Integración

Capı́tulo 5
Integración
1.
La integral de Riemann
Empecemos por recordar la integral de Riemann de una función acotada
f : [a, b] → R. Una partición P de [a, b] es un subconjunto finito P ⊂ [a, b]
tal que a, b ∈ P. Escribimos
P = {x0 = a < x1 < . . . < xn = b}.
Definimos entonces la suma inferior de f con respecto a P como
L(f, P) =
n
X
mi (f )(xi − xi−1 ),
n
X
Mi (f )(xi − xi−1 ),
i=1
y la suma superior de f con respecto a P como
U (f, P) =
donde
y
i=1
mi (f ) = inf{f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]}
Mi (f ) = sup{f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]}.
Decimos entonces que f es Riemann-integrable si
L(f ) = sup{L(f, P) : P partición de [a, b]}
y
U (f ) = inf{U (f, P) : P partición de [a, b]}
Rb
son iguales, y escribimos a f = L(f ) = U (f ).
61
62
5. Integración
La definición de la integral de Riemann de una función sobre un rectángulo está motivada a partir de la definición anterior. Observamos que L(f, P)
y U (f, P) son sumas de la longitud de cada intervalo multiplicado por m i (f )
y Mi (f ), respectivamente. Ası́ que lo primero que tenemos que hacer es extender nuestra definición de longitud de un intervalo en R a volumen de un
rectángulo en Rn .
Definición 5.1. Sea R = [a1 , b1 ]×. . . ×[an , bn ] ⊂ Rn un rectángulo cerrado.
El volumen de R, denotado por v(R), se define como
v(R) = (b1 − a1 )(b2 − a2 ) . . . (bn − an ).
Ahora definimos una partición de un rectángulo cerrado R. Para cada
i, tomamos una partición Pi de [ai , bi ], y sea P el conjunto de todos los
rectángulos de la forma
S = [y1 , z1 ] × [y2 , z2 ] × . . . × [yn , zn ],
donde yi , zi ∈ Pi son consecutivos. A cada S ∈ P lo llamamos subrectángulo
de R. P está formada entonces por N = N 1 N2 ...Nn subrectángulos, y cada
uno de los lados de los subrectágulos de R en P corresponde a algún intervalo
en [ai , bi ], inducido por Pi . Denotaremos P como
P = (P1 , P2 , ...Pn ),
donde cada Pi es partición de [ai , bi ].
Definición 5.2. Sea f : R → R acotada. La suma inferior de f con respecto
a P es está dada por
X
L(f, P) =
mS (f )v(S),
S∈P
donde
mS (f ) = inf{f (x) : x ∈ S}
y v(S) es el volumen de S.
La suma superior de f con respecto a P está dada por
X
U (f, P) =
MS (f )v(S),
S∈P
donde
MS (f ) = sup{f (x) : x ∈ S}.
Es claro que, para cada partición P de R, L(f, P) ≤ U (f, P). Sin embargo, no es obvio que, para cualquiera dos particiones P y Q,
L(f, P) ≤ U (f, Q).
Demostraremos esto a continuación, y para tal efecto definiremos el concepto
de refinamiento.
63
1. La integral de Riemann
Decimos que Q = (Q1 , Q2 , . . . , Qn ) es un refinamiento de P si Pi ⊂
Qi , para cada i. Es decir, cada rectángulo en Q es subrectángulo de algún
rectángulo en P.
Proposición 5.3. Si Q es un refinamiento de P,
L(f, P) ≤ L(f, Q)
y
U (f, Q) ≤ U (f, P).
Demostración. Si T ∈ Q, existe S ∈ P tal que T ⊂ S, y
mT (f ) ≥ mS (f ),
MT (f ) ≤ MS (f ).
Además, cada S ∈ P está subdividido en rectángulos T 1 , T2 , ..., Tk ∈ Q, y
v(S) = v(T1 ) + v(T2 ) + ... + v(Tk ).
Entonces
mS (f )v(S) = mS (f )
k
X
v(Tj ) =
k
X
j=1
j=1
mS (f )v(Tj ) ≤
k
X
mTj (f )v(Tj ).
j=1
Ası́ que L(f, P) ≤ L(f, Q).
De la misma forma,
MS (f )v(S) =
k
X
j=1
MS (f )v(Tj ) ≥
k
X
MTj (f )v(Tj ),
j=1
ası́ que U (f, P) ≥ U (f, Q).
Nota que L(f, P) ≤ L(f, Q) ≤ U (f, Q) ≤ U (f, P).
Corolario 5.4. Si P y Q son particiones de R,
L(f, P) ≤ U (f, Q).
Demostración. Sea R la partición
R = (P1 ∪ Q1 , P2 ∪ Q2 , . . . , Pn ∪ Qn ).
Entonces R es un refinamiento de P y de Q y, por la proposición anterior,
L(f, P) ≤ L(f, R) ≤ U (f, R) ≤ U (f, Q).
Definición 5.5. Sea R ⊂ Rn un rectángulo cerrado y f : R → R acotada.
Definimos la suma inferior de f como
L(f ) = sup{L(f, P) : P partición de R},
y la suma superior de f como
U (f ) = inf{U (f, P) : P partición de R}.
64
5. Integración
Por el corolario 5.4, L(f ) y U (f ) existen para cualquier función acotada
f : R → R, y además L(f ) ≤ U (f ).
Decimos que la función acotada f : R → R acotada es Riemannintegrable si L(f ) = U (f ). Al valor comúnR de L(f ) y U (f ) se la llama
la integral de Riemann de f y se denota por R f .
Ejemplo 5.6 (Funciones constantes). Sea f : R → R dada por f (x) = c
para algún c ∈ R. Si P es una partición de R y S ∈ P,
mS (f ) = MS (f ) = c,
ası́ que L(f, P) = U (f, P) = cv(R). Claramente L(f ) = U (f ) y entonces
Z
f = cv(R).
R
Ejemplo 5.7. Sea f : [0, 1] × [0, 1] → R dada por
(
1 x∈Q
f (x, y) =
0 x∈
/ Q.
Si P es partición de R y S ∈ P, entonces existen puntos (r, y) y (α, z) en S
tales que r ∈ Q y α ∈
/ Q. Entonces mS (f ) = 0 y MS (f ) para todo S ∈ P, lo
cual implica que L(f, P) = 0 y U (f, P) = v([0, 1] × [0, 1]) = 1. Entonces
L(f ) = 0 < U (f ) = 1,
por lo que f no es Riemann-integrable.
Teorema 5.8. Sea f : R → R acotada. Entonces f es Riemann-integrable
si, y sólo si, para cada ε > 0 existe una particón P tal que
U (f, P) − L(f, P) < ε.
R
Demostración. Si f es Riemann-integrable, entonces L(f ) = R f = U (f ).
Sea ε > 0. Entonces existen particiones P y Q tales que
Z
Z
ε
ε
L(f, P) >
f−
y
U (f, Q) <
f+ .
2
2
R
R
Si
entonces
ası́ que
R = (P1 ∪ Q1 , P2 ∪ Q2 , . . . , Pn ∪ Qn ),
L(f, P) ≤ L(f, R) ≤ U (f, R) ≤ U (f, Q),
U (f, R) − L(f, R) ≤ U (f, Q) − L(f, P) < ε.
Para la inversa, sea ε > 0 dado y tomamos una partición P tal que
U (f, P) − L(f, P) < ε.
65
1. La integral de Riemann
Entonces, como L(f ) ≥ L(f, P) y U (f ) ≤ U (f, P),
U (f ) − L(f ) ≤ U (f, P) − L(f, P) < ε.
Como ε es arbitrario, L(f ) = U (f ), y entonces f es Riemann-integrable.
El criterio establecido por el teorema 5.8 nos será de mucha utilidad
para clasificar las funciones Riemann-integrables en un rectángulo, lo cual
discutiremos con detalle en la siguiente sección.
Antes, establecemos la siguiente proposición, que resume las propiedades
básicas de la integral de Riemann.
Proposición 5.9. Sean f, g : R → R Riemann-integrables. Entonces
1. f + g es Riemann-integrable y
Z
Z
Z
g;
f+
(f + g) =
2. Si f ≤ g,
Z
R
y
R
R
R
f≤
Z
g;
R
3. |f | es Riemann-integrable y
Z Z
f ≤
|f |.
R
Demostración.
R
1. Sea P una partición de R, y S ∈ P. Entonces
mS (f ) + mS (g) ≤ mS (f + g),
MS (f ) + MS (g) ≥ MS (f + g).
Esto implica que
L(f, P) + L(g, P) ≤ L(f + g, P)
y
U (f, P) − L(f, P) < ε/2
y
U (f, P) + U (g, P) ≥ U (f + g, P).
Dado ε > 0, el teorema 5.8 implica que existe una partición P tal
que
U (g, P) − L(g, P) < ε/2.
Entonces
U (f + g, P) − L(f + g, P) ≤ U (f, P) + U (f, P) − (L(f, P) + L(f, P))
= U (f, P) − L(f, P) + U (g, P) − L(g, P)
ε ε
< + = ε.
2 2
Entonces f + g es Riemann-integrable.
Ahora bien, si P es un partición de R,
Z
(f + g) = L(f + g) = L(f + g, P) ≥ L(f, P) + L(g, P),
R
66
5. Integración
ası́ que
Z
R
Z
(f + g) ≥ L(f ) + L(g) =
De manera similar
Z
R
(f + g) ≤
Z
(f + g) =
Z
f+
R
f+
R
Z
g,
Z
g.
Z
g.
R
R
ası́ que
Z
R
f+
R
R
2. Si P es un partición y S ∈ P, claramente
mS (f ) ≤ mS (g),
por lo que entonces
L(f, P) ≤ L(g, P) ≤ L(g) =
Z
g.
R
Como P es cualquier partición,
Z
Z
g.
f = L(f ) ≤
R
R
3. Sea P una partición de R y S ∈ P. Si x, y ∈ S, la desigualdad del
triángulo inversa implica que
|f (x)| − |f (y)| ≤ |f (x) − f (y)|.
Entonces
MS (|f |) − mS (|f |) ≤ MS (f ) − mS (f ),
y esto implica que
U (|f |, P) − L(|f |, P) ≤ U (f, P) − L(f, P).
Entonces, dado ε, si P es tal que U (f, P) − L(f, P) < ε,
U (|f |, P) − L(|f |, P) < ε,
y |f | es Riemann-integrable.
La desigualdad se sigue de la parte 2 y del hecho que
−|f | ≤ f ≤ |f |.
67
2. Funciones Riemann-integrables
2.
Funciones Riemann-integrables
En esta sección clasificaremos las funciones Riemann-integrables en función de sus puntos de continuidad. Para ésto necesitaremos de dos conceptos
fundamentales: el de medida cero y el de oscilación, este último introducido
en el segundo capı́tulo.
Definición 5.10. Sea A ⊂ Rn . Decimos que A es de medida cero si para
todo ε > 0 existen rectángulos R1 , R2 , . . . tales que
[
X
A⊂
Ri
y
v(Ri ) < ε.
i
i
Ejemplo 5.11. ∅ es de medida cero.
Ejemplo 5.12. Un conjunto finito {x1 , ...xk } es de medida cero. Dado ε > 0,
para cada xi tomamos un rectángulo Ri , xi ∈ Ri , tal que v(Ri ) < ε/k.
Entonces
k
[
{x1 , ...xk } ⊂
Ri
i=1
y
k
X
v(Ri ) <
k
X
ε
= ε.
k
i=1
i=1
Ejemplo 5.13. Q es de medida cero. Como Q es contable, Q = {r k }∞
k=1 .
Dado ε > 0, sea
ε ε
Ik = rk − k+2 , rk + k+2 .
2
2
S
k+1
Entonces v(Ii ) = ε/2 , Q ⊂ k Ik y
∞
X
v(Ik ) =
∞
X
k=1
k=1
ε
ε
= < ε.
2k+1
2
Es claro que el argumento del ejemplo anterior puede ser aplicado a
cualquier conjunto contable, por lo que entonces cualquier conjunto contable
es de medida cero. De hecho, podemos demostrar algo más fuerte.
Proposición
5.14. Sean A1 , A2 , ... ⊂ Rn conjuntos de medida cero. EntonS∞
ces i=1 Ai es de medida cero.
Demostración. Sea ε > 0. Para cada A i tomamos {Rij }∞
j=1 tal que
Ai ⊂
∞
[
j=1
Rij
y
∞
X
j=1
v(Rij ) <
ε
2i+1
.
68
5. Integración
Tenemos entonces la siguiente sucesión de contenciones
A1 ⊂ R11 ∪ R12 ∪ R13 ∪ . . .
A2 ⊂ R21 ∪ R22 ∪ R23 ∪ . . .
A3 ⊂ R31 ∪ R32 ∪ R33 ∪ . . .
..
.
Reordenamos los {Rij } en la forma
R11 , R21 , R12 , R31 , R22 , R13 , . . . ,
y obtenemos una sucesión (Sk ) de rectángulos tal que
[
[
X
X
X ε
ε
= < ε.
Ai ⊂
Sk y
v(Sk ) =
v(Rij ) =
2i+1
2
i
k
i,j
k
i
La doble suma en i, j es independientes del orden de los sumandos porque,
como todos los v(Rij ) ≥ 0, converge absolutamente.
Es claro que la proposición 5.14 implica que todos los conjuntos contables
son de medida cero. A continuación mostramos un ejemplo de un conjunto
incontable de medida cero.
Ejemplo 5.15 (El conjunto de Cantor). Consideramos la sucesión de conjuntos
C0 = [0, 1]
C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]
C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]
..
.
Cn = [0, 1/3n ] ∪ . . . ∪ [1 − 1/3n , 1]
..
.
Nota que cada Cn+1 es el conjunto que resulta de remover el ”tercio central”de cada uno de los intervalos de C n . El conjunto de Cantor es el conjunto
dado por
∞
\
C=
Ck .
k=0
Aunque no lo demostraremos aquı́, el conjunto es incontable. Ahora observaremos que es de medida cero.
69
2. Funciones Riemann-integrables
Cada Ck es la unión de 2k intervalos de longitud 1/3k cada uno. Si a
estos los llamamos I1 , I2 , . . . , I2k , entonces
k
k
C ⊂ Ck =
2
[
Ii
2
X
y
v(Ii ) =
i=1
i=1
2 k
3
.
Dado ε > 0, podemos tomar k tal que (2/3) k < ε. Entonces la ecuación
anterior implica que C es de medida cero.
Observamos que fue suficiente utilizar, para verificar la definición de
medida cero para C, sólo un número finito de intervalos. Dichos conjuntos
tienen un nombre propio.
Definición 5.16. Decimos que el conjunto A ⊂ R n es de contenido cero si
para todo ε > 0 existen rectángulos R 1 , R2 , . . . , RN tales que
A⊂
N
[
Ri
N
X
y
i=1
v(Ri ) < ε.
i=1
Es decir, los conjuntos de contenido cero son aquéllos de medida cero en
los cuales es suficiente un número finito de rectángulos de la definición de
medida cero.
Es claro que, además de C, los conjuntos finitos son de contenido cero.
De hecho, tenemos la siguiente proposicion.
Proposición 5.17. Si A es de medida cero y es compacto, entonces es de
contenido cero.
Para demostrar la proposición 5.17 haremos uso del siguiente lema, el
cual nos permite verificar la definición de medida cero usando sólo rectángulos abiertos.
Lema 5.18. Si R1 , R2 , . . . son rectángulos,
[
X
A⊂
Ri
y
v(Ri ) < ε,
i
i
entonces existen rectángulos abiertos S i tales que
[
X
A⊂
Si
y
v(Si ) < ε.
i
Demostración. Sea
η=
i
X
1
ε−
v(Ri ) .
2
i
Para cada i, sea Si el rectángulo abierto que resulta de “ensanchar”R i de
tal forma que
η
Ri ⊂ Si y v(Si ) < v(Ri ) + i .
2
70
Entonces A ⊂
5. Integración
S
i Si
y
X
i
v(Si ) ≤
X
v(Ri ) + η < ε.
i
Demostración de la Proposición
S 5.17.
P Dado ε > 0, existe una sucesión
de rectángulos Ri tales que A ⊂ i Ri y i v(Ri ) < ε. El lema 5.18 implica
que podemos suponer que estos rectángulos son abiertos. Entonces forman
una cubierta para A. Como A es compacto, existen R i1 , . . . , RiN tales que
A⊂
Como
N
X
j=1
v(Rij ) ≤
N
[
R ij
j=1
X
v(Ri ) < ε,
i
esto implica que A es de contenido cero.
El resultado anterior es útil para mostrar que ciertos conjuntos no son
de medida cero.
Proposición 5.19. El intervalo [a, b] ∈ R, a < b, no es de contenido cero.
Demostración. Sean I1 , . . . , IN intervalos cerrados tales que
[a, b] ⊂ I1 ∪ . . . ∪ IN .
Sea {t0 < t1 < . . . < tM } el conjunto de todos los extremos de los intervalos
Ij . Entonces t0 ≤ a, tM ≥ b, y para cada i existe j tal que [ti−1 , ti ] ⊂ Ij .
Además, cada Ij es de la forma [ti , tk ] por lo que v(Ij ) = tk − ti ≥ ti+i − ti .
Entonces
N
M
X
X
v(Ij ).
(ti − ti−1 ) ≤
b − a ≤ t M − t0 =
i=1
j=1
Por lo tanto, no es posible encontrar intervalos I 1 , . . . , IN tales que
N
X
j=1
v(Ij ) < b − a.
Corolario 5.20. [a, b] no es de medida cero.
La proposición 5.19 también implica que un rectángulo no degenerado
en Rn no es de contenido cero, lo cual hemos dejado como ejercicio (ejercicio
5).
71
2. Funciones Riemann-integrables
Corolario 5.21. A = Q
T
[a, b] no es de contenido cero.
Demostración. Sean I1 , . . . , IN intervalos cerrados tales
P que A ⊂ I1 ∪ . . . ∪
IN . Entonces Ā ⊂ I1 ∪ . . . ∪ IN , y Ā = [a, b]. Entonces i v(Ii ) ≥ b − a. Ejemplo 5.22. Como el conjunto ASdel corolarioPtiene medida cero, existen
(ai , bi ), i = 1, 2, . . . tales que
S A ⊂ i (ai , bi ) y (bi − ai ) es tan pequeña
como queramos. Sea
U
=
i (ai , bi ). U es abierto y Ū = [0, 1]. Sin embargo
P
∂U = [0, 1] \ U . Si i (bi − ai ) < 1, entonces ∂U no tiene medida cero.
P
Para ver esto, sea ε S= 1 − i (bi − ai ). Entonces existen intervalos
I1 , I2 , . . . tales que ∂U ⊂ j Ij y
X
v(Ij ) < ε.
j
Entonces [0, 1] ⊂
S
i (ai , bi )
∪
S
j Ij .
Como [0, 1] es compacto, existen
i1 , . . . , i N , j 1 , . . . , j M
tales que
[0, 1] ⊂ (ai1 , bi1 ) ∪ . . . (aiN , biN ) ∪ Ij1 ∪ . . . ∪ IjM
y
N
X
k=1
(bik − aik ) +
M
X
v(jl ) < 1,
l=1
lo cual contradice la demostración de la proposición anterior.
Ahora procedemos a recordar la oscilación de una función en un punto.
Sea f : A → R acotada y x0 ∈ A. Dado δ > 0, definimos
M (f, x0 , δ) = sup{f (x) : x ∈ A, |x − x0 | < δ}
m(f, x0 , δ) = inf{f (x) : x ∈ A, |x − x0 | < δ}.
Los números M (f, x0 , δ) y m(f, x0 , δ) están bien definidos porque A es
acotada y, además, si η ≤ δ
(5.1)
M (f, x0 , η) ≤ M (f, x0 , δ)
y
m(f, x0 , η) ≥ m(f, x0 , δ).
La oscilación de f en x0 está dada por
O(f, x0 ) = lı́m M (f, x0 , δ) − m(f, x0 , δ) .
δ→0
Dicho lı́mite existe porque la diferencia
M (f, x0 , δ) − m(f, x0 , δ)
es decreciente en δ, por (5.1). Ası́ que el lı́mite está dado simplemente por
el ı́nfimo de todas las diferencias para δ > 0.
72
5. Integración
Recordemos que, por la proposición 2.14, la oscilación de f en x 0 es igual
a 0 si, y sólo si, f es continua en x0 . A continuación demostraremos otras
propiedades de la oscilación.
Proposición 5.23. Sea A ⊂ Rn , f : A → R acotada, ε > 0 y
Uε = {x ∈ A : O(f, x) < ε}.
Entonces existe un abierto U ⊂ Rn tal que Uε = A ∩ U .
Demostración. Sea x ∈ Uε . Entonces o(f, x) < ε, por lo que existe δ > 0
tal que
M (f, x, δ) − m(f, x, δ) < ε.
0
Demostraremos que Bδ (x) ∩ A ⊂ Uε .
Sea y ∈ Bδ0 (x) ∩ A, y sea r = δ − |x − y|. Si |y − z| < r,
|x − z| ≤ |x − y| + |y − z| < δ.
Esto implica que
f (z) ≤ M (f, x, δ)
y
para todo z tal que |y − z| < r. Ası́ que
f (z) ≥ m(f, x, δ)
M (f, y, r) − m(f, y, r) ≤ M (f, x, δ) − m(f, x, δ) < ε,
ası́ que O(f, y) < ε. Por lo tanto y ∈ Uε .
Podemos tomar entonces
U=
[
Bδ0 (x).
x∈Uε
Corolario 5.24. Si A es cerrado y f : A → R es acotada, el conjunto
es cerrado para todo ε > 0.
{x ∈ A : O(f, x) ≥ ε}
Corolario 5.25. Sea R un rectángulo cerrado, f : R → R acotada, y sea
F = {x ∈ R : f no es continua en x}.
Si F tiene medida cero, entonces, para cada ε > 0, el conjunto
Fε = {x ∈ R : O(f, x) ≥ ε}
es de contenido cero.
Demostración. Para todo ε > 0, Fε ⊂ F . Ası́ que Fε es de medida cero y
es cerrado por el corolario anterior. Como F ε ⊂ R es acotado, por el teorema
de Heine- Borel es compacto. Por lo tanto F ε es de contenido cero, por la
proposición 5.17.
73
2. Funciones Riemann-integrables
Estamos listos para demostrar nuestro teorema de clasificación de funciones Riemann-integrables. Empezamos por el siguiente lema, el cual establece
la relación entre oscilación y sumas respecto a una partición.
Lema 5.26. Sea R un rectángulo cerrado y f : R → R acotada tal que
O(f, x) < ε para todo x ∈ R. Entonces existe una partición P de R tal que
U (f, P) − L(f, P) < v(R)ε.
Demostración. Para cada x ∈ R tomamos un rectángulo abierto R x tal
que x ∈ Rx y
MR̄x (f ) − mR̄x (f ) < ε.
Tal rectángulo existe porque O(f, x) < ε. Entonces {R x }x∈R es una cubierta
para R y, como R es compacto, existen R x1 , . . . , Rxk tales que
R ⊂ R x1 ∪ . . . ∪ R xk .
Sea P la partición inducida por todos los limites de los R xi . Esta satisface
que si S ∈ P, entonces S ⊂ R̄xi para algún i. Entonces
MS (f ) − mS (f ) ≤ MR̄x (f ) − mR̄x (f ) < ε.
i
Entonces
U (f, P) − L(f, P) < ε
i
X
v(S) = εv(R).
S∈P
Como resultado inmediato de este lema, por ejemplo, tenemos el hecho
de que las funciones continuas son Riemann-integrables.
Corolario 5.27. Si f es cotinua entonces es Riemann-integrable.
La generalización de este corolario, que a su vez clasifica las funciones
Riemann-integrables, está dada por el siguiente teorema.
Teorema 5.28. Sea f : R → R acotada y
F = {x : f no es continua en x}.
Entonces f es Riemann-integrable si, y sólo si, F es de medida cero.
Demostración. Para ε > 0, definimos F ε = {x : o(f, x) ≥ ε}. Nota que
F =
∞
[
F1/k .
k=1
Suponemos primero que f es Riemann-integrable, y demostraremos que cada
F1/k es de medida cero. Sea ε > 0 y P una partición tal que
ε
U (f, P) − L(f, P) < .
k
74
5. Integración
Sea
Ω = {S ∈ P : S ∩ F1/k 6= ∅}.
Entonces
F1/k ⊂
[
S
S∈Ω
y
MS (f ) − mS (f ) ≥
1
k
para todo S ⊂ Ω. Entonces
X1
X
ε
v(S) ≤
MS (f ) − mS (f ) v(S) ≤ U (f, P) − L(f, P) < .
k
k
S∈Ω
Por lo tanto
S∈Ω
P
S∈Ω v(S)
< ε. Como ε es arbitrario, F1/k es de medida cero.
Supongamos ahora que F es de contenido cero. Sea ε > 0 y
ε̄ =
ε
.
2v(R)
Por la proposición 5.17, Fε̄ es de contenido cero. Sea M > 0 tal que |f (x)| ≤
M para todo x ∈ R, y sean R1 , . . . , Rk rectángulos tales que
Fε̄ ⊂ R1 ∪ ... ∪ Rk
y
k
X
i=1
v(Ri ) <
ε
.
4M
Sea P1 una partición tal que, para todo S ∈ P 1 , S ⊂ Ri para algún i
˙ B , donde
ó S ∩ Ri = ∅ para todo i. Entonces P1 = ΩF ∪Ω
ΩF = {S ∈ P1 : S ⊂ Ri para algún i }
y
ΩB = {S ∈ P1 : S ∩ Ri = ∅ para todo i }.
Por el lema 5.26, existe un refinamiento P de P 1 tal que, para cada S ∈ ΩB ,
X
MT (f ) − mT (f ) v(T ) < v(S)ε̄.
T ∈P
T ⊂S
Sean
ΩF 0 = {S ∈ P : S ⊂ Ri para algún i }
y
ΩB 0 = {S ∈ P : S ⊂ T para algún T ∈ ΩB }.
75
2. Funciones Riemann-integrables
Entonces
U (f, P) − L(f, P) =
=
X
S∈ΩB 0
≤
<
S∈ΩF 0
S∈ΩB T ⊂S
S∈ΩB
S∈P
MS (f ) − mS (f ) v(S)
X
MS (f ) − mS (f ) v(S) +
X X
X
X
MS (f ) − mS (f ) v(S)
X
v(S)
MT (f ) − mT (f ) v(T ) + 2M
S∈ΩF
ε
ε̄v(S) + 2M
4M
ε
= ε.
2
Por lo tanto, f es Riemann-integrable.
≤ ε̄v(R) +
Como primer consecuencia de este teorema, tenemos el siguiente corolario, que establece que la multiplicación de funciones Riemann-integrables es
Riemann-integrable.
Corolario 5.29. Sean f, g : R → R Riemann-Integrables. Entonces f g es
Riemann-integrable.
Demostración. Sean
F = {x ∈ R : f es discontinua en x}, G = {x ∈ R : g es discontinua en x}.
Como el producto de funciones continuas es continua, si
H = {x ∈ R : f g es discontinua en x},
entonces H ⊂ F ∪G. Si f y g son Riemann-integrables, F y G son de medida
cero. Por lo tanto H es de medida cero, y f g es Riemann-integrable.
R
Sea C ⊂ Rn un conjunto acotado. Vamos a definir C f , la integral ”sobre
C”de f . Suponemos C ⊂ R, donde R es un rectángulo cerrado, y f : R → R
es Riemann-integrable. Definiremos entonces
Z
Z
f χC ,
f=
(5.2)
C
R
donde χC es la función caracterı́stica sobre C,
(
1 x∈C
χC (x) =
0 x∈
/ C.
Sin embargo, para que la ecuación (5.2) tenga sentido, es necesario asegurar
que la función f χC es Riemann-integrable. Como f es Riemann-integrable,
por el corolario (5.29) es suficiente con garantizar que χ C sea Riemannintegrable. La siguiente proposición estable la Riemann-integrabilidad de
χC en función de la frontera de C.
76
5. Integración
Proposición 5.30. χC es Riemann-integrable si y sólo si ∂C es de medida
cero.
Demostración. Vamos que demostrar que χ C es continua sólo en R \ ∂C.
Dado x ∈ R \ C, x ∈ C 0 ó x se encuentra en el exterior de C.
Si x ∈ C 0 , entonces existe un rectángulo abierto U tal que x ∈ U y
U ⊂ C. Pero entonces χC ≡ 1 en U , por lo que es continua en x. De manera
similar, si x está en el exterior de C, existe un rectángulo abierto V tal que
x ∈ V y V ∩ C = ∅. Pero entonces χC ≡ 0 en V , ası́ que es continua en x.
Si x ∈ ∂C, para todo rectángulo abierto W tal que x ∈ W , w ∩ C 6= ∅ y
w \ C 6= ∅. Ası́ que χC toma el valor de 0 y de 1 en W , por lo que entonces
χC es discontinua en ∂C.
Entonces ∂C es el conjunto de discontinuidades de χ C , y la proposición
se sigue por el teorema 5.28.
Ejemplo 5.31 (Función de Dirichlest). La función de Dirichlet es igual a
χQ∩[0,1] . Como ∂(Q ∩ [0, 1]) = [0, 1] no tiene medida cero, entonces no es
Riemann-integrable.
Definición 5.32. Si C ⊂ R n es un conjunto acotado tal que ∂C es de
medida cero, entonces decimos que es Jordan-medible.
Ejemplo 5.33. Sea U el conjunto abierto en [0, 1] formado por la unión de
intervalos (ai , bi ) tales que cada
∞
[
X
Q ∩ [0, 1] ⊂ (ai , bi )
y
(bi − ai ) < 1.
i
i=1
Entonces ∂U = [0, 1] \ U y no tiene medida cero, como habı́amos observado
antes. Ası́ que U es un conjunto abierto que no es Jordan-medible.
Definición 5.34. Si f : R → R es Riemann-integrable y C ⊂ R es Jordanmedible, definimos la integral de f sobre C como
Z
Z
f=
f χC .
C
R
R
Si C ⊂ R es Jordan-medible, C 1 es llamada la medida de Jordan de C.
En R, R2 y R3 , la medida de Jordan es comunmente llamada longitud,
área y volumen, respectivamente.
Observa que si C = R, entonces la medida de Jordan de R es simplemente su volumen, v(R).
Si C, D son Jordan-medibles y disjuntos, entonces
Z
Z
Z
1=
1+
1.
C∪D
C
D
77
3. El teorema de Fubini
3.
El teorema de Fubini
En esta última sección del capı́tulo, estudiaremos el problema de evaluar
una integral. Es decir, dada una función f : R → R, ¿cómo calculamos el
valor explı́cito de
Z
f?
R
En cálculo de una sola variable, el algoritmo más poderoso es el otorgado
por el teorema fundamental del cálculo.
Teorema 5.35 (Fundamental del cálculo). Sea f : [a, b] → R diferenciable
tal que su derivada f 0 es Riemann-integrable. Entonces
Z
f 0 = f (b) − f (a).
[a,b]
R
El teorema 5.35 reduce entonces el problema de calcular f a encontrar
una antiderivada de f , es decir, una función F tal que F 0 = f . Aunque no
siempre es posible encontrar F de forma explı́cita, sı́ nos permite resolver
un buen número de problema que aparecen en distintos contextos.
En esta sección demostraremos el teorema conocido como el teorema de
Fubini, que establece el concepto de integrales iteradas. Esto nos permite
reducir el problema de calcular integrales sobre rectángulos a calcular integrales sobre intervalos, y entonces usar el teorema fundamental del cálculo.
Teorema 5.36 (Fubini). Sean R ⊂ Rn y S ⊂ Rm rectángulos cerrados,y
f : R × S → R Riemann-integrable. Para cada x ∈ R, sea g x : S → R dada
por gx (y) = f (x, y), e I, S : R → R como
I(x) = L(gx )
S(x) = U (gx ),
y
las sumas inferior y superior de gx , respectivamente. Entonces I y S son
Riemann-integrables y
Z
Z
Z
I=
S=
f
R
R
R×S
Si las funciones gx son Riemann-inmtegrables para cada x, entonces
Z
gx ,
I(x) = S(x) =
S
que escribimos simplemente como
Z
f (x, y)dy.
S
En este caso podemos escribir
Z
Z Z
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dy dx.
R×S
R
S
78
5. Integración
A estas integrales se le llama integrales iteradas, ó integrales múltiples.
Desde luego, este resultado es simétrico en x y y: Si h y (x) = f (x, y) es
Riemann-integrable para cada y, entonces
Z Z
Z
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dx dy.
S
R×S
R
Demostración del teorema de Fubini. Si P es una partición de R × S,
induce particiones PR y PS de R y S, respectivamente, y de manera inversa,
ya que cada T ∈ P es de la forma TR × TS , donde TR ∈ PR y TS ∈ PS .
Para x ∈ TR ,
mT (f ) = mTR ×TS (f ) ≤ mTS (gx ),
MT (f ) = MTR ×TS (f ) ≥ MTS (gx ).
Luego
L(f, P) =
≤
X
mT (f )v(T ) =
T ∈P
X X
TR ∈PR
X
TR ∈PR
TS ∈PS
mTR ×TS (f )v(TR × TS )
mTS (gxTR )v(TS ) v(TR ),
TS ∈PS
para cualquier selección de puntos x TR ∈ TR . Ahora bien,
X
mTS (gxTR )v(TS ) = L(gxTR , PS ),
TS ∈PS
por lo que entonces
L(f, P) ≤
=
X
TR ∈PR
X
TR ∈PR
L(gxTR , PS )v(TR ) ≤
X
L(gxTR )v(TR )
TR ∈PR
I(xTR )v(TR ),
de nuevo, para cualquier selección de puntos x TR ∈ TR . Por lo tanto,
L(f, P) ≤ L(I, PR ).
De manera similar podemos demostrar que
U (f, P) ≥ U (I, PR ).
Por lo tanto,
L(f, P) ≤ L(I, PR ) ≤ U (I, PR ) ≤ U (S, PR ) ≤ U (f, P),
y
L(f, P) ≤ L(I, PR ) ≤ L(S, PR ) ≤ U (S, PR ) ≤ U (f, P),
porque, claramente, I(x) ≤ S(x) para cada x ∈ R.
79
3. El teorema de Fubini
que
Como f es Riemann-integrable, para cada ε > 0 podemos escoger P tal
U (f, P) − L(f, P) < ε.
Entonces, para ε > 0 existe PR tal que
U (I, PR ) − L(I, PR ) < ε
y
U (S, PR ) − L(S, PR ) < ε,
lo cual implica que I y S son Riemann-integrables. Además, las desigualdades anteriores implican que
Z
Z
Z
S.
I=
f=
R×S
R
R
En general, las funciones gx no son Riemann-integrables, por lo que es
necesario utilizar el teorema con el uso explı́cito de I y S.
Ejemplo 5.37. Conseideramos la función f : [0, 1] × [0, 1] → R definida por

0 si x ó y es irracional
f (x, y) = 1

si x y y son racionales y x = pq .
q
Ahora sea x ∈ [0, 1]. Si x ∈ Q, x = pq para algunos p, q ∈ Z, y
(
0 y es irracional
gx (y) = 1
y es racional
q
es la función de Dirichlet multiplicada por 1/q. Entonces g x no es Riemannintegrable. De hecho I(x) = 0 y S(x) = 1/q.
Si x ∈
/ Q, gx (y) = 0 para todo y. Entonces tenemos
(
0 x∈
/Q
I(x) = 0,
S(x) = 1
x = pq
q
Ahora
S es la función de Dirichlet modificada, es Riemann-integrable y
R
S
=
0. Entonces
[0,1]
Z
Z
Z
f=
I=
S = 0.
[0,1]×[0,1]
[0,1]
[0,1]
El teorema de Fubini es también útil para calcular integrales sobre conjuntos Jordan-medibles.
80
5. Integración
Ejemplo 5.38. Sea B la bola de radio 1 alrededor de 0 en R 2 . Entonces
B ⊂ [−1, 1] × [−1, 1], B es Jordan-medible (no es muy difı́cil mostrar que su
frontera, la esfera de radio 1, es de medida cero) y
Z
Z
f χB .
f=
[−1,1]×[−1,1]
B
Por el teorema de Fubini, esta integral es igual a
Z 1 Z √1−x2
Z 1 Z 1
(f χB )(x, y)dy dx =
f
(x,
y)dy
dx,
√
−1
−1
porque (x, y) ∈ B si, y sólo si, |y| ≤
√
−1
− 1−x2
1 − x2 .
Ejercicios
1. Sea f : R → R
y c ∈ R. Muestra que cf es RiemannR Riemann-integrable
R
integrable y R cf = c R f .
2. Sean
f,Rg : R → R Riemann-integrables tales que f ≤ g. Muestra que
R
f
≤
R
R g.
3. Sea f : R → R Riemann-integrable y g : R → R tal que g(x) = f (x)
excepto a lo Rmás un
R número finito de x. Muestra que g es Riemannintegrable y R g = R f .
4. Sea f : R → R y P una partición de R. Muestra que f es Riemannintegrable si y sólo si f |S es Riemann-integrable para cada S ∈ P, y en
tal caso
Z
XZ
f=
f |S .
R
S∈P
S
5. Muestra que [a1 , b1 ] × · · · [an , bn ] no es de contenido 0 si ai < bi para
todo i.
6.
a) Muestra que un conjunto no acotado no puede ser de contenido 0.
b) Da un ejemplo de un conjunto cerrado de medida 0 que no sea de
contenido 0.
7.
a) Si C es de contenido 0, muestra que ∂C es de contenido 0.
b) Sin embargo, da un ejemplo de un conjunto de medida 0 cuya frontera no sea de medida 0.
8. Sea f : [a, b] → R creciente. Si x1 , . . . , xk ∈ [a, b] son distintos, muestra
que
k
X
O(f, xi ) < f (b) − f (a).
i=1
81
Ejercicios
9. Sea f : [a, b] → R creciente. Muestra que el conjunto
{x ∈ [a, b] : f es discontinua en x}
es de medida 0. Concluye entonces que toda función creciente en [a, b]
es Riemann-integrable.
R
10. Sea f : R → R Riemann-integrable, f ≥ 0 y tal que R f = 0. Muestra
que {x ∈ R : f (x) 6= 0} es de medida 0.
11. Muestra que si C es de contenido 0, entonces es Jordan-medible.
R
12. Muestra que si C es Jordan-medible y de medida 0, entonces C 1 = 0.
13. Sea A Jordan-medible y ε > 0. Muestra
que existe un conjunto compacto
R
Jordan-medible C ⊂ A tal que A\C 1 < ε.
14. Sean R y S rectángulos y C ⊂ R × S de contenido cero. Sea A ⊂ R
el conjunto de todos los x ∈ R tal que {y ∈ S : (x, y) ∈ C} no es de
contenido cero. Muestra que A es de medida cero.
15. Sea C ⊂ [0, 1] × [0, 1] la unión
[
{p/q} × [0, 1/q],
p/q∈Q∩[0,1]
donde se asume que los p/q son fracciones reducidas. Muestra que C es
de contenido cero y que el conjunto A, definido como en el problema
anterior, no es de contenido cero.
16. Sea f : [a, b] × [a, b] → R continua. Muestra que
Z bZ y
Z bZ b
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dydx.
a
a
a
x
17. Sea f : [a, b] × [c, d] → R continua tal que D 2 f existe y es continua.
a) Define F : [c, d] → R como
Z b
f (x, y)dx.
F (y) =
a
Muestra que
F 0 (y) =
Z
b
D2 f (x, y)dx.
a
b) Define G : [a, b] × [c, d] → R como
Z x
G(x, y) =
f (t, y)dt.
a
Encuentra D1 G y D2 G.
c) Sea h : [c, d] → [a, b] diferenciable y define H : [c, d] → R como
Z h(y)
H(y) =
f (x, y)dx.
a
82
5. Integración
Encuentra H 0 (y).