Ejercicios resueltos Integracion Numerica

MAT 1105 F
Integración numérica
EJERCICIOS RESUELTOS
11.
Obtenga:
a) Integrando por el método del trapecio.
Se utilizan las siguientes formulas:
4
Donde:
Ecuación
lineal
2
Área del
trapecio
Luego,
-1
1
2
3
-1
Reemplazando en la formula:
b) Integrando por el método de Simpson 1/3.
Se utilizan las siguientes formulas:
EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya
Pagina 1
Donde:
4
Se debe notar que para el método de
Simpson 1/3 simple el valor de n es igual a 2.
Ecuación
cuadrática
2
Luego,
Área
-1
1
1.5
2
3
-1
Reemplazando en la formula:
c) Integrando por el método de Simpson 3/8.
Se utilizan las siguientes formulas:
Donde:
Se debe notar que para el método de Simpson 3/8 simple el valor de n es igual a 3.
EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya
Pagina 2
Luego,
4
Ecuación
cúbica
2
Área
-1
1
4/3 5/3 2
3
-1
Lo que se puede resumir en la siguiente tabla:
0
1
1
0.333333
0.5
1.100092
2
0.666667
2.020793
3
2
3.313708
Reemplazando en la formula:
Comparando con el valor obtenido analíticamente:
exactitud de cada respuesta obtenida:
, se puede determinar la
Método
Resultado
Error
Trapecio
Simpson 1/3
Simpson 3/8
1.906854
1.646970
1.647045
0.26
7.54·10-5
4.00·10-7
Como se puede ver los métodos de Simpson son más exactos que el método del trapecio.
EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya
Pagina 3
22.
Integre la siguiente función entre los límites a=-1 y b=1, utilizando 6 intervalos.
a) Integrando por el método del trapecio compuesto.
Para reducir el error del resultado, se puede dividir el área de la integral en pequeños intervalos.
Para luego aplicar las formulas conocidas en cada intervalo. Primero se puede obtener el ancho de
intervalo (h):
El valor de “n” es el número de intervalos, o sea
trapecio “n” puede tener cualquier valor.
Es importante notar que para el método del
0
-1
-1
1
2
-2/3
-1/3
-0.666667
-0.333333
3
0
0
4
1/3
0.333333
5
2/3
0.666667
6
1
1
La integral dividida en los intervalos sería:
Aplicando la formula del método del trapecio se aplica en cada intervalo:
Factorizando:
EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya
Pagina 4
Que se puede sintetizar en la siguiente formula:
Graficando la función y los intervalos:
0.4
0.2
-1.5
-1
-2/3
-1/3
0
1/3
2/3
1
1.5
- 0.1
Para hallar los valores de
tabla:
, se evalúa la función en los puntos como se muestra en la siguiente
0
-1
0.241971
1
-0.666667
0.319448
2
-0.333333
0.377383
3
0
0.398942
4
0.333333
0.377383
5
0.666667
0.319448
6
1
0.241971
Reemplazando en la formula:
b) Integrando por el método del Simpson 1/3 compuesto.
Se divide la integral en cada par de intervalos y luego se sumarán, de la siguiente forma:
EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya
Pagina 5
Graficando la función y los intervalos:
0.4
0.2
-1.5
-1
-2/3
-1/3
0
1/3
2/3
1
1.5
- 0.1
Aplicando la formula del método de Simpson 1/3 se aplica en cada intervalo:
Factorizando y sintetizando la ecuación, se tiene la siguiente formula:
Luego desarrollando la formula para 6 intervalos:
Primero, se calculará el tamaño del intervalo:
Para hallar los valores de
0
1
2
3
4
5
6
, se evalúa la función en los puntos como se muestra en la tabla:
-1
-0.666667
-0.333333
0
0.333333
0.666667
1
EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya
0.241971
0.319448
0.377383
0.398942
0.377383
0.319448
0.241971
Pagina 6
Reemplazando en la formula:
c) Integrando por el método del Simpson 3/8 compuesto.
Se utilizan las siguientes formulas:
Con
Es importante notar que para el método de Simpson 3/8, el número de intervalos “n”,
solo puede ser un múltiplo de 3, o sea, 3, 6, 9, etc.
Graficando el método se puede ver esto. Graficando la función y los intervalos:
0.4
0.2
-1.5
-1
-2/3
-1/3
0
1/3
2/3
1
1.5
- 0.1
EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya
Pagina 7
Primero, se calculará el tamaño del intervalo:
Luego desarrollando la formula para 6 intervalos:
Para hallar los valores de
siguiente tabla:
, se evalúa la función en los puntos como se muestra en la
0
1
2
-1
-0.666667
-0.333333
0.241971
0.319448
0.377383
3
0
0.398942
4
0.333333
0.377383
5
0.666667
0.319448
6
1
0.241971
Reemplazando en la formula:
]
EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya
Pagina 8
33.
Evalúe la integral de los siguientes datos tabulados:
Puntos
0
1
2
3
4
5
0
1
0.1
7
0.2
4
0.3
3
0.4
5
0.5
2
a) Integrando por el método del trapecio.
En primer lugar se debe verificar que el intervalo entre los puntos
valor de
, sea constante.
0
0.1
0.2
0.3
sea constante, o sea, que
0.4
0.5
h
h
h
h
h
(0.1)
(0.1)
(0.1)
(0.1)
(0.1)
Luego aplicando la fórmula, si sabemos que
el
:
Primero, se tiene el tamaño del intervalo:
Luego desarrollando la formula para 6 intervalos:
Reemplazando en la formula:
b) Integrando por el método del Simpson 1/3 compuesto.
En primer lugar se verifica que el valor de “n” (5), no es múltiplo de 2, por lo que no se podría
aplicar el método. Pero se puede dividir la integral y aplicar distintos métodos en los intervalos.
Simpson 1/3
0
0.1
Tra_
pecio
Simpson 1/3
0.2
0.3
0.4
0.5
h
h
h
h
h
(0.1)
(0.1)
(0.1)
(0.1)
(0.1)
EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya
Pagina 9
Luego la formula sería:
Reemplazando la tabla de datos:
Puntos
0
1
2
3
4
5
0
1
0.1
7
0.2
4
0.3
3
0.4
5
0.5
2
c) Integrando por el método del Simpson 3/8 compuesto.
En primer lugar se verifica que el valor de “n” (5), tampoco es múltiplo de 3, por lo que no se
podría aplicar el método. Pero se puede dividir la integral y aplicar distintos métodos en los
intervalos.
Simpson 3/8
0
0.1
Simpson 1/3
0.2
0.3
0.4
0.5
h
h
h
h
h
(0.1)
(0.1)
(0.1)
(0.1)
(0.1)
Luego la formula sería:
Reemplazando la tabla de datos:
Puntos
0
1
2
3
4
5
0
1
0.1
7
0.2
4
0.3
3
0.4
5
0.5
2
EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya
Pagina 10
44.
Evalúe la siguiente integral, utilizando las fórmulas de cuadratura de Gauss-Legendre.
Con dos, tres y cuatro puntos.
Al aplicar el método de cuadratura de Gauss, se realiza un cambio de variable y de límites de
integración. Con la siguiente fórmula:
Luego cambiando la variable y el diferencial:
También se deben cambiar los límites de integración
Para que la integral quede:
Que se puede resolver numéricamente con la formula:
Donde los coeficientes ya están determinados para cualquier función
siguiente tabla:
, y se muestran en la
Puntos
2
w1 = w2 = 1.0
-z1 = z2 = 0.577350269
3
w2 = 0.888888888
w1 = w3 = 0.555555555
-z1 = z3 = 0. 774593669
z2 = 0.0
EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya
Pagina 11
4
w1 = w4 = 0.347854845
w2 = w3 = 0.652451155
-z1 = z4 = 0.861136312
-z2 = z3 = 0.339981044
5
w1 = w5 = 0.236926885
w2 = w4 = 0.478628671
w3 = 0.568888888
-z1 = z5 = 0.906179846
-z2 = z4 = 0.538469310
z3 = 0.0
6
w1 = w6 = 0.171324492
w2 = w5 = 0.360761573
w3 = w4 = 0.467913935
-z1 = z6 = 0.932469514
-z2 = z5 = 0.661209386
-z3 = z4 = 0.238619186
a) Para dos puntos.
Luego cambiando la variable y el diferencial:
Aplicando en la formula:
Utilizando los coeficientes de cuadratura de Gauss para dos puntos:
Puntos
2
Evaluando los coeficientes
w1 = w2 = 1.0
-z1 = z2 = 0.577350269
:
EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya
Pagina 12
Reemplazando en la formula:
b) Para tres puntos.
Utilizando los coeficientes de cuadratura de Gauss para tres puntos:
Puntos
3
Evaluando los coeficientes
w2 = 0.888888888
w1 = w3 = 0.555555555
-z1 = z3 = 0. 774593669
z2 = 0.0
:
Reemplazando en la formula:
EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya
Pagina 13
c) Para cuatro puntos.
Utilizando los coeficientes de cuadratura de Gauss para cuatro puntos:
Puntos
4
Evaluando los coeficientes
w1 = w4 = 0.347854845
w2 = w3 = 0.652451155
-z1 = z4 = 0.861136312
-z2 = z3 = 0.339981044
:
Reemplazando en la formula:
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Pagina 14
55.
Evalúe la siguiente integral doble, con 4 intervalos:
a) Analíticamente
b) Resolviendo por el método de trapecio compuesto
Primero se aplica la formula del trapecio compuesto en la integral interna para , con la variable
como constante:
Donde:
Los puntos
se muestran en la siguiente tabla:
0
1
2
3
4
Desarrollando la sumatoria.
EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya
Pagina 15
Luego se evalúan los puntos en la función
:
Reemplazando en la formula:
Se tiene una función solo en función de y, que se puede definir como
, luego aplicando la
formula de trapecio compuesta en la segunda integral, para la variable , se tiene:
Donde:
Los puntos se muestran en la siguiente tabla:
0
-2
-90
1
-1
2
2
0
22
3
1
18
4
2
38
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Pagina 16
Reemplazando en la formula:
Respuesta
La integral doble resuelta numéricamente es:
c) Resolviendo por el método de Simpson 1/3 compuesto
Primero se aplica la formula de Simpson 1/3 compuesto en la integral interna para
variable como constante:
, con la
Donde:
Desarrollando la sumatoria.
Luego se evalúan los puntos en la función
EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya
:
Pagina 17
Reemplazando en la formula:
Se tiene una función solo en función de y, que se puede definir como
, luego aplicando la
formula de Simpson 1/3 compuesta en la segunda integral, para la variable , se tiene:
Donde:
Los puntos se muestran en la siguiente tabla:
0
-2
-90.666667
1
-1
1.333333
2
0
21.333333
3
1
17.333333
4
2
37.333333
Reemplazando en la formula:
Respuesta
La integral doble es igual a:
Comparando con el resultado analítico, se tiene una respuesta completamente exacta.
EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya
Pagina 18
66.
Evalúe la integral triple:
a) Analíticamente
Analíticamente la integral triple es igual a:
b) Resolviendo por integración numérica
Primera integral
Resolviendo la primera integral por el método del trapecio, con
. Sabiendo que las variables
“y” y “z” se consideran constantes en esta primera integral en función de “x”.
Luego la tabla de los valores
y evaluados en la función
.
.
0
1
2
3
4
EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya
Pagina 19
5
6
7
8
Reemplazando en la formula:
De esta forma se tiene una integral doble. Que se definirá como
.
Segunda integral
Resolviendo la segunda integral por el método de Simpson 3/8, con
variable “z” se considera constante en esta segunda integral en función de “y”.
. Sabiendo que la
Se puede evitar el uso de sumatorias dividiendo la integral y sumando los resultados:
El intervalo para esta variable es:
Luego la tabla de los valores
y evaluados en la función
EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya
.
Pagina 20
.
0
1
2
3
4
5
6
Reemplazando en las formulas
Sumando las dos partes:
De esta forma se tiene una integral simple. Que se definirá como
.
Tercera integral
Resolviendo la tercera integral por el método de Simpson 1/3, con
EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya
.
Pagina 21
Luego la tabla de los valores
y evaluados en la función
0
-4
699
1
-3
555
2
-2
411
3
-1
267
4
0
123
5
1
-21
6
2
-165
7
3
-309
8
4
-453
.
Reemplazando en la formula:
Respuesta
La integral triple resuelta por integración numérica es:
c) Determinar el error relativo entre los dos resultados previos
Respuesta
Viendo el resultado del error relativo se concluye que el resultado es satisfactorio.
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