COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS 1 ECUACIONES DE MAXWELL ∇⋅D = ρ ∫ D ⋅ dS = ∫ ρ dV S VS ∇⋅B = 0 ∫ B ⋅ dS = 0 ∂B ∇× E = − ∂t d ∫ LE ⋅ dl = − dt ∫ SL B ⋅ dS Ley de Faraday ∂D ∇× H = +J ∂t ∂ ∫ LH ⋅ dl = ∂t ∫ SL D ⋅ dS + ∫ SL J ⋅ dS Ley de Ampère-Maxwell En el vacío S D = ε 0 E , B = µ0 H Las ecuaciones de Maxwell, junto con condiciones de contorno/iniciales apropiadas resuelven cualquier problema electromagnético. 2 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS CONSERVACIÓN DE LA CARGA •Las ecuaciones de Maxwell implican convervación de la carga ∂ρ ∇⋅ J + =0 , ∂t d ⋅ = − J ds Q ∫S dt •La fuerza que actúa sobre una partícula en movimiento en el seno de un campo electromagnético viene dada por ley de Lorentz qE v F B 3 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS NOTACIÓN •Densidad de carga ρ •Densidad de corriente J = ρ v •Intensidad de campo eléctrico E •Desplazamiento eléctrico D •Intensidad de campo magnético H •Densidad de flujo magnético B 4 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS MEDIOS DIELÉCTRICOS Muchos materiales sometidos a un campo eléctrico, polarizan sus moléculas por deformación, produciéndose dipolos eléctricos. El vector desplazamiento incluye los efectos de la polarización 0 E P D Materiales comunes: lineales, isótropos, homogéneos, independientes del tiempo y no dispersivos: P = ε 0 χ e E ⇒ D = ε 0 (1 + χ e ) E = ε 0ε r E = ε E 5 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS MEDIOS MAGNÉTICOS Muchos materiales sometidos a un campo magnético, orientan sus dipolos atómicos en contra/a favor del campo magnético. El vector intensidad de campo magnético incluye los efectos de la magnetización H = B / µ0 − M Materiales no tan comunes: lineales, isótropos, homogéneos, independientes del tiempo y no dispersivos: M = χ m H ⇒ B = µ 0 (1 + χ m ) H = µ 0 µ r H = µ H 6 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS CLASIFICACIÓN MATERIALES MAGNÉTICOS • Materiales paramagnéticos: χm es positivo y del orden de 10-5. Varía de forma inversa con la temperatura. • Materiales diamagnéticos: χm es negativo entre -10-5 y -10-8 y no depende de la temperatura. • Materiales ferromagnéticos: La relación entre B y H puede ser complicada e incluso depender de la historia de magnetización del material (histéresis) 7 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS MATERIALES CONDUCTORES • La corriente J que aparece en las ecuaciones de Maxwell puede ser debido a movimientos de cargas producidos mediante fuentes electromotrices o a movimiento de cargas inducido por campos electricos externos en el seno de materiales conductores por la movilidad interna de sus cargas. •Para muchos de ellos (medios óhmicos) también se cumple una relación de linealidad entre el campo eléctrico que le es aplicado y la corriente que se generan en él con σ constante que se J = σ E denomina conductividad del material. J total = ρ v + σ E 8 TEMA 2: FUNDAMENTOS MATERIALES CONDUCTORES Ec. Ampère-Maxwell en la frecuencia ∂ → jω ∂t COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) ∇ × H = J + σ E + jωε E Corr. libre Corr. Conducción La tangente de pérdidas (inversa del factor de calidad) mide si predomina la corriente de desplazamiento (buen aislante) o la de conducción (buen conductor) Corr. desplazamiento σ 1 tan δ d = = ωε Q 9 TEMA 2: FUNDAMENTOS CONDUCTORES: CLASIFICACIÓN • Buen dieléctrico o aislante: Predomina la corriente reactiva ωε Si σ =0 σ ⇒ tan δ d < 1/100 el medio se denomina dieléctrico perfecto COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) • Cuasiconductor ωε ≈ σ ⇒ 1/100 < tan δ d < 100 • Buen conductor ωε Si σ →∞ σ ⇒ tan δ d > 100 el medio se denomina conductor perfecto COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS 10 CONDUCTORES: TIEMPO DE RELAJACIÓN ∂ρ ∇⋅E = ρ /ε ∇⋅J =σ ∇⋅E = − ∂t σ ∂ρ ρ+ =0 ε ∂t 0 e −/t ⎛σ ∂J ⎞ ∇ ⋅⎜ J + ⎟ = 0 ∂t ⎠ ⎝ε J = J 0e − (σ / ε ) t + J estacionaria ∇ ⋅ J estacionaria = 0 / Tiempo de relajación •Las cargas en el interior de un conductor tienden a neutralizarse exponencialmente. •Las corrientes en su interior tienen exponencialmente a ser estacionarias 11 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS CONDUCTORES PERFECTOS Al someterlos a un campo eléctrico externo: •Presentan movilidad total de las cargas en su interior •Reaccionan instantáneamente al campo eléctrico externo (tiempo de relajación nulo) Por tanto: •Las cargas se depositan sobre la superficie quedando neutro el interior •El campo eléctrico en su interior es nulo (por ser eléctricamente neutro) •El campo eléctrico es perpendicular a la superficie •Es equipotencial 12 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS SOLUCIÓN ECS. MAXWELL ¿ES POSIBLE RESOLVER LAS ECUACIONES DE MAXWELL EN GENERAL? EL SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES TIENE SOLUCIÓN ÚNICA EN TODO EL ESPACIO CON CONDICIONES INICIALES DADAS 13 TEMA 2: FUNDAMENTOS REPLANTEAMIENTO ∂ tψ ( x, y , z , t ) = R T ψ ( x, y , z , t ) − K ( x, y , z , t ) Vector electromagnético COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) ψ = ( Ex , E y , Ez , H x , H y , H z ) T Vector de corrientes ⎛ Jx J y Jz ⎞ K = ⎜ , , , 0, 0, 0 ⎟ ⎝ε ε ε ⎠ Rotacional hexadimensional (conductividades nulas) 1 ⎞ ⎛ R⎟ ⎜ 0 ε ⎟ RT = ⎜ ⎜− 1 R 0 ⎟ ⎜ µ ⎟ ⎝ ⎠ T ⎛ 0 ⎜ R = ⎜ ∂z ⎜ −∂ ⎝ y −∂ z 0 ∂x ∂y ⎞ ⎟ −∂ x ⎟ 0 ⎟⎠ 14 TEMA 2: FUNDAMENTOS SOLUCIÓN NUMÉRICA DIFERENCIAS CENTRADAS f (u + ∆u / 2,...) − f (u − ∆u / 2,...) δ u f (u,...) = ∆u ∂ u f (u ,...) COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) NUMÉRICO ANALÍTICO R T = RT RT { ψ , E, H , K , J , M } ( i∆x , j ∆y , k ∆z , n∆t ) ∂ u →δ u {ψ , E , H ,K , J , M } n i , j ,k 15 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS DISCRETIZACIÓN ESPACIAL En cada cubo las propiedades ε , µ , σ del material son constantes ε , µ ,σ COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS ε ,σ 16 EN FUNCIÓN DE LA FRECUENCIA µ = µ0 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS ε ,σ 17 EN FUNCIÓN DE LA FRECUENCIA µ = µ0 18 TEMA 2: FUNDAMENTOS Esquema en diferencias (FDTD) ECUACIONES ROTACIONALES DE MAXWELL COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) Ψ ∂ tψ = R T ψ − K n +1 i , j ,k -Ψ ∆t n i , j ,k = R TΨ n +1/ 2 i , j ,k Supuestos conocidos los valores iniciales n +1/ 2 - K i , j ,k 0 Ψ yΨ Es posible obtener un algoritmo de solución autoconsistente. Ψ n +1 i , j ,k =Ψ n i , j ,k + ∆ tR T Ψ n +1/ 2 i , j ,k n +1/ 2 - ∆tK i , j ,k 1/ 2 Piel COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS Tumor EJEMPLOS 3D ENERGÍA ABSORBIDA Mama Ultrabroadband antenna array ECOS 19 20 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS SOLUCIÓN ANALÍTICA ∇⋅D = ρ ∂B ∇× E = − ∂t ∇⋅B = 0 ∂D ∇× H = +J ∂t SALVO QUE SE DIGA LO CONTRARIO, ASUMIREMOS MATERIALES LINEALES, HOMOGÉNEOS (a trozos), ISÓTROPOS, NO DISPERSIVOS E INDEPENDIENTES DEL TIEMPO D = µ E , B = µ H , J conducción = σ E 21 TEMA 2: FUNDAMENTOS DISCONTINUIDADES EN LA FRONTERA ENTRE MEDIOS σ 1 ,σ 2 finitas ρ S (r , t ) ε1 , µ1 , σ 1 ( ) COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) ) nˆ × E1 − E2 = 0 ( ) nˆ ⋅ ( D − D ) = ρ ∂ρ ˆn ⋅ ( J − J ) = − ∂t nˆ ⋅ B1 − B2 = 0 1 2 S S 1 2 ε 2 , µ2 ,σ 2 Medio 1 nˆ × H1 − H 2 = 0 ( Medio 2 n̂ dQ ρS = dS Densidad superficial ⎛ B1 B2 ⎞ ˆ ⇒ n×⎜ − ⎟ = 0 ⎝ µ1 µ 2 ⎠ ⎛ D1 D2 ⎞ ⇒ nˆ × ⎜ − ⎟=0 ⎝ ε1 ε 2 ⎠ de carga ( ) ⇒ nˆ ⋅ ( ε E − ε E ) = ρ ∂ρ ˆ ⇒ n ⋅ (σ E − σ E ) = − ∂t ⇒ nˆ ⋅ µ1 H1 − µ 2 H 2 = 0 1 1 2 2 S S 1 1 2 2 22 TEMA 2: FUNDAMENTOS DISCONTINUIDADES EN LA FRONTERA ENTRE MEDIOS Medio 1: CONDUCTIVIDAD FINITA ε1 , µ1 , σ 1 Medio 2: CONDUCTOR PERFECTO ε 2 , µ 2 , σ 2 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) En un conductor perfecto las corrientes son superficiales nˆ × H1 = J S ⇒ nˆ × B1 = µ1 J S nˆ × E1 = 0 ⇒ nˆ × D1 = 0 nˆ ⋅ B1 = 0 ⇒ nˆ ⋅ H1 = 0 →∞ E2 (r , t ) = 0 = H 2 (r , t ) J S = ρS v , H1 y B1 tangenciales no nulas , nˆ × J1 = 0, E1 , D1 y J1 tangenciales nulas nˆ ⋅ D1 = ρ S ⇒ nˆ ⋅ E1 = ρ S / ε1 , nˆ ⋅ J1 = , B1 y H1 normales nulas σ1 ρ S , D1 ,E1 y J1 normales no nulas ε1 23 TEMA 2: FUNDAMENTOS SOLUCIÓN ESTÁTICA ∂B ∂t =0= ∂E ∂t ⇒ ∇⋅ E = ρ /ε , ∇⋅ B = 0 , ∇× E = 0 , ∇× B = µJ Más fácil trabajar con los potenciales E = −∇V , B = ∇ × A EC. DE POISSON → ∇ V = − ρ / ε , ∇ A = − µ J COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) 2 EC. LAPLACE 2 → ∇ V =0 , ∇ A=0 2 2 El potencial V tiene una interpretación energética WLa→b = −∆E potencial ∫ La→b qE ⋅ dl = − ∫ q∇V ⋅ dl = qVa − qVb La→b E pot a E pot b El trabajo hecho por el campo eléctrico sobre una carga (el magnético no trabaja directamente por ser Fmagn = qv × B ⊥ dl ) no depende del camino sino de los potenciales inicial y final. { } 24 SOLUCIÓN ESTÁTICA TEMA 2: FUNDAMENTOS CAMPO ELÉCTRICO ► LEY DE COULOMB CAMPO MAGNÉTICO ►LEY DE BIOT-SAVART P R = r −r ' V (r ) = R COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) r' dV ' µ A(r ) = 4π r E (r ) = S O n̂ 4πε ∫ ρ (r ') V' J (r ', t ); ρ (r ', t ) V' 1 1 ∫ 4πε V' µ B(r ) = 4π J (r ') ∫V ' R3 dV ' ρ (r ') R R R dV ' 3 dV ' J (r ') × R ∫V ' R3 dV ' 25 TEMA 2: FUNDAMENTOS AUSENCIA DE FUENTES LIBRES SOLUCIONES DE ONDA PLANA ∂H ∂E J = 0 = ρ ⇒ ∇ × E = −µ , ∇× H = σ E +ε ∂t ∂t COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) Busquemos soluciones monocromáticas re jt Cualquier otra solución se puede poner r, t 2 ∂ E 2 ∇ E − εµ 2 − µσ ∂t 2 ∂ H 2 ∇ H − εµ 2 − µσ ∂t ∂E =0 ∂t ∂H =0 ∂t − re jt d ∇ 2 H = −ω 2ε e µ H ⎛σ ⎞ , εe ≡ ⎜ +ε ⎟ 2 2 ∇ E = −ω ε e µ E ⎝ jω ⎠ COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS AUSENCIA DE FUENTES LIBRES SOLUCIONES DE ONDA PLANA UNIFORME ∇ H = −ω ε e µ H ⎫⎪ ⎬ 2 2 ∇ E = −ω ε e µ E ⎪⎭ 2 2 ⎧⎪ H = H 0e j (ω t −γ nˆ ⋅r ) 2 2 , γ ω µε = ⎨ e j (ω t −γ nˆ ⋅r ) ⎪⎩ E = E0e ⎧⎪ H = H 0e−α nˆ ⋅r e j (ω t − β nˆ⋅r ) ⎨ −α nˆ ⋅r j (ω t − β nˆ ⋅r ) e ⎪⎩ E = E0e Que deben cumplir las ecuaciones originales de Maxwell n̂ E H nˆ × E µ H= , Z= Z εe γ = β − jα •Se dice onda plana por ser su fase constante en los planos n̂ ⋅ r = cte •Se dice uniforme por ser su amplitud constante en esos planos 26 27 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS NOTACIÓN γ = ω µε e = β − jα n̂ × E0 H0 = Z β α Relación de estructura Número de onda (propagación) Cte. Atenuación c = ω / β ≠ 1/ εµ Z onda E0 = H0 Relación de dispersión γ = γ n̂ Número de onda complejo µ Z= εe Impedancia intrínseca del medio Longitud de onda λ = 2π / β δ = 1/ α Prof. de penetración Velocidad de fase (depende de la frecuencia, hay dispersividad de fase) Impedancia de onda. Igual en este caso a la impedancia intrínseca del medio 28 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS MEDIO CONDUCTOR (Q finito): ONDA PLANA Q) εr ε − jσ / ω 1 1 j arctan(1/ 2 4 1+ = E0 e µ µr 120π Q2 • Conocido E0 → H 0 = E0 i. e., campo eléctrico y magnético perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación, pero están desfasados • Existe atenuación de la onda al propagarse α= ω c0 ωε Q= σ ⎧⎪ 1 ⎫⎪ µ r ε r Re ⎨ 1 + ⎬≠0 jQ ⎪⎭ ⎩⎪ • La velocidad de fase depende de la frecuencia c(ω ) = ⎧⎪ c0 ω 1 ⎫⎪ = Im ⎨ 1 + ⎬ β jQ µrε r ⎪⎩ ⎪⎭ −1 Nota: Z 0 = µ 0 / ε 0 = 120π , c0 = 1/ ε 0 µ 0 , ε = ε 0ε r , µ = µ 0 µ r 29 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS MEDIO AISLANTE (Q →∞): ONDA PLANA • Dado E0 H 0 = 120π E0 ε r / µ r campo eléctrico y magnético perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación y están en fase • La onda se propaga sin atenuación α = 0 • La velocidad de fase no depende c = c / 0 de la frecuencia µ r ε r ≠ c(ω ) 30 TEMA 2: FUNDAMENTOS BUEN CONDUCTOR (Q <0.01): ONDA PLANA γ { jωσµ = ± (1 + j ) } { H0 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) } E , H = E0 , H 0 e Z0 2 −( δ x) e , δ j (ω t − x ) 2 ωσµ , ,α β 1 δ , nˆ = xˆ δ 1 j π4 e Q εr 1 E0 Z0 µr E0 = Z H0 ωσµ µr εr Onda ”magnética” • Agua de mar a bajas frecuencias aprox. ε r = 81, µ r = 1, σ = 4 Por tanto a 3 KHz, δ=5m. Una antena suele necesitar al menos 1/6 de la longitud de onda, que a 3 KHz en el aire mediría 1.6 Km, pero en el agua sólo necesitaría del orden de 5m. Luego las comunicaciones submarinas son más factibles a baja frecuencia. • Apantallamiento a altas frecuencias. Por ejemplo, el cobre ε r = 1, µ r = 1, σ = 5.8 107a 60 Hz , δ=8.5 mm y a 30 GHz, δ=0.38mm 31 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS MEDIO BUEN CONDUCTOR (Q <0.01): ONDA PLANA γ jωσµ = ± (1 + j ) E = E0 e − ( δx ) e j (ω t − δx ) ωσµ 2 , δ 2 ωσµ , J = σ E0 e ,α − ( δx ) e β 1 δ j (ω t − δx ) Existen grandes diferencias entre las corrientes a distinta profundidad del conductor. El efecto es el de una aparición de una resistencia extra, que llamaremos resistencia superficial. Supongamos un hilo cuadrado que transporta una intensidad total I, la mitad por una sección de resistencia R1 y la otra mitad por R2. La potencia consumida es P = I 2 (R1 + R2 )/ 4 Si por R1 circulase I/2-x y por R2 circulase 2 2 I/2+x, P = I ( R1 + R2 ) / 4 + ξ ( R1 + R2 ) se consumiría más potencia. Por tanto, conductores que transportan corrientes grandes deben ser huecos para minimizar pérdidas. 32 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS BUEN CONDUCTOR (Q <0.01): DIFUSIÓN DE B εω Q= σ ∂E 1 ⇒J =σE ⇒ ∇ × B = σ E (Aprox.) ∂t 0 ∂B 2 ∇ × ∇ × B = µσ ∇ × E = − µσ = ∇ ∇B − ∇ B ∂t ∂B Ecuación de difusión (similar a la del 2 ∇ B = µσ calor) ∂t ( ) ( ) Solución 1D con Bx (0, t ) = 0 , Bx ( L, t ) = 0 , Bx ( x, 0) = B0 ( x) Bx ( x, t ) = e − µσ t / λ 2 ⎛ ⎛ x⎞ ⎛ x ⎞⎞ ⎛ nπ x ⎞ ⎜ K1 cos ⎜ λ ⎟ + K 2 sin ⎜ λ ⎟ ⎟ = ∑ K n sin ⎜ L ⎟ e ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ n =1 ⎝ ⎠ ⎝ ∞ ⎛ nπ ⎞ − µσ ⎜ ⎟ t ⎝ L ⎠ 2 2 ⎛ nπ x ⎞ Kn = ∫ sin ⎜ ⎟B0 (x)dx L0 ⎝ L ⎠ L Tiempo de difusión ∼ µσ L2 (cobre 1cm: 5ms) TEMA 2: FUNDAMENTOS PRESENCIA DE FUENTES LIBRES. MEDIO SIN PÉRDIDAS EN EL CASO MÁS GENERAL (con σ=0) B ∇A ∂A −∇V − E ∂t COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) La elección de los potenciales no es ÚNICA. Pueden escogerse con ligaduras (gauge) analíticas. Por ej. Ligadura de Lorenz ∂V ∇A + µε =0 ∂t Introduciendo los potenciales en las ecuaciones de Maxwell y utilizando la ligadura de Lorenz ∂ A ∇ A − µε 2 = − µ J ∂t 2 2 ∂V ρ ∇ V − µε 2 = − ∂t ε 2 2 33 34 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS SOLUCIÓN PARTICULAR EC. INHOMOGÉNEA [ ρ ]r 1 V (r , t ) = dV ′ + ∫ 4πε V ′ R 4π ⎧ 2 ⎡ ∂V ⎤ ∂ ⎛ [V ]r ∫ S ⎨⎩ R ⎢⎣ ∂n ⎥⎦ r − ∂n ⎜⎝ R ⎞⎫ ⎟ ⎬ dS ⎠⎭ µ A(r , t ) = 4π ⎧⎪ 2 ⎡ ∂A ⎤ ∂ ⎛ [ A]r ∫ S ⎨⎪ R ⎢⎣ ∂n ⎥⎦ − ∂n ⎜⎝ R ⎩ r ⎞ ⎫⎪ ⎟ ⎬ dS ⎠ ⎪⎭ 1 [ J ]r 1 ∫ V ′ R dV ′ + 4π 35 TEMA 2: FUNDAMENTOS SOLUCIÓN PARTICULAR EC. INHOMOGÉNEA Donde F r Fr ′ , t − Rc representa a las magnitudes retardadas, es decir, los valores de tal magnitud en instantes anteriores. COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) • • Si en el volumen V’ , limitado por S no hay fuentes, solo quedan las integrales de superficie, y los potenciales en son debidos a las fuentes externas (integrales de Kirchoff) Si existen fuentes en V’ , y esta región es finita, es posible calcular el campo debido a estas fuentes, R cuando → extendiendo las integrales de superficie hasta el infinito, quedando los potenciales reducidos a las integrales de volumen (aproximación de campo lejano). 36 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS CAMPO LEJANO Y CERCANO Un problema central en EMC es el de la interacción a distancia de un dispositivo electromagnético con otro. Llamaremos a este fenómeno acoplamiento. Puede ser reactivo (capacitivo o inductivo) o radiativo (transmisión de energía electromagnética en forma de ondas). El mecanismo práctico más usual para producir radiación de campos es la antena. Dos casos 37 TEMA 2: FUNDAMENTOS ANTENAS LINEALES Dipolo eléctrico hertziano: antena lineal pequeña en vacío (de longitud L λ ). COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) I 0 Le j (ω t − β r ) cos(θ ) ⎡ 2 j β 2 ⎤ Er = + 2⎥ ⎢ jωε 0 4π r r ⎦ ⎣ r I 0 Le j (ω t − β r ) sin(θ ) ⎡ 2 j β 1 ⎤ Eθ = − β − − 2⎥ ⎢ jωε 0 4π r r r ⎦ ⎣ I 0 Le j (ω t − β r ) sin(θ ) ⎡ 1⎤ Hϕ = jβ + ⎥ ⎢ 4π r r⎦ ⎣ c = ω / β = 1/ ε 0 µ 0 38 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS ANTENAS LINEALES Antena circular pequeña (de radio I 0 a 2 e jt−r cos Hr 4r a λ ) 2j 2 r r2 I 0 a 2 e jt−r sin 2 j H − − r − 12 4r r j 0 a 2 e jt−r sin E − j 1r 4r c = ω / β = 1/ ε 0 µ 0 39 TEMA 2: FUNDAMENTOS ANTENAS LINEALES Campo lejano: términos con 1/r COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) Antena lineal Antena circular jI 0 Le jt−r sin E 0 4rc jI 0 Le jt−r sin H 4r 2 I 0 a 2 e jt−r sin H − 4r 0 a 2 e jt−r sin E 4r COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS 40 CAMPO LEJANO Y CAMPO CERCANO COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS 41 CAMPO LEJANO Y CAMPO CERCANO 42 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS CAMPO LEJANO Y CAMPO CERCANO Por ejemplo, a una frecuencia de 30 MHz, /2 159cm a 300 MHz,λ / 2π = 15.9cm, a 3 GHz, λ / 2π = 1.59cm 43 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS ANTENAS ELÉCTRICAS Y MAGNÉTICAS µ0 Z0 = ε0 ZW ≡ Z onda E0 = ≠ H0 ε = Z INTRÍNSECA µ , λ λ≡ 2π 44 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS TEOREMA DE POYNTING Si en una región del espacio hay un aporte de energía mediante un movimiento de cargas producido por un campo electromotor E ′no necesariamente de naturaleza eléctrica, esta energía se transforma en V E ′JdV dtd V 2 J 1 E D H dS BHdV dV E 2 V SV A B C D A-Potencia proporcionada por los generadores. B-Variación temporal de la energía eléctrica y magnética C-Pérdida irreversible de potencia por efecto Joule D-Flujo de potencia que entra o sale VECTOR DE POYTING P = E×H 45 TEMA 2: FUNDAMENTOS TEOREMA COMPLEJO DE POYNTING Para variaciones armónicas 2 0 d dt = jω J 1 ′ ∗ ∫ V Re{ 2 E0 J 0 }dV = ∫ V 2σ dV POTENCIA ACTIVA + 1 ∗ ∫ SV Re{ 2 E0 × H 0 }dS FLUJO DE POTENCIA A TRAVÉS DE S COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) POTENCIA DISIPADA EN CALOR 1 ′ ∗ 1 ⎛ µ H 02 ε E02 ⎞ 1 ∗ = − + × E J dV V E H I m{ } 2 Im { ω d ⎟ 0 0 }dS ∫V 2 0 0 ∫ V 2 ⎜⎝ 4 ∫ S V 4 ⎠ 2 FLUJO DE POTENCIA REACTIVA POTENCIA REACTIVA A TRAVÉS DE S DIFERENCIA DE VALORES DE PICO ENERGÍA ELÉCTRICA-MAGNÉTICA ∗ 1 Im{ E × H ∫ SV 0 }dS ≠ 0 2 0 EL MEDIO ES REACTIVO ∗ 1 Re{ E × H ∫ SV 0 }dS ≠ 0 2 0 EL MEDIO ES PASIVO 46 TEMA 2: FUNDAMENTOS FLUJO DE POTENCIA LEJANO/CERCANO Campo lejano: SÓLO activo Im{P} = 0 , Re{P} ≠ 0 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) Campo cercano: activo y reactivo Im{P} ≠ 0 , Re{P} ≠ 0 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS ONDA PLANA UNIFORME ∇ H = −ω ε e µ H ⎫⎪ ⎬ 2 2 ∇ E = −ω ε e µ E ⎪⎭ 2 2 ⎧⎪ H = H 0e j (ω t −γ nˆ ⋅r ) 2 2 , γ ω µε = ⎨ e j (ω t −γ nˆ ⋅r ) ⎪⎩ E = E0e ⎧⎪ H = H 0e−α nˆ ⋅r e j (ω t − β nˆ⋅r ) γ = β − jα ⎨ −α nˆ ⋅r j (ω t − β nˆ ⋅r ) e ⎪⎩ E = E0e nˆ × Eo E0 µ Ho = = Z onda = , Z intrínseca = εe Z H0 n̂ E H ⎛σ ⎞ εe ≡ ⎜ +ε ⎟ ⎝ jω ⎠ 47 48 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS INCIDENCIA NORMAL EN MULTICAPAS Dos ondas: una reflejada y otra transmitida x Condiciones de contorno H1tangencial = H 2tangencial E1tangencial = E2tangencial Impedancias intrínsecas Er Z 2 − Z1 ρ= = Ei Z 2 + Z1 Et 2Z 2 τ = 1+ ρ = = Ei Z1 + Z 2 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS 49 Reflejada+Incidente=Estacionaria 50 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS Onda estacionaria: IMPEDANCIA DE ONDA Z 2 + Z1 tanh( jγ x) Z ( x) = Z1 Z1 + Z 2 tanh( jγ x) Caso sin pérdidas γ = β Z 2 + Z1 tanh( j β x) Z 2 + jZ1 tan( β x) Z ( x) = Z1 = Z1 Z1 + Z 2 tanh( j β x) Z1 + jZ 2 tan( β x) 51 TEMA 2: FUNDAMENTOS ADAPTACIÓN DE IMPEDANCIAS: lámina de cuarto de onda Z ( x = − L) − Z1 ρ ( x = − L) = =0 Z ( x = − L) + Z1 Z1 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) L= λ2 4 , λ2 = Z2 c f ε r µr Z3 2π λ2 Z 3 + jZ 2 tan(− ) λ2 λ2 4 = Z1 ⇒ Z 2 = Z1Z 3 Z ( x = − ) = Z1 ⇒ Z 2 2π λ2 4 Z 2 + jZ 3 tan(− ) λ2 4 52 TEMA 2: FUNDAMENTOS ADAPTACIÓN DE IMPEDANCIAS: lámina de media onda Z ( x = − L) − Z1 ρ ( x = − L) = =0 Z ( x = − L) + Z1 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) L= λ2 2 , λ2 = c f ε r µr 2π λ2 Z1 + jZ 2 tan(− ) λ2 λ2 2 = Z1 ∀Z 2 Z ( x = − ) = Z1 ⇒ Z 2 2π λ2 2 Z 2 + jZ1 tan(− ) λ2 2 53 TEMA 2: FUNDAMENTOS APLICACIONES: DISEÑO DE ABSORBENTES γ i = ωµi ( jσ i − ωε i ) ρ= COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) Zi = De onda Z w1 − Z 0 Z w1 + Z 0 µ ε i − jσ i / ω Intrínseca Z w 2 + Z1 tanh( jγ 1d1 ) Z w3 + Z 2 tanh( jγ 2 d 2 ) Z w1 = Z1 , Z w2 = Z 2 , ..... Z1 + Z w 2 tanh( jγ 1d1 ) Z 2 + Z w3 tanh( jγ 2 d 2 ) Z k + Z k −1 tanh( jγ k −1d k −1 ) Z wk −1 = Z k −1 Z k −1 + Z k tanh( jγ k −1d k −1 ) 54 TEMA 2: FUNDAMENTOS APLICACIONES: DISEÑO DE ABSORBENTES Un buen material absorbente debe: 1. Tener un coeficiente de reflexión pequeño. 2. Ser capaz de disipar toda la energía que absorbe. COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) Cómo? Utilizando conductores: • Disipan por efecto Joule la energía en su interior tanto más cuanto más reflejan la que la incide Compromiso: material con variación gradual de sus parámetros manteniendo el coeficiente de reflexión pequeño, y que disipe paulatinamente la energía. 55 TEMA 2: FUNDAMENTOS ABSORBENTE MULICAPA Ejemplo: Material no magnético formado por 50 capas con obtimizado a 1 GHz COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) k 1. 5 1. 06logk/log50 k 5. 810 5 k/50 5 d k = 2δ 2 2 / ωσµ Longitud total: 0.99 m Es una infravoloración en las primeras capas (pocas pérdidas) pero funciona! 56 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS ABSORBENTE MULICAPA Coeficiente de reflexión y de absorción en función de la frecuencia (los resultados mejoran con el incremento de frecuencia) Espumas absorbentes comerciales ECCOSORB AN75, AN77, AN79 Reflectivity dB = 20 log10 ( ρ ) 57 COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS APLICACIÓN: CÁMARAS ANECOICAS •Uno de los primeros absorbentes, usados desde la década de los 30, consitía en polvo de carbón esparcido sobre pelo animal. •Los absorbentes típicos de hoy que se montan sobre las paredes de cámaras anecoicas, suelen ser piramidales, con conductividades variables, calculadas sobre la frecuencia mínima que se quiere absorber, y son tanto más grandes cuanto menor es la frecuencia. •La forma piramidal favorece mayores superficies de absorción, las ondas reflejadas reinciden sobre otras partes del absorbente y cerca de la punta, al no haber casi material, la impedancia de la onda es casi la misma que la de la onda incidente. •La tecnología Stealth utiliza materiales exóticos junto con un cuidadoso diseño geométrico para absorber las ondas de RADAR, lo que se aprovecha para aumentar la indetectabilidad de blancos. COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA) TEMA 2: FUNDAMENTOS 58 APLICACIÓN: CÁMARAS ANECOICAS