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HACIENDO MATEMÁTICAS:
LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Javier Ibarra (*)
En un popular programa de televisión, el presentador daba a elegir al concursante una entre
tres puertas, asegurando que tras una de ellas encontraría un coche, mientras que las otras
dos ocultaban sendas cabras.
Una vez tomada la decisión (a veces después de mucho pensar), el presentador abría una
de las dos puertas que el concursante no había elegido, tras la cual aparecía siempre una
cabra. El presentador, por supuesto, sabe dónde está el coche, y aprovecha el momento para
ofrecer al concursante la posibilidad de cambiar de puerta.
Estallan murmullos y hasta gritos entre el público, animándole a lo uno o a lo otro. Y tú...
¿qué harías?
Así comencé en octubre de 2003, en mi nuevo destino como profesor de Bachillerato, “el
problema de la semana”. Se trataba de un problema matemático expuesto en una vitrina de
pasillo, abierto a todos los alumnos del centro y cuya resolución no tenía recompensa alguna
en forma de premio o nota. El motivo por el que me animé a hacerlo es muy simple: resolver
problemas me ha proporcionado tantas satisfacciones, que no me cabía la menor duda de que
también entre mis alumnos habría quienes disfrutasen resolviéndolos por el simple placer de
superar el desafío.
Los griegos antiguos llamaban literalmente
(pronunciado esdrújulamente: problema) al saliente o promontorio que un barco encontraba al navegar cerca de la costa. Sólo
posteriormente dieron a esta palabra el sentido figurado de "cuestión planteada". Ambos significados tienen en común la necesidad de tomar decisiones y de crear una estrategia para
superar la dificultad; en definitiva, la necesidad de pensar.
En matemáticas entendemos un problema como la búsqueda de la solución a una dificultad
planteada mediante un enunciado y que implica necesariamente la creación de un modelo
matemático.
La resolución de problemas no puede hacerse de una manera mecánica, puesto que no hay
un método infalible que sirva para solucionarlos todos. Resolver un problema es una búsqueda
y, por tanto, una acción de resultado incierto, porque no siempre que uno busca encuentra.
El mero hecho de buscar supone ya una actividad que puede alcanzar distintos grados. Uno
puede “buscar por encima”, mientras que otro “rastreará” mediante el uso de herramientas
o estrategias, esto es, haciendo una búsqueda meticulosa. Evidentemente, si uno busca con
cierto criterio es más fácil encontrar y, además, todos sabemos que con la experiencia mejoran
notablemente los resultados. Pero buscar concienzudamente no es suficiente. Para resolver
un problema también hay que ser “creativo”. Al plantearnos un problema nos enfrentamos a
situaciones nuevas y para resolverlo debemos tener una actitud mental activa.
(*) Jefe del Departamento de Matemáticas del Colegio Gaztelueta.
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Precisamente por esto, ante un problema siempre tendremos que pensar y ésta es la causa de
que muchos alumnos fracasen en su resolución. Aprender a Pensar, con mayúsculas, es mucho
más complicado que aprender a multiplicar o a resolver ecuaciones de segundo grado. Si una
tarea matemática puede resolverse de una manera mecánica, es decir, aplicando un proceso
conocido pero sin tener que pensar, entonces no estamos ante un problema sino ante otra
cosa, quizás un ejercicio.
Aprender a resolver ejercicios es una tarea relativamente sencilla; basta con memorizar el
método o, mucho más práctico, hacer muchos ejemplos, de manera que, a base de repetirlo
tantas veces, al final consigamos fijarlo en nuestra cabeza. Cuando un alumno se enfrenta a
un ejercicio no tiene que pensar. Las primeras veces se limitará a seguir unos pasos que no
tiene por qué comprender (a menudo ni siquiera puede) y al final terminará resolviéndolos
mecánicamente. Analizándolo desde otra perspectiva, podríamos asegurar que, si un alumno
no conoce el método, no podrá resolver un ejercicio, por mucho que piense. Para comprenderlo basta con imaginar un alumno a quien planteáramos una ecuación de segundo grado sin
conocimiento de la fórmula para resolverla. Misión imposible.
Conviene aclarar que esta distinción ejercicio-problema no es absoluta. A medida que maduramos en matemáticas, lo que en principio era un problema se suele transformar en un simple
ejercicio. “Tres amigos tienen 2 caramelos cada uno. ¿Cuántos caramelos tienen en total?”.
Este enunciado tan simple es un problema para alguien que, conociendo los números, no
sepa sumar ni multiplicar, por ejemplo un niño de cuatro años. Para él, la resolución pasará
por visualizar (dibujándolos o colocando objetos a modo de caramelos) los tres grupos de dos
caramelos y contarlos, que no sumarlos. Para alguien que conozca la multiplicación dicho problema es simplemente eso, una multiplicación: 3 x 2 = 6. El niño realiza un proceso creativo y
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por lo tanto resuelve un problema; el adulto, en cambio, no necesita pensar, de modo que, en
su caso, no deberíamos hablar propiamente de un problema.
Para resolver un problema, el alumno tiene que hacer una pausa, una reflexión y hasta puede
ser que deba dar pasos nunca antes dados. Mucho más que la presencia de un enunciado
“con letra”, esta característica de dar un paso creativo en la resolución, es lo que distingue
a un problema de un ejercicio y es precisamente la causa de la dificultad de los problemas.
Resolver un problema exige un esfuerzo intelectual. Al resolver un problema debemos recurrir
al ingenio, y ahí está la clave. A un alumno se le puede exigir que sea trabajador, pero nunca
que sea ingenioso. El propio nombre de ingenio da a entender una cualidad innata, algo que
sencillamente se tiene o no se tiene.
Yo, por mi parte, pienso que esta facultad, como tantas otras, puede desarrollarse y potenciarse
si se trabaja adecuadamente o, por el contrario, puede atrofiarse de una manera definitiva si
se renuncia a ella. Los profesores de matemáticas tenemos en los problemas una gran herramienta para desarrollar el ingenio de nuestros alumnos y, por ello, una gran responsabilidad.
No es que sólo puedan resolver problemas los ingeniosos, sino que quienes consigan resolver
problemas al final terminarán siendo ingeniosos.
He hablado de la diferencia entre ejercicio y problema, y quisiera destacar la importancia
de trabajar ambos. Ejercicios y problemas se complementan y permiten desarrollar diferentes
capacidades en los alumnos. Hacer ejercicios ayuda al alumno a aprender conceptos, propiedades y procedimientos, los cuales tendrá que aplicar posteriormente cuando se enfrente a la
tarea de resolver problemas; además, durante la resolución de problemas normalmente llega
un momento en el que hay que resolver un ejercicio, y sin un perfecto dominio de éstos el
alumno no podrá resolver con éxito la mayoría de los problemas.
Quizás el debate debería centrarse en el porcentaje de tiempo que deberían dedicar los alumnos a resolver problemas, esto es, a Pensar, en lugar de estar realizando ejercicios repetitivos.
Actualmente en muchos colegios priman los ejercicios sobre los problemas, por aquello de
“hacer la signatura más fácil”; y esto, desde mi punto de vista, es un gran error. Es difícil entusiasmar a un alumno haciendo lo mismo día tras día y sé por experiencia que cuando les pido
repetir el mismo tipo de ejercicio para que aprendan un determinado método, lo único que
percibo en sus caras es una deprimente sensación de estar perdiendo el tiempo.
En esta línea, me gustaría citar alguna frase que me dijeron aquellos que me enseñaron a
disfrutar de las matemáticas y que suelo tener presente durante el trabajo de aula. “No se estudian las matemáticas: se hacen matemáticas”, “Lápiz, papel y muchos folios a la papelera”,
“Léelo otra vez”, “Piensa, Piensa, Piensa”, con mayúscula. Gracias a ellos y a que nunca me
dijeron cómo resolver un problema idóneo (no todos lo son), entendí que no había un método
para resolver problemas y que precisamente en esto radicaba su encanto.
Cada problema era y es un desafío en sí mismo, un enigma que hay que resolver, y así deberían entenderlo nuestros alumnos, de modo que su resolución siempre les reportará un cierto
grado de satisfacción. Claro que los problemas también tienen “su lado oscuro”. Si un alumno
no es capaz de resolver el problema que le hemos propuesto, el ver que otros sí lo han logrado
podría generar en él sentimientos de frustración o de inferioridad. La labor del profesor en
este aspecto es vital, de manera que cada problema planteado llegue a ser un medio para
avanzar en su formación matemática y en su madurez. Un profesor nunca debería plantear un
problema que por su dificultad no esté al alcance de sus alumnos, y por otra parte tampoco
tiene sentido plantear problemas en los que los alumnos no necesiten pensar. Para que ellos
disfruten de los problemas es muy importante que propongamos problemas adecuados. Ni
tan fáciles que parezcan un insulto a su inteligencia, ni tan difíciles que piensen que el único
objetivo del problema era el propio lucimiento del profesor.
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Poniéndome en la piel de mis alumnos considero que, ante el reto de resolver un problema,
es necesario que tengan una actitud positiva, y por ello insistiremos en que no les vamos a
exigir nada que no sean capaces de lograr. Sin embargo, muchas veces no es suficiente la
buena disposición entre ambas partes, pues la sucesión de fracasos puede acabar minando
la moral del más entusiasta.
El asunto no es nuevo, y hay abundante literatura sobre el tema, siendo quizás George Polya
(Hungría 1887-1985) el matemático más conocido en esta área, gracias a su libro Cómo
Plantear y Resolver Problemas (editado por Trillas), en el cual describe su hoy ya clásico
Método de Cuatro Pasos.
Los cuatro pasos que propone y que a continuación analizaré detalladamente son:
1. Comprender el enunciado del problema.
2. Crear un plan o una estrategia para resolverlo.
3. Ejecutar el plan.
4. Analizar y comprobar la solución obtenida.
PASO 1: ENTENDER EL PROBLEMA
“No lo entiendo”.
Esta es, sin duda, la primera frase usada por un alumno al que se le atragantan los problemas.
En la mayoría de los casos la frase se pronuncia sin siquiera haberlo intentado. Y es que, pese
a nuestros ánimos o quizás por nuestra culpa, muchos alumnos están convencidos de que no
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podrán resolverlo. Tras una primera lectura superficial caen en la cuenta de que ese problema
no lo han hecho antes y buscan la salida fácil: refugiarse en el “no lo entiendo, que alguien
me lo explique” para justificar su falta de esfuerzo. Es evidente que en este primer paso la
dificultad no es de tipo matemático, sino de atención y de comprensión y por lo tanto no hay
ninguna razón para aceptar la excusa.
Este primera reacción infantil debe ser evitada a toda costa por los alumnos y nunca consentida por los profesores. Insisto, deberíamos convencerles de que “aunque no lo crean son
capaces de entenderlo y, a partir de ahí, resolverlo”.
Volviendo al punto de vista del alumno, es frecuente que al leer un enunciado por primera vez,
sobre todo si éste es largo, el alumno no llegue a asimilar la información, se sienta perdido y
finalmente sólo le quede una pregunta que, evidentemente, no sabe responder. Por regla general,
un problema hay que leerlo varias veces. “¿Cuántas?” –me preguntan mis alumnos más “durillos”, y la respuesta suele descorazonarles: tantas como sea necesario, y pueden ser, les digo por
experiencia, muchas. Uno de los primeros obstáculos de estos alumnos es que no realizan una
lectura comprensiva, atenta, fijándose en lo importante y obviando lo circunstancial. Debemos
insistirles en que lo lean despacio, prestando atención hasta que comprendan perfectamente
cuál es el objetivo que se busca y de qué información se dispone para llegar a él; esto es, cuáles
son los datos de partida. Sólo cuando el alumno sepa responder a estas dos cuestiones llega el
momento de copiar los datos, prescindiendo de todo lo accesorio, y pasar a analizarlos. ¿Hay
suficiente información? ¿Hay información “extraña”, es decir, inútil, redundante, contradictoria?
Una vez que ha interpretado correctamente el enunciado y ha comprendido perfectamente
el problema, dando respuesta a todas estas preguntas, el alumno estará en condiciones de
plantearse el segundo paso.
PASO 2: CREAR UNA ESTRATEGIA PARA RESOLVERLO
Retomando el símil de la búsqueda, en este momento, el alumno ya sabe lo que busca y ahora
le toca pensar en cómo lo consigue. No debería precipitarse. En este momento el objetivo no
es dónde está la respuesta, sino la creación de una estrategia para encontrarla.
Quizá en este momento el alumno recuerde que ya ha resuelto con anterioridad problemas
similares (lo que significa que ya conoce una estrategia) o simplemente relacionados con el
propuesto (lo que significa que tiene alguna pista sobre el camino a seguir). Si esto fuera así el
2º paso del método de Polya estaría terminado. Sin embargo, muchas veces el alumno debe
enfrentarse a problemas nuevos y aquí es donde encuentra una segunda excusa para rendirse:
“Nunca hemos hecho uno de este tipo”.
Como ya he comentado, un problema, para serlo realmente, ha de tener ese punto de novedad, esa condición de enigma. Un alumno que sólo es capaz de resolver “problemas tipo”
(el profesor realiza uno y manda cinco iguales cambiando los datos) no está aprendiendo a
razonar, y por lo tanto no está aprendiendo a resolver problemas. No se esfuerza en pensar
y no desarrolla su ingenio. El problema simplemente deja de serlo. Lo mismo que antes he
afirmado que es muy importante hacer muchos ejercicios de un mismo tipo para memorizar
el método de resolverlo sin darse cuenta, ahora es el momento de decir que no tiene sentido
hacer muchos problemas de un mismo tipo. En lugar de eso, es mucho más eficaz conseguir
que un alumno realice por sus propios medios unos pocos problemas diferentes pero que le
obliguen a pensar.
Es, por tanto, en este segundo paso del método de Polya donde a menudo el alumno tiene que
ser creativo. Es el momento de Pensar con mayúsculas, de razonar, de inventar y de descubrir.
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Si bien lo ideal sería que el propio alumno descubriese por sí mismo diferentes estrategias,
creo que no es perjudicial dar algunas pistas que faciliten este proceso. A modo de ejemplo,
puedo sugerir las siguientes:
• Hacer un dibujo (figura, gráfico, diagrama,...).
• Resolver una situación similar más simple, con pocos casos, e ir poco a poco complicándola para, a partir de ahí, buscar una hipótesis y comprobarla.
• Empezar por el final.
• Buscar un contraejemplo para darse cuenta de que algo no es cierto.
• Usar la famosa máxima militar de “divide y vencerás”, transformando un problema
grande en varios pequeños.
• Buscar una fórmula.
• Buscar simetrías que puedan simplificar el problema.
• Métodos de demostración (inducción, reducción al absurdo,...).
• “La cuenta de la vieja” (fuerza bruta).
No puedo dar por finalizadas estas sugerencias sin señalar que el popular método de “la
cuenta de la vieja” tiene dos variantes: es muy válida cuando se emplea para hacer operaciones de memoria (por ejemplo para calcular 21x13 haría: (21x10)+(21x3), es decir 210+63
= 273); pero deja de serlo cuando se emplea para resolver problemas mediante la simple
“fuerza bruta”, que consiste en hacerlo “a lo bestia”, sin reflexión, analizando todos los casos
posibles (muchos) en un desarrollo normalmente largo y tedioso, en lugar de pensar una
estrategia cómoda. En este segundo caso, desde el principio, el alumno tiene la sensación
de que el método que utiliza no es el bueno, y de que ese problema podría haberse resuelto
de otra manera más inteligente. Asimismo suele caer en la cuenta de que, si hubiese habido
un número mayor de casos, habría llegado a írsele de las manos. Es, por tanto, una solución
de emergencia que salvo, quizás, en una situación de la vida real donde la respuesta es lo
importante, no tiene gran valor. Pero ése no es el camino que nos interesa enseñar, puesto que
no aporta nada al alumno; aunque, ciertamente, permitirá conocer la respuesta del problema
antes de encontrar la estrategia, lo cual será de ayuda para dar con el camino o para confirmar
el resultado encontrado.
Pero un problema alcanza su máxima expresión cuando la búsqueda de la estrategia es
incierta, cuando a lo largo del proceso surgen distintos obstáculos que hay que sortear, distintas puertas abiertas entre las que elegir. En estos casos resolver el problema es como vivir
una aventura: ¿llegaré por aquí o será mejor por allá?; ¿será más corto por ese otro camino?;
¿dónde me he metido?; ante una dificultad, ¿me enfrento al desafío o lo evito?
Ni qué decir tiene que, cuanto más grande es el desafío, mayor es la satisfacción de conseguirlo. Cuanto mayor es el obstáculo más gratificante resulta superarlo.
Una vez más, me gustaría hacer hincapié en que ningún profesor debería poner a sus alumnos
un problema que no esté a su alcance, y en que el hecho de no ser evidente es precisamente
lo que le hace ser un buen problema. Un problema es la herramienta que obliga a los alumnos
a crear razonamientos propios, y eso es lo importante. Para este propósito, que el profesor
explique el problema y que el alumno se limite a entender sus razonamientos, aparte de ser
un recurso muy fácil, no aporta gran cosa.
Al resolver un problema, muchas veces el alumno tendrá que elegir por qué camino va.
Nosotros, deberíamos indicarle que tomar la decisión al azar es la última opción; en lugar de
hacerlo así, sin pensar, debería tener presentes dos cosas: primero, que puede intuir a dónde
van los caminos si se interna un poco en cada uno de ellos; y segundo, que, si un camino
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Haciendo matemáticas: la resolución de problemas
se empieza a poner muy complicado o no lleva a ninguna parte, lo más sensato es dejarlo e
iniciar otro. En efecto, uno de los peligros que tienen en este momento es persistir en una mala
estrategia. El alumno tiende a obcecarse en seguir el primer camino, convencido de que es
el correcto, sin pensar que tal vez va mal desde el principio. Debemos hacerles ver que ante
un callejón sin salida, cambiar de estrategia es una opción válida; que hay momentos en que
tienen que ser humildes (pueden estar equivocados) y positivos (todo el trabajo que han hecho
sí sirve de algo: ya saben por dónde no deben ir).
Otro consejo que les daremos es que, en caso de estar bloqueados, también se suelen obtener
buenos resultados concediéndose un tiempo muerto, pasando a otro problema o descansando
sin más, dejando de pensar en el problema durante un tiempo, dejándolo macerar en la
cabeza. Algunos problemas son de “idea feliz” y a menudo hay que darle tiempo al tiempo
para que se nos encienda la bombilla.
PASO 3: EJECUTAR EL PLAN
El alumno ya ha decidido por dónde va.
Es el momento de crear un modelo matemático que le permita encontrar la solución y para
ello debe empezar por definir la (o las) incógnitas; esto es, nombrar con una letra los valores
desconocidos necesarios para relacionar los datos y el objetivo del problema (habitualmente
se utilizan las letras x, y, z pero podrían ser otras).
Una vez que están perfectamente claras las incógnitas, debemos construir las ecuaciones,
inecuaciones, funciones,... que relacionen los datos y el objetivo. En este momento, muchas
veces, el problema se transforma en un ejercicio (resolver un sistema, resolver una ecuación,
hacer la gráfica de una función...).
Es evidente, por tanto, la importancia que tiene para la resolución de problemas ser capaz de
resolver ejercicios con garantías.
PASO 4: ANALIZAR Y COMPROBAR LA SOLUCIÓN OBTENIDA
Es muy frecuente que, al llegar a una solución cualquiera, el alumno dé por concluido el problema y acepte la solución sin analizarla. “CRASO ERROR”. No es el momento de perder la
cabeza y dejarse llevar por la euforia; muy al contrario, se debe mantener una tensa calma y
la cabeza fría hasta que la comprobación nos dé la certeza de que la solución es correcta.
Conviene recomendarles en este momento que vuelvan a leer el enunciado hasta tener claros
los siguientes puntos: en primer lugar se asegurarán de que la respuesta no es descabellada y
entra dentro de lo lógico y probable, pues dar un resultado absurdo dice muy poco de quien
resuelve el problema; y, una vez que se han asegurado de que el resultado puede ser correcto,
deben comprobar todas las condiciones del enunciado.
Lo siguiente será comprobar que han encontrado exactamente lo que se les ha preguntado y
no dejar de plantearse la posibilidad de que haya otras soluciones.
Si todo lo anterior está confirmado, tendremos la certeza de haber resuelto el problema con
éxito. Ya sólo queda poner por escrito la solución, dedicando un tiempo a hacerlo de forma
adecuada. Esto incluye los siguientes requisitos: la solución debe aparecer al final de la resolución, fácilmente localizable por el corrector (recuadrada o marcada de forma especial);
debe ser clara, sin dar lugar a interpretaciones; ha de estar enunciada en palabras y además,
salvo que las imponga el enunciado, sin las incógnitas que hayamos usado ni los resultados
intermedios; y, por supuesto, si procediera, no hay que omitir las unidades.
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Y esto es todo. Por cierto, al concursante del problema que encabeza este artículo le conviene
cambiar de puerta. Esto no le asegura el coche, pero duplica las probabilidades de conseguirlo, pasando de 1/3 a 2/3. ¿Estamos de acuerdo, verdad? ¿O no?
Bien, puesto que siempre que he planteado este problema la mayoría no está de acuerdo con
la solución, no quiero terminar este artículo sin comentarla. Prácticamente todo el mundo
piensa que al final hay un 50% de probabilidades de acertar en cada puerta. Precisamente ahí
está “la gracia” de este problema; en que lo primero que suele pasarnos por la cabeza, lo que
pensamos que es evidente o intuitivo no es lo correcto.
Para que lo entiendan todos mis alumnos propongo una situación similar pero más exagerada.
Les pido que le echen imaginación y les cuento algo parecido a esto: “Eres un preso en un
castillo medieval y el carcelero te presenta 100 celdas. Una de ellas conduce directamente al
exterior y si aciertas podrás marcharte, en las otras 99 hay un potro de tortura donde, sin duda,
pasarás un mal rato. Te deja elegir una y tú la eliges, sabiendo que sólo tienes un 1% de probabilidades de cenar en casa. Pero entonces el carcelero, que no tiene otra cosa mejor que hacer
y sabe dónde está la salida, te abre 98 de las puertas que estaban cerradas y te muestra detrás de
cada una un potro de tortura. En este momento quedan dos puertas cerradas, la que tu elegiste
y otra que el carcelero, curiosamente, no ha abierto. ¿Cómo te sientes? ¿Crees que tu situación
ha mejorado? Y lo que es más importante: si te diese la opción de elegir la única puerta (de las
99 que descartaste) que él no ha abierto, ¿seguirías ¡cabezón! con tu idea inicial?”
ANEXO: ALGUNOS PROBLEMAS QUE HAN APARECIDO DURANTE
ESTOS AÑOS EN “EL PROBLEMA DE LA SEMANA”
12 · diciembre · 2003
Demostrar que para todo entero n se cumple que:
a) n3-n es divisible entre 3
b) n5-n es divisible entre 5
c) n7-n es divisible entre 7
d) ¿Será cierto entonces que n elevado a un número impar menos n (n2k+1 – n) será siempre
múltiplo de ese número impar?
Solución:
Antes de empezar la demostración quisiera aclarar que para demostrar que una proposición
es cierta, ver que todas los ejemplos concretos que hagamos funcionan no demuestra nada,
aunque si encontráramos un ejemplo que no funciona (en matemáticas lo denominamos contraejemplo) demostraríamos que la proposición es falsa.
.
a) Empezamos probando que n3-n es 3 (múltiplo de 3).
Factorizando la expresión obtenemos:
Hemos encontrado el producto de tres números enteros consecutivos. Necesariamente uno
de ellos será múltiplo de tres y por tanto todo el producto también lo será. Por lo tanto n3-n
es divisible entre 3.
.
b) Vamos a probar que n5-n es 5
La estrategia es similar a la anterior. Factorizamos la expresión y comprobamos que siempre
algún factor es múltiplo de 5.
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Haciendo matemáticas: la resolución de problemas
n5 - n = n · (n4 - 1) = n · (n2 - 1) (n2 + 1) = n (n + 1) (n - 1) (n2 + 1)
.
.
Cualquier número
natural
n,
o
bien
es
5
,
o
puede
expresarse
como
un
5
±1, o puede expre.
sarse como un 5 ±2.
Hay, por tanto, que analizar cinco situaciones.
.
Si n = 5 , entonces el producto (*) es evidentemente múltiplo de 5.
.
Si n = 5 ±1, entonces o bien (n - 1) o bien (n + 1) será múltiplo de 5 y por tanto el producto
(*) también lo será.
.
Falta ver que también se cumple cuando n = 5 ±2; en este caso tendríamos que comprobar
que (n2 + 1) es múltiplo de 5.
.
.
(5 ±2)2 + 1 = (5 · k ±2)2 + 1 = 25 · k2 ±20 · k + 4 + 1 = 25 · k2 ±20 · k + 5 = 5 ; k  N
Se cumple entonces que para cualquier número natural n5 - n es múltiplo de 5 y por tanto
divisible entre 5.
c) Veamos qué ocurre con n7 - n.
Si intentamos un razonamiento similar al de los apartados anteriores, observamos que la factorización es:
.
.
.
Cualquier número
natural n, o bien es 7 , o puede expresarse como un 7 ±1, o como un 7 ±2,
.
o como un 7 ±3.
Habría, por tanto, que analizar siete situaciones, de las cuales tres cumplen la afirmación de
una manera evidente , pero las otras cuatro no son tan evidentes y demostrarlo para cada una
de ellas lleva su tiempo.
!!Es el momento de pensar que a lo mejor hay un camino más corto¡¡
Un método de demostración típico para propiedades de los números naturales es “el método
de inducción”, que afirma:
Una propiedad es cierta para todos los números naturales cuando se cumplen dos condiciones:
a) Es cierta para n = 1.
b) Si el ser cierta para un número cualquiera n implica que también lo es para n+1.
Ciertamente, el enunciado habla de números enteros, por lo que a los naturales añadimos el 0
y los enteros negativos. Sin embargo, probando que la propiedad es cierta para los naturales lo
habré probado automáticamente para los enteros negativos (el resultado sólo cambia el signo
y tendría los mismos divisores) y la propiedad es, evidentemente, cierta cuando n = 0.
Así que voy a probar por inducción la siguiente proposición: Para cualquier número natural n,
es múltiplo de 7. Debemos probar:
a) Es cierta para n = 1. Evidente. El cero es múltiplo de 7.
b) Si es cierta para un número cualquiera n entonces también lo es para n+1.
Veamos si
es múltiplo de 7, usando que n7 - n lo es.
Desarrollo la potencia del binomio usando el binomio de Newton.
Entonces los unos se simplifican y agrupando convenientemente nos queda:
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.
Si n7 - n es 7 entonces puede expresarse como 7k, quedándonos que:
.
(n + 1)7 - (n + 1) = 7k + 7(n6 + 3n5 + 5n4 + 5n3 + 3n2 + n) = 7
Y entonces la segunda condición del método de inducción también se cumple y se deduce
que la proposición es cierta para todos los números naturales.
d) En cuanto a la última pregunta, voy a buscar un contraejemplo.
El siguiente caso sería n9 - n. Si n = 2 tendríamos 29 - 2 = 512 - 2 = 510 que no es divisible
entre 9, por lo que la proposición es falsa.
Deducimos que: No siempre n2k+1 – n será múltiplo de 2k+1.
22 · octubre · 2004
En una reunión hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes. Se sabe que, en cada grupo
de 6, al menos dos tienen la misma edad. Demostrar que hay al menos 5 personas del mismo
país, de la misma edad y del mismo sexo.
Solución:
Como siempre que cojamos 6 personas hay dos de la misma edad, concluimos que sólo hay
5 edades diferentes. En caso contrario podríamos hacer un grupo de 6 personas con edades
distintas lo que contradice la hipótesis.
Por otra parte, si hay 201 personas podemos asegurar que hay, al menos, 101 personas del
mismo sexo.
Trabajando con esas 101 personas las agrupamos por edades. La situación más dispersa sería
4 grupos de 20 y uno de 21. Es decir podemos asegurar que hay un grupo de 21 personas de
la misma edad con el mismo sexo.
Finalmente, trabajando con esas 21 personas, las agrupamos por nacionalidades (recordemos
que hay 5). La situación más dispersa sería 5 de una nacionalidad y 4 de las otras. Concluyendo
que, efectivamente, hay con seguridad 5 personas de la misma nacionalidad, edad y sexo.
29 · abril · 2005
a) El otro día, cuando fui al campo de merienda, el viaje de ida lo hice a una velocidad media
de 60 km./h. y el de vuelta, debido a las caravanas, a 30 Km./h. ¿Qué velocidad media
conseguí en el viaje completo?
b) Un esquiador sube en telesilla a 5 km/h. ¿A qué velocidad tendrá que descender esquiando
para conseguir una velocidad de 10 km/h. en el recorrido total?
Solución:
El objetivo de estos dos problemas es comprobar que algo que para mucha gente es “lógico”
no es cierto; y es que, la velocidad media no es la media de las velocidades y no siempre
estamos en condiciones de alcanzar una determinada velocidad media.
La única fórmula, conocida por todos, que vamos a usar es que la velocidad media es el espacio recorrido entre el tiempo que se tarda.
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Haciendo matemáticas: la resolución de problemas
a) Viaje de ida: Recorrimos X Km. En un tiempo TI. La velocidad media de la ida fue
VMI = 60 Km/h.
Entonces:
Viaje de vuelta: Recorrimos X Km. En un tiempo TV. La velocidad media de la vuelta fue
VMV = 30 Km/h.
Entonces:
Viaje completo: Recorrimos 2X Km. En un tiempo TI + TV. Entonces la velocidad media del
viaje completo VM será:
Solución: La velocidad media del viaje es 40 Km/h
b) Viaje de ida (subida en el telesilla): Recorrimos X Km. En un tiempo TI. La velocidad media
de la ida fue VMI = 5 Km/h.
Entonces:
Viaje de vuelta (descenso): Recorrimos X Km. En un tiempo TV. La velocidad media de la
vuelta fue VMV Km/h.
Entonces:
Viaje completo: Recorrimos 2X Km. En un tiempo TI + TV. La velocidad media del viaje completo queremos que sea 10Km/h:
De aquí, pasando lo que divide al otro lado multiplicando obtenemos:
Acabamos de encontrar una contradicción, es imposible que consiga una velocidad media en
el descenso que le permita tener una velocidad media en el recorrido total de 10Km/h.
Nota: ¡Para duplicar la velocidad media de la ida, el tiempo invertido en descender debería
ser 0! ¡Conseguir más del doble supondría descender en un tiempo negativo!.
Solución: Es imposible conseguirlo.
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30 · septiembre · 2005
Un reloj se mueve con velocidad constante y sus agujas se superponen cada 62 minutos.
Averiguar si adelanta o atrasa y precisar en qué medida.
Solución:
En primer lugar vamos a obtener toda la información posible de un reloj que esté bien.
Necesitamos saber la velocidad de las agujas (Horario y minutero).
.
El minutero recorre una vuelta completa en una hora; es decir, su velocidad es de
El horario recorre una vuelta completa en 12 h; es decir, su velocidad es de
.
Sabemos que las agujas están juntas a las 12.00, la pregunta es ¿cuándo vuelven a estarlo?
Cuando vuelva a ocurrir, la aguja pequeña, el horario, habrá recorrido un ángulo  mientras
que la grande, el minutero, habrá recorrido ese ángulo más una vuelta completa; es decir,
; ambas en un tiempo “t”.
Entonces:
→
;
Observa que estos resultados son evidentes; porque entre las 12.00 y las 24.00 las agujas se
superponen 10 veces (la undécima es a las 12 en punto). Además, como la velocidad de las
agujas es constante, siempre transcurre la misma cantidad de tiempo y siempre recorren un
mismo ángulo.
En el reloj del enunciado las agujas se superponen cada 62 minutos , mientras que en uno
bueno esa situación se repite cada 65 minutos y 27 segundos. Tenemos por tanto un reloj que
“ va rápido”; y por tanto, un reloj que adelanta.
¿Cuál es la velocidad del minutero del reloj del enunciado? Teniendo en cuenta que independientemente de la velocidad del reloj las agujas se superponen siempre en los mismos lugares
tenemos que tarda 62 minutos en recorrer
.
Entonces:
¿Cuánto tardará entonces en dar una vuelta?
Solución: En cada hora que mide el reloj del enunciado en realidad han transcurrido 56
minutos y 50 segundos, entonces ha adelantado 3 minutos y 10 segundos.
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SIGMA Nº 29 • SIGMA 29 zk.
Haciendo matemáticas: la resolución de problemas
24 · marzo · 2006
Juan y Luis son dos amigos que van a la misma clase.
Al comenzar el curso descubren que dos de sus compañeros de clase cumplen años el mismo
día.
Juan, teniendo en cuenta que en total son 25 alumnos en la clase, le comenta a Luis que es
una curiosa casualidad que eso ocurra. Por el contrario, su amigo le responde que a él no le
parece tan raro y le indica que lo curioso hubiese sido lo contrario.
Como no se ponen de acuerdo deciden apostarse unos refrescos y que un experto en matemáticas les diga quién está en lo cierto. En ese momento recurren a ti.
¿Podrías aclararles quién tiene razón? ¿A partir de cuántos alumnos la probabilidad de que
dos cumplan años el mismo día pasa de 0,5 (50% en porcentaje)?
Solución:
En este ejercicio de probabilidad es más fácil razonar con el suceso complementario; es decir,
calcular la probabilidad de que no ocurra lo que queremos y entonces, la probabilidad de que
sí ocurra será lo que falte para llegar a 1.
(Por ejemplo si la probabilidad de que llueva este fin de semana es de 1/4 = 0,25 la probabilidad de que no lo haga será 3/4 = 0,75).
Y para facilitar la comprensión del cálculo podemos empezar con menos alumnos.
Supongamos que hay tres alumnos.
La probabilidad de que no coincidan dos cumpleaños sería:
(Cada fracción es la probabilidad de que un alumno no cumpla años el mismo día que alguno de
los anteriores. El primero puede cumplir cualquier día, al segundo le valen 364 y al tercero 363).
Entonces la probabilidad de que dos sí coincidan sería 0.0083.
Supongamos que hay seis alumnos.
La probabilidad de que no coincidan dos cumpleaños sería:
Entonces la probabilidad de que dos coincidan sería 0.0405.
Supongamos que hay doce alumnos.
La probabilidad de que no coincidan dos cumpleaños sería:
Entonces la probabilidad de que dos coincidan sería 0,1671.
Vamos a calcular qué ocurre con 25 alumnos.
La probabilidad de que no coincidan dos cumpleaños sería:
Noviembre 2006 • 2006ko Azaroa
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Javier Ibarra
...
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Entonces la probabilidad de que dos coincidan sería 0,5687.
¡Un 56,87% de las veces ocurrirá “la coincidencia”!
¿Cuándo se alcanza el 50%?
Razonando del mismo modo encontramos que con 22 alumnos la probabilidad de que dos de
ellos cumplan años el mismo día sería: 0.4757 (47’57%).
Con 23 alumnos la probabilidad de que dos de ellos cumplan años el mismo día sería: 0,5073
(50’73%).
Entonces vemos que a partir de 23 alumnos es más probable que dos cumplan años el mismo
día que el hecho de que eso no ocurra y por lo tanto no deberíamos asombrarnos de “tanta
casualidad”
Nota: ¡Con 40 personas se alcanza ya el 90% ! Es por tanto muy probable que se produzca la
“feliz coincidencia”, aunque a mucha gente le cueste creerlo.
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SIGMA Nº 29 • SIGMA 29 zk.