm. y la ALTURA total
180 cm., quedando la barra AD en posición vertical.
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA
POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS
A la vista de las DIMENSIONES ACOTADAS, representa gráficamente,
a escala 1 / 10, la POSICIÓN del NUDO o ARTICULACIÓN A (magnitudes x, z ) y la POSICIÓN que adoptan las BARRAS cuando la mesa
se encuentra DESPLEGADA y PLEGADA.
24
2
3
nombre y apellidos
Para facilitar la posición de los datos, se dan situados algunos de ellos.
Tan solo debes continuar razonando y dibujando el resto de las posiciones que conforman la representación. Deja constancia de las construcciones auxiliares.
nº
curso/grupo
fecha
15
2
N
27
4
15
2
25
25
50
12
76
76
27
4
51
C
76
C
SOLUCIÓN
25
B
XX==
38 cm.cm.
ZZ==
cm.
12,5 cm.
C
A
2
D 5
z
C
MESA DE PING-PONG
DESPLEGADA
X
180 - 76 - 25 = 79
B
25
X
D
z
25
50
MESA DE PING-PONG
DESPLEGADA
274 / 2 = 137
A
180
180
C
D
C’1
180
12
N’1
´
DD
to
en
m
51
eg
ls
76
M
N’
D’1
de
33
D
D
C’ C’
iz
z
B’
tr
B
T’1
α
α
El punto o articulación B queda definido por la diferencia de cotas entre la
altura total del punto N (180 cm.) y la altura del tablero cuando la mesa está
abierta (76DE
cm.).
que dimensiona a la barra BC con 79 cm. (180 - 76 - 25).
PLEGADO
LA Lo
MESA
La articulación en A se encontrará en un punto de la barra vertical que arranca
de D y encuentra a la mediatriz del segmento DD´, y que es el centro de giro
que lleva el punto D (cuando la mesa está plegada) a D´ (con la mesa abierta).
Obsérvese, asimismo, cómo la barra DA resulta ser la mediatriz del segmento
que une la articulación B con su posición B´ (mesa desplegada).
D’
43
76
Se comienza por situar, de acuerdo a las dimensiones acotadas en el enunciado,
la posición del semitablero de la mesa (NM) y la situación de la articulación C
en posición vertical (cerrada) ; así como su posición horizontal (desplegada): el
A con la articulación en D´.
semitablero M´N´ y la Xpata C´T´
z
25
PLEGADO DE LA MESA
A
C
76
180
X
T
B
ia
B
B
ed
12
M’
M
D
Mediatriz del segmento BB´
D
50
M’1
COMENTARIO
25
25
79
A
12,5
T’
38
e = 1 / 10
VERIFICACIONES
1. Reproducir, a escala natural, la TETERA del modelo que muestra su vista FRONTAL.
2. Construir, dejando patentes los trazados auxiliares correspondientes, un PARALELOGRAMO, dados sus lados a y b, y la DIFERENCIA de sus ÁNGULOS.
ROMBOIDE
a = 50 mm.
b = 60 mm.
DATOS:
14
α - β = 30°
45°
30°
60°
1
14
30
TETERA
A
B
a
e :1/1
84
VERIFICACIONES
1. Reproducir,
Reproducir, aa escala
escala natural,
natural,la
laTETERA
TETERA del
del modelo
modeloque
quemuestra
muestrasu
suvista
vista FRONTAL.
FRONTAL.
2. Construir,
Construir, dejando
dejando patentes
patenteslos
lostrazados
trazadosauxiliares
auxiliarescorrespondientes,
correspondientes,
unun
PARALELOPARALEGRAMO,
LOGRAMO,
dados
dados
sus sus
lados
lados
a y b,
a yy b,
la DIFERENCIA
y la DIFERENCIA
de susde
ÁNGULOS.
sus ÁNGULOS.
ROMBOIDE
a = 50 mm.
b = 60 mm.
DATOS:
14
α - β = 30°
45°
30°
60°
a
D
C
1
14
30
TETERA
b
b
α = 105°
β = 75°
A
B
a
DESARROLLO
Se verifica que:
α + β = 180°
α - β = 30°
2α
= 210°
105° + β = 180°
e :1/1
84
α = 105°
β = 75°
1
GÉNESIS Y GEOMETRÍA DE FORMAS POLIGONALES
1. Las figuras representan la perspectiva y el esquema de una SILLA 2. Una relación métrica entre PENTÁGONO y DECÁGONO REGULARES
ARTICULADA en los puntos A, B y O, compuesta por listoncillos de
madera. Abierta y apoyada en el suelo, el ASIENTO (AB) con una profundidad de 40 cm. queda en posición horizontal y la DISTANCIA (CD)
entre las bases de las patas es de 50 cm. Asimismo, las PATAS AC y
BD poseen una magnitud de 70 cm. y 80 cm. respectivamente.
origina la composición del esquema adjunto. Traza la figura descrita,
sabiendo que el LADO de ambos polígonos es 25 mm.
SILLA ARTICULADA
Dibujar, sobre la misma figura, los OCTÓGONOS REGULARES que
verifican, respectivamente:
- Que los vértices del cuadrado sean también vértices del OCTÓGONO.
- Que todos sus VÉRTICES estén situados en los lados del cuadrado.
AB = 40 cm. ; CD = 50 cm.
DATOS:
nombre y apellidos
3. Dado un cuadrado de centro O y lado 40 2 mm., se pide:
Dibuja, a escala 1 / 10, el ESQUEMA DE LA SILLA, indicando la POSICIÓN del punto O donde deben articularse las patas.
1
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA
POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS
nº
curso/grupo
fecha
2
AC = 70 cm. ; BD = 80 cm.
A
B
A
O
PERSPECTIVA
ESQUEMA
DE ANÁLISIS
C
D
B
ESQUEMA
A
3
O
D
C
50
e: 1/10
B
2
3
25
1
GÉNESIS Y GEOMETRÍA DE FORMAS POLIGONALES
1. Las figuras representan la perspectiva y el esquema de una SILLA 2. Una relación métrica entre PENTÁGONO y DECÁGONO REGULARES
ARTICULADA en los puntos A, B y O, compuesta por listoncillos de
madera. Abierta y apoyada en el suelo, el ASIENTO (AB) con una profundidad de 40 cm. queda en posición horizontal y la DISTANCIA (CD)
entre las bases de las patas es de 50 cm. Asimismo, las PATAS AC y
BD poseen una magnitud de 70 cm. y 80 cm. respectivamente.
origina la composición del esquema adjunto. Traza la figura descrita,
sabiendo que el LADO de ambos polígonos es 25 mm.
SILLA ARTICULADA
Dibujar, sobre la misma figura, los OCTÓGONOS REGULARES que
verifican, respectivamente:
- Que los vértices del cuadrado sean también vértices del OCTÓGONO.
- Que todos sus VÉRTICES estén situados en los lados del cuadrado.
25
nombre y apellidos
nº
curso/grupo
fecha
2
AB = 40 cm. ; CD = 50 cm.
DATOS:
3
3. Dado un cuadrado de centro O y lado 40 2 mm., se pide:
Dibuja, a escala 1 / 10, el ESQUEMA DE LA SILLA, indicando la POSICIÓN del punto O donde deben articularse las patas.
1
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA
POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS
2
AC = 70 cm. ; BD = 80 cm.
A
B
D
A
O
ESQUEMA
DE ANÁLISIS
C
D
B
C
E
PERSPECTIVA
ESQUEMA
AA
40
B
A
3
BB
G
40
2
70
C
D
O
40
80
45°
F
O
O
H
C
D
50
D
DESARROLLO DE LA CONSTRUCCIÓN
40
COMENTARIO
E
40
C
e: 1/10
- El cuadrilátero ABDC50
es un trapecio escaleno del que se conocen sus dos diagonales (AC
y BD) y la magnitud de los lados paralelos ( AB y CD ).
- Se comienza por construir el ¬ BDE de lados dados.
- Por B se traza una paralela al plano del suelo (CD) y se lleva la dimensión AB, o bien la
e: 1/10
paralela a BE, por C (AC). Los vértices A, B, C y D determinan el cuadrilátero.
- El punto O (articulación de las patas), se encuentra en la intersección de las diagonales.
B
A
E
- La circunferencia circunscrita al cuadrado ABCD (de lado 40 2 mm.)
también lo es del octógono solución, cuyos vértices alternos son los
del cuadrado. Éstos quedan situados
en la intersección con los otros dos
ejes de simetría del cuadrado.
- El giro de 45°, respecto al centro O,
sitúa al cuadrado base ABCD en la
posición EFGH. La intersección de
ambos determina el octógono pedido
(circunscrito a la circunferencia de
diámetro el lado del cuadrado).
VERIFICACIONES
1. Sobre una MESA DE BILLAR CIRCULAR de diámetro 80 cm., se sitúa una bola a 25 cm. de su centro. Dibujar, a escala 1/10, la TRAYECTORIA DE LA BOLA para
que, sin pasar por el centro O de la mesa, después de CINCO REBOTES en la banda circular, vuelva a pasar por la POSICIÓN INICIAL.
O
e: 1/10
2. Construir uno de los POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS, inscritos en las CIRCUNFERENCIAS dadas, seleccionando entre los que se relacionan:
- ENEÁGONOS de pasos (especies): p = 2 ó p = 4.
- DECÁGONO de paso (especie):
p = 3.
- DODECÁGONO de paso (especie): p = 5.
86
VERIFICACIONES
1. Sobre una MESA
MESA DE
DEBILLAR
BILLARCIRCULAR
CIRCULAR
dede
diámetro
diámetro
8080
cm.,
cm.,
se se
sitúa
sitúa
una
una
bola
bola
a 25
a 25
cm.cm.
de de
su su
centro.
centro.
Dibujar,
Dibujar,
a escala
a escala
1/10,
1/10,
la TRAYECTORIA
la TRAYECTORIA
DE LA
DEBOLA
LA BOLA
para
que, sin
para
que,
pasar
sin pasar
por elpor
centro
el centro
O de O
la de
mesa,
la mesa,
después
después
de CINCO
de CINCO
REBOTES
REBOTES
en la banda
en la banda
circular,circular,
vuelva vuelva
a pasarapor
pasar
la POSICIÓN
por la POSICIÓN
INICIAL.INICIAL.
O
O
α
P
CONSTRUCCIÓN
β
La trayectoria de la bola será la que marca un pentágono regular estrellado.
P
Respecto a la normal a la circunferencia, el ángulo de
incidencia ( α ) de la bola sobre la banda ha de ser
igual al ángulo de reflexión ( β ).
Como punto (P) de partida puede considerarse cualquiera de los pertenecientes a la circunferencia concéntrica a la banda circular de la mesa, de radio OP.
e: 1/10
2. Construir uno de los
los POLÍGONOS
POLÍGONOSREGULARES
REGULARES
ESTRELLADOS,
ESTRELLADOS,
inscritos
inscritos
en las
en CIRCUNFERENCIAS
las CIRCUNFERENCIAS
dadas,
dadas
seleccionando
seleccionando
entreentre
los que
los se
que
relacionan:
se relacionan:
- ENEÁGONOS
ENEÁGONOS de
depasos
pasos(especies):
(especies): pp= =2 2 ó ó p p= =4.4.
- DECÁGONO
DECÁGONO de
depaso
paso(especie):
(especie):
pp= =3.3.
- DODECÁGONO
DODECÁGONO de
depaso
paso(especie):
(especie): pp= =5.5.
ENEÁGONO p = 2
86
ENEÁGONO p = 4
DECÁGONO p = 3
DODECÁGONO p = 5
1
LACERÍA ESTILO ÁRABE
El motivo decorativo que se acompaña es una representación parcial de una LACERÍA de ESTILO ÁRABE. Su geometría nace del ROSETÓN central con simetría radial (6 ejes), constituída por dos HEXÁGONOS REGULARES, homotéticos y concéntricos. El mayor contiene a los centros de las circunferencias tangentes entre sí y entrelazadas que conforman un nuevo HEXÁGONO DE LADOS CURVOS, muy propio de la decoración arquitectónica árabe.
El HEXÁGONO CONCÉNTRICO y semejante al mayor es la parte común de dos triángulos equiláteros idénticos enfrentados, que dibujan una ESTRELLA
HEXAGONAL. La prolongación de los encintados triangulares dan continuidad a una lacería de gran belleza y fácil análisis compositivo, que se conjugan en las
esquinas con otros hexágonos estrellados y entrelazados más pequeños. La ANCHURA del cinteado es CONSTANTE e igual a la distancia entre lados semejantes
de los hexágonos convexos, base central del dibujo.
Se trata de que reproduzcas, con toda precisión y a ESCALA NATURAL, el dibujo de CINTEADOS que conforman el ROSETÓN CENTRAL, delimitado por el
HEXÁGONO REGULAR CURVILÍNEO.
DATOS: lado del hexágono mayor 45 mm. y anchura de la cinta 5 mm.
45
5
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA
POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS
nombre y apellidos
nº
curso/grupo
fecha
2
3
26
1
LACERÍA ESTILO ÁRABE
El motivo decorativo que se acompaña es una representación parcial de una LACERÍA de ESTILO ÁRABE. Su geometría nace del ROSETÓN central con simetría radial (6 ejes), constituída por dos HEXÁGONOS REGULARES, homotéticos y concéntricos. El mayor contiene a los centros de las circunferencias tangentes entre sí y entrelazadas que conforman un nuevo HEXÁGONO DE LADOS CURVOS, muy propio de la decoración arquitectónica árabe.
El HEXÁGONO CONCÉNTRICO y semejante al mayor es la parte común de dos triángulos equiláteros idénticos enfrentados, que dibujan una ESTRELLA
HEXAGONAL. La prolongación de los encintados triangulares dan continuidad a una lacería de gran belleza y fácil análisis compositivo, que se conjugan en las
esquinas con otros hexágonos estrellados y entrelazados más pequeños. La ANCHURA del cinteado es CONSTANTE e igual a la distancia entre lados semejantes
de los hexágonos convexos, base central del dibujo.
Se trata de que reproduzcas, con toda precisión y a ESCALA NATURAL, el dibujo de CINTEADOS que conforman el ROSETÓN CENTRAL, delimitado por el
HEXÁGONO REGULAR CURVILÍNEO.
DATOS: lado del hexágono mayor 45 mm. y anchura de la cinta 5 mm.
45
5
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA
POLÍGONOS. RELACIONES MÉTRICAS
nombre y apellidos
nº
curso/grupo
fecha
2
3
26