CALCULO_I - Tecnológico David Ausubel

INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
“DAVID AUSUBEL”
SEMIPRESENCIAL
TECNOLOGÍA EN: INFORMÁTICA
CÁLCULO I
GUÍA DIDÁCTICA
AUTOR DEL MÓDULO
ING. IVÁN VILLAMAR S.
NIVEL
2 do. NIVEL
QUITO - ECUADOR
El Obstáculo en el Camino
Una piedra en el camino... Un obstáculo que resolver... Una
lección para aprender...
Hace mucho tiempo, un rey colocó una gran roca obstaculizando un camino.
Entonces, se escondió y miró para ver si alguien quitaba la tremenda roca.
Algunos de los comerciantes más adinerados del rey y cortesanos vinieron y
simplemente le dieron una vuelta.
Muchos culparon al rey ruidosamente de no mantener los caminos despejados, pero
ninguno hizo algo para sacar la piedra grande del camino.
Entonces un campesino vino, y llevaba una carga de verduras. Al aproximarse a la
roca, el campesino puso su carga en el piso y trato de mover la roca a un lado del
camino. Después de empujar y fatigarse mucho, lo logró.
Mientras recogía su carga de vegetales, el notó una cartera en el piso, justo donde
había estado la roca. La cartera contenía muchas monedas de oro y una nota del
mismo rey indicando que el oro era para la persona que removiera la piedra del
camino.
El campesino aprendió lo que los otros nunca entendieron. Cada obstáculo presenta
una oportunidad para mejorar la condición de uno.
El consejo de la historia:
¡Mira cada obstáculo como algo que debe ser resuelto!
ÍNDICE
Capitulo 1: CONTINUIDAD
1.1
Definición
1.2
Continuidad
1.3
Teoremas sobre continuidad
1.4
Continuidad uniforme
1.5
Funciones casi continuas
Capitulo 2: DERIVADAS
2.1
Definiciones básicas
2.2
Interpretación geométrica
2.3
Regla general para derivar funciones
2.4
Derivadas de funciones algebraicas
2.5
Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales
2.6
Derivadas de funciones compuestas
2.7
Derivadas de funciones inversas
Capitulo 3: DERIVACIÓN IMPLÍCITA
3.1
Derivadas sucesivas de una función
3.2
Derivadas de funciones implícitas
3.3
Derivadas Superiores
Capitulo 4: APLICACIONES DE LA DERIVADA
4.1
Máximos y mínimos
4.2
Funciones crecientes y decrecientes
4.3
Puntos de inflexión (concavidad)
4.4
Graficación de funciones y construcción de curvas
INTRODUCCIÓN
El Cálculo diferencial es una rama de la Matemática muy utilizada para la resolución de
problemas prácticos que se presentan con frecuencia en la vida cotidiana. Es
indispensable que los interesados en incursionar en este estudio tengan las nociones
fundamentales del algebra, geometría analítica y trigonometría. Por otro lado es necesario
que el alumno este familiarizado con el manejo de los números reales y haya adquirido
cierta práctica en la realización de operaciones elementales tanto de igualdad como de
desigualdad.
Si usted como estudiante desea aprender esta asignatura es fundamental que se le
dedique el tiempo necesario todos los días, para que exista una asimilación correcta de los
contenidos.
La guía esta estructurada en cuatro capítulos que permitirán una mejor compresión de los
conceptos necesarios para dominar la asignatura.
OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES

Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la determinación del la
continuidad de una función.

Aplicar el concepto de la derivada en la diferenciación de funciones.

Utilizar y aplicar la derivada de una función en la resolución de problemas
prácticos.
OBJETIVOS POR UNIDADES

Determinar la continuidad o discontinuidad de una función.

Resolver problemas relativos a la pendiente, recta tangente, diferenciabilidad y
continuidad de una función.

Aplicar los teoremas de la diferenciabilidad de funciones algebraicas en la
resolución de problemas prácticos.

Calcular las derivadas de funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales y
funciones compuestas.

Utilizar la diferenciación sucesiva y la diferenciación implícita en la resolución de
problemas.

Resolver problemas relacionados con diferenciales y aproximaciones.

Calcular los máximos y mínimos de una función.

Determinar la monotonía y concavidad de una función.

Construir la gráfica de una función mediante las técnicas de análisis matemático.
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
El triunfo o fracaso de una clase depende del maestro, figura principal en el aula, por lo
que conviene tener presente métodos, procedimientos, recursos, la evaluación, etc.,
elementos que nos permiten mantener el equilibrio necesario en el proceso enseñanza –
aprendizaje, evitando la rutina, monotonía y el cansancio de los alumnos, pero de esto se
puede hablar en una clase presencial, pero hablar de Usted señor estudiante, el proceso es
diferente, se trata de una conversación didáctica guiada, la conversación entre Usted y Yo,
por lo tanto se trata de una educación individualizada, donde el protagonista principal es
Usted que tomó la decisión de estudiar en este sistema y donde debe tener presente las
características de su decisión que son:
La acción es importante porque tiene implicaciones para el futuro.
Las acciones que tome son importantes porque tienen efectos sobre las personas que le
rodean.
La decisión que tomó por estudiar y por continuar tiene un valor elevado para Usted,
aunque para otros puede ser nulo, pero por satisfacción personal estudie y cumpla con las
sugerencias que se le da.
Pero si generalmente, deberá organizar su tiempo para estudiar y presentarse a las
tutorías y evaluaciones, a fin de que pueda compartir la responsabilidad de su trabajo en
caso de tenerlo actualmente y el de estudiar.
Señor estudiante es muy importante que comprenda, que las jornadas de tutoría sirven
para despejar dudas acerca de lo que usted ya ha estudiado con la anticipación necesaria,
no espere que durante dichas jornadas se enseñe toda la materia que abarca el módulo.
Es su responsabilidad el llegar preparado a las tutorías.
La primera evaluación semi presencial deberá ser entregada al final de la segunda jornada
de tutoría, y la segunda evaluación semi presencial al final de la tercera jornada de tutoría.
CAPITULO 1
CONTINUIDAD
Definición: Sea f definida en un intervalo abierto que contiene a c. Decimos que f es
continua en c si:
lim f x = f c
x
c
TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD
A. Continuidad de funciones polinomiales y racionales
Una función polinomial es continua en todo número real c. Una función racional es
continua en todo número real c en su dominio, esto es, en todas partes excepto en
donde el denominador es cero.
B. Continuidad de las funciones valor absoluto y raíz n-ésima
La función valor absoluto es continua en todo valor real c. Si n es impar la función raíz
n-ésima es continua en todo valor real c; si n es par, la raíz n-ésima es continua en todo
valor positivo real c.
C. Continuidad de funciones trigonométricas
Las funciones seno y coseno son continuas en todo número real c. Las funciones tan,
ctan, csc, sec, son continuas en todo número real c en sus dominio.
D. Teorema del valor medio
Si f es una función definida en un intervalo [ a , b ] y sea W un número entre f(a)
y f(b). Si f es continua en [ a , b ], entonces existe al menos un número c
entre a y b tal que f(c) = W
Ejemplos:
Determinar la continuidad de las siguientes funciones:
a.
f x = x 2 2x− 5
Por ser polinomial es continua en todos los números reales.
b.
f x =
1
x− 1
Como se trata de una función racional se puede notar que si x = 1 el denominador se
hace cero y por lo tanto existiría una indeterminación, entonces es continua entonos
los números reales excepto en 1.
c. f x =
x 2 2x− 3
x 3
Como podemos observar si x = -3 en el denominador la función no existe, por lo tanto
podríamos decir que la función es discontinua todos los números reales excepto en -3;
pero si facturamos el numerador y simplificamos.
f x =
x 3 x− 1
= x− 1
x 3
Podemos concluir que la función es polinomial y por lo tanto es continua en todos los
reales (El factoreo es de mucha ayuda en las funciones polinomiales)
CONTINUIDAD UNIFORME
Las funciones polinomiales, valor absoluto, sen (x) y cos (x), son continuas de forma
uniforme.
FUNCIONES CASI CONTINUAS
Cualquier otra función que no sean las nombradas anteriormente son casi continuas, ya
que tienen por lo meno un número real donde la función no existe.
AUTO EVALUACIÓN Nro 1
Determinar la continuidad de las siguientes funciones:
2
a. f x = − 3x 6x− 52
x 3
b. f x = x− 4
c. f x =
x 5
5
d. f x = − x 4
e. f x =
f. f x =
g. f x =
CAPITULO 2
x 2− 4
x 2
x 2− 4x 4
x− 2
x 2− 5x 6
x− 3
DERIVADAS
DEFINICIÓN BÁSICA E INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
En matemática, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del
cálculo.
Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme se
van aproximando a la recta tangente.
La derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función
cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos
matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas
de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica
de dicha función en el punto dado; dichas tangentes pueden ser aproximadas por una secante
que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea obtener la tangente.
Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical (la cual
tiene una pendiente infinita), una discontinuidad o bien un pico.
La Diferenciación puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado
de otro cambio, si está determinada una relación matemática entre dos objetos.
Una función es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es
diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo.
Si una función no es continua en c, entonces no puede ser diferenciable en c; sin embargo,
aunque una función sea continua en c, puede no ser diferenciable. Es decir, toda función
diferenciable en un punto C es continua en C, pero no toda función continua en C es
diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0).
REGLA GENERAL PARA DERIVAR FUNCIONES
Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo
conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello,
aproximaremos la recta tangente por rectas secantes.
Cuando tomemos el límite de las pendientes de las secantes próximas, obtendremos la
pendiente de la recta tangente.
Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que
llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como
negativo. La pendiente de la recta entre los puntos (x,f(x)) y (x + h,f(x + h)) es:
Esta expresión es un cociente diferencial de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor
del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente:
Si la derivada de f existe en cada punto x, podemos definir la derivada de f como la función
cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x.
Puesto que la inmediata sustitución de h por 0 da como resultado una división por cero,
calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo. Una técnica es simplificar el
numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada. Esto resulta muy sencillo
con funciones poli nómicas, pero para la mayoría de las funciones resulta demasiado
complicado. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan la diferenciación de la
mayoría de las funciones descritas; ver abajo.
Algunos ejemplos de cómo utilizar este cociente:
Ejemplo:
1. Consideremos la siguiente función:
Entonces:
Esta función es constante, para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5).
Nótese el último paso, donde h tiende a cero pero no lo toca. Si pensamos un poco,
observaremos que la derivada además de ser la pendiente de la recta tangente a la curva, es a
la vez, la recta secante a la misma curva.
2. Consideremos la gráfica de
. Esta recta tiene una pendiente igual a 2 en
cada punto. Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de límite, secante, y
tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5:
Entonces:
El valor de la función derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma.
3. Mediante esta diferenciación, se puede calcular la pendiente de una curva. Consideremos
que:
Entonces:
Para cualquier punto x, la pendiente de la función
es
.
NOTACIÓN
La notación más simple para la diferenciación que se utiliza en la actualidad se debe a
Lagrange y utiliza un apóstrofo o comilla: ′. De esta manera se expresan las derivadas
de la función f(x) en el punto x = a, se escribe:
Para la primera derivada,
Para la segunda derivada,
Para la tercera derivada, y luego de forma general,
Para la n-ésima derivada (donde normalmente se da que n > 3).
Para la función cuyo valor en cada x es la derivada de
forma similar, para la segunda derivada de f se escribe
, se escribe
. De
, y así sucesivamente.
La otra notación común para la diferenciación se debe a Leibniz. Para la función cuyo
valor en x es la derivada de f en x, se escribe:
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas:
Si la resultante de f(x) es otra variable, por ejemplo, si y=f(x), se puede escribir la
derivada como:
La notación de Newton para la diferenciación consiste en poner un punto sobre el
nombre de la función:
y así sucesivamente.
La notación de Newton se utiliza principalmente en la mecánica, normalmente para las
derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleración y en la teoría
de ecuaciones diferenciales ordinarias. Normalmente sólo se utilizan para la primera y
segunda derivadas.
Otra notación consiste en colocar una letra 'D' mayúscula para indicar la operación de
diferenciación con un subíndice que indica la variable sobre la que se derivará:
Dxf,
que es equivalente a la expresión:
En ese contexto se considera a la diferenciación como una operación sobre funciones,
de modo que los símbolos
y Dx son llamados operadores diferenciales.
DERIVADAS DE FUNCIONES
NOMBRE
FUNCIÓN
DERIVADA
CONSTANTE
f x =k
f ' x =1
ALGEBRAICA
f x = xn
f ' x = nx n− 1
1
f' x =
x ln a
1
f' x =
x
f x = log a x
LOGARÍTMICA
f x = ln x
EXPONENCIAL
TRIGONOMÉTRICAS
NOMBRE
SUMA o
DIFERENCIA
PRODUCTO
COCIENTE
f x = ax
f ' x = a x ln a
f x = ex
f x = sin x
f ' x = ex
f x = cos x
f ' x = − sin x
f x = tan x
f ' x = sec 2 x
f x = sec x
f ' x = sec x tan x
f x = cot x
f ' x = − csc 2 x
f x = csc x
f ' x = − csc x cot x
f ' x = cos x
FUNCIONES COMPUESTAS
FUNCIÓN
DERIVADA
f x =g x ±h x
f ' x = g ' x ± h' x
f x = g x ∗ h x f ' x = [g ' x ∗ h x
g x
f x =
h x
f' x =
[g '
] [g
x h' x
]
x ∗ h x ]− [g x h ' x
h2 x
]
FUNCIONES INVERSAS
TRIGONOMÉTRICAS
f x = sin − 1 x
f' x =
f x = cos− 1 x
f' x =
f x = tan − 1 x
f'
Derivar las siguientes funciones:
f x = 3x 2 1
f' x = 2 3 x 1
f ' x = 6x 1
b.
f x = − 2x 4 4x 3 x
f ' x = − 8x3 12 x 2 1
c.
f x =
f'
x 1
3x x 2
1 3x x 2 − 3 2x x 1 − x 2− 2x
x =
=
3x x 2 2
3x x 2 2
NOTA: El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante.
AUTO EVALUACIÓN NÚMERO 2
Derivar las siguientes funciones:
5
2
1. f x = 3x − 5x 4
2
4
2. f x = − 4x − 6x 4x
2
3
3. f x = x − x x − 1 (es un producto)
3x 2
4. f x = x 3
5. f x = log 3 x
x
6. f x = e
x
7. f x = 12
CAPITULO Nro 3
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN
1− x 2
−1
1− x 2
1
x =
1 x2
Ejemplos:
a.
1
Regla de la cadena
Definición: Sea y = f(u), u = g(x). si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u =
g(x), entonces la función compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y:
df g x
= f ' g x ∗ g' x
dx
En palabras decimos que: La derivada de una función compuesta es la derivada de la
función exterior evaluada en la función interna por la derivada de la función interna.
DERIVADAS SUPERIORES
Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante,
consisten en derivar la función inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario.
ó
para la n-ésima derivada de f(x) o y respectivamente. Históricamente, esto proviene
del hecho de que, por ejemplo, la tercera derivada es:
que se puede escribir sin mucho rigor como:
Eliminando las llaves nos da la notación que está arriba.
DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS
En la ecuación
4y 2− 3y= x 3− 1
No podemos despejar a y en términos de x. Sin embargo, aún puede ser el caso de que
exista exactamente una y correspondiente a cada x.
Para estos casos se emplea la derivación implícita:
Método 1
2
3
Hallar dy/dx de: 4x y− 3y= x − 1
Podemos despejar explícitamente a y de la ecuación dada como sigue.
4x 2 y− 3y= x 3 − 1
y 4x 2 − 3 = x 3 − 1
x 3− 1
y= 2
4x − 3
Así :
dy 3x 2 4x 2 − 3 − 8x x 3 − 1
=
dx
4x 2 − 3 2
dy 4x 4− 9x 2 8x
=
dx
4x 2 − 3 2
Método 2
2
3
Hallar dy/dx de: 4x y− 3y= x − 1
Igualando las derivadas de los dos lados tenemos:
dy
dy 3
4x 2 y− 3y =
x −1
dx
dx
2
Después de utilizar la regla de la cadena para el producto ( 4x y ) en el primer término
tenemos:
4x 2∗
dy
dx
y∗ 8x− 3
dy
= 3x 2
dx
dy
4x 2 − 3 = 3x 2− 8 xy
dx
dy 3x 2 − 8 xy
=
dx 4x 2− 3
Aunque las respuestas son diferentes se pueden dar cuenta que si despejamos y de la
ecuación original y la sustituyen en la última expresión se tiene el mismo resultado.
El proceso de sustitución se deja para demostración por parte del estudiante.
Ejemplos:
Regla de la cadena
2
a. Si: y= 2x − 4x 1
Hacemos:
u= 2x 2− 4x 1
du
= 4x− 4
dx
60
Hallar dy/dx
y = f (u))
(u = g (x))
(u´= g´(x))
Entonces tenemos:
y= u
60
f(g(x))
Derivando tenemos:
dy
= 60 u
dx
59
du
dx
f´(g(x))* g´(x)
Sustituyendo u y du/dx obtenemos la derivada que buscamos
dy
= 60 2x 2− 4x 1
dx
59
4x 4
Derivación implícita
b. Hallar dy/dx de: y
3
7y= x 3
y 3 7y= x 3
dy 3
dy 3
y 7y =
x
dx
dx
dy
dy
3y 2
7 = 3x 2
dx
dx
dy
3y 2 7 = 3x 2
dx
dy 3x 2
=
dx 3y 2 7
Derivadas de orden superior
7
3
5
2
c. Dado: f x = 3x − 4x 6x 2− x ; hallar sus primeras cuatro derivadas.
7
3
5
2
f x = 3x − 4x 6x 2− x
f ' x = 21 x 6 − 12 x 2 30 x 4 0− 2x 1
f '' x = 126 x 5− 24 x 1 120 x 3 0− 2
f ''' x = 630 x 4− 24 360 x 2 0− 0
f '''' x = 2520 x 3 − 0 720 x 1 0− 0
AUTO EVALUACIÓN Nro 3
Regla de la cadena
1. y= 1 x
15
3
2
2. y= x − 2x 3x 1
2
3. y= sin x 2
11
2
x 1
4. y= 3x− 4
Derivación implícita
1. y
2
x 2= 1
2
2. xy = x− 8
3. x
2
2x 2 y 3 xy= 0
3
2
3
4. 4x 7 xy = 2y
Derivadas de orden superior
Para cada ejercicio encontrar hasta la tercera derivada:
1. y= x
3
3x 2 6x
2. y= 3x 5
3
3x
3. y= 1− x
3
4. y= sin x
CAPITULO 4
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Con frecuencia en la vida nos encontramos con el problema de encontrar la mejor forma de
hacer algo. Para obtener la mayor ganancia al menor precio.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Definición: Supongamos que S, en el dominio de f, contiene el punto c. Decimos que:
a. f(c) es el valor máximo de f en S, si f(c) ≥ f(x) para todo x en S;
b. f(c) es el valor mínimo de f en S, si f(c) ≤ f(x) para todo x en S;
c. f(c) es el valor extremo de f en S, si es un valor máximo o mínimo.
Teorema de existencia de máximo o mínimo
Si f es continua en un intervalo [ a ; b], entonces f alcanza un máximo y un valor
mínimo en ese intervalo.
Teorema de los puntos críticos
Sea f definida en un intervalo I que contiene al punto c, si f(c) es un valor
extremo, entonces c debe ser un punto crítico; es decir, c es alguno de los
siguientes:
a. Un punto frontera de I;
b. Un punto estacionario de f; es decir, un punto en donde f’(c)=0; o
c. Un punto singular de f; esto es, un punto donde f’(c) no existe.
Método para calcular máximos y mínimos de función
Primero: Se halla la primera derivada de la función.
Segundo: Se iguala la primera derivada a cero, y se hallan las raíces reales de la ecuación
resultante. Estas raíces son los valores críticos de la variable.
Tercero: Se consideran los valores críticos uno por uno, y se calculan los signos de la primera
derivada, en primer lugar para un valor poco menor que el valor crítico y luego para un valor
crítico un poco mayor que el, si el valor de la primera derivada es primeramente positivo y
luego negativo hay un máximo en ese valor crítico de la variable; en el caso contrario, tiene un
valor mínimo para el valor crítico considerado.
Ejemplo:
Encuentre los máximos y mínimos de:
f x = − 2x3 3x 2
Derivando f(x) tenemos:
f `' x = − 6x 2 6x
Igualando a cero la primera derivada y hallando las raíces tenemos:
− 6x 2 6x= 0
6x − x 1 = 0
6x= 0
x= 0
− x 1= 0
x= 1
Por lo tanto tenemos dos puntos críticos 0 y 1; con estos puntos hacemos una tabla para
estudiar el comportamiento de la primera derivada:
Por lo que podemos ver existe un mínimo en 0 y un máximo en 1
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES (MONOTONÍA)
Teorema de monotonía
Sea f continua en un intervalo I y derivable en todo punto interior de I.
a. Si f’(x)>0 para todo x interior a I, entonces f es creciente en I,
b. Si f’(x)<0 para todo x interior a I, entonces f es decreciente en I.
Se debe tomar en cuenta que la monotonía se puede estudiar a partir de la tabla utilizada para
encontrar los máximos y mínimo de la función.
Como se puede ver en la tabla a los extremos aumentamos los límites infinitos positivo y
negativo, porque la función se extiende a los dos extremos.
De la tabla podemos concluir que:
De -∞ hasta 0 la función es decreciente por el sigo negativo,
De 0 hasta 1 la función es creciente por el signo positivo;
De 1 hasta ∞ la función es decreciente por el signo negativo.
PUNTOS DE INFLEXIÓN y CONCAVIDAD
Punto de inflexión: Es el punto donde la función cambia de concavidad.
Teorema de concavidad
Sea f dos veces derivables en el intervalo abierto I
a. si f’’(x)>0 para todo x en I, entonces f es cóncava hacia arriba en I.
b. si f’’(x)<0 para todo x en I, entonces f es cóncava hacia abajo o convexa en I.
Partiendo de la función anterior calculamos la segunda derivada:
f `' x = − 6x 2 6x
f '' x = − 12 x 6
Igualando la segunda derivada a cero y hallando las raíces tenemos:
− 12 x 6= 0
1
x=
2
Este es el punto de inflexión de la función estudiada.
Si aumentamos este valor en la tabla de valores anterior tenemos:
CONSTRUCCIÓN DE CURVAS y GRÁFICOS DE FUNCIONES
Una vez conocidos los máximos, mínimos, monotonía y concavidad, es posible esbozar el
gráfico de la función estudiada.
Primero: Debemos hacer una tabla X;Y, donde consten todos los puntos críticos y de inflexión
que han sido hallados en los procesos anteriores.
Segundo: Debemos completar la tabla calculando los valores de Y en la tabla, sustituyendo
cada valor de X en la función original.
Tercero: Ubicar los puntos en el plano cartesiano y esbozar la gráfica tomando en cuenta la
información de la tabla de concavidad.
X
0
1/2
1
Y
0
1/2
1
Nota: Por coincidencia los valores
de x
son iguales a los
de y, en realidad
en la
mayoría de los casos son
diferentes.
AUTO EVALUACIÓN 4
Analice cada uno de las siguientes funciones y determine:
 Máximos y mínimos
 Monotonía
 Puntos de inflexión
 Concavidad
 Gráfica de la función
3
1. f x = x − 1
2
2. f x = x 2x− 3
3
2
3. f x = x 3x − 12
BIBLIOBRAFÍA

PURCELL, VARBERG, RIGDON, 2003, Cálculo Diferencial e Integral, Pearson Prentice
Hall, Ecuador.

GRANVILLE, SMITH, LONGLEY, 1974, Cálculo Diferencial e Integral, Uteha, México.
EVALUACIÓN SEMI PRESENCIAL 1
RECOMENDACIONES:
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas.
Si no recuerda la respuesta de una pregunta, sáltela y conteste las demás
preguntas,no pierda el tiempo en una sola pregunta.
1.
Escriba la letra V o F dentro del paréntesis, según sean verdaderos o
falsos los siguientes enunciados.
A
La derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la
cual una función cambia conforme un argumento se modifica.
(
)
B
Una función polinomial es discontinua en todo número real c. Una función
racional es continua en todo número real c en su dominio, esto es, en todas
partes excepto en donde el denominador es cero
(
)
C
Las funciones polinomiales, valor absoluto, sen (x) y cos (x), son casi continuas.
(
)
D
Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas
secantes conforme se van aproximando a la recta tangente.
(
)
E
La notación común para la diferenciación se debe a Newton. Para la
función cuyo valor en x es la derivada de f en x, se escribe:
(
)
F
La derivada del sen x es el cos x
(
)
2.
Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta correcta.
A. La derivada de x2
(
) -2x
(
) 2x+1
(
) 2x
B. La derivada de ex es:
(
) ex
(
) -ex
(
)1
3
C. La función f x = x 4x 1 es :
(
) continua en todo su dominio
(
) Poco continua
(
) Casi continua
x 3
D. La función f x = x− 4 es continua en todo su dominio excepto
3.
(
) -4
(
) x
(
) 4
Resuelva los siguientes ejercicios.
A. Determinar la continuidad de las siguientes funciones:
3
a. f x = 2x − 4x x
x− 3
b. f x = x 14
d. f x =
3
x 3
e. f x =
x 2− 9
x− 3
f. f x =
x 2 x− 56
x− 7
B. Derivar las siguientes funciones:
5
2
1. f x = − 2x − 3x 4x 4
2
7
2. f x = − x 16 x 5x
3
2
3. f x = x − 4 x − 3x
3x 2 4
4. f x = 2x 4
5. f x = log 5 x
x
6. f x = e
x
7. f x = 56
EVALUACIÓN SEMI PRESENCIAL 2
RECOMENDACIONES:
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas.
Si no recuerda la respuesta de una pregunta, sáltela y conteste las demás
preguntas,no pierda el tiempo en una sola pregunta.
1.
Escriba la letra V o F dentro del paréntesis, según sean verdaderos o
falsos los siguientes enunciados.
A
La derivación implícita no es necesaria ya que toda función es
fácilmente derivable
(
)
B
La derivada de una función compuesta es la derivada de la función exterior
evaluada en la función interna por la derivada de la función interna.
(
)
Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en
adelante, consisten en derivar la función inmediatamente anterior cuantas veces
sea necesario.
Supongamos que S, en el dominio de f, contiene el punto c. Decimos que:
f(c) es el valor mínimo de f en S, si f(c) ≥ f(x) para todo x en S.
(
)
(
)
(
)
F
Si f es continua en un intervalo [ a ; b], entonces f no alcanza un máximo
y un valor mínimo en ese intervalo.
Si f’(x)>0 para todo x interior a I, entonces f es creciente en I.
(
)
G
si f’’(x)<0 para todo x en I, entonces f es cóncava hacia arriba en I.
(
)
H
Punto de inflexión es el punto donde la función cambia de concavidad.
(
)
C
D
E
2. Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta correcta
a. La función f(x) = x2 tiene un mínimo en:
(
)
1
(
)
2
(
)
0
b. Según la tabla siguiente la función estudiada es decreciente en el intervalo:
(
)
Desde -∞ hasta -1
(
)
Desde -1 hasta 1
(
)
Desde 1 hasta 2
c. mirando la siguiente tabla la función estudiada es:
(
)
Cóncava
(
)
Convexa
(
)
Constante
d. Mirando la tabla del literal c, 1 es un punto:
(
)
Máximo
(
)
Diferenciable
(
)
Mínimo
3. Analice cada uno de las siguientes funciones y determine:
 Máximos y mínimos
 Monotonía
 Puntos de inflexión
 Concavidad
 Gráfica de la función
3
1. f x = x − 2x 1
2
2. f x = x − 2x− 8
3
2
3. f x = − x 2x x