Los términos indefinidos en la lógica categórica y la idea

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Los términos indefinidos en la lógica categórica y la idea de
consecuencia lógica
Manuel Correia
Instituto de Filosofía - Pontificia Universidad Católica de Chile
mcorreia@uc.cl
Abstract: In this article, the logical role of indefinite terms within the
categorical proposition is analysed. The existence of these technicalities
comes from Aristotle, but their logical behaviour had not been accurately
determined. However, by following the Axiom of Quantity and the Axiom
of Linkage, as defined in a recent article, this task has been made. As a
result, categorical logic can now offer an intrinsic theoretical unity and all
the conclusive processes, with or without indefinite terms, can be easily
corroborated.
Key words: indefinite terms, categorical logic, propositional quantity,
conclusiveness.
Resumen: en este artículo, se analiza el rol lógico que los términos
indefinidos tienen en la lógica categórica. La existencia de estos
tecnicismos viene desde Aristóteles, pero su comportamiento lógico no
había sido determinado com precisión. Sin embargo, al seguir las
indicaciones dadas por el Axioma de Cantidad y el axioma del Vínculo, tal
como son definidos en un artículo reciente, esta tarea puede ser
completada. Como resultado, la lógica categórica puede hoy exhibir una
unidad teórica y todos los procesos conclusivos, con o sin términos
indefinidos, pueden ser fácilmente corroborados.
Palabras claves: términos indefinidos, lógica categórica, cantidad
proposicional, conclusividad.
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En Alvarez & Correia (2012), pp. 297-306,1 se ha presentado un conjunto de
tres axiomas que permite establecer un nuevo procedimiento para evaluar los
procesos conclusivos de la lógica categórica en general. Este conjunto de axiomas
permite a la vez unificar la lógica categórica estableciendo una unidad entre las así
llamadas inferencias inmediatas y las inferencias mediatas o silogismos. Como
resultado, la lógica categórica adquiere una unidad profunda, formal y no
agregativa, basada en la manera como se obtienen las consecuencias o conclusiones
válidas en esta teoría.
En este conjunto de tres axiomas hay una referencia a la manera como se
comportan los términos indefinidos en las proposiciones categóricas que resulta
fundamental para la formulación de dos de los axiomas mencionados, razón por la
cual en este artículo he querido llamar la atención sobre el particular
comportamiento de los términos indefinidos en la lógica categórica y en particular
en los procesos deductivos que operan al interior de esta teoría.
El orden de la presentación será el siguiente: 1. Los tres axiomas de la lógica
categórica. 2. Los términos indefinidos y su rol en los tres axiomas. 3. Consecuencia
lógica y Axioma del Vínculo en la lógica categórica.
1. Los tres axiomas de la lógica categórica
En Alvarez & Correia (2012), p. 300, se listan los tres siguientes axiomas
como capaces de controlar no sólo todos los procesos conclusivos que la silogística
de Aristóteles posee para los 48 modos silogísticos corrientes y conocidos que
ocupan solo términos definidos, sino también para todos los procesos conclusivos
que la silogística realiza con términos indefinidos, una extensión que no había sido
posible realizar hasta la aplicación de estos tres axiomas. Los axiomas son los
siguientes:
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“Syllogistic with indefinite terms”, en: History and Philosophy of Logic 33 (2012), pp. 297-306.
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
Axiom of Quantity: the predicate of a negative premise is universally taken
and the predicate of an affirmative premise is particularly taken. Hence, to
take universally a term T in a proposition (i.e. even if this term is the
subject term) is equivalent to take particularly its correspondent
conjugate term non-T, and to take particularly a term T is equivalent to
take universally its correspondent conjugate term non-T.

Axiom of Particularity: from two particular premises no conclusion
follows, and the conclusion of a syllogism is particular if and only if this
characteristic is present in one of the premises.

Axiom of Linkage: the quantity of both terms in the conclusion should be
the same as that they offer in the premises. The premises common term
must be universally taken in one premise and particularly taken in the
other premise.
El Axiom of Particularity dice que nunca desde dos proposiciones particulares
se obtendrá una conclusión. El axioma permite que una conclusión lógica pueda ser
obtenida a partir de una sola proposición particular, pero elimina la posibilidad de
que ésta se pueda obtener correctamente desde solas proposiciones particulares.
De este modo, al impedir una excepción, no es un axioma cuya discusión esté
directamente relacionada con el tema de este artículo. Pero los otros dos axiomas,
el de Cantidad (Quantity) y el del Vínculo (Linkage) deben ser discutidos ahora.
El Axioma de la Cantidad establece a nivel descriptivo cómo deben ser
evaluados los términos sujeto y predicado al interior de una proposición categórica.
El Axioma como tal es un reforzamiento del axioma tradicional de la silogística que
dice que en una categórica afirmativa el predicado está tomado particularmente y
en una negativa el predicado está tomado universalmente. En efecto, si se acepta
esto y, a la vez, se acepta que un término cualquiera de una proposición categórica
está tomado universalmente si es indefinido (por ejemplo, no-X), entonces se puede
obtener la regla de que todos los términos en una categórica, sean sujetos o
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predicados, tendrán asociados una cantidad y ésta puede ser determinada de
manera efectiva con la ayuda de este Axioma. Para hacer esta exposición lo más
general posible, podemos convenir inmediatamente en la siguiente convención: A,
E, I y O son los signos de la cantidad proposicional y la calidad proposicional tomadas
juntas. Si s y p son los signos de los términos sujeto y predicado, entonces –s y –p
son los términos indefinidos correspondientes. Si es así, tendremos 32 especies de
proposición categórica, que son todas las formas proposicionales (no modales) que
se pueden obtener y que se ven en la siguiente tabla:
A (s, p)
E (s, p)
I (s, p)
O (s, p)
A (p, s)
E (p, s)
I (p, s)
O (p, s)
A (s, -p)
E (s, -p)
I (s, -p)
O (s, -p)
A (p, -s)
E (p, -s)
I (p, -s)
O (p, -s)
A (-s, p)
E (-s, p)
I (-s, p)
O (-s, p)
A (-p, s)
E (-p, s)
I (-p, s)
O (-p, s)
A (-s, -p)
E (-s, -p)
I (-s, -p)
O (-s, -p)
A (-p, -s)
E (-p, -s)
I (-p, -s)
O (-p, -s)
Entonces, el Axioma de Cantidad se ve aplicado en los siguientes dos ejemplos:

A(-s,-p): dado que el cuantificador es ‘todo’, la cantidad proposicional es
universal, lo que implica que el término -s se encuentra tomado
universalmente, lo que es equivalente, según el Axioma de la Cantidad, a
tomar el término s particularmente. Finalmente, como la proposición es
afirmativa, el término -p se encuentra tomado particularmente, lo que es
equivalente, según el Axioma de la Cantidad, a tomar el término p
universalmente.

O(s,-p): dado que el cuantificador es ‘algún’, la cantidad proposicional es
particular, lo que implica que el término s se encuentra tomado
particularmente. Finalmente, como la proposición es negativa, el término
-p se encuentra tomado universalmente, lo que es equivalente, según el
Axioma de la Cantidad, a tomar el término p particularmente.
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Como dijimos, el Axioma de la Cantidad es solamente descriptivo y no
normativo, no obstante para evaluar los procesos de conclusión entre categóricas,
sean silogísticos o inmediatos, se requiere del Axioma del Vínculo, que es
ciertamente normativo y da la forma de cualquier conclusión válida en la lógica
categórica. En efecto, el Axioma del Vínculo establece que la cantidad de ambos
términos en la conclusión no puede ser distinta a la cantidad de los términos en las
premisas. Si en la conclusión son universales, en las premisas deben serlo también, y
si son particulares los términos en la conclusión, en las premisas deben serlo
también ambos. Además, el término medio en las premisas debe aparecer una vez
tomado universalmente y otra vez particularmente. Si estas condiciones se cumplen,
no es necesario hacer una demostración por absurdo o utilizar ningún otro medio
probatorio para establecer con absoluta certeza la validez de la conclusión. Por
ejemplo, tomemos el siguiente silogismo:
Todo S es no-P
Algún H es S
Luego: Algún H no es P
A(s, -p)
I(h, s)
O(h,p)
Es fácil ver por un lado que el modo AI-O no se halla en ninguna tabla de
modos válidos de la silogística categórica (ni en Aristóteles ni en sus comentaristas
incluidos los del siglo XX), no obstante el silogismo es válido de acuerdo con Alvarez
& Correia (2012), ya que por el Axioma de Cantidad se comprueba que los términos
en la conclusión tienen la misma cantidad que en las premisas (h es particular en la
conclusión y también en la premisa menor; p es universal en la conclusión y también
en la premisa mayor); además, el término medio s es universal en la premisa mayor
y particular en la premisa menor. Ahora bien, esta descripción cuantitativa de los
términos del silogismo se corresponde con lo que es exigido obligatoriamente por el
Axioma del Vínculo: que la cantidad de ambos términos en la conclusión sea la
misma que los mismos términos ofrecen en las premisas y que el término medio
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aparezca en una premisa universalmente tomado y en la otra particularmente
tomado.
Desde luego, se puede confirmar que todos los silogismos que son dados por
válidos por Aristóteles y la tradición consecuente de comentarios cumplen también
con lo que describe el Axioma de Cantidad y lo que norma el Axioma del Vínculo,
aunque hay que notar que aquellos que tienen problemas de importe existencial,
como Darapti, Felapton, etc., cumplen parcialmente el Axioma del Vínculo, porque o
bien el término medio está en las premisas todas las veces tomado de manera
universal o bien porque los términos en la conclusión tienen menos (nunca más)
extensión que en las premisas.2 Conviene comentar aquí, aunque esto no lo
profundizaremos, ya que está tratado en Alvarez & Correia (2012), pp. 303-304, que
la condición de que ambos términos en la conclusión tengan la misma cantidad que
la que muestran en las premisas se puede tomar como una condición estricta o no
estricta, dependiendo este uso de si queremos permitir o no que se incorporen
silogismos cuya presuposición existencial sea discutible.
Es cómodo utilizar el Axioma de la Cantidad y el Axioma del Vínculo para
evaluar cualquier proceso conclusivo de la lógica categórica, sea mediato o
inmediato; no obstante, el asunto de interés es que este medio es suficiente en
todos los casos para detectar la validez de cualquier conclusión, sea silogística o no
silogística (es decir, las que se proponen como conclusiones de inferencias
inmediatas). Por ejemplo, tomemos la siguiente:
2
Al respecto, en Alvarez & Correia (2012), p. 304, se dice: “The problem of existential import in a
syllogism arises when one of the following situations occurs: (i) either the major or the minor term, or
any of their correspondent conjugated forms, appears universally taken in the premises and
particularly taken in the conclusion, or (ii) the middle term or its conjugated form always appears
universally taken in the premises. Now, in order to avoid the existential-import problem, one should
assume that the term whose existence is not explicit does exist. Thus, if the problem relates to the
term x, one should assume that the premise ‘There exists an x’ is true.We are to call this assumption
the Aristotelian proviso. Now, by following the Axiom of Particularity and the Aristotelian proviso, the
conclusion of the syllogism will necessarily be particular. This solution is also applicable to
arguments.”
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Todo S es P  Ningún no-P es S
A(s,p)  E(-p, s)
Es fácil notar que –p en la conclusión es universal por ser un término
indefinido, pero como está universalizado por el cuantificador universal de la
universal negativa (=E), el término p es particularmente tomado allí: pero también
en la premisa, ya que es el predicado de una afirmativa (Axioma de Cantidad). Y s en
la conclusión es universal, por ser el predicado de una negativa (Axioma de
Cantidad), y en la premisa s es también universal, ya que está bajo el alcance de un
cuantificador universal (la proposición en efecto es universal afirmativa). Por lo
tanto, el Axioma del Vínculo constata que su condición se cumple, a saber, que la
cantidad de los términos en la conclusión es la misma que los mismos términos
exhiben en la premisa. De este modo, ellos exhiben a la vez una perfecta simetría en
la cantidad de los términos, que es la manera como ellos están tomados conforme a
lo que describe el Axioma de la Cantidad. Conviene observar que, a diferencia de los
procesos silogísticos o mediatos, en las inferencias inmediatas no hay término
medio, por lo que éste no se considera en la evaluación de la validez conclusiva.
El resultado más notable de estos 3 Axiomas es que ellos por si mismos son
capaces de unificar todo proceso conclusivo al interior de la lógica categórica, sin
distinción de que los procesos sean mediatos o silogísticos o inmediatos o
inferencias. De este modo, los 3 axiomas vienen a dar unidad formal intrínseca a la
teoría, ya que el mismo conjunto de axiomas controla los procesos conclusivos de
toda la lógica categórica, sin necesidad de hacer distinciones didácticas como
silogismos e inferencias inmediatas.
2. Los términos indefinidos y su rol en los nuevos axiomas de la lógica
categórica
Como ya se deja ver en lo que anteriormente dijimos, el Axioma de Cantidad
es fundamental para la aplicación del Axioma del Vínculo, el cual a su vez es
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fundamental para la validación de los procesos conclusivos de la lógica categórica en
general. Ahora bien, la tesis que tratamos de probar en este apartado es que en el
Axioma de la Cantidad se controla el comportamiento de los términos indefinidos en
las proposiciones categóricas. En efecto, la lógica categórica contiene términos
indefinidos como partes de las proposiciones simples o categóricas. Ellos son, pues,
o sujetos o predicados, y por esta razón el sujeto o el predicado de una proposición
categórica puede ser o bien un término definido (por ejemplo, ‘hombre’ o ‘justo’) o
bien un término indefinido (por ejemplo, ‘no hombre’, ‘no justo’). De esta definición
se siguen las combinaciones que hemos mencionado arriba en la Figura 1, las cuales
fueron ya reconocidas por Aristóteles en su De Interpretatione 10.
Ahora bien, la importancia de estos tecnicismos ha sido reconocida por los
antiguos comentaristas de este tratado de Aristóteles, siendo el comentario de
Boecio la fuente textual principal para informarse sobre el uso de los términos
indefinidos en lógica categórica. (Cf. De Rijk (1964), p 19. Barnes (1981), p. 82. Ver
también Correia (1997), p. 195, n. 679 y 680).
El reporte de Boecio contiene puntos de interés, siendo el más profundo y, a
la vez, interesante, aquel que se refiere a la diferencia que hay entre una
proposición afirmativa y una negativa y a la consecuente reducción de esta
diferencia a la inclusión de términos indefinidos en la proposición categórica. Tal
como se dijo en Correia (2001), pp. 166-170, esta tesis tiene importantes
consecuencias, en particular en lo que respecta a la aceptación de la regla que de
solo premisas negativas no se obtiene conclusión (Aristóteles Analíticos Primeros I,
4. 41b7-9). Boecio es el único comentarista antiguo que reporta que según el
comentarista peripatético Alejandro de Afrodisias, Platón en su diálogo Teeteto
186e33-4 concluye correctamente desde dos premisas negativas. Dice allí que los
sentidos no captan la esencia. Lo que no capta la esencia tampoco capta la verdad.
Por lo tanto, los sentidos no captan la verdad. El reporte de Boecio sostiene que
estas premisas negativas son equivalentes a afirmaciones de predicado indefinido
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(‘no capta’ = ‘es no captador’), por lo que se sugiere inmediatamente que Aristóteles
aceptaría la equivalencia o la equipolencia entre proposiciones categóricas
cuantificadas de distinta calidad (y los mismos términos), o sea que aceptaría la
obversión o el Canon de Proclo y, en consecuencia, equivalencias formales en su
lógica.
Se ha explicado en Correia (2001), pp. 171-172 y en Correia (2002), pp. 71-72,
la importancia de la regla neoplatónica llamada Canon de Proclo para explicar la
existencia de equivalencias en la lógica de Aristóteles y el fondo de este reporte de
Alejandro de Afrodisias, aunque Boecio nunca mencione el nombre de Proclo ni en
este comentario al De Interpretatione ni en sus tratados silogísticos. El Canon
permite que una proposición negativa sea transformada en una afirmativa y
viceversa por la sola manipulación sintáctica de la cantidad proposicional y la
cantidad de los términos en una proposición categórica, asuntos que trata
directamente el Axioma de la Cantidad. Así ‘Todo S es P’ es equipolente o
equivalente con ‘Ningún S es no-P’, pero la primera es afirmativa y la segunda
negativa. Si Proclo está yendo ilícitamente más allá de Aristóteles también ha sido
tratado por estos artículos y si, finalmente, el Canon es una manera de interpretar la
lógica de Aristóteles ha sido discutido en Correia (2002), pp. 82-83 y Correia (2004),
pp. 255-257, sobre la base de que también existe la posición contraria de que
Aristóteles siempre propone una afirmativa para concluir una negativa y nunca al
contrario. Así Kneale (1978), p. 57 y Soreth (1972), pp. 389-424. En apoyo a Kneale y
Soreth hay que consignar también que Aristóteles en las Refutaciones Sofísticas
167b10 critica la falacia del consecuente entendiendo que aquí, si una cosa implica a
otra, no necesariamente ésta implicará a la primera, pues los adúlteros se perfuman,
pero los que se perfuman no son necesariamente adúlteros.
Los términos indefinidos, que a través del Canon de Proclo llegan a ser
esenciales para la interpretación de la lógica categórica, resultan también esenciales
para la unidad de ésta, ya que a través del estudio de su comportamiento lógico se
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consigue integrar a la lógica categórica los silogismos con términos indefinidos y
unificar todos los procesos conclusivos de la teoría, sea inmediatos o mediatos. Se
trata entonces de ver que el axioma tradicional de la silogística (el predicado de una
negativa es universalmente tomado y el de una afirmativa particularmente tomado)
en unión con el canon de Proclo son equivalentes al Axioma de la Cantidad en lo que
respecta a describir el comportamiento de los términos indefinidos en las
proposiciones categóricas. Este resultado es lo que permitió establecer en Álvarez &
Correia (2012) las siguientes verdades. Sea –p un término indefinido, entonces:
1º s es –p = s no es p. Donde –p implica que p es universalmente tomada.
2º s es p = s no es –p = s es no –p, donde no –p implica que p es
particularmente tomada.
Este resultado ha sido muy significativo porque permitió incorporar, como
hemos dicho ya, por primera vez, los términos indefinidos en la silogística
categórica. Como se sabe, éste fue un resultado que autores de la talla de Bochenski
(1948), Thomas (1949) y Prior (1953) buscaron infructuosamente. El haber logrado
incorporar los términos indefinidos en la silogística categórica significa a la vez la
posibilidad de presentar a la lógica categórica como una unidad, un todo sin
extensiones, en que las reglas de deducción para las inferencias inmediatas y las
mediatas (=el silogismo) sean las mismas, de modo que no haya que diferenciar un
tipo de deducción de otro.
3. Consecuencia lógica y Axioma del Vínculo
En relación a lo anterior, se puede sostener que hay consecuencia lógica en
todo proceso conclusivo donde se cumpla el Axioma del Vínculo, el cual se apoya en
el Axioma de la Cantidad. En otras palabras, hay conclusión lógica cuando los
términos de la conclusión tienen la misma cantidad que los mismos términos
ofrecen en las premisas y el término medio que comunica la conclusión aparece una
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vez universalmente tomado y otra vez particularmente tomado en las premisas. Solo
basta, pues, detectar la manera como está tomado un término para dar respuesta a
la validez lógica. Todos los procesos silogísticos que no cumplen con este Axioma
son inválidos. En las así llamadas inferencias inmediatas no consideramos el estado
del término medio porque éste no existe, pero sí el Axioma del Vínculo, que en este
caso exigirá igualmente que los términos de la conclusión no tengan más extensión
que en la premisa o antecedente. Si los términos de la conclusión tienen menos
extensión que la que tienen en las premisas, se generarán los conocidos problemas
de importe existencial.
Esta es desde luego una idea nueva en el sentido de que no había sido
presentada antes, pero no en cuanto modifica nuestra idea intuitiva de lo que es
una conclusión lógicamente válida. Lo nuevo radica, pues, en sostener que nuestra
idea clásica de conclusión lógicamente válida depende de la manera como se vincula
la cantidad de los términos en una proposición en relación con la cantidad que
tienen los mismos términos en la o las premisas: y ello es precisamente lo que
detecta la unión de los dos axiomas mencionados. En otras palabras, los dos axiomas
mencionados permiten detectar la simetría cuantificacional de los términos de la
conclusión y los términos de las premisas, lo cual no podría haberse detectado con
precisión, a menos que el rol de los términos indefinidos en la proposición
categórica hubiese sido definido a partir de la manera como se comportan en ella.
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