construcción de significados del número natural en
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CONSTRUCCIÓN DE SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA NATALIA FRANCO CASTRO ASESORA NORMA LORENA VÁSQUEZ LASPRILLA UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE EDUCACIÓN LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS MEDELLÍN DICIEMBRE 2012 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO CONSTRUCCIÓN DE SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA NATALIA FRANCO CASTRO Trabajo de grado para optar el título de Licenciado(a) en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas ASESORA NORMA LORENA VÁSQUEZ LASPRILLA UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE EDUCACIÓN LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS MEDELLÍN DICIEMBRE 2012 4 CONTENIDO INTRODUCCIÓN............................................................................................................. 1 1. JUSTIFICACIÓN ....................................................................................................... 2 1.1 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA .............................................................................. 3 1.2 EL NÚMERO NATURAL COMO UN OBJETO SOCIAL Y DE ENSEÑANZA ........ 7 1.3 MARCO LEGAL.................................................................................................. 9 1.3.1 LINEAMIENTOS CURRICULARES Y ESTÁNDARES BÁSICOS DE COMPETENCIAS MATEMÁTICAS........................................................................... 9 1.3.2 CONTEXTO INSTITUCIONAL ....................................................................... 12 2. OBJETIVO .............................................................................................................. 15 2.1 GENERAL ........................................................................................................ 15 2.2 ESPECÍFICOS ................................................................................................. 15 3. MARCO TEÓRICO ................................................................................................. 16 4. METODOLOGÍA ..................................................................................................... 22 4.1 ESTUDIO DE CASOS ...................................................................................... 23 4.2 SITUACIÓN DE AULA...................................................................................... 23 5. DISEÑO DE SITUACIONES DE AULA ................................................................... 25 5.1 SITUACIÓN INICIAL 1: ¿Qué números hay en mi vida?.................................. 25 5.1.1 DESCRIPCIÓN .............................................................................................. 25 5.1.2 OBJETIVO ..................................................................................................... 26 6 5.2 SITUACIÓN INICAL 2: El Bingo ....................................................................... 26 5.2.1 DESCRIPCIÓN .............................................................................................. 26 5.2.2 OBJETIVO ..................................................................................................... 27 5.2.3 MATERIALES ................................................................................................ 27 5.3 ESTÁNDARES RELACIONADOS .................................................................... 28 5.4 LO OBSERVADO EN LA SITUACIÓN ¿QUÉ NÚMEROS HAY EN MI VIDA? 30 5.5 LO OBSERVADO EN LA SITUACIÓN INICIAL 2: El Bingo ............................. 33 6. SITUACIONES DE AULA ....................................................................................... 38 6.1 RED CONCEPTUAL ............................................................................................ 39 6.2 OBJETIVO........................................................................................................ 41 6.3 ESTÁNDARES ASOCIADOS ........................................................................... 41 6.4 MEDIOS Y MEDIADORES. .............................................................................. 42 6.5 SITUACIÓN DE AULA 1: Llegó carta ............................................................... 42 6.6 SITUACIÓN DE AULA 2: Aviones en vuelo ..................................................... 43 6.7 SITUACIÓN DE AULA 3: Hagamos un recorrido ............................................. 44 6.8 GESTIÓN DE LA SITUACIÓN ......................................................................... 46 7. CARACTERIZACIÓN DE LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS ................................ 48 7.1 SITUACIÓN DE AULA 1: Llegó carta ............................................................... 49 7.2 SITUACIÓN DE AULA 2: Aviones en vuelo ..................................................... 60 7.3 SITUACIÓN DE AULA 3: Recorrido ................................................................. 73 8. CONCLUSIONES ................................................................................................... 89 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO 9. BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................... 91 ANEXOS........................................................................................................................ 94 TABLA DE ILUSTRACIONES Ilustración 1: ¿Qué números hay en mi vida?: 26 Ilustración 2: ¿Qué números hay en mi vida? 30 Ilustración 3: Red conceptual 40 Ilustración 4: Tablero del Recorrido 46 Ilustración 5: Gráfica de Llegó carta 51 Ilustración 6: Gráfica de Llegó carta 51 Ilustración 7: E1 indicando un desplazamiento con sus dedos 52 Ilustración 8: E1 señala un desplazamiento usando el dedo pulgar 52 Ilustración 9: E6 señala un desplazamiento usando toda la mano 54 Ilustración 10: E6 mira al sitio opuesto al indicado por el profesor 55 Ilustración 11: E1 pone tiras enroscadas y tiras planas para realizar un conteo 62 Ilustración 12: E2 correspondencia uno a uno entre las tiras y su pié 63 Ilustración 13: E2 empieza a coger las que tenía primero y las pasa a lo último sin perder de vista el cálculo. 64 Ilustración 14: E3 contando el número de tiras usadas por E3 64 Ilustración 15: E4 haciendo correspondencia uno a uno entre los pasos y la longitud de la tira. 65 Ilustración 16: E4 haciendo correspondencia uno a uno entre el número de tiras y las palabras-número 65 Ilustración 17: E5 superponiendo las tiras 65 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO Ilustración 18: E5 superponiendo las tiras ayudado por E2 65 Ilustración 19: E6 estableciendo correspondencia uno a uno entre los “pasos” y la longitud de la tira 66 Ilustración 20: E2 estableciendo correspondencia uno a uno entre el pié y la longitud de la tira 67 Ilustración 21: E4 representando con sus manos el porqué de un resultado 74 Ilustración 22: E4 representando con sus manos el porqué de un resultado 74 Ilustración 23: E4 representando con sus manos el porqué de un resultado 75 Ilustración 24:E1 haciendo correspondencia uno a uno entre su dedo y las casillas del Recorrido 76 Ilustración 25: E1 estableciendo correspondencia uno a uno para realizar un conteo 76 Ilustración 26: E2 estableciendo correspondencia uno a uno con el dedo pulgar. 76 Ilustración 27: E2 estableciendo correspondencia uno a uno con el dedo meñique 77 Ilustración 28: E3 estableciendo correspondencia uno a uno con el dedo índice 77 Ilustración 29: E3 estableciendo correspondencia uno a uno con los pies 78 Ilustración 30: E3 usando sus dedos para hacer cálculos, de manera discreta 78 Ilustración 31: E3 argumentando un resultado 78 Ilustración32: E4 haciendo correspondencia uno a uno sin tocar el objeto 79 Ilustración 33: E4 realizando correspondencia uno a uno sin tocar el objeto 79 Ilustración 34: E4 representando con sus dedos 79 Ilustración 35: E4 estableciendo correspondencia uno a uno con sus pies 80 Ilustración 36: E6 usando sus dedos para representar el número obtenido 80 Ilustración 37: E1 representando con sus dedos un número 81 Ilustración 38: E2 imitando a E4 81 Ilustración 39: E2 imitando a E4 82 Ilustración40: E4 comunicando con sus dedos una cantidad 82 Ilustración41: E5 expresa felicidad cuando obtiene un número mayor que E1 83 Ilustración42: E4 representando con sus dedos una cantidad 85 INTRODUCCIÓN Desde lo planteado por Obando (2011) en la Teoría de la Actividad, el contexto sociocultural es fundamental para la construcción del conocimiento, ya que éste surge a partir de las prácticas que desarrollen los individuos en la interacción que hace éste con otros sujetos y con los objetos de conocimiento, en un contexto social e histórico particular. Estas interacciones en contexto, permiten al sujeto, desde antes del ingreso a la escuela, hacer sus primeros acercamientos al número natural, mediante el conteo y la recitación de las palabras número, prácticas que se adquieren en la medida en que se está en relación con el otro. Sin embargo, al llegar a la escuela, este conocimiento se va resignificando a través de las prácticas y los contextos de uso del número natural. En esa medida, el conocimiento personal se va acercando a uno más estructurado, es decir, al conocimiento que ha sido culturalmente aceptado. Estas interacciones que se establecen entre los sujetos y los contextos, son esenciales para dotar de sentido y significado a dicho concepto. Por eso, el presente trabajo busca caracterizar diferentes prácticas que despliegan los estudiantes al momento de desarrollar situaciones referentes al concepto número natural y, con base en ello, identificar qué sentidos y significados han construido en torno a dicho concepto. El presente informe muestra el abordaje que le han dado algunos autores al número natural como un objeto social y los planteamientos del Ministerio de Educación Nacional (MEN) al respecto de la enseñanza y el aprendizaje del número natural. Por último, el diseño de una serie de Situaciones de Aula, en donde relaciona lo dicho por el MEN y por los autores consultados, con el fin de caracterizar las prácticas matemáticas de los estudiantes a la luz de la Teoría de la Actividad (Obando, 2011). 1 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO 1. JUSTIFICACIÓN Para algunos niños el primer acercamiento con las nociones matemáticas estructuradas1 se da en la escuela. En esa medida, la escuela tiene una gran responsabilidad, debe propender por generar las situaciones necesarias para el aprendizaje de las matemáticas (apelando a las necesidades e intereses de los niños), para la generación de tales condiciones es necesario revisar los contextos donde el conocimiento puede ser construido, de tal forma que las situaciones que se le propongan a los estudiantes les permitan desplegar prácticas matemáticas y así ir dotando de sentido y significado a los objetos matemáticos con los que está trabajando. En la escuela, estos sentidos y significados no son estáticos, todo lo contrario, se van transformando y ajustando de acuerdo con el uso que se hace de dicho conocimiento en el contexto institucional2 y en el contexto extraescolar3. En este sentido es pertinente reflexionar sobre cómo se construye, desarrolla y difunde el conocimiento matemático en la escuela. Este tipo de análisis cobra especial importancia en la conceptualización de los objetos matemáticos, ya que al ser objetos culturales están ligados a un conjunto de prácticas donde se dotan de sentido y significado, donde la identificación y caracterización de las prácticas que despliegan los estudiantes le permite al docente dimensionar qué construcciones están elaborando los estudiantes y en esa medida 1 Entendemos por nociones matemáticas estructuradas, aquellos conceptos formulados a través del lenguaje técnico y representaciones simbólicas formales aceptadas desde el saber científico. 2 Se entiende por contexto escolar o institucional aquel que está “…configurado por los escenarios de las distintas actividades diarias, la arquitectura escolar, las tradiciones y los saberes de los estudiantes, docentes, empleados administrativos y directivos, así como el PEI, las normas de convivencia, el currículo explícito de las distintas áreas curriculares y el llamado „currículo oculto‟ de la institución”. (Ministerio de Educación Nacional, 2003, p. 71) 3 El contexto extraescolar o contexto sociocultural está “… conformado por todo lo que pasa fuera de la institución en el ambiente de la comunidad local, de la región, el país y el mundo.” (Ministerio de Educación Nacional, 2003, p. 71) OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO generar situaciones que permitan al estudiante desplegar actividad matemática para continuar en el proceso de aprendizaje de las matemáticas. 1.1 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA De acuerdo con el trabajo de investigación que se está llevando a cabo, relativo a la conceptualización del número natural en el grado primero, se hace necesario revisar algunos documentos e investigaciones que permitan identificar tendencias o líneas de trabajo al respecto del tópico señalado. Entre el material bibliográfico revisado se encuentra un primer grupo de documentos que analizan las condiciones epistémicas que permitieron la evolución y constitución del número como objeto matemático. Los resultados de tales estudios brindan elementos que nutren las reflexiones de orden didáctico para el trabajo curricular en la escuela. En este sentido, Rico (1995) menciona que el número natural “se ha consolidado a lo largo de la historia de la humanidad avanzando y profundizando en la determinación de un concepto que se exprese mediante un sistema de representación adecuado para nombrar, escribir, comparar, operar y relacionar números” (p. 6). Es así como “el contar se presenta con las primeras nociones de número natural” (p. 6). Sin embargo, en las “sociedades primitivas contemporáneas se encuentra un número limitado de términos o signos para el conteo; estos términos pueden ampliarse bien incorporando nuevos vocablos” (p. 7). De igual manera, Alliamue (s.f) indica que el número natural fue “el primero en desarrollarse en tanto representación directa (o casi) de la realidad material (natural)” y, menciona que el “desarrollo histórico del concepto de número (está) íntimamente ligado a problemas que fue necesario resolver” (párr. 9), como en Egipto y Mesopotamia, donde las matemáticas tenían un fin utilitario (división de cosechas, etc.). Sin embargo, en Grecia se hablaba de un fin formativo. Es así como la matemática, en particular, el número natural, ha respondido a las necesidades, indicando cómo el hombre lo ha utilizado y lo ha generado: “1- Distinción de uno y muchos; 2- Necesidad de recuento de 3 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO pertenencias (…); 3- La necesidad de registro, (…); 4- Surgimiento de los sistemas de numeración (…) y 5- Acción del conteo” (Villella, J., 1996, citado en Alliamue, s.f, párr.16). En este orden de ideas, se observa cómo el contexto, junto con las problemáticas y necesidades propias de la cultura han sido un elemento determinante para que el número natural se constituya como objeto de conocimiento y le sean asignados, en el marco histórico cultural, ciertos sentidos y significados. Este aspecto contextual, y en particular el proceso de conteo, es destacado como uno de los elementos a tener en cuenta para el diseño de situaciones de aula orientadas a la conceptualización del número natural. Otra perspectiva que se puede identificar a través de los documentos revisados es la relativa a las diferentes posturas frente a la enseñanza del número natural. Al respecto, Alliamue (s.f) menciona que el número natural se debe enseñar en los primeros años de escolaridad, ya que, al ser un producto cultural, es usado en diferentes contextos por los sujetos. Por tanto, el número natural debe ser abordado en la escuela, pues su utilidad en las situaciones cotidianas es vital. Además, como el número natural es uno de los primeros objetos matemáticos con los que el sujeto interactúa a través de su experiencia, al llegar a la escuela ya cuenta con algunas nociones de éste. Es por esto que el autor plantea que se debe empezar a realizar la conceptualización del número, por los naturales y avanzar hacia otros campos numéricos, ya que este es el “concepto estructurante de la propia disciplina y del proceso de apropiación de saberes matemáticos en el niño” (párr. 10). Por su parte Salgado (2009) plantea que el acercamiento al concepto de número natural y a las matemáticas formales se hace desde temprana edad (muestra de esto es el hecho que reciten números), por lo tanto, la mayoría de los niños poseen una notable gama de capacidades matemáticas cuando empiezan su escolaridad y es allí donde modificarán las nociones que ya poseen hasta lograr adquirir las estructuras culturalmente aceptadas. En ese orden de ideas, Salgado (2009, citando a Alsina y otros, 2008) indica que el punto de partida en la enseñanza de las matemáticas “es tener claro que lo que el niño necesita son oportunidades para aprender y descubrir OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO aspectos matemáticos de la realidad por sí mismo” (p. 2) y el fin debe ser enseñar a pensar, por eso muestra que “el número no ha de ser enseñado ya que el niño lo construye desde dentro, a partir de su propia capacidad natural para pensar” (p. 2). En el marco de las perspectivas de enseñanza del número, se puede reconocer otra tendencia que se enfoca a la revisión y caracterización del tipo de situaciones que se proponen al estudiante a través de los libros de texto. Al respecto Salgado (2009), encontró que, en los libros de textos de Educación Infantil, en particular los de matemáticas, los primeros conceptos en ser estudiados son los relacionados con el número. Además, las actividades que se plantean a los estudiantes están relacionadas con identificar números (cardinales) en donde no se les permite a los niños establecer relaciones entre los objetos, esto dificulta la conceptualización del concepto del número natural (p. 7-8). De acuerdo con las perspectivas antes mencionadas, se observa cómo en la enseñanza del número natural se hace necesario que el maestro tenga en cuenta la cotidianidad de los estudiantes para facilitar el aprendizaje y, a partir de ejemplos y contraejemplos, permitirle la resignificación de sus saberes, para que construyan un “conocimiento real, significativo y práctico del número” (Canals, 2007, en Salgado, 2009, p. 3). Otro punto de vista que se puede señalar es el relacionado con las diferentes posturas frente al aprendizaje del número natural. “El aprendizaje de los números en nuestra cultura se inicia mediante el dominio de la secuencia numérica, […] cuya comprensión se ha ido perfeccionando progresivamente, y que ha servido para marcar y distinguir objetos” (Rico, s.f., p. 27). Al respecto del proceso de aprendizaje, se encuentran diferentes propuestas. Alliamue (s.f), quien plantea que para aprender el número natural es necesario distinguir las dos funciones principales que éste cumple, que son “representar (para comunicar cantidades o retenerlas en la memoria) y calcular (establecer una cierta relación entre cantidades)” (párr. 18). En la representación se incluye a las colecciones de muestra y a las representaciones numéricas. Aunque ambos tipos de representación 5 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO requieren de la correspondencia uno a uno, esta se establece de maneras diferentes, ya que en la primera se representa la cantidad con todos los objetos que forman una colección, mientras que en la segunda solo se usa la última palabra-número para designar la cantidad. En este caso, la conceptualización del número natural está relacionada con el poder retener el número en la memoria, esto es, relacionarlo con otros conocimientos o con otros aspectos de la vida cotidiana. Salgado (2009), por su parte, indica que el aprendizaje del número no se da por el simple hecho de usarlo en un contexto determinado, más bien, se hace necesario que el sujeto haga “abstracción reflexionante a partir de su propia acción mental de establecer relaciones entre objetos” (p. 2, citando a Kamii, 1986), y de esta manera construya conocimiento con sentido y significado, el cual es común para él y para toda la sociedad. Además, al construir el concepto de manera significativa, el niño no necesita tener representaciones físicas puesto que está en capacidad de “ver mentalmente la cantidad que representa, saber manipularla y familiarizarse con ella” (Salgado, 2009, p. 2, citando a Canals, 2007). Esta construcción de conocimiento ayuda a avanzar al aprendizaje del número natural hacia otros campos numéricos y así facilitar su comprensión en diferentes contextos. Rico (1995) y Puig (1997) proponen el aprendizaje del número a partir del uso intencionado del mismo en diversos contextos. Algunos de estos son: 1) de contar; 2) cardinal; 3) ordinal; 4) simbólico4. De acuerdo con los contextos mencionados, se hace necesario conocer las diferentes formas de uso y aplicación de los números naturales para que su construcción se dote de sentido y significado, ya que éstos están presentes en la vida cotidiana, puesto que “lo que importa es explorar el significado que el número adopta en cada uno de esos contextos”. (Puig, 1997, p. 19), donde los niños aprenden el número natural y lo utilizan de acuerdo a una necesidad pero sin una real comprensión del concepto en uso. 4 Se define contextos simbólico aquel en el que se utiliza el número para “distinguir y denominar clases de fenómenos o elementos” (Rico, 1995), sin embargo, no se debe confundir con el número como etiqueta. OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Las posturas anteriormente mencionadas muestran que no sólo es necesario tener en cuenta la cotidianidad del estudiante para lograr un aprendizaje, mas bien, se debe lograr un punto de encuentro entre las situaciones de la vida diaria y los contextos numéricos5, ya que el número cumple una función determinada en cada uno de estos contextos y es, en este sentido, que el estudiante lo puede dotar de significado para usarlo en su vida cotidiana. Como se ha visto, el número natural en la historia fue uno de los primeros conceptos en desarrollarse de acuerdo a la necesidad del contexto. Es por esto que autores como Rico (1995, s.f.), Salinas (2009), Puig (1997) y Alliamue (s.f), plantean que el contexto social y contexto numérico6 son de suma importancia en el proceso de enseñanza y aprendizaje, para que el número natural pueda ser dotado de sentido y significado. Además, Vásquez (2010) en su trabajo de investigación pretende “caracterizar los fenómenos transpositivos en torno al concepto del número natural, en el contexto de la educación preescolar y el primer grado de educación básica primaria” (p. 13). Para lograr esto, la autora hace un análisis del concepto de número desde lo epistemológico, didáctico, saber didáctico del docente, lo planteado por los libros de texto colombianos y los procesos cognitivos que intervienen en la construcción del concepto de número natural. Dejando abierta la posibilidad de seguir esta investigación en lo que concierne a la construcción del número natural en los estudiantes, es decir, las prácticas y la actividad matemática que éstos desencadenan en el aprendizaje del número natural. Ésta línea se retomará en el presente trabajo. 1.2 EL NÚMERO NATURAL COMO UN OBJETO SOCIAL Y DE ENSEÑANZA El número natural se convierte en un objeto cultural, en tanto es usado en el medio familiar y social como recurso para expresar cuantificación de cantidades ya sean 5 Entendiéndose como contexto numérico: cardinal, ordinal, conteo, simbólico, etc. 6 Entendiéndose contexto numérico como contexto de uso del número. 7 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO continuas o discretas (Ruiz Higueras, 2003). Su conceptualización comienza desde antes del ingreso de los estudiantes a la escuela. A corta edad, ya es usual que los niños y las niñas utilicen estrategias de conteo y recitación de palabras número para expresar cantidades de magnitud (al decir su edad, número de hermanos, entre otros). Sin embargo, este uso que se da al número antes de la escuela no puede ser empleado como un indicador de la construcción terminada del concepto, pero sí constituyen una base fundamental para el “desarrollo de los procesos cognitivos” de los y las estudiantes, en especial, para la “construcción del conocimiento matemático formal” (Vásquez, 2010, p. 9). Luego, cuando el niño ingresa a la escuela, se conjugan sus conocimientos con una propuesta escolar relativa al número natural, que generalmente está basada en actividades como la seriación, comparación, cardinación, entre otros. Pero, como menciona Vergnaud (citado por Ruiz Higueras, 2003), “el concepto de número no se reduce ni al proceso de conservación, ni a la actividad de cardinación, ni a la resolución de una determinada clase de problemas, ni a procedimientos algorítmicos, ni a la comprensión y manipulación de signos sobre el papel”. No obstante, el conjunto de estas actividades le dan sentido al desarrollo del concepto de número natural (Ruiz Higueras, 2003, p. 96). Además, menciona que se deben formular “(…) un conjunto de situaciones donde la cardinación y la numeración jueguen una función y tengan significado” (p. 106). Es por esto que se hace relevante que en el aula se desarrollen situaciones donde se recojan elementos mencionados por Ruiz Higueras, que se conviertan en prácticas significativas7 para los estudiantes. Es importante que el docente tenga en cuenta que los primeros números naturales se manifiestan por el conteo, el cual es innato en el ser humano (Ruiz Higueras, 2003, p. 114). Pero, “existe una gran distancia entre las ideas iniciales que los niños tienen acerca del número”, el conteo “y los conceptos formales aceptados en la escuela” (Obando Zapata, Vanegas Vasco, & Vásquez Lasprilla, 2006). De ahí la importancia de 7 “Diremos que una práctica personal es significativa (o que tiene sentido) si, para la persona, esta práctica desempeña una función para la consecución del objetivo en los procesos de resolución de un problema, o bien para comunicar a otro la solución, validar la solución y generalizarla a otros contextos y problemas” (Godino & Batanero, 1994, p. 9) OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO formular situaciones que permitan a los estudiantes usar los números naturales en contexto, dotándolo de sentido y significado. 1.3 MARCO LEGAL Para lograr una articulación entre los sentidos que el sujeto construye a partir de su experiencia en la cultura y lo que postulan los autores ya mencionados con lo que propone el Ministerio de Educación Nacional relativo a la construcción que se hace del número natural a través de contextos escolares, se hace necesario revisar documentos legales como los Lineamientos Curriculares y los Estándares de Matemáticas. 1.3.1 LINEAMIENTOS CURRICULARES Y ESTÁNDARES BÁSICOS DE COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Los Estándares Básicos de Competencias Matemáticas (MEN, 2006) perfilan al número natural como uno de los fundamentos para el posterior aprendizaje de otros sistemas numéricos (enteros, racionales, irracionales, reales…). Esto implica replantear de manera progresiva algunas nociones, relaciones, proposiciones y operaciones, por ejemplo, trascender de los números naturales a los números enteros, la cual trae consigo propiedades del producto en números enteros, el reconocimiento de los opuestos de los naturales, entre otros. Por lo tanto, el número natural requiere de una mayor atención en la escuela. Respecto a esto, el MEN (1998) plantea que en la escuela, como lugar privilegiado para el aprendizaje, se debe dar a los estudiantes “la oportunidad de pensar en los números y de usarlos en contextos significativos” (p. 43), es decir, en los diferentes contextos en los que el número adquiere un significado particular (como secuencia verbal, para contar, para medir, para expresar una cantidad de objeto o como cardinal, para marcar una posición o como ordinal, como código, como símbolo, como una tecla para pulsar). De acuerdo con lo anterior, el docente debe llevar al aula de clase situaciones tomadas del contexto, que pueden ser, situaciones relacionadas con la realidad del estudiante, 9 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO de esta forma logrará captar su interés, puesto que el estudiante podrá tomar decisiones, exponer sus opiniones, justificar sus procedimientos, generar discusión, esto es, construir relaciones en torno al objeto de estudio. Ahora bien, el aprendizaje de cierto contenido matemático no está únicamente relacionado con las actividades realizadas al interior de un aula de clases, si no también con el contexto de aprendizaje (contexto inmediato8, contexto escolar, contexto extraescolar) el cual le dará sentido y significado a todos los conceptos estudiados (MEN, 2006). De esta manera, se hace importante tomar como referencia el contexto del estudiante, en especial el contexto extraescolar, el cual aporta situaciones que permiten pensar y establecer relaciones del concepto de número natural (conteo, mediciones, relaciones de orden, entre otras), ya que “al momento de iniciar el aprendizaje de un nuevo concepto, lo que el estudiante ya sabe sobre ese tema de las matemáticas (formal o informalmente), o sea, sus concepciones previas, sus potencialidades y sus actitudes, son la base de su proceso de aprendizaje” (MEN, 2006, p. 73). Por lo mencionado anteriormente, es necesario que el docente plantee situaciones que permitan establecer el vínculo entre un conocimiento ya interiorizado y uno nuevo, ya que de esta manera los estudiantes podrán dotarlos de sentidos y significados a través de la interacción con otros sujetos y con el objeto de conocimiento y de las prácticas que desarrollen. En el caso del concepto del número natural, se deberá partir de situaciones que permitan la “construcción por parte de los alumnos de los significados9 de los números, a partir de sus experiencias en la vida cotidiana (…), teniendo como base actividades de contar, agrupar y el uso del valor posicional” (MEN, 1998, p. 45). 8 Contexto inmediato, también llamado contexto del aula, creado por “las normar explícitas o implícitas con las que se trabaja en la clase y por la situación problema preparada por el docente” (MEN, 2006, p. 71) 9 Desde los Lineamientos se tiene que “los números toman un significado para los niños de acuerdo al contexto en el que se emplean” (MEN, 1998, p. 45). OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Adicionalmente, “la manera como se trabajen los números en la escuela contribuye o no a la adquisición del pensamiento numérico” (MEN, 1998, p. 44), es decir, las estrategias de enseñanza y aprendizaje a las que recurre el maestro son las que favorecen o no el desarrollo de los procesos cognitivos de los estudiantes para dotar de sentido y significado al número natural. De ahí la importancia de que el docente diseñe situaciones, donde posibiliten al estudiante desarrollar acciones como: comprender, describir, cuantificar y así el estudiante logre construir un conocimiento, es decir, le de sentido y uso a este conocimiento, y no solamente mecanizar algoritmos. Estas acciones tienen una gran relevancia en el grado 1º, en donde se da la base para todo el estudio de las relaciones entre diferentes sistemas numéricos, ya que al crear situaciones en las que se dé importancia a los contextos de uso del número, se posibilitará a los estudiantes que relacionen éste conocimiento con sus vivencias personales y esto, en última instancia, logrará que se dote de sentido y significado al número natural. De esta manera, los Estándares indican que los estudiantes de 1º a 3º grado deben dar cuenta de las siguientes competencias: “Reconozco significados del número en diferentes contextos (medición, conteo, comparación, codificación, localización entre otros). ”Describo, comparo y cuantifico situaciones con números, en diferentes contextos y con diversas representaciones” (MEN, p. 80). En este orden de ideas, las orientaciones dadas por el Ministerio de Educación Nacional (MEN) propenden por abordar el número natural desde el contexto de uso a través de situaciones que le permitan al estudiante comparar, contar, medir, localizar, codificar, entre otros. De ahí que sea necesario diseñar situaciones de aula que se orienten en tal perspectiva. 11 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO 1.3.2 CONTEXTO INSTITUCIONAL Para analizar el conocimiento matemático en la escuela con respecto al número natural, es necesario revisar los documentos legales de la institución para lograr un acercamiento a la visión y concepción que se tiene del objeto de estudio, y así articular las perspectivas institucionales con la propuesta de situaciones que se ha elaborado en el marco del presente trabajo de investigación. 1.3.1.1 Plan de área. La metodología de la institución se basa en el uso de las situaciones problema, esto ayudará a la “formación de ciudadanos competentes con espíritu científico (…), que conozcan, analicen y propongan soluciones a los problemas sociales de su comunidad”, además, les permitirá ser “ciudadanos críticos, creativos, protagonistas de su propio aprendizaje donde su profesor es un generador de valores, principios y actitudes” (Institución Educativa Javiera Londoño-Sevilla. 2011). Este planteamiento muestra una clara articulación con los Lineamientos Curriculares, en donde se indica que las matemáticas deben ser tratadas a partir de situaciones problema que capten el interés de los estudiantes y que les permita un mayor acceso al conocimiento. Por esto, la institución plantea “crear situaciones para que los estudiantes sepan para qué son las matemáticas, que puedan comprenderlas, comunicarlas y compartirlas, puesto que en el conocimiento popular está haciendo uso directa e indirectamente de todos los algoritmos matemáticos: las cuentas del tendero”, por mencionar un ejemplo. Es por eso que en todos los grados se propone trabajar los contenidos relacionándolos con la vida cotidiana. Por último, en la Institución Educativa Javiera Londoño-Sevilla el tiempo asignado para el trabajo de la matemática durante la semana es de 4 horas. Además, aparece el pensamiento numérico como el más importante de los cinco tipos de pensamiento matemático, al incluirlo en todos los grados de la educación básica y media. OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO 1.3.1.2 Mallas curriculares Se propone la enseñanza del número natural para el grado primero de la siguiente manera: Primer período: ¿Utilizo los números para contar, medir, comparar y describir situaciones de la vida diaria? En donde se pretende que en el contenido conceptual se desarrolle la noción de número y cantidad y conceptos de figuras geométricas. Las competencias a desarrollar son: contar, leer, escribir, ordenar los números, diferenciar figuras y propiedades de objetos, reconocer dimensiones para describir figuras y ubicar lugares. Para lograr esto se trabaja a través de un proyecto llamado “YO SOY ÚNICO” que integra las otras áreas. Segundo período: ¿Encuentro en el cálculo mental una estrategia para resolver problemas? En donde se pretende que en el contenido conceptual se desarrolle la noción de conjunto y concepto de adición. Las competencias a desarrollar son: descomponer números en unidades y decenas, representar conjuntos con objetos concretos, identificar y aplicar el proceso de adición. Para lograr esto se trabaja a través de un proyecto llamado “QUIERO Y CUIDO MI ENTORNO” que integra las otras áreas. En la revisión del PEI y las mallas curriculares de la institución, se pudo observar que se propone desarrollar la noción de número natural a partir de actividades como el conteo, la comparación, medición y ordenación de cantidades en situaciones de la vida cotidiana. Sin embargo, en las observaciones realizadas en el aula, no se ha hecho evidente el trabajo con las situaciones de la vida diaria, ya que las actividades se centran en la ejercitación de algoritmos y el reconocimiento y nominación de grafismos, pero no en la contextualización del número natural. 13 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO A manera de cierre De acuerdo con los documentos analizados (de orden cognitivo, histórico, didáctico y curricular) se encuentra que el número natural se emplea en diversas situaciones de la vida cotidiana, lo cual lo convierte en un objeto social, de amplio dominio en la comunidad. El niño llega a la escuela con conocimientos cimentados en tales experiencias. Los significados del número natural aluden básicamente a su uso en contextos de conteo. Por ello es necesario que la escuela plantee situaciones donde se involucren otros contextos de usos como la codificación o la localización. Esta perspectiva de los contextos de uso se complementa con los aspectos señalados desde los documentos de orden histórico, donde se destaca la necesidad de las mediciones y el comercio como contextos donde se desarrolla y evoluciona el número natural. De otro lado, los elementos señalados desde los Lineamientos Curriculares, los Estándares Básicos en Competencia Matemática y lo planteado por la Institución Educativa Javiera Londoño-Sevilla acerca del número natural, destacan la necesidad de trabajar a partir de situaciones donde el estudiante pueda desplegar su actividad matemática a partir de la recreación de contextos escolares y extraescolares donde el número sea un medio para la expresión de cantidades de magnitud, codificación, entre otros. Por eso, cabe preguntarse: ¿Cómo los estudiantes de primer grado de la Institución Educativa Javiera Londoño-Sevilla construyen sentidos y significados del Número Natural a partir del trabajo con Situaciones de Aula relativas a los contextos de uso del número? OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO 2. OBJETIVO 2.1 GENERAL Caracterizar las prácticas matemáticas que despliegan los estudiantes cuando desarrollan situaciones de aula relacionadas con el número natural. 2.2 ESPECÍFICOS Identificar los tipos de técnicas que utilizan los estudiantes cuando participan en el desarrollo situaciones de aula relativas al número natural. Analizar las diversas representaciones y el lenguaje empleado por los estudiantes en la generación de respuestas a las situaciones diseñadas en torno al concepto de número natural. 15 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO 3. MARCO TEÓRICO El conocimiento matemático se ha visto desde cierta perspectiva, como el resultado del pensamiento de algunos pocos pensadores, creaciones (por llamarlo de alguna manera) que están lejanas del alcance y entendimiento de los demás miembros de la sociedad. Esta concepción ha permeado la escuela, limitando a los profesores en su quehacer docente, quienes, en su mayoría, no encuentran una forma para la enseñanza y el aprendizaje de la matemática diferente a la memorización y mecanización de algoritmos. La poca negociación entre prácticas del maestro y del sujeto, la no promoción de espacios para la interacción y la escasa comunicación entre los mismos sujetos dentro del aula, dejando de lado la negociación de significados hacen que el conocimiento matemático no se construya como el resultado de interacciones de una comunidad, sino que se asuma como algo acabado. Es por esto que se hace necesario, para el presente trabajo de investigación, buscar referentes teóricos que expliquen cómo se construye y valida el conocimiento, qué actores interfieren en dicha construcción, qué papel juega la cultura y cómo el sujeto aprende los conceptos matemáticos. Estos referentes permitirán definir una perspectiva para las acciones realizadas en el marco de la práctica profesional, en lo relativo al diseño de situaciones, la intervención y el análisis de las mismas. En este sentido, se espera resignificar el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas desde una perspectiva socio-cultural. En este caso, se tomará como base la Teoría de la Actividad, ya que es un referente que explicita cual es el “lugar de la cultura en los procesos constitutivos del conocimiento matemático” (Obando, 2011) y de las prácticas socialmente compartidas. Además, desde este enfoque el conocimiento se asume como una construcción colectiva y cambiante de acuerdo con las relaciones e interacciones que se establecen entre los sujetos, permitiendo otra mirada del proceso de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas. OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Desde la teoría de la actividad, la constitución del conocimiento matemático está ligado al contexto cultural y a “los procesos de construcción de sentidos y significados propios del intercambio sociocultural en que están inmersos” los sujetos (Obando, 2011). Por esto, la actividad humana se convierte en la base de dichos procesos, entendiéndose actividad como el conjunto de acciones desarrolladas por los seres humanos, en contextos particulares de práctica, socialmente orientada a un fin (intencional)…” (Ricoeur, 2001, citado por Obando, 2011). Ahora bien, las acciones son llevadas a cabo por los individuos con una intención, pero la forma de la acción no depende únicamente del individuo, también influye, la cultura en que está inscrito. Ésta le da ciertas pautas que determinan su acción; estas características son las que llevan a que las acciones del sujeto sean interpretadas por los demás miembros de la sociedad, dando lugar a “nuevas interpretaciones y significaciones” relativas a un concepto en particular (Obando, 2011, siguiendo a Ricoeur, 2001). Sin embargo, las “nuevas” acciones están enmarcadas en las reglas de acción que se han adquirido y validado en la cultura a través de las experiencias ya desarrollada por la sociedad. Es por esto que se puede afirmar que las experiencias no se “producen en vacío” (Obando, 2011, citando a Dewey, 1960), es decir, no surgen únicamente por la interacción con el medio y la solución a problemas de la vida cotidiana, también descansa sobre las experiencias que ya ha tenido el individuo y sobre el conocimiento que ha sido aceptado por las generaciones previas, dado que la cultura es la que le brinda al individuo un conjunto de conocimientos y herramientas que le permiten desarrollar nuevas prácticas respondiendo a los retos de la cotidianidad y esto, a su vez, lleva a nuevas experiencias, que en última instancia, permiten la construcción de nuevos conocimientos. Por tanto, se puede entender la práctica como lo observable, lo tangible de la actividad que se desarrolla entre los sujetos, a partir de las acciones con un objetivo específico, ubicados en un contexto determinado y, es ésta práctica la que permite la constitución del conocimiento matemático. 17 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO Luego, los contextos particulares de práctica, es decir las condiciones sociales y culturales específicas que le dan significado a la práctica, brindan instrumentos para desplegar las acciones. En este sentido, los instrumentos, que se definen como “un conjunto de recursos culturales que, en el marco de actuaciones específicas, permite a los individuos la toma de conciencia de los objetos, fijar la atención, realizar sus actos intencionales, orientar sus acciones hacia el objeto de la misma (es decir, realizar la actividad)” (Obando, 2011, p.10). Estos instrumentos permiten, en primera instancia, que el sujeto se apropie de los conocimientos que ya fueron construidos por la sociedad, a través de la utilización de los mismos. Luego, los instrumentos determinan al sujeto unas formas de acción que le permiten reconstruir para sí lo que se ha constituido en la cultura y, además, “producir sus propias modificaciones en el desarrollo cognitivo” (Obando, 2011, p. 36). A este proceso se le llama reflexión y es adquirido mediante la experiencia, esta se da a partir de la actividad que el sujeto desarrolla, logrando así, el desarrollo de sus procesos de objetivación. Además, como lo manifiesta Radford (2008, citado por Obando, 2011), la reflexión “es la dialéctica entre una realidad (constituida histórica y culturalmente) y un sujeto que a través de sus acciones refracta y modifica dicha realidad, que se vuelve sobre sí mismo para construir un cambio de estructura en su existencia” (p. 12). Por ende, el individuo a través de sus acciones y de los instrumentos que la cultura le ofrece, vuelve sobre sí mismo, transformando y resignificando el conocimiento matemático. Esto le permite al sujeto construir sentidos para sí mismo, pero él no se puede quedar en este proceso, también, debe aproximarse a los conocimientos culturalmente aceptados. Ahora bien, según Wittegenstein (1988, citado por Obando, 2011), el sujeto da sentido y significado a los conocimientos a través de las acciones y la interacción con un objeto de conocimiento y con otros sujetos. Sin embargo, para que se de esta interacción con el otro, se debe tener un lenguaje común, el cual se adquiere cuando el sujeto se acerca a los conocimientos culturales. Éste paso de los sentidos construidos por el sujeto hacia los significados culturales se hace posible mediante la objetivación, la cual emerge del proceso de la reflexión; la objetivación, es un “proceso social activo y creativo de construcción de sentidos y significados”, donde el sujeto externaliza, es OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO decir, pone de manifiesto sus sentidos y llega a un común acuerdo con otros sujetos para construir un significado. Es mediante esta interacción con los otros en donde el sujeto pone de manifiesto su actividad, es decir, muestra lo concebido en su mente permitiéndole construir sentidos y significados o una toma de “conciencia individual en el marco de los procesos sociales subyacentes” (Obando, 2011, p.11). Al respecto, Leontiev (1978,citado por Obando, 2011) caracterizaba la conciencia como un saber en común o saber con otros, además, cabe resaltar que, la conciencia es dar sentido propio a los objetos, posicionarse ante los objetos, y ante otros sujetos a través de actos intencionales (Obando, 2011, pág. 9); de esta manera se logra que el sujeto reconstruya internamente su conciencia e internalice, para que de esta manera haga propios los conocimientos socialmente disponibles, mediante la interacción con los demás logrando así, la constitución de conceptos . En ese proceso de constitución de conciencia el sujeto realiza su propia reflexión, al momento de realizarla hace que éste pueda identificarse en la cultura, es decir, es reconocido por los otros, en donde esta elaborando su subjetividad. Al respecto Stetsenko (2005, citado por Obando, 2011, p.12) menciona que: “La subjetividad aparece como forma de participación y contribución a la práctica social, de cambio de avance, y así, como la forma en que las realizaciones prácticas de los humanos son conducidos hacia sí mismos, hacia otras personas, hacia su mundo”. Es decir, al desarrollar subjetividad se miran los conocimientos de manera diferente, cambiando la posición del sujeto frente a la realidad y de esta forma provocando nuevas formas de pensamiento y a su vez un nuevo conocimiento. En este sentido aprende y construye conocimiento a través de la dinámica continua de interacción-reflexión-conciencia-internalización. Este proceso está en constante movimiento cíclico, a partir del cual, el sujeto resignifica sus conocimientos matemáticos. Luego, cuando el sujeto ingresa a la escuela debe poner en juego el conocimiento que ya ha sido construido y resignificado en la cultura, para que de esta forma pueda cumplir el proceso de aprendizaje postulado mediante el enfoque socio-cultural y, así, 19 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO dotar de sentido y significado los conocimientos matemáticos, en particular el concepto de número natural. Es desde ese enfoque, el socio-cultural, que se van a analizar las prácticas matemáticas de los estudiantes, definidas estas como: […] formas de acción de los individuos, quizás en el marco de unas formas de acción más generales, que están orientadas a la solución de ciertos tipos de problemas que tienen que ver con la cantidad, la forma, el espacio (por ejemplo, medir, contar, comprar, vender, intercambiar, construir, fabricar, estimar, describir, localizar, etc.) (Obando, 2011, p.31). Estas prácticas matemáticas permiten dar cuenta de los sentidos y significados que los estudiantes logran construir en torno al número natural desde las siguientes categorías: conceptos, técnicas (procedimientos e instrumentos), lenguaje, gestos y acciones. Conceptos La construcción de conceptos se define como aquello que no sólo es la definición de un objeto de conocimiento, más bien, incluye los pensamientos, los atributos o ideas que se le asignan a dicho objeto. Los conceptos se comunican a través del lenguaje, de los signos permitiendo así establecer significados a los objetos, es decir, dotarlos de contenido. Por lo tanto, los conceptos son esos enunciados que formulamos sobre determinado objeto (Obando, 2011). Técnicas (procedimientos e instrumentos) Las técnicas se refieren a los modos de hacer prácticas matemáticas mediadas por instrumentos, es decir, por un “conjunto de recursos simbólicos (signos, símbolos, textos, fórmulas, medios gráfico-simbólicos, artefactos, software, gestos)” (Obando, 2011, p. 36) que permiten establecer caminos para que el sujeto realice su acción matemática. Lenguaje El lenguaje a partir de la Teoría de la Actividad desde lo planteado por Obando (2011) se entiende como esas formas de escribir, de decir, de comunicar, que emplean los sujetos para dar a conocer sus prácticas, siendo esto fundamental para su construcción y su validación. OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Gestos Los gestos se entienden como esas acciones que desarrollan los sujetos para desplegar práctica matemática. Los gestos dan sentido propio al objeto de conocimiento y permiten tomar decisiones y acompañar acciones. Acciones Obando (2011) plantea que las acciones se refieren al “conjunto de elementos que permiten fijar la atención sobre el objeto que se debe alcanzar”, donde “toda acción implica un acto intencional, es una forma de fijar la atención” (p. 19 y 11, respectivamente). Como estas acciones están orientadas hacia un fin, exigen que el sujeto determine los procesos a utilizar para alcanzar esa meta propuesta. 21 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO 4. METODOLOGÍA Para dar curso al presente trabajo de investigación se optó por una metodología que permitiera la construcción de sentidos y significados en torno al concepto de número natural. Por tanto, se adopta una postura de tipo cualitativo, ya que permite “comprender la realidad social como fruto de un proceso histórico de construcción visto a partir de la lógica y el sentir de sus protagonistas, por ende, desde sus aspectos particulares y con una óptica interna” (Sandoval, 2002, p.11). De esta manera, se lleva a que el conocimiento que allí surja sea una “creación compartida a partir de la interacción entre el investigador y el investigado” (Sandoval, 2002, p. 29). El apuntar hacia un enfoque cualitativo de la investigación proporciona al investigador una comprensión de los sentidos que los individuos han construido en torno a un objeto y que se hacen evidentes “a través de sus palabras, sus silencios, sus acciones” (Sandoval, 2002, p. 32) y sus gestos. Es así como se hace pertinente la elección de la investigación de tipo cualitativo para el presente trabajo, el cual tiene como finalidad caracterizar las prácticas desarrolladas por los estudiantes de la Institución Javiera Londoño sede Sevilla, en torno al concepto de número natural. Se trata de comprender cómo a través de las prácticas que despliegan los estudiantes, esto es, identificando y caracterizando el lenguaje, los gestos, las representaciones, se espera poder analizar cómo el estudiante pone en marcha el proceso de interacción-reflexión-concienciainternalización-subjetividad para la construcción de sentidos y significados del número natural. En el desarrollo de una investigación cualitativa, “el proceso se alimenta continuamente, de y en, la confrontación permanente de las realidades intersubjetivas” (Sandoval, 2002 p. 41) que surgen a través de las interacciones del investigador con los participantes del proceso y realidades socio-culturales y propias del objeto de estudio. OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO En este sentido, el proceso de caracterización de las prácticas de los estudiantes en torno al número natural implicó una revisión constante de referentes teóricos, rediseño de las situaciones, confrontación de los conocimientos propios de los investigadores, la escritura y rescritura de los procesos observados, la observación sistemática de videos, la discusión constante con los miembros del equipo de investigadores, entre otras confrontaciones. 4.1 ESTUDIO DE CASOS Ahora bien, dado que el proceso de caracterización de prácticas requiere un estudio minucioso y detallado, se optó por una metodología de estudio de casos, ya que según Stake (1999) el estudio de casos busca el “detalle de la interacción con sus contextos” (p. 11), permitiendo analizar lo común y lo particular en cada uno de los individuos que hacen parte del estudio. Por lo tanto, el estudio de casos a escoger para el presente trabajo es de tipo intrínseco puesto que se va a aplicar a cada uno de los participantes las mismas Situaciones de Aula, posibilitando ver las prácticas desarrolladas por una cantidad reducida de estudiantes (representatividad) haciendo posible identificar, a nivel particular, cuales son los procesos que se están llevando a cabo con el fin de dotar de sentidos y significados al concepto de número natural, ya que cada estudiante lo manifiesta de diferentes maneras de acuerdo con el contexto en el que se desenvuelve. 4.2 SITUACIÓN DE AULA De manera particular para el momento de intervención10 de aula, se ha optado por perspectivas de trabajo de Situaciones de Aula. Se llamarán Situaciones de Aula 11 a las 10 Entendemos por intervención la interacción que se establece entre los participantes en la investigación y los investigadores. 11 Las Situaciones Problema se divide en dos fases: 1). Planeación y 2). Interacción en el aula. En particular, la fase de interacción en el aula requiere del trabajo en grupos, en el cual los estudiantes 23 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO situaciones que retoman algunos elementos de las Situaciones Problema, planteadas por Múnera (2011), quien las define como: […] un espacio para la actividad matemática, en donde los estudiantes, al participar con sus acciones exploratorias en la búsqueda de soluciones a las problemáticas planteadas por el docente, interactúan con los conocimientos matemáticos y a partir de ellos exteriorizan diversas ideas asociadas a los conceptos en cuestión. En este caso, se pretende lograr una interacción entre estudiante-estudiante, estudiante-objeto de conocimiento y estudiante-profesor, con el fin de observar las prácticas que se desarrollan en dicha interacción y a su vez ver como dotan de sentido y significado al número natural desde sus diferentes contextos de usos. Las Situaciones de Aula se articulan con los planteamientos de Obando (2011), el cual menciona que las situaciones que se desarrollan dentro del aula de clase, deben permitir la articulación entre los objetos de conocimiento y las técnicas y los instrumentos que permiten interactuar con ese objeto, en este sentido, las interacciones que se desarrollen, permiten que tanto los estudiantes como el profesor realicen procesos de negociación e intercambio de conocimientos, experiencias, logrando así una construcción compartida de sentidos y significados de un nuevo conocimiento. A continuación, se mostrará el diseño de las Situaciones de Aula utilizadas en la intervención con los estudiantes. ponen en “interacción el saber previo con el nuevo” (Múnera, 2011, p. 185). En cambio, en el presente trabajo, se privilegia, en primera instancia, el trabajo individual, para analizar las prácticas matemáticas que despliega cada sujeto frente al objeto de conocimiento. OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO 5. DISEÑO DE SITUACIONES DE AULA Para el presente trabajo de investigación se hizo necesario plantear dos situaciones iniciales que se desarrollaron con siete estudiantes del grado primero de la Institución Educativa Javiera Londoño-Sevilla, para saber cual era el conocimiento, junto con los sentidos y significados que habían construido en torno al concepto de número natural. Con base en esos conocimientos se podrían tomar decisiones acerca de las situaciones de intervención antes mencionadas. Cabe señalar que, si bien en todas las situaciones los estudiantes aprenden, en estas situaciones iniciales se exploran esos conocimientos construidos por los estudiantes evitando la intervención directa de los docentes, ya que sólo se potenciaba la interacción entre los estudiantes. 5.1 SITUACIÓN INICIAL 1: ¿Qué números hay en mi vida? 5.1.1 DESCRIPCIÓN Se presenta a los estudiantes una imagen (ver ilustración 1) en la cual se muestran algunos de los usos del número natural (etiqueta, localización, conteo, orden), luego se realiza las siguientes preguntas: ¿Qué números tengo en mi vida? ¿En dónde has visto los números? ¿Para qué sirven esos números? Intencionalidad Esta situación de aula posibilita un acercamiento al número natural desde sus contextos de usos (medida, etiqueta, localización, conteo), además, permite conocer los sentidos que los estudiantes han construido en torno al número natural. 25 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO 5.1.2 OBJETIVO Indagar que ideas o nociones han construido los estudiantes de los grados 1º de la Institución Educativa Javiera Londoño-Sevilla, en torno a los contextos de uso del número a través de la imagen. 12 Ilustración 1: ¿Qué números hay en mi vida? : 5.2 SITUACIÓN INICAL 2: El Bingo 5.2.1 DESCRIPCIÓN La situación consistió en un Bingo, el cual tenía como guía los colores primarios (amarillo, azul y rojo). Además, el rango de los números utilizados en el Bingo fue de 115. En las tablas, se mostraron diferentes tipos de representaciones para las cantidades: símbolo numérico, puntos, configuración digital y colecciones de cierta cantidad de objetos; no se usaron palabras-números, ya que no las podían leer. En el diseño de la situación se tuvo en cuenta la siguiente variable: 12 (Cantón, 2009) OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO El rango numérico que en el cual fluctúan las cantidades de magnitud involucradas en la situación era de 1 a 15, esto fue para que los estudiantes no tuvieran muchas dificultades en la ejecución de la misma, ya que se había observado que aunque en clase se había trabajado hasta el número 100, solo hacían reconocimiento de números inferiores a 20. Intencionalidad Esta situación permitió observar, a través de las prácticas de conteo, el uso de diferentes representaciones del número natural, relaciones de orden, nociones básicas sobre la operación suma y, además, permitió desarrollar la capacidad de concentración de los estudiantes. Procesos matemáticos Con esta situación los estudiantes debían hacer uso de procesos de conteo, cardinación, el establecimiento de correspondencias uno a uno, codificación y decodificación, además, recurrir a operaciones básicas matemáticas, como la suma de cantidades. 5.2.2 OBJETIVO Indagar que ideas, procesos y prácticas despliegan los estudiantes de los grados 1º de la Institución Educativa Javiera Londoño-Sevilla, en torno al concepto de número a través del juego “Bingo”. 5.2.3 MATERIALES 1 tabla para cada estudiante de 4 X 3. En lugar de poner las letras B-I-N-G-O, que se usan en el juego, se usaron colores (amarillo, rojo y azul). Cada color tenía un rango de números: amarillo de 1 a 5; rojo de 6 a10; azul de 11 a 15 (ver anexo 2). 1 ruleta. Fichas para tapar las casillas. Hojas de block para el registro. 27 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO La situación se desarrollará en dos partes: 1). Instrucciones para el desarrollo del juego, y 2). Comparación de los resultados obtenidos durante el juego. Instrucciones Primera parte 1. Se reparten los tableros entre los jugadores; a cada uno le corresponde un tablero. 2. El profesor o la profesora hará girar la ruleta y “cantará” el respectivo número y color. 3. A medida que se “canten” los números, cada participante tapa con un ficho el número que tenga igual, ya sea forma, símbolo o cantidad. Cuando un jugador tape completamente las casillas de su tablero grita ¡BINGO! Segunda parte 1. Escribe el número de fichas que tapaste en el tablero. 2. ¿Quién tiene mas fichas tapadas? ¿Cuántas? 3. ¿Quién tiene menos fichas tapadas? ¿Cuántas? 4. Ordena los resultados que hay en el tablero, del más pequeño al más grande. 5. Suma los números de la casilla azul. ¿Cuánto te dio? Busca un compañero y compara los resultados. ¿Quién obtuvo el número mayor? 6. Mira tu tabla. ¿Cuál es el número mayor? ¿Cuál es el número menor? 7. ¿De cuántas y cuáles formas tienen para escribir el número ___? 8. ¿De cuántas y cuáles formas tienen para escribir una misma cantidad? 5.3 ESTÁNDARES RELACIONADOS Pensamiento numérico Reconozco significados del número en diferentes contextos (medición, conteo, codificación, localización entre otros). OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Describo, comparo y cuantifico situaciones con números, en diferentes contextos y diversas representaciones. Reconozco propiedades de los números (ser par, ser impar, etc.) y relaciones entre ellos (ser mayor que, ser menor que, ser múltiplo de, ser divisible por, etc.) en diferentes contextos. Identifico, si a la luz de los datos de un problema, los resultados obtenidos son o no razonables. 29 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO 5.4 LO OBSERVADO EN LA SITUACIÓN ¿QUÉ NÚMEROS HAY EN MI VIDA? Ilustración 2: ¿Qué números hay en mi vida? Durante la descripción de las imágenes que aparecen en la lámina, los estudiantes expresaron diferentes argumentos que permiten evidenciar que han construido sentidos para el número natural en su uso como etiqueta. Según (Obando Zapata, Vanegas Vasco, & Vásquez Lasprilla, 2006), los números como etiqueta poseen varios sentidos, uno de ellos es el “referirse al uso del número como código de identificación de personas, objetos, funciones etc.” (p. 9, 10). Este sentido es adquirido a través del uso que se le da al número en la cultura, de acuerdo con la función que cumpla y se refiere a una clasificación de objetos. Al preguntar por los números que hay en la imagen, los estudiantes identifican varias etiquetas y a partir de éstas hicieron comentarios, tales como: E1: “una placa que dice cuatro y otra que dice MS 22.” E5: “También hay en la casa y en el teléfono y sirven para llamar”. E4. “También hay en las placas, en las casa, en los billetes y en las monedas” (aunque en la imagen no se hace referencia al dinero, el estudiante lo menciona a partir de los otros comentarios que hacían sus compañeros. Se puede afirmar, desde la Teoría de la Actividad (Obando, 2011), que éste conocimiento surgió de la interacción del estudiante con la cultura, de las experiencias que ha tenido por fuera del aula de clase, y que además, pudo reconocerlas en un contexto diferente aun sin estarlas mencionando). OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Además, durante el diálogo se indagó por la funcionalidad de los números, las respuestas obtenidas indican que los estudiantes tienen en cuenta que el número como etiqueta es una identificación y no un número con el que se puedan realizar operaciones como la suma y la resta, además, de mencionar que ese número de identificación es único. Ellos expresan ideas como: P: “¿Para qué se usan los números en las casas?” E2: “Para reconocer, porque significa calle, como calle 77 b 92 o calle 84 b 92, esa es la de mi casa.” P: “Y, ¿los números de las casas son iguales o diferentes?” E2: “No puede ser igual porque o sino no reconoce a donde deben ir. Si son iguales, hay que entrar a todas las casas para saber para cual va.” E4: “El número de la casa de él (señalando a un compañero) es igual a la mía” P: “¿Por qué?” E4: “Porque él se pasó a vivir a mi casa, por eso son iguales. Pero yo ya me fui para otra casa, entonces otra vez son distintas.” En el desarrollo de la discusión, también se preguntó para qué otras cosas sirve el número, en donde algunos de los estudiantes hacen mención del número en el contexto de medida, indicando que existe un instrumento (el metro) en el que se emplea el número para expresar la cantidad de magnitud de lo que se está midiendo: E3: “Los números también sirven para medir.” P: “Y, ¿qué cosas podemos medir?” E3: “Las motos, las mesas.” E5: “Casas, palos, motos. Y, también hay un metro con una lengua y hay números.” Aunque los estudiantes hacen referencia al número como medida, no tienen claro cómo se usa el número en dicho contexto (ésta observación se examinará cuando se esté realizando el análisis de lo sucedido en la situación “Aviones en vuelo”). Esta imagen también permitía que los estudiantes recurrieran al contexto de conteo (hay varios animales, carros, personas, frutas, flores), sin embargo, no se refirieron al proceso de cuantificación de colecciones. 31 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO Con el reloj, los estudiantes dicen que en éste hay números “para ver la hora” y recitan en orden las palabras-número hasta el doce. Aunque el recitar no es contar, el conocer las palabras-número y saber su orden es un elemento clave para el aprendizaje del concepto del número natural (Obando Zapata, Vanegas Vasco, & Vásquez Lasprilla, 2006). P: “¿que se ve en la imagen?” E4: “números, a un reloj.” P: “¿Qué tiene el reloj?” E5, E4, E1, E3: “números” P: “¿para que nos sirven los relojes?” E5, E4, E1, E3: “para ver la hora” P: “¿o sea que entonces nosotros siempre vemos los números?” E5, E4, E1, E3: “si” P: “¿en donde se ven los números?” E3: “en los relojes, en las placas, en la iglesia” P: “¿En la iglesia? ¿En donde?” E3: “en el ultimo piso. Allá… y el reloj es bien redondo y bien grande como esas dos motos, de esas” (señala dos motos que habían en el lugar). P: “¿Qué números hay aquí en la imagen? Muéstremelos.” E2: “esta el uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez, once, doce” (señalando o siguiendo con el dedo correspondencia uno a uno con el reloj) E3: “esta el uno, el dos, el tres, el cuatro.” E1: “hasta el doce” (mirando el reloj) E5: “uno, dos, tres, cuatro, cinco” E4: “está el uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez, once, doce acá” (señalando el reloj). En este caso, los estudiantes hacen reconocimiento del reloj como un objeto en el cual se usan los números, pero sólo es visto como símbolo, más no para medir, limitando sus prácticas a conteos. OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO 5.5 LO OBSERVADO EN LA SITUACIÓN INICIAL 2: El Bingo Al empezar la situación, se explicó cuales eran las normas básicas del juego. Este trabajo se realizó con siete estudiantes y, aunque se planteó de manera individual, los estudiantes se ayudaban entre sí para dar las respuestas. Durante el desarrollo de la situación se hacían preguntas a los estudiantes para saber qué relaciones podían estar utilizando. Algunas de las preguntas se debían responder por escrito, por ejemplo, “¿cuántas fichas tienes tapadas?”, el estudiante debía escribir el símbolo-número o dibujar la cantidad. Para realizar esto, fue necesario que los estudiantes tuvieran una muestra de los símbolos-número, para luego escribirlos en la hoja de registro (los estudiantes, después de realizar un proceso de conteo, buscaban en el cuaderno de matemáticas el símbolo-número que correspondía al que debían escribir). Respecto al uso de la ruleta, los estudiantes identificaron los símbolos numéricos, y luego evidencian procesos de codificación y decodificación, cuando pasan de un tipo de representación a otro, ya sea símbolo-número, palabra-número o colección de muestra. Cuando en el juego es necesario tapar un número y éste no se encuentra representado con el símbolo-número, los estudiantes recurren al conteo de todas las colecciones de muestra que tenían en la tabla, sin tener en cuenta la indicación color-número: si caía azul-13, contaban todas las colecciones, dejando de lado el color. En éste sentido, la asignación de color para las columnas no cumple con su objetivo, de limitar las opciones donde se podría encontrar el número que salía en la ruleta: P: “amarillo 3” E4: “véalo acá” (señalando , que pertenece a la columna roja). P: “¿hay que tapar en la columna amarilla o en la columna rojo?” E4: “el amarillo” (tapa el 3 de 7+3, porque es de color amarillo) En lo relativo a los procesos de conteo, los estudiantes contaban otra cantidad, haciendo correspondencia uno a uno entre objeto y palabra-número. Se hizo evidente la repetición de objetos, pero al final llegaban a la respuesta correcta, es decir, enunciaban la cantidad de objetos de la colección. Además, al hacer conteo no se 33 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO detenían al llegar al número solicitado, sino que contaban hasta el último objeto de la colección, cuando llegaban a ésta se daban cuenta que no tenían el número indicado. Los procesos de subitización o discriminación global de las cantidades, está en construcción: si caía 6, los estudiantes procedían siempre por conteo para cuantificar una colección. Cuando la disposición de los objetos es circular, algunos estudiantes inician el conteo, abarcan todos los objetos y continúan contando, perdiendo de vista el punto inicial desde donde parte el conteo. P: “rojo 9” E3: (cuenta y le da 10, el conteo lo comenzó por un pétalo rojo y terminó en el mismo pétalo) La representación de cantidades a través de la configuración digital permitió a los estudiantes controlar la cantidad ya que la podían ver, sentir y tocar, estas acciones facilitan la interiorización de la cantidad, tal como señala Brissaud (1993). P: “amarillo 1”. E5: “uno” (lo muestra con los dedos). “No lo tengo” (revisa la taba nuevamente y lo tapa). P: “rojo 6”. E2: (lo ve en la tabla y lo representa en sus manos) “yo lo tengo” (lo tapa). Pero, hubo un caso particular en el que no se hizo un reconocimiento de la configuración de dedos: P: “amarillo 2” E6: (tapa ) P: “¿Por qué tapas ese?” E6: “Porque son dos manos”. Cuando los estudiantes debían cuantificar la cantidad de puntos que tenía un dado procedían por discriminación global de la cantidad, a partir del reconocimiento de las constelaciones involucradas. Cuando la disposición espacial de dichos puntos variaba OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO sí procedían al conteo. Dicha situación está acorde con los planteamientos de Brissaud (1993): […] los niños aprenden con rapidez a denominarlas, aunque, evidentemente, cuando un niño nombra una constelación, no está designada la cantidad correspondiente, pues una constelación posee una configuración espacial muy determinada, en tanto que la cantidad es invariable aunque cambie la configuración espacial. Por ejemplo, en esta figura, que corresponde a una representación del dos, algunos estudiantes decían que efectivamente era el dos porque había dos puntos, pero otros argumentaban que era el uno, por ser un dado. En este caso, la configuración espacial no corresponde a la interiorizada, lo que generó dificultades en la ejecución de la situación. Además de la configuración espacial hay otros factores que implicaron dificultades como las percepciones y las ideas previas de los estudiantes. También, las acciones que desarrollan los individuos están limitadas por las experiencias que hayan tenido en torno a un objeto de conocimiento (Obando, 2011). En este sentido, las acciones utilizadas por los estudiantes en el inicio de la situación no los estaban llevando a avanzar en su ejecución. Por eso, deben recurrir a otro tipo de acciones, en este caso, recordando lo realizado en el aula de clase. Por ejemplo, los estudiantes reconocían la operación suma, pero desde la estructura vista en el aula de clase, es decir, de manera vertical. Por eso, al ser presentada de manera horizontal, no hacen una identificación de ésta ni de sus términos, lo que llevó a que tomaran los términos por separado: P: “Rojo 10” E1: “yo lo tengo” (en tapa el 10) P: “Muéstrame el que tapaste” E1: (lo señala con el dedo), “me falta el 5”. P: “¿Por qué lo tapas?” 35 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO E1: “porque mire, es el diez” (lo señala). P: “¿Alguna vez has visto esto?” (señalando el +) “¿Sabes qué significa?” E1: “no, yo nunca he visto eso.” Después de hacer preguntas orientadoras, recordaron que en clase les habían enseñado la suma (en forma vertical), al comparar este conocimiento con lo que veían en la tabla, concluyeron que se les estaba pidiendo que sumaran para obtener un número. Por esta razón, en principio no taparon algunas sumas, pero al darse cuenta de su significado, lo empezaron a realizar. Pero, construir significados para la suma asociados a la operación de dos cantidades ubicadas una al lado de la otra en forma horizontal generó sobre-generalizaciones, ya que los estudiantes asumieron que algunos números de dos cifras también estaban indicando suma de dichas cifras, así que el 12 para los estudiantes era 3 (1+2). Es probable que esto haya sucedido porque están en la construcción del valor de posición que tiene cada cifra en un número dado. Al respecto de los procesos de suma que debían desarrollar los estudiantes para determinar el total de puntos de una columna, algunos utilizaban dedos para sumar, pero cuando el número sobrepasaba el rango numérico con el que los estudiantes estaban familiarizados, comenzaron a utilizar palitos; otros usaron palitos desde el inicio. Con ello podían tener control de la cantidad. El contar con los dedos o usando palitos (esto lo hacen, primero representando una cantidad y luego la otras, después de esto proceden al conteo) se convierte en una práctica matemática de los estudiantes que les permite encontrar la solución a “problemas” o situaciones que se les presenta en donde es necesario sumar. Además de tornarse en una forma de validación del conocimiento, ya que, después de obtener una respuesta, nuevamente cuentan en los dedos, para verificar los resultados, esto le permite tener un control sobre la cantidad (Brissaud, 1993). Reconocen la relación “mayor y menor que” a través del conteo, para determinar quién tenia más y quién tenía menos fichas tapadas. OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO No identificaron la composición de un número a partir de otros. De acuerdo con lo observado, se tiene que los estudiantes participantes emplean procesos y prácticas que están ligados al conteo de colecciones de muestra, constelaciones y, en especial, a las representaciones de los números por medio de palitos y dedos para cuantificar y comparar colecciones. Las dinámicas de interacción colectiva frente al trabajo de clase obedecen a las prácticas institucionales: el estudiante adopta un papel de sujeto que sigue instrucciones, con pocos espacios de participación en la construcción de los conocimientos. Ello hace que los estudiantes, frente al trabajo propuesto en el marco de esta investigación, se comporten de una manera pasiva frente a la construcción del conocimiento. Por otra parte, se tiene que, después de realizar las situaciones iniciales con siete estudiantes del grado primero de la Institución Educativa Javiera Londoño-Sevilla, se encontró que el tratamiento que se hace del número natural está ligado a la práctica institucionalizada, dado que durante la observación de clase, la cooperadora centra su práctica en el número en el contexto de conteo y , además, usa los dedos para indicar cantidades, sin darle un sentido al concepto, llevando a que los estudiantes recurrando a conteos de colecciones de muestra en los cuales no se tiene un control sobre la cantidad, al presentarse un desfase en la correspondencia uno a uno, además de la memorización de configuraciones. Ahora bien, la construcción del conocimiento se da a partir de las interacciones de tipo sociocultural (Obando, 2011), sin embargo, las interacciones que están desarrollando los estudiantes de la Institución Educativa Javiera Londoño sede Sevilla no están permitiendo que dicho conocimiento cultural trascienda a un conocimiento matemático mas estructurado, más bien, se está quedando en el uso que se le pueda dar al objeto en un único contexto. En esta medida, se hizo necesario implementar una serie de situaciones, que permitan a los estudiantes construir ideas y significados a partir de diferentes usos del número natural. 37 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO 6. SITUACIONES DE AULA El conjunto de situaciones que se formularon involucran en su conjunto conceptos y procesos matemáticos tales como: Número natural. Conteo. Orden. Correspondencia uno a uno. Representaciones numéricas. Sentidos del número: -contar-ordenar-medir-localizar. Ruiz Higueras (2005): Se basa en Fuson para identificar los seis contextos del número: tres contextos matemáticos (cardinal, ordinal y medida), dos contextos que tienen una componente social y utilitaria (secuencia y conteo), sexto contexto simbólico. En particular, se define la cardinalidad como el número que representa la cantidad total de una colección; ordinal como el número que hace referencia a un elemento dentro de una colección ordenada, describiendo la posición relativa de ese elemento dentro de la serie; medida, en donde se hace referencia al número de cantidades-unidades que “caben” en una cantidad dada; conteo definido como la repetición de la serie numérica. Para Brissaud (1993), el contar está definido como el establecimiento de una correspondencia uno a uno entre los objetos de una colección y la lista de las palabrasnúmero. OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO 6.1 RED CONCEPTUAL Las nociones y procesos relativos al número natural se van a plantear en función de las siguientes relaciones: Para el presente trabajo, se verá el número natural desde sus diferentes usos, como código, ordinal, cardinal, medida y localizador. El particular, el manejo del número natural como ordinal y cardinal da lugar a las prácticas de conteo. Éste se desarrolla a partir de la representación, las secuencias numéricas, la ordenación y la correspondencia uno a uno. La representación de las cantidades puede ser escrita o verbal. En el caso de la representación escrita, ésta es de dos tipos no posicional (configuraciones digitales, colecciones de muestra, constelaciones) o posicional a través del símbolo-número. Éste símbolo-número implica la utilización de cifras que adquieren un valor de acuerdo a la posición en la que se encuentren, esto debido al Sistema de Numeración Decimal, es cual permite, entre otras cosas, operar con los números, adición y producto; con estas operaciones se generan un conjunto de estructuras que permiten categorizar el tipo de operación a realizar, en el caso particular de la adición, son las estructuras aditivas. Por otro lado, también se puede representar el número natural desde lo verbal, mediante el uso de palabras-número. Las palabras-número junto con los símbolosnúmero permiten la codificación y decodificación, esto es, pasar de un tipo de representación a otra. Por último, las estructuras aditivas junto con el conteo permiten la composición y descomposición de cantidades 39 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO Ilustración 3: Red conceptual OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO 6.2 OBJETIVO Observar las distintas prácticas que despliegan los estudiantes del grado primero en torno a los distintos usos del número natural. 6.3 ESTÁNDARES ASOCIADOS Pensamiento Numérico Reconozco significados del número en diferentes contextos (medición, conteo13, comparación, codificación, localización entre otros). Describo, comparo y cuantifico situaciones con números, en diferentes contextos y diversas representaciones. Pensamiento Métrico Reconozco en los objetos propiedades o atributos que se puedan medir (longitud, área, volumen, capacidad, peso y masa) y, en los eventos, su duración. Realizo y describo procesos de medición con patrones arbitrarios y algunos estandarizados, de acuerdo al contexto. Pensamiento Espacial Desarrollo habilidades para relacionar dirección, distancia y posición en el espacio. 13 Subrayado nuestro. 41 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO 6.4 MEDIOS Y MEDIADORES. Definiendo medio como el soporte material sobre el cual se estructura la situación, se tienen los siguientes medios: dados con configuraciones especiales, hojas de registro, tarjetas con preguntas, aviones de papel, tiras de cartulina. Como mediadores se tiene: reflexiones realizadas a partir de los datos en la hoja de registro, puestas en común efectuadas mediante preguntas orientadoras, las preguntas de las tarjetas (para el Recorrido). 6.5 SITUACIÓN DE AULA 1: Llegó carta Descripción de la situación Los estudiantes se ubicarán en la línea de la partida y deben hacer desplazamientos a partir de las instrucciones dadas por el profesor. Todos los estudiantes deben llegar al mismo punto, pero con instrucciones diferentes. El estudiante, después de cada desplazamiento debe hacer una representación gráfica de sus movimientos. Luego, se hará una socialización mostrando las diferentes vías para llegar al mismo número. En la situación gana quien quede más cerca de la línea de llegada o logre cruzarla. La variable de esta situación es que los estudiantes, después de cada desplazamiento deben hacer una representación gráfica de sus movimientos (dirección y número de pasos) para intercambiar con un compañero que deberá realizar el recorrido propuesto. Intencionalidad Esta situación de aula permite hacer un acercamiento al número natural en un contexto de localización. Procesos matemáticos Se espera que los estudiantes realicen composición y descomposición de cantidades. Este proceso se llevará a cabo cuando se pida a los estudiantes llegar a una distancia que será igual para todos. OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Se requiere que los estudiantes se ubiquen espacialmente en función de lateralidad derecha-izquierda, relación de orden mayor y menor que, esto se hará posible cuando sigan las instrucciones y se les pregunte quien está más cerca o quién está más lejos de la meta. Instrucciones Todos los estudiantes se ubican en la línea de partida. Profesor: llegó carta. Estudiante: ¿Para quién? Profesor: para ____. Estudiante: ¿Qué dice? Profesor: que se mueva _____ pasos hacia _____. Después de los desplazamientos estos se registraran en hojas cuadriculadas para luego hacer un intercambio entre ellos mismos. Socialización En el momento de intercambio se observarán las prácticas matemáticas de los estudiantes cuando deben comunicar y seguir instrucciones usando el número en el contexto de localización. 6.6 SITUACIÓN DE AULA 2: Aviones en vuelo Descripción de la situación A cada estudiante se le entregará un avión de papel de un color diferente. Todos se ubicarán en la línea de partida para lanzarlos, luego cada uno determinara quién estuvo más cerca o quién estuvo más lejos de la línea de partida. 43 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO Materiales Tiras de cartulina (cada una de ellas tendrá una medida diferente); cartulina (en forma de pies). Intencionalidad La intencionalidad de ésta situación de aula es ver las prácticas matemáticas que emplean los estudiantes de grado primero para medir la distancia recorrida por el avión. Procesos matemáticos Se espera que los estudiantes comparen distancias por medio de diferentes patrones de medida. Socialización En el momento de la puesta en común y en el desarrollo mismo de la situación se observarán las prácticas matemáticas de los estudiantes cuando utilicen los instrumentos para medir la distancia recorrida por el avión. 6.7 SITUACIÓN DE AULA 3: Hagamos un recorrido Descripción de la actividad. Para este juego se necesita de dos dados, fichas (de preguntas, avances, retrocesos) (ver anexo 4) y un tablero (ver ilustración 4). Cada estudiante, por turno deberá lanzar los dados al mismo tiempo. El estudiante deberá calcular la suma para saber cuánto avanzara en el tablero, esto lo hará de manera escrita. Intencionalidad La intencionalidad de esta situación es observar el lenguaje, los gestos, las acciones, las técnicas y las representaciones que emplean los estudiantes cuando participan en el desarrollo de situación donde se requiere el uso del número natural, dando cuenta de las prácticas matemáticas. OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Procesos matemáticos La situación requiere que los estudiantes hagan usos de procesos de conteo, codificación y decodificación, relaciones de orden y estimación. Tarjetas del juego14 1. Avanza 2. 2. Retrocede 3 casillas 3. ¿Cuánto suman tus dados? Réstale 3. ¿En qué posición quedaste? 4. ¿Cuál es el resultado? ___ (tarjeta con suma). 5. Representa el número ___. (se le da hoja y lápiz para que haga diferentes representaciones: forma, símbolo o cantidad). 6. ¿Quién tiene más globos? (mostrar tarjeta con dibujos). 7. ¿Qué número es éste ___? (Se muestra un símbolo-número) 8. ¿Cuánto suman tus dados? Súmale 1. ¿Cuántas casillas te faltan para ganar? 9. ¿Cuántos colores hay? (tarjeta con dibujo). 10. ¿Cuántos hay? (Se muestra una imagen con varios objetos) 11. ¿Cuántos lápices hay? (tarjeta con dibujo). 12. ¿Cuántas colombinas sobran? ___. (Se debe hacer correspondencia uno a uno entre personas y colombinas). 13. Avanza 1. 14. ¿Quién tiene menos carritos? (mostrar tarjeta con dibujos). 15. Representa el número ___ (tarjeta con símbolo-número). 16. María tenía 5 galletas y le dio 4 a su perro. ¿Cuántas galletas le quedaron? 17. Pablo compró 2 manzanas, su mamá le regaló 3. ¿Cuántas manzanas tiene ahora? 18. Retrocede 2. NOTA: Si los estudiantes no responden a las preguntas, pierden un turno. 14 Las tarjetas serán leídas por el profesor y, luego, se mostrarán a los estudiantes. 45 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO Los dados serán diferentes a los del juego común. Se pondrán los números, pero con otro tipo de configuraciones (el símbolo-número, una mano que muestre con los dedos la cantidad, una cantidad de objetos). Ilustración 4: Tablero del Recorrido 6.8 GESTIÓN DE LA SITUACIÓN Para seleccionar los estudiantes que iban a participar en el desarrollo de las situaciones, se pidió colaboración a las docentes cooperadoras. Ellas nos sugirieron 3 estudiantes de cada salón, de tal forma que conformáramos un grupo diverso, con estudiantes que tuvieran desempeños altos, medios y bajos en matemáticas. De acuerdo, con esa selección se enviaron las respectivas cartas a los padres de familia (ver anexo 1), solicitándoles la autorización para que sus hijos pudieran participar del estudio. De estos nueve estudiantes sólo respondieron siete de ellos. Con estos siete estudiantes se llevó a cabo la situaciones de aula iniciales (¿Qué números hay en mi OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO vida? y El Bingo), sin embargo, uno de ellos no estuvo presente en las intervenciones de análisis (se retiró de la institución). Para el desarrollo de las situaciones de intervención se trabajaba con los seis niños en un espacio a parte del aula de clase, previa autorización de la docente cooperadora. El trabajo por fuera del salón generó algunas situaciones particulares: como los estudiantes al salir del salón se sentían en descanso y veían las situaciones como un juego, prestaban poca atención, entonces se hacia necesario ocupar un tiempo para organizarlos. Los estudiantes demostraban gran interés al observar el material con el que se iba a trabajar (tarjetas bingo, aviones en papel de colores…), por lo cual comenzaban con inquietudes acerca de lo que se iba a realizar con éste. Los niños realizaban las situaciones con interés pero a su vez se dispersaban un poco, se puede pensar que una de las razones fue la hora de ejecución de las situaciones ya que eran después del descanso a las 10:00 am y se terminaban antes de que tocaran el timbre para la salida a la casa. En este transcurso de tiempo salían varios estudiantes de su salón de clase lo cual interfería con la situación distrayendo la atención de los estudiantes. 47 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO 7. CARACTERIZACIÓN DE LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS “(…) sentidos y significados descansan no sólo en el cuerpo de conocimientos estructurados formalmente (conceptos, objetos, axiomas, teoremas, etc.), sino también, en las acciones (gestos, técnicas, modos de hacer) y en los medios para dichas acciones (signos, instrumentos, etc.) que constituyen toda práctica matemática; en las formas de razonamiento y formas de enunciación (…) aceptadas como válidas” Obando (2011) Para caracterizar las prácticas matemáticas que despliegan los estudiantes cuando desarrollan situaciones de aula relacionadas con el número natural, es pertinente detallar las técnicas, acciones, lenguaje, conceptos y representaciones de los estudiantes del grado primero, desde lo planteado por Obando (2011), con el fin de identificar qué sentidos y significados se están construyendo del concepto de número natural. OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO 7.1 SITUACIÓN DE AULA 1: Llegó carta Esta situación tenía como finalidad realizar un acercamiento al número natural en un contexto de localización. En donde era necesario que los estudiantes realizaran composición y descomposición de cantidades, que establecieran la relación derechaizquierda, el conteo de la cantidad de pasos (magnitudes discretas), teniendo en cuenta las direcciones dadas por el profesor (“x pasos hacia…”), la identificación de los puntos de referencia y establecieran la relación mayor y menor que, entre distancias. Se pretendía que los estudiantes dibujaran en una hoja cuadriculada los movimientos realizados y luego debían entregarla a un compañero para que éste efectuara el mismo recorrido. Sin embargo, como la gráfica se diseñaba después de realizar todas las instrucciones respectivas, no tenían en cuenta los giros que se daban a la izquierda o a la derecha ni el número de pasos (ver anexo 3). Debido a esto, no se cumplió con el objetivo propuesto (a esto se le llamará momento 1, m1). Por esto, se hizo pertinente elaborar la misma situación, pero en este caso se realiza sobre un tablero con cuadrícula, donde los movimientos se realizaban con fichas. Luego, los estudiantes debían tomar registro en hojas después de realizar cada movimiento (a esto se le llamará momento 2, m2). Momento 1 (m1) En el desarrollo del primer momento se hicieron las siguientes observaciones: Dos de los estudiantes tienen la noción de lateralidad identificando el referente izquierda-derecha, pero los otros se confunden al verse enfrentados a situaciones que impliquen el uso de estas. P: “para E3” E: “¿que dice?” P: “Que se mueva 5 pasos a la derecha.” 49 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO E3: (se queda quieto, E1 señala con el dedo pulgar la derecha y E5 señala con el dedo índice la izquierda). El estudiante fue impulsado por los otros compañeros para realizar el movimiento, pero éste es indeciso. Es de notar que los estudiantes realizaban el conteo de sus pasos sin tener en cuenta que la amplitud de estos varía entre un paso y otro y, además es diferente para cada uno de los estudiantes. A parte de esto, esta amplitud era modificada por cada estudiante de acuerdo a la posición en la que se encontraba y a su necesidad particular, por ejemplo, cuando un estudiante estaba cerca a la meta y alguno de sus compañeros lo estaba alcanzando, procedía a realizar pasos más amplios, pero cuando los pasos eran a izquierda o derecha, la medida de la magnitud utilizada era menor. Al respecto, MEN (1998) plantean que para dar sentido al número es necesario reconocer las “magnitudes relativas de los números […], y […] desarrolla[r] puntos de referencia para cantidades y medidas” (p.43). Después de realizar los movimientos se pide a los estudiantes que hagan una gráfica donde muestren el recorrido que hicieron, teniendo en cuenta los giros adelante, derecha e izquierda. En las gráficas se observó que algunos estudiantes hicieron el recorrido en línea recta, otros hicieron giros de acuerdo la ubicación final con respecto a la salida, mas no con los giros indicados por el profesor. Al preguntar por el número de pasos que faltaban para llegar a la meta algunos de los estudiantes iban y realizaban nuevamente el conteo de pasos, pero en la hoja de registro ponían un número de pasos distintos a los que les habían dado. OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Ilustración 5: Gráfica de Llegó carta Ilustración 6: Gráfica de Llegó carta Momento 2 (m2) Para realizar el segundo momento, se tuvo en cuenta el desarrollo del primer momento, ya que éste, presentó inconvenientes en su estructura y estos fueron visibles en su ejecución. Por ejemplo, teniendo como base la ejecución del momento 1, se esperaba que los estudiantes tuvieran un mayor dominio de la noción de lateralidad (derechaizquierda), por eso en el momento 2 se anexó a la situación la relación adelante-atrás. En las dos situaciones se evidenciaron aspectos como: Conceptos E1 Lateralidad: Cuando los compañeros debían hacer giros a la derecha o izquierda, él les indicaba hacia donde realizar el movimiento. Estimación: expresaba los posibles resultados cuando se le pregunta por la cantidad de pasos que se debían realizar para ir de un sitio a otro. E2 Composición y descomposición: el estudiante tenía control sobre el resultado final, lo que buscaba eran caminos diferentes para llegar a la meta (m2). Lateralidad: esto se hace evidente al utilizar palabras diferentes a las expresadas por el profesor para referirse a las relaciones izquierda-derecha y adelante-atrás. Mayor o menor que: expresa cuándo un compañero queda cerca a su posición o se pasa. E6 Lateralidad: esto se hace evidente al realizar movimientos sin detenerse a pensar hacia donde ir y al indicarle a los compañeros cuál es la derecha o la izquierda. 51 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO Técnicas (procedimientos e instrumentos) E1 Para indicar hacia donde queda la derecha, la izquierda o el frente, señala con los dedos, usa el dedo índice o el pulgar dependiendo del sitio que vaya a señala (ver ilustraciones 7 y 8). Ilustración 7: E1 indicando un desplazamiento con sus dedos Ilustración 8: E1 señala un desplazamiento usando el dedo pulgar OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Cuando realizaba correspondencia uno a uno entre palabras-número y pasos en la cuadrícula, en este proceso hace pausas (m2). E2 Realizaba correspondencia uno a uno entre palabras-número y pasos realizados sobre el suelo (m1). Hacía correspondencia uno a uno entre las palabras-número y pasos en la cuadrícula usando en algunas ocasiones un palillo y en otras el dedo índice (a veces el pulgar) (m2). Señala usando el índice para indicar una posición o un lugar. No hace pausas en las intersecciones de la cuadrícula, realizando un conteo consecutivo (m2). E3 Efectuaba correspondencia uno a uno entre palabras-número, los dedos y pasos en la cuadrícula. Realizaba correspondencia uno a uno entre palabras-número y pasos realizados sobre el suelo (m1). Señalaba con el dedo índice para indicar una posición. E4 Correspondencia uno a uno ente los dedos y las palabras-número. Cuando realizaba correspondencia uno a uno entre palabras-número y pasos en la cuadrícula, hacía una pausa en cada intersección. Para indicar en donde queda la derecha o la izquierda, siempre debía señalar usando el dedo índice. 53 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO E5 Hacía correspondencia uno a uno entre los dedos y las palabras-número. En ocasiones sólo miraba la cuadrícula y después de un momento ubicaba la ficha en la nueva posición. Luego, repite el mismo proceso para poder realizar la gráfica de los movimientos realizados. E6 Señala, usando la mano, cuál es la derecha o la izquierda (ver ilustración 9). Ilustración 9: E6 señala un desplazamiento usando toda la mano Cuando ella es la que tiene que hacer un movimiento, sólo mira el sitio al que no debe ir (ver ilustración 10). P: “para E6” E: “¿Qué dice?” P: “que se mueva 4 pasos a la izquierda." OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Ilustración 10: E6 mira al sitio opuesto al indicado por el profesor Lenguaje E1 Usaba las palabras-número, para indicar la cantidad de pasos que se debía dar. Usaba las expresiones izquierda, derecha, adelante y atrás. E2 Utilizaba palabras como “voltear” y “para atrás”. P: (E2) “que se mueva 1 paso a la derecha y 3 hacia atrás.” E2: “¿para atrás?” (señala hacia atrás) “¿Por qué tan atrás?” Además, expresa P: “¿Quién está más lejos de la meta?” E3: “E1” P: “y, ¿por qué?” E2: “porque E1 está más atrás.” 55 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO Cuando un compañero realiza un movimiento y queda cerca a su posición o se pasa, lo hace notorio mediante expresiones como “ay” o “ay no”. E4 Usaba las palabras-número, para indicar la cantidad de pasos que se debía dar, pero su lenguaje no es fluido, para decir “dos”, utiliza la expresión “do”. Usaba las expresiones izquierda, derecha, adelante y atrás. E5 Usaba las palabras-número, para indicar la cantidad de pasos que se debía dar. Usaba las expresiones izquierda, derecha, adelante y atrás. E6 En la ejecución de la situación no empleó expresiones que dieran cuenta de procesos matemáticos, de hecho, no hablaba, incluso cuando se le hacían preguntas. Gestos E2 Mira al profesor cuando hace un procedimiento incorrecto. Cuando un compañero queda cerca a su posición o se le pasa se agacha y se coge la cabeza (m2). E4 Realizaba correspondencia uno a uno ente los dedos y las palabras-número con movimiento de cabeza. E5 Miraba al profesor siempre que realizaba un movimiento, como buscando la aprobación de lo que hace. OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO En los otros estudiantes no se hace reconocimiento de un gesto relacionado con la situación. Acciones E1 Establece la correspondencia uno a uno. Cuando se le pide que diga cuál es la cantidad de pasos que se deben realizar para llegar a un punto determinado, procede a hacer un conteo, aunque no lo asocia con una dirección (m1). E2 Establece la correspondencia uno a uno. Cuando se le pide que diga cuál es la cantidad de pasos que se deben realizar para llegar a un punto determinado, procede a hacer un conteo, aunque no lo asocia con una dirección (m1). Cuando el proceso se hace sobre una cuadrícula (m2), muestra el recorrido que se debe hacer, realizando diferentes giros, pero sólo menciona la cantidad de pasos. E3 Establece la correspondencia uno a uno. Cuando se le pide que diga cuál es la cantidad de pasos que se deben realizar para llegar a un punto determinado, procede a hacer un conteo, aunque no lo asocia con una dirección (m1). E4, E5, E6 Proceden de la misma manera, estableciendo la correspondencia uno a uno. 57 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO Construcciones de los estudiantes En esta situación se observó que algunos estudiantes dan evidencia de haber construido significados relacionadas con estimación, es decir, dan cuenta de una cantidad sin necesidad de hacer una medición directa sobre la distancia a medir y sin utilizar ningún tipo de instrumento (Posada y otros, 2006, p. 20). Pero en el momento de preguntarles sobre cómo llegar a la posición de otro compañero ellos respondían diciendo una palabra-número dejando de lado los movimientos que debían realizar (derecha, izquierda, adelante o atrás). También, es común que los estudiantes utilicen sus dedos o manos como instrumentos para realizar diferentes procesos, como realizar conteos e indicar un desplazamiento. Para efectuar conteo, los estudiantes iniciaban estableciendo la correspondencia uno a uno entre la cantidad de pasos a realizar sobre el suelo y las palabras-número (m1) o, estableciendo la correspondencia uno a uno entre la cantidad de pasos a realizar en la cuadrícula, el dedo con el que señalaban y las palabras-número (m2), dando cuenta de la práctica social en la que están inmersos, es decir, esas técnicas que se desarrollan en la vida cotidiana (Obando, 2011), las cuales permean al estudiante, en este caso el señalamiento con el dedo índice, al emplearlo para realizar los conteos y para verificar los resultados obtenidos. Del mismo modo, se observó que algunos de los estudiantes recurrían a indicar con sus dedos o manos hacia donde se debía hacer los respectivos desplazamientos. Además, los estudiantes tenían en cuenta el sitio al que llegaban como punto de referencia para el siguiente movimiento, en este sentido tienen en cuenta que son puntos de referencia relativos pero al realizar la gráfica se convierten en puntos de referencia absolutos porque ellos solamente tomaban en cuenta la posición final y dejaban de lado lo realizado anteriormente. En cuanto al lenguaje, se evidenció cómo algunos de los estudiantes recurrían al uso de las palabras-número en voz alta cuando estaban realizando el proceso de correspondencia uno a uno entre las palabras-número y los pasos a realizar. OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO También, esta situación requería el uso de palabras relacionadas con lateralidad. En este caso, los estudiantes usaban las mismas palabras empleadas por el profesor (derecha, izquierda, adelante, atrás) y sólo un estudiante hizo uso de otras palabras que fueran equivalentes, por ejemplo, cuando se le dice “retroceder”, el estudiante relaciona esto con ir “para atrás”. Los estudiantes, en algunas ocasiones, miran al profesor después de realizar un procedimiento, esto sucede cuando no están seguros de lo que acaban de hacer. En este sentido, los estudiantes buscan la aprobación del profesor para sus acciones, las cuales están delimitadas por el conjunto de instrumentos que les ha ofrecido la cultura (Obando, 2011). Con base en lo anterior, cabe resaltar como los estudiantes empleaban el contar, es decir, establecen “correspondencia uno a uno entre los objetos de una colección y la lista de las palabras-número”15 (Brissaud, 1993, p. 35), la correspondencia se establece entre la cantidad de pasos que se recorren sobre la cuadrícula, el dedo con el que señalan y la palabra-número que asignan a cada movimiento. Pero, en particular, se puede hablar de la acción de enumerar16, ya que los estudiantes toman la última palabra-número como la totalidad de pasos que se deben realizar (Brissaud, 1993) y no lo asociaron con los desplazamientos (izquierda-derecha, adelante-atrás) que realizaron para llegar a una posición por lo que se puede concluir que los estudiantes en este contexto de localización no le dan sentido y significado al número natural. 15 Según Brissaud (1993), el proceso de contar implica la acción de contar-numerar y la de enumerar. Contar-numerar se refiere a la acción de asignar a cada objeto una palabra-número, sin tener en cuenta que la última palabra-número pronunciada hace referencia a la cantidad total de objetos. Enumerar es cuando en una colección “la última palabra-número que se pronuncia no es un simple número, sino que representa la cantidad de todos los objetos” (p. 37). 16 Es necesario tener en cuenta que los investigadores tienen diferentes opiniones respecto a lo que es pasar de contar-numerar a enumerar. Aquí se asume el enumerar como el aislar “la última palabranúmero que se ha pronunciado para responder a una pregunta que comience por “¿cuántos… hay?”” (R. Gelman, s.f.,citado por Brissaud, 1993, p. 39) 59 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO 7.2 SITUACIÓN DE AULA 2: Aviones en vuelo La intencionalidad de esta situación de aula es analizar las prácticas matemáticas que emplean los estudiantes de grado primero para medir la distancia recorrida por el avión. De esta manera se espera que los estudiantes construyan significados del número natural en contextos de medida. Además, se quiere ver los sentidos y significados que tienen los estudiantes del número natural, lo cual es evidente por medio de las prácticas que desarrollan cuando se enfrentan a situaciones de aula relativas a los contextos de uso del número natural, en este caso, el contexto de medida. Esto implica que el estudiante se acerque a lo culturalmente aceptado, que en este caso es la selección y uso de un patrón de medida y la cuantificación de la cantidad de magnitud a través de un número natural17. La situación se desarrolló en la cancha de la Institución Educativa Javiera LondoñoSevilla. A cada uno de los estudiantes se le entregó un avión de papel, el cual fue lanzado desde un mismo punto. Luego, cada uno de los estudiantes procedía a realizar una medición de la longitud avanzada recorrida por el avión. Para esto, a los estudiantes se les suministró materiales de diferentes tamaños, con el fin de observar si reconocían un patrón de medida. En la ejecución de la situación, los estudiantes para hacer comparaciones entre las distancias recorridas por los diferentes aviones, debían escoger un patrón de medida. Sin embargo, sólo buscaban expresar una cantidad de magnitud como resultado del proceso de medición, sin tener en cuenta las diferencias entre los patrones empleados. Por esto, el profesor interviene en las ocasiones que era preciso que los estudiantes tuvieran en cuenta este hecho. En este caso, todos los estudiantes median una misma longitud, cada uno lo hacía con la técnica de su elección, al hacer esto se obtenían resultados diferentes. Se indagaba sobre la posibilidad de tener un mismo patrón de 17 Aunque las longitudes son magnitudes continuas, en este trabajo se busca hacer una medición con instrumentos para los cuales se ha usado un patrón fino (huellas, tiras); es con estos instrumentos con los que se va a cuantificar la medida, lo que implica un proceso en el que la cantidad se da en un valor discreto. OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO medida (que todos midieran usando el mismo instrumento), pero esto no era de importancia para los estudiantes, pues lo único que les interesaba era decir una palabra-número y no el llegar a un acuerdo de medida. A continuación, se caracterizarán las prácticas observadas en la ejecución de la situación: Conceptos E1 Relación de orden (mayor y menor que): el estudiante hace un proceso de comparación sobre la base de estimación de distancias. E2 El concepto de longitud lo asocia con la palabra metros. Además, sus ideas hacia la medida son de recubrir con instrumentos planos la distancia recorrida, ya que, inicialmente pone las tiras sin estirarlas dejando espacios entre ellas. Después considera que esas tiras deben ser desenroscadas para cubrir la superficie y pasar a hacer la medición. Cabe resaltar que el estudiante utiliza varios patrones de medida (uso tiras de distintos tamaños y huellas) donde al final son asumidas como equivalentes para poder expresar la cuantificación. E4 Al medir, expresa una cantidad más no una cantidad de magnitud, sin reconocer el patrón de medida de las tiras de cartulina. Es decir, la noción de unidad de medida que tiene el estudiante está relacionada con aquel instrumento que le permite recubrir una superficie, como por ejemplo tiras de cartulina de distinto tamaño por igual. E5 Punto de referencia y longitud: E5 explica a E4 que debe llegar hasta el sitio en donde estaba situado en la línea de partida y que le faltan tiras para cubrir toda la distancia, ya que, E5 superpone las tiras de distinto tamaño con el fin de abarcar 61 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO toda la longitud recorrida por su avión. En el caso de E5, el punto de referencia es lo que ya ha medido, al superponer las tiras y, así, poder tener control completo sobre la medición. Técnicas (procedimientos e instrumentos) E1 Coloca las tiras enroscadas y planas dejando espacios largos y cortos entre ellas, luego hace correspondencia uno entre sus manos y las tiras de cartulina, procede a contarlas (ver ilustración 11). Ilustración 11: E1 pone tiras enroscadas y tiras planas para realizar un conteo E2 Escoge tiras de cartulina y estas están enroscadas. Inicialmente, pone las tiras sin estirarlas y deja espacios entre ellas. Después pregunta: “¿Cómo pegamos esto?” Luego, se da cuenta como desenroscarlas y lo hace con facilidad. Además, escoge huellas, tiras largas, medianas, cortas. Utiliza sus pies para contar la longitud de las tiras de cartulina, dando pasos al lado de las tiras. Cuanto termina de hacer el conteo, sólo expresa una cantidad, sin asociarlo a un patrón de medida. Para hacer la medida de la longitud, establece correspondencia uno a uno entre las palabras-números y los pasos. Entre paso y paso, usa el dedo índice, para señalar en donde va en el conteo (ver ilustración 12). OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Además, va hasta donde E5 y le ayuda a poner tiras y hacer el conteo para averiguar la medida de la distancia recorrida por el avión. Ilustración 12: E2 correspondencia uno a uno entre las tiras y su pié E3 Escoge varias tiras de cartulina de distinto tamaño. Al ver que las tiras que tiene no le alcanzan para hacer la medición, empieza a coger las que tenía primero y las pasa a lo último sin perder de vista el cálculo (ver ilustración13). Esto se hace evidente cuando le pregunta a E2 cuánto lleva y él le responde “yo no sé”, luego va a donde están las tiras de cartulina de E2 y empieza a contar haciendo correspondencia uno a uno entre sus dedos y las tiras de cartulina, mientras hace esto va pronunciando en voz alta las palabras-números, dice” yo llevo 22 y usted lleva 20”, entonces E2 va a contar las tiras de cartulina de E3 para ver que si este bien lo que él está diciendo (ver ilustración 14). 63 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO Ilustración 13: E2 empieza a coger las que tenía primero y las pasa a lo último sin perder de vista el cálculo. Ilustración 14: E3 contando el número de tiras usadas por E3 E4 Selecciona al azar algunas tiras de cartulina y las pone, en algunas ocasiones una tras otra, en otras superpuesta, desde el avión hacia el punto donde se hizo el lanzamiento. Como las tiras no le alcanzan, procede a mover su avión hasta la última tira puesta, luego, mueve todas las demás tiras, repitiendo el procedimiento inicial. El estudiante coloca tiras de cartulina unas enroscadas, otras planas y las empieza a contar, haciendo correspondencia uno a uno entre las tiras planas, las tiras enroscadas y sus pasos (ver ilustración 15) o entre las tiras y sus dedos (ilustración 16). OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Ilustración 15: E4 haciendo correspondencia uno a uno entre los pasos y la longitud de la tira. Ilustración 16: E4 haciendo correspondencia uno a uno entre el número de tiras y las palabrasnúmero E5 El procedimiento utilizado fue poner tira tras tira, sin importar si era larga, pequeña o mediana, además, desdobla sus tiras de cartulina para que estas queden planas. El estudiante pone las tiras de manera superpuesta (ilustraciones 17 y 18). Ilustración 17: E5 superponiendo las tiras Ilustración 18: E5 superponiendo las tiras ayudado por E2 65 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO E6 Escoge una tira de cartulina larga y con sus dedos empieza hacer un recorrido para contar cuanto mide esa tira, es decir, con los dedos hace pasos, así que establece correspondencia uno a uno entre los “pasos” y las palabras-número. En este proceso no hay un patrón de medida, ya que la amplitud de los “pasos” varía (ilustración 19). Durante toda la ejecución de la situación hace lo mismo. Ilustración 19: E6 estableciendo correspondencia uno a uno entre los “pasos” y la longitud de la tira Lenguaje E1 Utiliza expresiones como “casi me alcanza”, “está más cerquita este” (señalando con sus dedos a E3), esto lo hace en el proceso de comparación entre la distancia recorrida de su avión y la distancia recorrida por el avión de E3. También usa la expresión contar asociada a la medición. P: “¿con cuántas tiras llegaste?” E3: “No sé. No las conté” E2 Recurre a términos de otros contextos, como el contexto de dinero para referirse a una unidad de medida. OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO P: “¿Qué estás haciendo?” E2: “midiendo”. P: “¿midiendo qué?” E2: (Señala con sus dedos las tiras) “esto”. P: “y, ¿cuánto mide?” E2: “treinta y siete”. P: “¿treinta y siete qué?” E2: “treinta y siete mil18”. En otro momento de la situación se hizo una socialización sobre cuánto mide la tira de E6 P: “¿Cuánto mide esta tira de cartulina?” E2: (la mira) “treinta y cuatro metros”. P: “y, ¿cómo haces para medirlo?” E2: “con el pie”. Ilustración 20: E2 estableciendo correspondencia uno a uno entre el pié y la longitud de la tira E3 Hace un conteo entre la distancia recorrida del avión de él y el avión de E1, pero no usa palabras que den cuentan de una medición. 18 En clase aún no se habían trabajado las unidades de mil. 67 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO E3: “a nosotros nos dio ciento diez” (lo dice a E2 y E5). E6 Al momento de preguntarle ¿Cuánto le dio? Responde “100”. Por tanto el profesor le pregunta ¿100 qué? A lo cual responde 100 kilómetros. Es decir, asocia la palabra kilómetros como expresión inherente al proceso de medición de longitudes. E6: “Ya me dio sesenta y cinco” P: “¿sesenta y cinco qué?” E6: “Kilómetros” P: (señaló una huella que tiene en el recorrido que no “midió”) E6: “¿Yo en cuánto iba?” P: “Iba en sesenta y cinco kilómetros” E6: “sesenta y seis,…” (Cuenta, pero no se le alcanza a escuchar) “cien”. P: “¿cien qué?” E6: “cien kilómetros” Gestos E1 Cuando se le hace una pregunta y no sabe qué responder, voltea la mirada. P: “¿Cuántas llevas?” E1: “no se” (voltea la mirada riéndose) P: “¿con eso podemos medir?”(señala los instrumentos llevados por el profesor). E1: “no” P: “¿Cómo hacemos para medir?” E1: (voltea la mirada y con su mano se rasca la cabeza, luego mueve las manos indicando que no sabia). OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO E2 Cuando el profesor le pregunta qué utilizó para medir, el estudiante mira hacia el piso sosteniéndose la cabeza con sus manos, luego responde “eso”. Esto lo hace para indicarle al profesor que midió con las tiras de cartulina. E4 Cuando se le hace una pregunta, mira para los lados, al parecer, no sabía que hacer. Se queda sentado al lado del avión mientras observa lo que hacen los demás. E5 En el momento de colocar sus tiras para saber qué distancia había entre el avión y el punto de salida, se queda mirando fijamente ésta distancia y las tiras de cartulina, es en este momento donde sale corriendo por más tiras, esto evidencia que sabe que las tiras que tiene no le alcanzarán para medir y, cuando estas no son suficientes, busca más, su actitud es observante hacia a quien le puede proporcionar las tiras que a él le faltan. E6 Al momento del profesor indagar sobre sus prácticas, el movimiento de su cara, su expresión y su risa tímida dan a entender que no sabía lo que estaba haciendo. Acciones E1 Hacía correspondencia uno a uno entre palabras-número y el dedo índice con el que señalaba las tiras de cartulina. E2 Hacía correspondencia uno a uno entre palabras-número y el dedo índice con el que señalaba las tiras de cartulina. Además, en cierta ocasión uso sus pies y sus manos para hacer esta correspondencia uno a uno. 69 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO E3 Hacía correspondencia uno a uno entre palabras-número y el dedo índice con el que señalaba las tiras de cartulina. E4 Hacía correspondencia uno a uno entre palabras-número y el dedo índice con el que señalaba las tiras de cartulina. También, en cierta ocasión uso sus pies para hacer esta correspondencia uno a uno. E5 Hacía correspondencia uno a uno entre palabras-número y el dedo índice con el que señalaba las tiras de cartulina. E6 Hacía correspondencia uno a uno entre palabras-número y el dedo índice con el que señalaba las tiras de cartulina. OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Prácticas matemáticas observadas En esta situación, las acciones de los estudiantes se centraron en el conteo que hacen para saber cuántas tiras de cartulina tienen. Para lograr esto hacen correspondencia uno a uno entre sus dedos y las tiras de cartulina, aludiendo a contar-numerar19 ya que esta correspondencia se da entre objetos de una colección en este caso las tiras de cartulina y la lista de palabras-número teniendo en cuenta el orden de ésta. (Brissaud, 1993). Pero, las palabras-número que usan no están asociadas a un patrón de medida ya que se pudo observar que los estudiantes le atribuyen al concepto de medida ideas o nociones relacionadas con cubrir la longitud con algún material. Los instrumentos que los estudiantes utilizaron fueron los dedos, los pies y las tiras de cartulina para hacer la medición de la distancia que recorrió el avión de cada uno 20. La técnica usada fue establecer correspondencia uno a uno entre dedos y tiras de cartulina, y sólo en un estudiante se evidenció el uso del pie para hacer la correspondencia uno a uno entre sus pasos y las palabras-número, para lo cual las tiras de cartulina representaban un instrumento para recubrir la distancia mas no para medir. A este respecto Posada y otros (2006) plantean que: Para las mediciones de la antigüedad todo el cuerpo servía como referencia directa: la longitud de un pie, el ancho de un dedo o de la mano, la longitud del antebrazo […]. Este tipo de concepción aceptada por la cual cuantificamos cualquier cosa física, se denomina unidad. (Hecht, 1999, p. 24). Al darse cuenta los hombres de que los antebrazos eran diferentes, se dieron a la tarea de desarrollar unidades físicas invariables que sirvieran como referencia primaria o patrón (p. 3) Aunque en la situación los estudiantes recurrieron a la medición con pasos, huellas y tiras de cartulina de diferentes tamaños, no establecieron un patrón de medida general ni individual. Sin embargo se observó que cuando un estudiante le preguntaba a uno de 19 Cada palabra-número pronunciada, incluida la última, es un número que se refiere únicamente al objeto señalado (Brissaud, 1993). 20 Estas medidas fueron empleadas indistintamente para la medición de longitudes. 71 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO sus compañeros cual había sido la medida21, la respuesta que se recibía era una palabra-número, al parecer relacionada con el número de tiras. Cuando esto pasaba lo que hacían era contar entre ellos mismos el número de tiras utilizadas (en el caso del estudiante que usaba el pie como medida, contaba en pasos) y, al obtener las respuestas, los estudiantes la verificaban con el patrón propio usado para medir. Esta situación daba lugar a diferentes resultados, pero ello no generaba ningún conflicto entre los estudiantes que realizaban la medición. En palabras de Obando (2011), se puede afirmar que en la situación hubo una interacción entre los estudiantes relacionada con los sentidos que cada uno tiene acerca del procedimiento de medición, pero no se logró una negociación de los mismos, es decir, no se posibilitó una construcción de significados, ya que las técnicas y los instrumentos usados por los estudiantes eran propios y no socialmente compartidos. En este sentido, el proceso de medida estaba asociado al cubrimiento de la longitud con un patrón y la medida expresa la cantidad de veces que se emplea dicho patrón, sin importar si el patrón es único para todos los sujetos (tiras sin divisiones). Con respecto al lenguaje, se identificó el uso de términos como metros y kilómetros, los cuales son utilizados comúnmente en la cultura para referirse a distancias. Sin embargo, en la situación no eran requeridos debido a la naturaleza de los instrumentos suministrados a los estudiantes (tiras sin divisiones) y a los procesos que cada uno usaba (técnicas para medir). También, se resalta el uso de las palabras-número para hacer las mediciones, que eran expresadas para referirse a la cantidad de tiras que habían empleado para hacer la medición. De acuerdo con lo anterior, se puede afirmar que los estudiantes no han construido “el proceso de asignación numérica” que “depende de la selección de las unidades, de la medición y de todo el trasfondo social en el que ocurre” (Posada y otros, p. 21), por lo que se puede concluir que aún no han dado sentido y significado al número natural en el contexto de medida. 21 La pregunta hecha por el estudiante es: “¿Cuánto le dio?”. OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO 7.3 SITUACIÓN DE AULA 3: Recorrido La intencionalidad de esta situación era observar cómo emplean los estudiantes las diferentes representaciones del número natural y algunos de los contextos de uso. La situación requiere que los estudiantes hagan usos de procesos de conteo, codificación y decodificación, relaciones de orden, estimación y operaciones básicas matemáticas, como la suma. La situación de aula estaba diseñada de manera que los estudiantes tuvieran participación por turnos. Para esto fue necesario sortear el orden de salida, para el cual cada estudiante lanzaba un dado y quien obtuviera mayor puntuación era quien iniciaba. En este caso, hubo dos empates, así que los estudiantes tiraron nuevamente el dado. Después de tener el orden de salida, se utilizaban los dos dados para realizar el recorrido. A continuación, se muestran las prácticas matemáticas desarrolladas por los estudiantes: Conceptos E1 Relación de orden (mayor que, menor que e igual que): esto se hizo evidente al comparar cantidades y decir cuál era mayor, menor o igual de acuerdo con lo que se le preguntara. Codificación y decodificación: cuando pasa de una representación de símbolo número a palabra-número y viceversa. E2 Relación de orden (mayor que, menor que e igual que): esto se hizo evidente al comparar cantidades y decir cuál era mayor, menor o igual de acuerdo con lo que se le preguntara. 73 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO Codificación y decodificación: cuando pasa de una representación de símbolo número a palabra-número y viceversa. E3 Relación de orden (mayor que, menor que e igual que): esto se hizo evidente al comparar cantidades y decir cuál era mayor, menor o igual de acuerdo con lo que se le preguntara. Codificación y decodificación: cuando pasa de una representación de símbolo número a palabra-número y viceversa. E4 Composición y descomposición: se evidencia cuando muestra que un número puede ser la suma de otros dos representándolo con sus dedos (ver ilustración 21, 22, 23). Ilustración 21: E4 representando con sus manos el porqué de un resultado Ilustración 22: E4 representando con sus manos el porqué de un resultado OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Ilustración 23: E4 representando con sus manos el porqué de un resultado Codificación y decodificación: cuando pasa de una representación de símbolo número a palabra-número y viceversa. E5 Relación de orden (mayor que, menor que e igual que): esto se hizo evidente al comparar cantidades y decir cuál era mayor, menor o igual de acuerdo con lo que se le preguntara. Codificación y decodificación: cuando pasa de una representación de símbolo número a palabra-número y viceversa. E6 Codificación y decodificación: cuando pasa de una representación de símbolo número a palabra-número y viceversa. Técnicas (procedimientos e instrumentos) E1 Hace correspondencia uno a uno entre su dedo índice y las colecciones de muestra o entre su dedo índice y las casillas (ilustración 24, 25). También, entre los pasos dados sobre las casillas y las palabras-número. 75 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO Ilustración 24:E1 haciendo correspondencia uno a uno entre su dedo y las casillas del Recorrido Ilustración 25: E1 estableciendo correspondencia uno a uno para realizar un conteo E2 Hace correspondencia uno a uno entre su dedo índice y las colecciones de muestra. También, entre los pasos dados sobre las casillas y las palabras-número. También, se observó el empleo de otros dedos para hacer correspondencias, como el pulgar y el meñique (ilustración 26, 27) Ilustración 26: E2 estableciendo correspondencia uno a uno con el dedo pulgar. OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Ilustración 27: E2 estableciendo correspondencia uno a uno con el dedo meñique E3 Hace correspondencia uno a uno entre su dedo índice y las colecciones de muestra (ilustración 28). También, entre los pasos dados sobre las casillas y las palabrasnúmero (ilustración 29). Para realizar los conteos respectivos usa sus dedos sin dejar ver el procedimiento (ilustración 30). Sin embargo, cuando se le preguntaba el porqué de los resultados, el mostraba el procedimiento a través del conteo de sus dedos (ilustración 31). La ejecución de la situación privilegió la interacción entre los estudiantes. En este caso, los estudiantes daban diferentes respuestas a un mismo problema, cuando esto sucedía, E3 comenzaba a contar el número de casillas o la cantidad de objetos en una figura (dependiendo de la pregunta o el problema planteado), para saber cuál era la respuesta correcta. Ilustración 28: E3 estableciendo correspondencia uno a uno con el dedo índice 77 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO Ilustración 29: E3 estableciendo correspondencia uno a uno con los pies Ilustración 29: E3 usando sus dedos para hacer cálculos, de manera discreta Ilustración 31: E3 argumentando un resultado E4 Hace correspondencia uno a uno entre su dedo índice y los objetos de la colección de muestra o entre el dedo índice y las casillas del recorrido. Cabe resaltar que su dedo índice lo utiliza para señalar de lejos, es decir, para él no es necesario establecer contacto con el objeto a contar (ilustración 32, 33). También, expresa las OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO respuestas a preguntas que se le planten mostrando sus dedos (ilustración 34) y establece correspondencia uno a uno entre los pasos dados sobre las casillas y las palabras-número (ilustración 35). Ilustración32: E4 haciendo correspondencia uno a uno sin tocar el objeto Ilustración 30: E4 realizando correspondencia uno a uno sin tocar el objeto Ilustración 34: E4 representando con sus dedos 79 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO Ilustración 35: E4 estableciendo correspondencia uno a uno con sus pies E5 Hace correspondencia uno a uno entre su dedo índice y las colecciones de muestra. También, entre los pasos dados sobre las casillas y las palabrasnúmero. En algunas ocasiones espera a que sus compañeros le digan la respuesta alguna pregunta de las preguntas planteadas. E6 Hace correspondencia uno a uno entre los pasos dados sobre las casillas y las palabras-número. Para realizar los conteos utiliza sus dedos (ilustración 36). Ilustración 36: E6 usando sus dedos para representar el número obtenido OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Lenguaje E1 Usa las palabras-número para realizar conteos. Además, para comunicar una cantidad obtenida utiliza los dedos (sensación cinestésica, Brissaud, 1993) (ilustración 37). Cuando se le pregunta por la cantidad de casillas que debe recorrer para llegar a la meta responde usando una palabra-número. Ilustración 37: E1 representando con sus dedos un número E2 Usa las palabras-número para realizar conteos. Cuando ve a otros compañeros usar las manos para representar el resultado obtenido, este intenta imitar (ilustración 38 y 39). Cuando se le pregunta por la cantidad de casillas que debe recorrer para llegar a la meta responde usando una palabranúmero. Ilustración 318: E2 imitando a E4 81 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO Ilustración 32: E2 imitando a E4 E3 Usa las palabras-número para realizar conteos. E4 Usa las palabras-número para realizar conteos. Además, para comunicar una cantidad obtenida utiliza los dedos (ilustración 40). Ilustración40: E4 comunicando con sus dedos una cantidad E5 Usa las palabras-número para realizar conteos. Cuando se le pregunta por la cantidad de casillas que debe recorrer para llegar a la meta responde usando una palabra-número y un patrón de medida (se toma casilla como el patrón de medida) OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO E6 Usa las palabras-número para realizar conteos. Gestos E3 Mira hacia otro lado mientras con sus dedos, de manera oculta, hace sus cálculos, para dar respuesta a las preguntas realizadas por el profesor. E4 Ejecuta movimientos con su cabeza para llevar control sobre lo que realizaba. E5 Manifiesta alegría cuando se da cuenta que le gano al otro compañero, para definir cuál de los dos tiraba primero los dados, para empezar el recorrido (ilustración 41). Ilustración41: E5 expresa felicidad cuando obtiene un número mayor que E1 Al hacerle preguntas sobre el porqué de un resultado mira hacia otro lado o espera que sus compañeros respondan. E6 Al hacerle preguntas sobre el porqué de un resultado, mira hacia otro lado con risa y no contesta. En los demás estudiantes no se observaron gestos relacionados con la situación. 83 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO Representaciones E1 Cuando ve una configuración digital, la repite en sus manos para saber qué cantidad es. Reconoce los símbolos-número y con base en ellos realiza conteos. E2 Cuando ve una configuración digital, la repite en sus manos para saber qué cantidad es. Reconoce los símbolos-número y con base en ellos realiza conteos. Cuando ve , lo reconoce como dos, reconoce el símbolo mas (+) que índica composición. E3 Reconoce la configuración digital. Reconoce los símbolos-número y con base en ellos realiza conteos. Cuando ve , lo reconoce como dos, reconoce el símbolo mas (+) que índica composición. E4 Reconoce los símbolos-número y con base en ellos realiza conteos. Cuando ve una configuración digital, la repite en sus manos para saber qué cantidad es (ilustración 42). OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Ilustración42: E4 representando con sus dedos una cantidad E5 Reconoce los símbolos-número y con base en ellos realiza conteos. E6 Reconoce los símbolos-número y con base en ellos realiza conteos. Reconoce las constelaciones. Acciones E1 El estudiante usa el conteo, mediante el establecimiento de correspondencia uno a uno entre un objeto, sus pasos y su dedo índice. E2 El estudiante usa el conteo, mediante el establecimiento de correspondencia uno a uno entre un objeto y sus dedos (usa el dedo índice, el meñique y el pulgar). E3 El estudiante usa el conteo, mediante el establecimiento de correspondencia uno a uno entre un objeto y su dedo índice. Además, emplea sus dedos para contar cantidades en la que es necesario realizar una operación. 85 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO E4 Usa el número natural para contar, estableciendo correspondencia uno a uno entre los objetos y el dedo índice. E5 El estudiante usa el conteo, mediante el establecimiento de correspondencia uno a uno entre un objeto y su dedo índice. E6 Usa el número natural para contar, estableciendo correspondencia uno a uno entre los objetos y el dedo índice. También usa los dedos para realizar operaciones con los números, de acuerdo a algunas preguntas que se plantearon o cuando tenía que hacer algún movimiento en el recorrido. OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Conclusión En la ejecución de la situación fue evidente como el número natural cobra sentido para los estudiantes cuando está en un contexto de conteo. Además, se observó cómo los estudiantes usaban y reconocían diferentes representaciones del número natural (colecciones de muestra, constelaciones, configuración digital) y pasaban de una representación a otra para realizar conteos y encontrar respuestas a la situación. Se puede afirmar que las representaciones que los estudiantes reconocen tienen un “carácter numérico” (Brissaud, 1993), ya que, para ellos no es sólo un número sino un conjunto que indica la totalidad de la cantidad de elementos, esto es, enumerar. Es de notar que, aunque los estudiantes reconocían todas las representaciones presentadas, tenían mayor facilidad con el manejo de los símbolos-número. Al respecto, Brissaud (1993) dice que cuando los sujetos llegan a la escuela “aprenden enseguida que tienen que adaptar su conducta al contexto social en que se sitúan” (p. 34), es así como los estudiantes presentan mayor facilidad con los símbolos-número, ya que es el tipo de representación que se privilegia en la escuela, llegando así a la construcción compartida de significados. A diferencia de lo sucedido en EL BINGO, en esta situación los estudiantes hicieron un reconocimiento global de la cantidad al presentarles colecciones de muestra. En algunos casos, se vio la importancia de usar los dedos propios para representar una cantidad, lo que implica contar y luego controlar dicha cantidad (Brissaud, 1993). El lenguaje usado por los estudiantes revela una apropiación de las palabras-número en el orden que se ha construido culturalmente. Además, la situación requería que hicieran uso de expresiones que dieran cuenta de una posición (cuando se pregunta a los estudiantes qué movimientos deben realizar para llegar a determinado punto). En este caso, se hizo posible evidenciar el uso de un patrón (éste era “casillas”), aunque no se utilizó una dirección (por ejemplo, “dos casillas a la derecha”). Por otro lado, se hizo uso del número como etiqueta (MEN, 2006), ya que las casillas del recorrido están marcadas con un número, que permitía conocer la posición de cada uno de los estudiantes para hacer comparaciones, relacionadas como quien va más 87 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO adelante o atrás de, y, en ningún momento fueron usados para realizar operaciones, sólo cumplían con la función de designar. Por esto era común que los estudiantes dijeran: “queda en el veinte”, por poner un ejemplo. OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO 8. CONCLUSIONES Las prácticas matemáticas de los estudiantes se pueden caracterizar desde: • El lenguaje a través de las palabras-número empleadas por los estudiantes para expresar una cantidad y el empleo de las unidades de medición como metros y kilómetros. • Las acciones cuando establecen correspondencia uno a uno para el conteo. • Las técnicas a través de la utilización de los dedos, manos, pies, para realizar correspondencia uno a uno y así proceder al conteo, para mostrar resultados y desplazamientos. • Los gestos desde el movimiento de cabeza, de manos, miradas que buscan recibir la aprobación por parte del profesor y así validar el proceso realizado. • Los conceptos a partir de las nociones o atributos designados por estos, por ejemplo: adelante-atrás, derecha e izquierda, estar más lejos o cerca de…, y dar cuenta de una cantidad sin necesidad de conteo. Estas práctica indican que los estudiantes tienen sentidos y significados del número natural en un contexto de conteo, más no en otros contextos, como el de localización y el de medida. Por otro lado, al realizar el presente trabajo, se observa que es preciso que los maestros tengan en consideración el contexto social y cultural en que están inmersos sus estudiantes, ya que éste les brinda una serie de conocimientos iniciales que sirven de base para aprendizajes posteriores más estructurados, además de herramientas que se pueden usar para la construcción con sentido y significado de dichos conocimientos. Además, se deben plantear situaciones que permitan la participación de los estudiantes en la construcción del conocimiento y, que no los convierta en sujetos pasivos que sólo 89 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO realizan procesos de memorización y mecanización, en donde la interacción sea la base fundamental para la construcción de dicho conocimiento, es por esto que el profesor además de incluir el contexto debe posibilitar que en esas situaciones se de la interacción entre los participantes y el objeto de conocimiento, ya que las experiencias e interacciones que desarrolle un sujeto le permitirán establecer más relaciones, que demarcan el camino para validar un proceso o generar preguntas, logrando construir sentidos para sí que estén relacionados con los significados culturalmente aceptados. En particular, respecto al número natural, se hace evidente la necesidad de plantear situaciones que estén relacionadas con problemas de la vida diaria, en donde se hace posible estudiar el concepto desde las diferentes representaciones que tiene el número y los contextos en los que es usado, esto permitirá dotar de sentido y significado dicho concepto. Por último, se tiene que los estudiantes tienen mayores sentidos y significados del numero natural en un contexto de conteo, mas no en otros contextos, como el de localización y el de medida. Esto se da a partir de las prácticas que desarrolla el profesor dentro del aula de clase. De ahí cabe preguntar que practicas despliegan los profesores para dotar de sentido y significado al número natural. Esta pregunta se deja cómo línea abierta para futuras investigaciones. También, el diseñar situaciones en otros contextos de uso del número natural que propicien espacios de reflexión y permitan a los estudiantes establecer relaciones sobre los otros significados del número natural. OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO 9. BIBLIOGRAFÍA Alliaume M. (s.f). Didáctica de la matemática. Concepto del número, los sistemas de numeración; problematización en su proceso de enseñanza. En: http://www.monografias.com/trabajos25/didactica-de-matematica/didactica-dematematica.shtml Brissaud. (1993). El aprendizaje del cálculo. Más allá de Piaget y de la teoría de los conjuntos. Madrid, España: Visor Distribuciones. Bustamante Mesa, M. M., Castro Echeverri, O. L., Díaz Gallego, M., & Zapata Zapata, M. M. (s.f.). Acompañamiento Pedagógico para el Aprendizaje Significativo de las Nociones Prenúmericas. Medellín, Colombia. Cantón Lojero, A. (2009). 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Medellín. 93 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO ANEXOS ANEXO1: Carta de autorización Medellín 11 de agosto de 2011 Señores Padre de familia Institución Educativa Javiera Londoño Sede Sevilla La ciudad Reciban un cordial saludo, Con el fin de avanzar en los procesos académicos y formativos que se llevan a cabo en la institución, es pertinente adelantar reflexiones didácticas en el marco de procesos de investigación. En ese sentido, contamos con la participación de un grupo de estudiantes de licenciatura en Educación Básica con Énfasis en matemáticas, de la Universidad de Antioquia, quienes desarrollan su trabajo de investigación de pregrado en la institución. Este grupo de estudiantes centra sus reflexiones pedagógicas en el desarrollo del pensamiento numérico en los primeros grados de escolaridad, con el propósito de comprender los procesos cognitivos y matemáticos implicados en el aprendizaje del número, las operaciones y la numeración. Teniendo en cuenta lo expresado, la presente comunicación tiene como objetivo solicitar su consentimiento para que su hijo(a) tome parte de dicho estudio. Es importante que sean conscientes que ustedes son libres de permitir o no la participación de su hijo(a), o incluso de retirarse del proceso en cualquier momento sin afectar su relación, y la de su hijo(a) con el docente del curso o la institución. Los datos serán recogidos durante el desarrollo de las clases de matemáticas, en el marco del desarrollo normal del currículo para el grado que cursa su hijo(a). la recolección de los datos involucrará registros escritos, material audiovisual (grabaciones de audio y video de algunas clases), entrevistas y observaciones de OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO clases. Las personas involucradas en la recolección de datos serán los estudiantes de licenciatura apoyados por una docente de la Universidad. Es importante resaltar que la información recogida en el proceso de investigación sólo será utilizada con fines académicos y los resultados y conclusiones de la misma, bajo ninguna circunstancia, serán empleados como evaluación y promoción del estudiante. Adicionalmente, la identidad de los participantes será protegida y no se permitirá que personas individuales sean relacionadas directamente con las conclusiones de la investigación. Los beneficios esperados relacionados con la participación de su hijo(a) es un avance en la comprensión de los procesos de pensamiento matemático propios de los primeros años de escolaridad. De antemano, agradecemos la atención y la colaboración brindada, Atentamente, ________________________ _____________________________ Docente titular Coordinadora __________________________ Asesora de Práctica Pedagógica ------------------------------------------------------------------------------------------------COMUNICADO: Autorización para participar en la investigación para el desarrollo del pensamiento matemático en los grados iniciales. Favor devolver este desprendible completamente diligenciado Nosotros: _______________________________________________ _______________________________________________ Padres de: _______________________________________________ Del grado: _______________ 95 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO Damos nuestra autorización para que participe del proceso de investigación en el área de matemáticas que se refiere en el presente comunicado. Firmas: _____________________________________________ Fecha: ____________________ OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO ANEXO2: Ruleta y tablas de El Bingo 97 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO 99 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO 101 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO 103 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO 105 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO ANEXO 3: Gráficas hechas por los estudiantes en la situación de aula Llegó carta OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Momento 1 Gráfica hecha por E1 107 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO Gráfica hecha por E2 OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Gráfica hecha por E3 109 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO Gráfica hecha por E5 OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Gráfica hecha por E6 111 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO Momento 2 Gráfica hecha por E1 OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Gráfica hecha por E3 113 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO Gráfica hecha por E4 OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO Gráfica hecha por E5 115 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO ANEXO 4: Preguntas Recorrido OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO 117 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO OMAR ADOLFO AGREDA MUTUMBAJOY –SIRLEY JANETH FONNEGRA MESA – NATALIA FRANCO CASTRO 119 CONSTRUCCIÓN DE SENTIDOS Y SIGNIFICADOS DEL NÚMERO NATURAL EN NIÑOS DE PRIMER GRADO
