CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (ADM) – MA43 Ciclo 2008-II Caso

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (ADM) – MA43
Ciclo 2008-II
Caso
Temas
:
:
MODELO TEMPORAL DE PRECIOS
Modelos dinámicos y elasticidad
Profesora
:
Alessandra Zurita Cahill (correo electrónico: pcmaczur@upc.edu.pe)
INTRODUCCIÓN
Los precios de los diferentes productos que encontramos en el mercado cambian a lo largo del tiempo. La
cantidad demandada y ofertada dependen no sólo de dicho precio1, sino de las expectativas que el
consumidor o vendedor pueda tener respecto del precio esperado en el futuro. En términos matemáticos, la
cantidad demandada y ofertada dependen de p(t ) y p ' (t ) .
Por ejemplo, en un contexto en el que se espera que el precio de un determinado bien se incremente en el
futuro, los compradores decidirán comprar más en el presente (la cantidad demandada aumenta). ¿Qué
sucede con los productores? Estos preferirán no ofrecer toda su mercadería en el presente (la cantidad
ofertada disminuye), pues saben que el precio de su producto se incrementará en el futuro.
El principio económico que rige el modelo que se le presenta a continuación es aquel que indica que el
precio de un bien en cualquier tiempo “ p(t ) ” está determinado por el equilibrio de mercado. Es decir,
responde a la condición de que la cantidad demandada es igual a la cantidad ofertada, en todo tiempo
“t”.
PARTE I
En un determinado país se dan las condiciones anteriormente mencionadas, siendo respectivamente las
ecuaciones de demanda y oferta las siguientes:
 a  dD y a  4
D  120  ap(t )  p ' (t )
dp
donde:
dO
 b
y b 8
O  12  bp(t )  5 p ' (t )
dp
 D = cantidad demandada
 O = cantidad ofertada
a) Demuestre que:
 a  4 y b  8
 Al plantear el equilibrio de mercado, se llega a una ecuación diferencial de primer orden.
b) Resuelva la ecuación diferencial y demuestre que p(t )  9  11e 2t , si se sabe que el precio
inicial de mercado es de US$20.
c) Demuestre que el precio en el largo plazo es de US$9. Grafique p(t ) empleando el análisis
de la primera y segunda derivada.
1
El caso más sencillo, la ecuación de demanda D  a  bp sólo depende del precio.
d) De (a) se sabe que p ' (t )  18  2 p . Demuestre que la ecuación de demanda en este modelo
temporal es q  2 p  102, para un intervalo de 9  p  20 .
e) Halle la elasticidad precio de la demanda en p  20 (situación inicial). Observe el
comportamiento del precio (graficado). ¿Es posible afirmar que, dado el valor de la
elasticidad hallado, el ingreso del productor aumentará?
Nota: NO halle la ecuación del ingreso. Recurra a la teoría de elasticidad aprendida en
clase. ¿Qué relación existía entre el precio y el ingreso, cuando la demanda era inelástica?
PARTE II
Si bien en el modelo anterior usted llegó a una función p(t ) , considerando que siempre se estaba en una
situación de equilibrio de mercado, es posible trabajar con otro tipo de modelos (como el modelo de Evans)
en los que se parte de un desequilibrio inicial, que determinará el aumento o caída del precio en el tiempo.
Así, si se parte de una situación de exceso de oferta2, se esperará que conforme transcurra el tiempo, el
precio tienda a caer y que en el largo plazo converja al equilibrio.
Responda a las siguientes preguntas, a partir de este nuevo escenario:




Se parte de un exceso de demanda
La ecuación de demanda es D  2 p  102
La ecuación de oferta es: S  p
La razón de cambio instantánea del precio respecto del tiempo es proporcional a la diferencia entre
la cantidad demandada y la cantidad ofertada.
a) Halle el precio y cantidad de equilibrio de este mercado. Grafique e indique, en la misma
gráfica, el exceso de demanda que se genera inicialmente si se sabe que el precio inicial de
mercado es de US$20. Demuestre que este exceso de demanda es de 42 unidades.
b) Si se sabe que después de 8 años el precio es de US$30, demuestre que p(t )  34  14e 0,156595 t
c) Calcule el excedente del consumidor para 0  q  34 .
d) Grafique p(t ) , empleando el análisis de la primera y segunda derivada. Analice el comportamiento
del precio e indique qué ocurre en el largo plazo.
Para reflexionar: ¿Habría sido posible predecir el signo de
2
P
?
t
Se genera un exceso de oferta cuando para un determinado precio, la cantidad ofertada supera a la cantidad
demandada. Por otro lado, se genera un exceso de demanda (escasez del bien) cuando la cantidad demandada es mayor
a la cantidad ofertada. Ambas son situaciones de desequilibrio.