22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido.

22.-
Trabajo y energía en el movimiento
general del sólido rígido.
§22.1. Energía cinética del sólido rígido (655); §22.2. Energía cinética de rotación (657);
§22.3. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento (660); §22.4. Rodadura (661);
§22.5. Resistencia a la rodadura (663); §22.6. Expresión del trabajo (666); §22.7. Teorema
de la energía cinética (667); §22.8. Conservación de la energía (668); Problemas (672)
§22.1. Energía cinética del sólido rígido.- Entendemos por energía cinética
del sólido rígido la suma de las energía cinéticas del todas las partículas que lo
constituyen. Como ya sabemos, la energía cinética es una magnitud física escalar
relativa al observador en el referencial fijo XYZ.
Quedó demostrado en la Lección 5 (Cinemática del sólido rígido) que el
movimiento más general del sólido rígido puede reducirse a una rotación de
velocidad angular ω con respecto a un eje que pasa por un punto arbitrario o, más
una traslación cuya velocidad vo es la correspondiente a dicho punto. Así, la velocidad, en el referencial fijo, de un punto genérico Pi del sólido viene dada por
vi
vo
ω × ri
[22.1]
donde ri = oPi es el vector de posición
del punto genérico Pi respecto del
punto arbitrario o perteneciente al
sólido.
Si consideramos una partícula
genérica de las que constituyen el cuerpo, digamos la partícula i-ésima (Figura 22.1), su energía cinética en el referencial fijo XYZ es
Figura 22.1
Ek,i
1
2
m vi
2 i
[22.2]
Física Universitaria
655
656
Lec. 22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido.
de modo que la energía cinética total del cuerpo Ek, teniendo en cuenta la relación
[22.1], es
Ek
1
2
m vi
2 i
i
1
2
i
ω × r i)2
mi (v o
[22.3]
y desarrollando
Ek
1
2
1
2
2
i
m i vo
i
mi (ω × r i)2
i
miv o (ω × r i)
[22.4]
y puesto que ni vo ni ω son propias de la partícula i-ésima, podemos escribir
Ek
1
2
mvo
2
1
2
i
mi (ω × r i)2
(v o × ω )
i
mir i
[22.5]
donde m es la masa del cuerpo. Esta es la expresión general de la energía cinética del
sólido rígido y es válida cualquiera que sea el punto o perteneciente al sólido con
respecto al cual se mide ri.
En la expresión [22.5] vemos que la energía cinética del sólido rígido, medida en
el referencial fijo XYZ, puede separarse en tres partes.
El primer término corresponde a la energía cinética asociada con el movimiento
del punto o, como si en dicho punto estuviese concentrada toda la masa del cuerpo.
El segundo término representa la energía cinética del sólido rígido asociada con
su movimiento con respecto al punto o perteneciente al mismo, ya que ω × ri =
vi - vo.
El tercer término no tiene una interpretación tan fácil como los dos anteriores e
interesa anularlo mediante una elección conveniente del punto o del sólido respecto
al que se mide ri. Esto será posible en los tres casos siguientes:
a) Si elegimos el punto o coincidiendo con el centro de masa del sólido
rígido, ya que entonces se anulará el sumatorio.
Esto es,
i
mir i
0 por representar la posición del centro de masa de un cuerpo en el referencial
que tiene su origen, precisamente, en dicho centro de masa.
b) Si elegimos el punto o de modo que su velocidad sea nula en el referencial inercial
(XYZ); en estas condiciones también será nulo el primer término de la expresión [22.5].
Esta elección será evidente cuando el sólido rígido esté girando alrededor de un eje fijo respecto
al sólido y que mantiene fijo al menos uno de sus puntos en el referencial inercial XYZ.
c) Si elegimos el punto o de tal modo que su velocidad sea paralela al vector
de velocidad angular ω; i.e., si el punto o está situado sobre el eje
instantáneo de rotación y deslizamiento.
En cualquiera de los tres casos anteriores se consigue una simplificación
considerable. Concretando al caso en que o ≡ CM, tenemos
Ek
1
2
m vcm
2
1
2
i
mi (ω × r i)2
[22.6]
657
§22.1.- Energía cinética del sólido rígido.
Obsérvese que podemos separar el movimiento del sistema en dos partes, cada
una de ellas con una energía cinética bien definida. El primer término del segundo
miembro de [22.6] corresponde al movimiento del centro de masa del sistema y
representa la energía cinética de traslación del cuerpo. El segundo término
corresponde al movimiento de las distintas partes del cuerpo con respecto al centro
de masa. Puesto que en un sólido rígido el centro de masa está fijo en el cuerpo, el
único movimiento que puede tener el cuerpo con respecto a su centro de masa es el
de rotación, de modo que el segundo término de [22.6] representa la energía cinética
de rotación del cuerpo con respecto a un eje que pasa por su centro de masa1. Por
consiguiente, podemos escribir
Ek
Ek,t
[22.7]
Ek,r
que corresponde a la formulación del TEOREMA DE KŒNIGS para la energía cinética
del sólido rígido:
En el movimiento general del sólido rígido, la energía cinética total puede
expresarse como la suma de la energía cinética de traslación del centro de
masa y de la energía cinética de rotación en torno a un eje que pasa por el
centro de masa.
§22.2. Energía cinética de
rotación.- Debemos entender que la
energía cinética de rotación es
simplemente la suma de las energías
cinéticas de traslación ordinarias de
todas las partículas del cuerpo
referidas al centro de masa del
mismo, y no una "nueva clase de
energía". Esto se pone bien en
evidencia si tenemos en cuenta que v′i
= vi - vcm = ω × ri es la velocidad de
la partícula i-ésima del cuerpo con
respecto al centro de masa de éste,
de modo que
Ek,r
i
1
m (ω × r i)2
2 i
Figura 22.2
i
1
2
m v′i
2 i
[22.8]
Así pues, la energía cinética de rotación es solamente una forma conveniente de
designar una parte de la energía cinética del sólido rígido (energía cinética interna).
Resulta muy conveniente expresar la energía cinética de rotación en función de
los momentos y productos de inercia del sólido rígido en un referencial móvil, xyz,
1
Pueden hacerse las mismas consideraciones si el punto o está fijo en el sistema de referencia
XYZ o si pertenece al eje instantáneo de rotación y deslizamiento. En lo que sigue nos referiremos
al centro de masa, aunque no descartaremos nunca las otras posibilidades.
658
Lec. 22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido.
ligado al cuerpo, al que llamaremos referencial solidario (Figura 22.2). Poniendo v′i =
vi - vcm = ω ×ri, dicha energía puede expresarse en la forma
Ek,r
1
2
i
[22.9]
mi v′i (ω × r i)
que, permutando los vectores del producto mixto, se convierte en
Ek,r
ω
2
i
[22.10]
(mi r i × v′i)
Se comprende fácilmente que la suma corresponde al momento angular del cuerpo respecto al origen o del referencial móvil, de modo que
1
ω L
2
Ek,r
⇒
1
ω I ω
2
Ek,r
[22.11]
Haciendo las operaciones indicadas en la expresión anterior, tenemos
Ek,r
1
ω I ω
2
1
2
I ωx
2 xx
1
2
1
2
I ωy
2 yy
ωx ωy ωz
1
2
I ωz
2 zz
⎞ ⎛
⎞
⎛
⎜ Ixx Ixy Ixz ⎟ ⎜ ω x ⎟
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎜ Iyx Iyy Iyz ⎟ ⎜ ω y ⎟
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎜I I I ⎟ ⎜ω ⎟
⎝ zx zy zz ⎠ ⎝ z ⎠
Ixyω xω y
Iyzω yω z
Izxω zω x
[22.12]
que es la expresión de la energía cinética de rotación.
Si utilizamos el sistema de ejes principales de inercia ligado al cuerpo
(Figura 22.4), la expresión anterior toma una forma más sencilla
Ek,r
1
2
I ω1
2 1
1
2
I ω2
2 2
1
2
I ω3
2 3
[22.13]
Obsérvese que podemos obtener las componentes del momento angular a partir de las
expresiones [22.12] o [22.13] de la energía cinética; esto es,
Lx
o bien
L1
∂Ek,r
∂ω x
∂Ek,r
∂ω 1
Ly
L2
∂Ek,r
∂ω y
∂Ek,r
∂ω 2
Lz
L3
∂Ek,r
∂ω z
∂Ek,r
∂ω 3
[22.14]
[22.15]
En todo caso, siempre podemos encontrar una expresión más simple que la [22.12]
o la [22.13] para la energía cinética de rotación. Nos bastará considerar el versor e en
la dirección de la velocidad angular ω, de modo que
ω
ω e
[22.16]
y entonces la expresión [22.11] puede escribirse en una forma que, sin duda, nos
resultará más familiar
659
§22.2.- Energía cinética de rotación.
Ek,r
ω2
e I e
2
1 2
Iω
2
[22.17]
ya que I = e II e, como ya vimos en §16.10 (expr. [16.69]), siendo I el momento de
inercia del sólido rígido respecto al eje de rotación, sea éste principal o no.
Podemos deducir la expresión [22.17] de un modo más
elemental y rápido sin más que sumar las energías cinéticas de
todas la partículas del sólido rígido dotado de una rotación pura
con una velocidad angular ω alrededor de un eje (Figura 22.3). En
efecto,
N
Ek,r
i
1
1
2
m vi
2 i
⎞
⎛N
1 ⎜
2⎟ 2
m
δ
i ⎟ω
⎜
2 ⎝i 1 i ⎠
1
I ω2
2
[22.18]
ya que miδi2, donde δi es la distancia de la partícula i-ésima al
eje, es el momento de inercia del sólido con respecto a dicho eje.
La expresión [22.17] de la energía cinética de rotación
Figura 22.3
es análoga a la expresión de la energía cinética de una
partícula, mv2/2. Ya sabemos que la velocidad angular ω
es análoga a la velocidad v; ahora vemos que el momento de inercia es análogo a la
masa m. Como la masa representa la resistencia o inercia del cuerpo a los cambios
de movimiento (de traslación), el significado físico del momento de inercia queda
bien claro: el momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje dado representa
la resistencia o inercia del cuerpo a los cambios de movimiento (de rotación) en torno
a dicho eje. Notemos que en tanto que la masa es una constante característica del
cuerpo, el momento de inercia depende del eje considerado.
El momento angular del sólido rígido, en el
sistema de ejes principales ligado al cuerpo (Figura 22.4), viene dado por
L
Iω
⎛
⎞
⎜ I1ω 1 ⎟
⎜
⎟
⎜ I2ω 2 ⎟
⎜
⎟
⎜Iω ⎟
⎝ 3 3 ⎠e e e
[22.19]
1 2 3
donde (e1, e2, e3) son los versores en las direcciones
de los ejes principales y (ω1, ω2, ω3) son las
componentes de ω en las direcciones de dichos
ejes. Así pues, tenemos que
L1
I1 ω 1
Figura 22.4
I2 ω 2
L2
L3
I3 ω 3
[22.20]
de modo que, combinando las expresiones [22.20] y [22.13], podemos expresar la
energía cinética de rotación del sólido rígido en la forma
2
Ek,r
2
2
L1
L2
L3
2I1
2I2
2I3
[22.21]
660
Lec. 22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido.
expresión que se reduce a
L2
2I
Ek,r
[22.22]
en el caso particular en que la rotación del sólido tenga lugar alrededor de un eje
principal de inercia.
§22.3. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento.- Como ya sabemos, el
módulo de la velocidad vi de un punto Pi del sólido rígido es mínimo cuando dicha
velocidad es paralela a la velocidad angular ω y el lugar geométrico de tales puntos
es una recta, en la dirección de ω, llamada eje instantáneo de rotación y deslizamiento.
Consideremos un punto genérico
(Pi) perteneciente al sólido; si se
verifica que ω vi ≠ 0 (i.e., si el invariante escalar no es nulo), el movimiento del sólido resulta equivalente a una
rotación pura alrededor del eje instantáneo de rotación y deslizamiento más
una traslación a lo largo de dicho eje
(Teorema de Chasles), ya que los
puntos del sólido situados en eje
instantáneo de rotación y deslizamiento
Figura 22.5
tienen una velocidad paralela a la
velocidad angular ω. Bajo estas condiciones es cuando podemos hablar con propiedad del eje instantáneo de rotación y
deslizamiento y el movimiento del sólido se reduce a un movimiento helicoidal tangente.
Si en la expresión [22.5] de la energía cinética total del sólido rígido, que es
válida cualquiera que sea el punto o del cuerpo, elegimos dicho punto o sobre el eje
instantáneo de rotación y deslizamiento, entonces, puesto que vo ω, será nulo el
tercer término del segundo miembro de [22.5], de modo que nos queda
Ek
1
2
m vo
2
1
2
i
mi (ω × r i)2
[22.23]
de modo que la energía cinética total del sólido puede separarse en dos partes:
energía cinética de traslación correspondiente al deslizamiento del cuerpo
a lo largo del eje instantáneo de rotación y deslizamiento y energía cinética
de rotación en torno a dicho eje.
Obsérvese que los puntos del eje instantáneo de rotación tienen, en lo que respecta
a la energía cinética, propiedades idénticas a las del centro de masa del cuerpo, pero
nótese también que, a diferencia del centro de masa, los puntos del eje instantáneo
de rotación no son siempre los mismos.
Si el invariante escalar es nulo, o sea ω vi = 0, sin ser nulo ω, entonces deberá
ser vi ⊥ ω de modo que cada partícula del cuerpo se moverá en un plano
perpendicular al eje instantáneo de rotación (o sea al vector ω). Como para los puntos
661
§22.3.- Eje instantáneo de rotación y deslizamiento.
del eje instantáneo de rotación debe ser, además, vi ω, la velocidad de dichos
puntos deberá ser nula. Por consiguiente, el sólido pasará en cada instante por un
estado de rotación pura, con velocidad angular ω, alrededor del eje instantáneo de
rotación, pero sin que exista (en este caso) deslizamiento a lo largo de dicho eje. Este
movimiento se denomina movimiento de rodadura, y en él los puntos del eje
instantáneo de rotación se encuentran "instantáneamente" en reposo en el referencial
fijo.
§22.4. Rodadura.- En el caso de que el movimiento del cuerpo sea una
rodadura, será nulo el primer término del segundo miembro de [22.23] (al no existir
deslizamiento a lo largo del eje instantáneo de rotación), de modo que
la energía cinética del sólido rígido corresponderá a la energía cinética de
una rotación pura alrededor del eje instantáneo de rotación (sin deslizamiento).
Dicho eje se encontrará instantáneamente en reposo en el referencial fijo; i.e.,
Ek
Ek,r
1
2
i
mi (ω × r i)2
[22.24]
que es la misma ec. [22.8] establecida anteriormente. Obviamente, esta energía cinética
de rotación puede expresarse en función del momento de inercia del cuerpo respecto
al eje instantáneo de rotación y obtendremos de nuevo la expr. [22.17], que es válida
para cualquier eje de rotación. Esto es
Ek
Ek,r
1
I ω2
2 o
[22.25]
donde el subíndice o indica que estamos considerando un eje de rotación que pasa
por el punto o.
Podemos completar el enunciado del TEOREMA DE KŒNIGS:
el movimiento de rodadura, los efectos combinados de la traslación del
centro de masa y de la rotación en torno a un eje que pasa por él son
equivalentes a una rotación pura, con la misma velocidad angular, alrededor
del eje instantáneo de rotación.
Figura 22.6
Ilustraremos los resultados anteriores con un
ejemplo sencillo: el de un cilindro que rueda sobre una
superficie plana.
Destacaremos, en primer lugar, que la condición de
"rodar" impone unas determinadas relaciones cinemáticas entre el movimiento lineal y el movimiento
angular del móvil. La Figura 22.6 muestra un cilindro
que rueda sobre una superficie horizontal. Cuando el
cilindro gira un cierto ángulo θ, el centro del mismo
experimenta un desplazamiento x; la relación existente
entre estas dos magnitudes es
x
θ R
[22.26]
662
Lec. 22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido.
siendo R el radio del cilindro. A partir de esta relación encontramos fácilmente, por derivación
respecto del tiempo, la relación existente entre la velocidad del centro del cilindro y la velocidad
angular
ω R
v
[22.27]
Una segunda derivación nos permite relacionar la aceleración lineal del centro del cilindro con la
aceleración angular;
α R
a
[22.28]
La condición de rodadura significa que, en un
instante cualquiera, los puntos del cilindro que están
en contacto con la superficie se encuentran momentáneamente en reposo. Dichos puntos determinan el
eje instantáneo de rotación pura del cilindro. Los
demás puntos del cilindro tendrán en ese instante
una cierta velocidad, perpendicular al eje instantáneo de rotación y a la línea que une dicha partícula
con dicho eje y de módulo proporcional a dicha
distancia. Esto equivale a decir que el cilindro está
girando en cada instante alrededor de la generatriz
Figura 22.7
del cilindro que está en contacto con la superficie,
con una cierta velocidad angular ω. Por consiguiente, en un instante dado, el movimiento del cilindro equivale a una rotación pura, y su energía
cinética será
1
I ω2
2 o
Ek
[22.29]
donde Io representa el momento de inercia del cilindro con respecto al eje de rotación instantáneo.
El teorema de Steiner nos permite escribir
Io
Icm
mR 2
[22.30]
siendo Icm el momento de inercia del cilindro, de masa m y radio R, con respecto a un eje paralelo
al eje instantáneo de rotación pura y que pasa por el centro de masa del cuerpo. Entonces la
ec. [22.29] puede ponerse en la forma
Ek
1
I ω2
2 cm
1
mR 2ω 2
2
[22.31]
Pero la cantidad ωR es la velocidad vcm de traslación del centro de masa del cilindro, de modo que
Ek
1
I ω2
2 cm
1
2
mvcm
2
[22.32]
Podemos interpretar la expr. [22.32], que fue obtenida partiendo de un movimiento de rotación
pura, analizando separadamente el significado de cada uno de los términos: el primero, ½Icmω2,
corresponde a la energía cinética que tendría el cilindro si estuviera simplemente girando en torno
a un eje que pasase por su centro de masa (sin traslación); el segundo término, ½mv2cm, corresponde
a la energía cinética que tendría el cilindro si sólo tuviera un movimiento de traslación (sin
rotación) con la velocidad de su centro de masa. De hecho, la ec. [22.32], que es la misma ec.
[22.6], es válida para cualquiera sólido rígido que presente un movimiento general (rototraslatorio).
§22.4.- Rodadura.
663
Figura 22.8
§22.5. Resistencia a la rodadura.- Estamos ahora en condiciones de estudiar
la resistencia a la rodadura, en el bien entendido de que esta resistencia sólo se
presenta cuando un cuerpo real (deformable) rueda sobre una superficie real
(deformable). Como veremos, no tiene sentido alguno hablar de resistencia a la
rodadura en el caso de un sólido rígido (indeformable) que rueda sobre una superficie
indeformable.
En efecto; la resistencia a la rodadura aparece
cuando el cuerpo que rueda, o la superficie sobre la
que rueda, o ambos a la vez, se deforman, aunque
sólo sea ligeramente, a causa de las grandes presiones existentes en los puntos de contacto. Pensemos en el caso de un cilindro que se apoya sobre
una superficie plana; todo el peso del cilindro
Figura 22.9
gravita sobre una exigua superficie de contacto (una
generatriz, desde un punto de vista estrictamente
geométrico). Es fácil comprender que la presión en el contacto será tan grande que
hasta el material más rígido se deformará. De ese modo, el cuerpo, la superficie que
lo soporta o ambos, se deforman, aumentando el área de contacto hasta que la presión
disminuye y se restablece una situación de equilibrio elastostático. En resumen, al
rodar un cuerpo real sobre una superficie real se producen unas deformaciones, como
se muestra en la Figura 22.9, de modo que el cuerpo tiene que "vencer" continuamente
un pequeño obstáculo que se le presenta por delante y que se opone a su rodadura.
Consideremos, para comenzar, el caso ideal de un cuerpo indeformable (un cilindro o una rueda, por ejemplo) que puede rodar sobre una superficie plana también
indeformable (Figura 22.10). Si la superficie es horizontal, las fuerzas que actúan sobre
el cilindro son: su peso P y la reacción normal del plano N.
Si ahora aplicamos una fuerza F sobre el eje del cilindro, paralelamente al plano
y perpendicularmente al eje, aparecerá una fuerza de rozamiento, f, en A, en dirección
opuesta a la fuerza aplicada F. El momento de la fuerza de rozamiento respecto del
eje del cilindro, M = fR hace girar el cilindro alrededor de su eje.
664
Lec. 22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido.
Así, en el caso de cuerpos indeformables soportados por superficies indeformables, por pequeña
que sea la fuerza F se producirá la rodadura
(siempre que exista suficiente rozamiento estático
para evitar el deslizamiento). En estas condiciones
no tienen sentido hablar de resistencia a la
rodadura.
Sin embargo, en las situaciones reales, los
Figura 22.10
cuerpos se deforman, por poco que sea. El contacto
no se realiza entonces a lo largo de una generatriz
(en el ejemplo anterior) sino a lo largo de una estrecha banda A′A″, como se muestra
en la Figura 22.11. Ello da lugar a que aparezcan reacciones en los apoyos; reacciones
que dan lugar a la aparición de un par que se opone la rodadura. Con la finalidad de
simplificar el problema, podemos imaginar que en cada instante el cilindro debe rotar
sobre la generatriz que pasa por A″ para poder rodar superando el pequeño obstáculo
que se opone a ello. Eso equivale a considerar desplazada la línea de acción de la
reacción normal N una distancia que designaremos por µr, como se muestra en la Figura 22.11. El par de resistencia a la rodadura y el par aplicado valen, respectivamente
Mres
µr N
Mapl
[22.33]
R F
En las condiciones críticas, cuando está a punto de
comenzar la rodadura, esos dos momentos serán
iguales, de modo que
[22.34]
de modo que el cilindro comenzará a rodar si Mapl
> Marr = µr N. De la ec. [22.34] se deduce
Figura 22.11
F
µr
R
N
[22.35]
que nos da el valor de la fuerza mínima necesaria para el arranque. La magnitud µr,
que tiene dimensiones de una longitud, es el llamado coeficiente de resistencia a la
rodadura2. De la ec. [22.34] se deduce que el par de arranque es proporcional a la
reacción normal N. De la ec. [22.35] se sigue que la fuerza de tracción necesaria para
el arranque es inversamente proporcional al radio del cilindro; esa es la ventaja de
las ruedas grandes sobre las pequeñas.
El valor del coeficiente µr depende de la naturaleza de los cuerpos en contacto
(fundamentalmente de su rigidez). En general, la relación µr/R (adimensional) tiene
un valor muy inferior al del coeficiente de rozamiento por deslizamiento (estático y
cinético); así pues, es mucho más conveniente, al efecto de disminuir las pérdidas
energéticas, sustituir en los mecanismos y máquinas los deslizamientos por las
rodaduras; esa es la ventaja del carro sobre el trineo.
2
Obsérvese que se ha evitado mencionar la idea de "rozamiento de rodadura".
665
§22.5.- Resistencia a la rodadura.
Ejemplo I.- En una bolera, lanzamos una de las bolas a lo largo de la pista de modo que inicialmente resbala sin rodar (traslación pura), con una velocidad v0. Gradualmente se va produciendo
la transición de la traslación pura a la rodadura. a) Demostrar que la bola comenzará a rodar sin
resbalar cuando su velocidad se haya reducido a 5v0/7. b) Calcular el tiempo empleado, el desplazamiento horizontal y el ángulo girado por la bola durante la transición de la traslación pura a la
rodadura. Expresar los resultados en
función del coeficiente de rozamiento µ entre la bola y la pista y
de la velocidad inicial v0 de la bola.
Las fuerzas que actúan sobre la
bola son: el peso de la bola (mg), la
reacción (N) y el rozamiento (f),
como se indica en la Figura 22.12.
La única fuerza que posee componente horizontal (i.e., en la dirección
del movimiento) y que proporciona
momento, es la fuerza de rozamiento
Figura 22.12
(estático) cuyo módulo puede
expresarse en función de la masa de
la bola:
f
µN
µ mg
a) Las ecuaciones para el movimiento de traslación y para el movimiento de rotación, tomando
momentos con respecto al centro de la bola, son
⎧ f
⎪
⎨
⎪ fR
⎩
⎧
⎪ a
⎪
⎨
⎪
⎪ α
⎩
ma
Iα
⇒
2
mR 2 α
5
f
m
µg
5 f
2 mR
5 µg
2 R
⇒
a
α
2
R
5
siendo R el radio de la bola, de modo que tanto la aceleración del centro de masa (a) como la
aceleración angular de la bola (α) son constantes. Por consiguiente, podemos escribir:
a
α
v
v0
ω
ω0
v
v0
2
R
5
ω
⇒
v0
v
2
ωR
5
con la condición inicial ω0=0.
Cuando finalmente la bola rueda (sin resbalar), con una velocidad vf y una velocidad angular
ωf, la condición de rodadura se expresa en la forma
vf
ωfR
de modo que combinando las dos últimas ecuaciones resulta
v0
vf
2
v
5 f
⇒
vf
5
v
7 0
que es la velocidad pedida.
b) Puesto que el movimiento de la bola es uniformemente acelerado, tanto en lo que concierne a
la traslación como a la rotación, durante la transición de la traslación pura a la rodadura, podemos
escribir
666
Lec. 22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido.
vf
Δt
con
a
2
v0
Δx
a
µg
α
v0
Δθ
2a
5 µg
2 R
ω
2
vf
5
v
7 0
vf
ωf
2
f
2α
vf
R
5 v0
7 R
de modo que el tiempo y los desplazamientos pedidos serán
Δt
2
2 v0
7 µg
Δx
2
12 v0
49 µ g
Δθ
5 v0
49 µgR
§22.6. Expresión del trabajo.- Consideremos, de nuevo, un sólido rígido que
realiza un movimiento general (rototraslatorio) bajo la acción de un sistema de
fuerzas que actúa sobre él. Nuestro propósito es encontrar la expresión del trabajo
elemental realizado por dicho sistema de fuerzas durante un movimiento elemental
del sólido.
Si sobre un punto Pi actúa una fuerza externa resultante Fi, durante un intervalo
de tiempo infinitesimal dt el punto de aplicación de dicha fuerza experimentará un
desplazamiento elemental dRi, dado por
dR i
dR o
ω dt × r i
dR o
[22.36]
dθ (e × r i)
siendo e el versor en la dirección de la velocidad angular ω, de modo que ω = ω e.
Por lo tanto, el trabajo elemental realizado por la fuerza Fi es
dWi
F i dR i
F i dR o
[22.37]
(r i × F i) e dθ
y sumando los trabajos elementales correspondientes a todas las fuerzas que actúan
sobre el cuerpo
dW
( F i) dR o
i
( r i × F i) e dθ
i
F dR o
M o dθ
[22.38]
siendo F = Fi y Mo = (ri×Fi) la resultante y el momento resultante del sistema de
fuerzas actuantes sobre el sólido, respectivamente, tomando el punto o como centro
de reducción u origen de momentos.
Aunque la expresión [22.38] es válida cualquiera que sea el punto o, perteneciente
al cuerpo, que elijamos como centro de reducción, corrientemente, dicho centro de
reducción lo hacemos coincidir con el centro de masa del cuerpo, de modo que la
expresión [22.38] nos permite enunciar:
El trabajo elemental realizado por las fuerzas que actúan sobre un sólido
rígido, durante un movimiento elemental del mismo, es la suma del trabajo
relacionado con la traslación elemental del centro de masa (bajo la acción
de la resultante de dicho sistema de fuerzas) y del trabajo asociado con la
rotación elemental del sólido (bajo la acción del momento resultante respecto
al c.m. de dicho sistema de fuerzas) alrededor de un eje instantáneo que pasa
667
§22.6.- Expresión del trabajo.
por el centro de masa.
Obsérvese la analogía formal
existente entre la expresión del trabajo elemental de traslación (F dr)
y el trabajo elemental de rotación
(M dθ).
Para obtener la rapidez con que
se realiza trabajo en el movimiento
general del sólido rígido bajo la acción de un sistema de fuerzas,
dividiremos ambos miembros de
[22.38] por el intervalo de tiempo
infinitesimal durante el cual el
centro de reducción (o) experimenta
el desplazamiento dRo y el cuerpo
gira un ángulo dθ; así, obtenemos
para la potencia la expresión
dW
dt
P
Figura 22.13
M ω
F vo
[22.39]
donde podemos observar, una vez más, la analogía existente entre la dinámica traslacional y rotacional.
§22.7. Teorema de la energía cinética.- El sólido rígido constituye un caso
especial de los sistemas de partículas en el que las condiciones de rigidez permiten
asegurar que el trabajo interno (realizado por las fuerzas internas) será nulo en
cualquier movimiento del sistema.
La fuerza resultante que actúa sobre el sólido rígido puede considerarse
compuesta de dos partes: la resultante de las fuerzas externas y la de las fuerzas
internas, dadas por
F ext
i
de modo que
Fi,ext
F
F int
F ext
i
Fi,int
[22.40]
[22.41]
F int
Consideraciones análogas podemos hacer para el momento resultante de las
fuerzas que actúan sobre el sólido:
Mo,ext
con
i
r i × Fi,ext
Mo
Mo,int
Mo,ext
Mo,int
i
r i × Fi,int
[22.42]
[22.43]
Sustituyendo las expresiones [22.41] y [22.43] en la expresión [22.38] del trabajo
elemental, donde ya están incluidas implícitamente las condiciones de rigidez (¿por
qué?), tenemos
668
Lec. 22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido.
dW
F ext dR o
Mo,ext dθ
Fint dR o
Mo,int dθ
dWext
dWint
[22.44]
y puesto que, en general, para un sistema de partículas es
F int
0
Mo,int
0
[22.45]
resulta que el trabajo interno es siempre nulo, en el caso de un sólido rígido, en un
movimiento arbitrario y general (dRo, dθ) del mismo.
En consecuencia, el teorema de la energía cinética se reduce a
dWext
dEk
dEk,t
dEk,r
[22.46]
que podemos enunciar diciendo que
el cambio en la energía cinética (total) de un sólido rígido es igual al trabajo
realizado sobre el mismo por las fuerzas externas.
§22.8. Conservación de la energía.- En un sólido rígido, puesto que las
partículas que lo constituyen mantienen fijas sus posiciones relativas unas respecto
a otras en cualquier proceso en el que esté implicado el sólido, la energía potencial
interna (que depende tan sólo de esas posiciones relativas) permanecerá constante,
de modo que no la tendremos en cuenta cuando calculemos la energía total del
sistema (recordaremos que tan sólo tienen significado los cambios en la energía
potencial, ya que la elección de un nivel de energía potencial nula es arbitrario).
Si las fuerzas externas que actúan sobre el sólido rígido son conservativas,
tendremos
dW
[22.47]
dEp
donde hemos prescindido de los subíndices ext, ya que al ser nulo el trabajo interno
y al ignorar la energía potencial interna no hay necesidad de especificar que nos
referimos al trabajo y energía potencial externos.
Combinando las expresiones [22.46] y [22.47] tenemos
dW
de modo que
dE
E
donde
dEk
d (Ek
Ek
dEp
E p)
Ep
0
cte
[22.48]
[22.49]
[22.50]
es la energía total del sólido rígido. La expresión anterior constituye la ley de la
conservación de la energía, en el supuesto de que las fuerzas (externas) sean
conservativas.
Si algunas de las fuerzas externas que actúan sobre el sólido rígido no son
conservativas, entonces deberemos escribir
dW
y puesto que dWc = - dEp, será
dWc
dWnc
dEk
[22.51]
669
§22.8.- Conservación de la energía.
dWnc
dEk
dEp
d (Ek
E p)
[22.52]
dE
y el trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la energía
mecánica total del sólido rígido.
Ejemplo II.- Acoplamiento de discos.- Un disco
homogéneo, de masa m y radio r, está girando libremente alrededor de su eje con una velocidad angular ω0.
Un segundo disco, cuyo eje es paralelo al del primero,
también homogéneo, de masa 4m y radio 2r, se encuentra inicialmente en reposo. Acercamos el segundo disco
al primero, manteniendo los eje paralelos entre sí, de
modo que se ponen en contacto por sus bordes; entonces, el mayor comienza a girar y el pequeño se frena.
a) Determinar las velocidades angulares de ambos
Figura 22.14
discos cuando dejen de resbalar, uno con respecto a
otro, en el punto de contacto. b) ¿Se conserva el momento angular del sistema? c) ¿Se conserva la energía cinética del sistema?
Los momentos de inercia del disco pequeño (Ip) y del disco grande (Ig) con respecto a sus ejes
respectivos son:
1
mr 2
2
Ip
1
(4m) (2r)2
2
Ig
de modo que
Ig
8 mr 2
16 Ip
a) Las fuerzas que actúan sobre cada uno de los discos son las que se indican en la
Figura 22.14. Tomando momentos con respecto al eje de cada uno de los discos tenemos las ec.
del movimiento de cada uno de ellos:
Ip α p
rf
Ig α g
2rf
[1]
de modo que αp=cte y αg=cte, por lo que el movimiento de cada uno de los discos durante el
acoplamiento es uniformente acelerado. Dividiendo miembro a miembro las ec. [1], obtenemos
1
2
Ip α p
Ig α g
⇒
αp
Ig
αg
2 Ip
8
ω
⇒
ω0
Ω
8
⇒
ω
8Ω
ω 0 [2]
Cuando, finalmente, los discos dejan de resbalar en el punto de contacto mutuo, se cumplirá:
rω
2r Ω
⇒
ω
2Ω
0
y resolviendo el sistema de ecuaciones [2]-[3] obtenemos las velocidades angulares pedidas:
ω
ω0
5
Ω
ω0
10
b) Calcularemos los momentos angulares inicial (L0) y final (L) del sistema:
[3]
670
Lec. 22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido.
⎧ L0
⎪
⎨
⎪ L
⎩
Ip ω 0
Ip ω
Ig Ω
Ip
ΔL
esto es,
ω0
5
L
Ig
ω0
10
⎛1
⎜
⎝5
16 ⎞
⎟I ω
10 ⎠ p 0
7
Iω
5 p 0
12
Iω
5 p 0
L0
de modo que el momento angular no se conserva.
Puesto que el centro de masa de cada uno de los discos permanece estacionario (ejes fijos),
la reacción en el eje de cada disco (F) es igual y opuesta a la fuerza de rozamiento cinético (f) en
el borde del disco, como se ilustra en la Figura 22.14. Por consiguiente, el sistema constituido por
los dos discos está sometido a un par externo (F,-F) cuyo momento es -3rf. Entonces, igualando
la impulsión del momento externo con el cambio que experimenta el momento angular del sistema,
obtenemos:
Mext Δt
ΔL
⇒
3r f Δt
12
Iω
5 p 0
⇒
r f Δt
4
Iω
5 p 0
que es la misma ec. [1a], ya que
rf Δt
Ip α p Δt
Ip (ω
ω0 )
ω0
Ip (
5
ω0 )
4
Iω
5 p 0
Así pues, el momento angular del sistema no se conserva porque sobre el actúa un par externo
(F,-F) proporcionado por los apoyos de los ejes (fijos) de los discos.
c) Calculamos las energías cinéticas inicial (Ek,0) y final (Ek) del sistema:
⎧
⎪ Ek,0
⎪
⎨
⎪
⎪ Ek
⎩
ΔEk
o sea
1
2
I ω0
2 p
1
I ω2
2 p
Ek
Ek,0
1
I Ω2
2 g
...
2
2
I ω0
5 p
1
2
I ω0
10 p
4
E
5 k,0
de modo que la energía cinética no se conserva, ya que durante la transición entre el estado inicial
(ω0,0) y el final (ω,Ω) se produce resbalamiento entre los dos disco, lo que entraña una disipación
de energía cinética.
Ejemplo III.- En el problema enunciado en el Ejemplo I, ... : c) Calcular el cambio que experimenta la energía cinética de la bola durante la transición del movimiento de traslación pura a la
rodadura. d) Calcular el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento y compararlo con el cambio
en la energía cinética.
c) Las energías cinéticas inicial (Ek,0) y final (Ek,f) de la bola son
1
2
m v0
2
1
1
2
2
m vf
m vf
2
5
Ek,0
Ek,f
1
2
m vf
2
1⎛2
2⎞
⎜ mR ⎟ω
2⎝5
⎠
2
f
7
2
m vf
10
5
2
m v0
14
5
E
7 k,0
671
§22.8.- Conservación de la energía.
de modo que el cambio que experimenta la energía cinética de la bola es
ΔEk
5
E
7 k,f
2
E
7 k,0
Ek,0
1
2
m v0
7
d) Tan sólo la fuerza de rozamiento realiza trabajo sobre la bola, por lo que los trabajos
asociados con la traslación y con la rotación valen
2
12 v0
49 µg
f Δx
µ mg
fR Δθ
µ mgR
12
2
mv0
49
2
5 v0
49 µgR
5
2
mv0
49
24
E
49 k,0
10
E
49 k,0
y el trabajo neto total es
Wext
24
E
49 k,0
10
E
49 k,0
lo que confirma que
Wext
2
E
7 k,0
1
2
mv0
7
ΔEk
Ejemplo IV.- Un bloque homogéneo está soportado
por dos cilindros idénticos, también homogéneos,
como se ilustra en la figura. Aplicamos al bloque
una fuerza horizontal constante y suponemos que
existe rozamiento suficiente como para que los
cilindros rueden sin resbalar con respecto al suelo y
al bloque. Determinar la aceleración del bloque en
el instante que se indica en la figura, cuando los dos
rodillos están situados simétricamente con respecto
Figura 22.15
al bloque.
Consideremos un desplazamiento arbitrario x
del bloque en la dirección de su movimiento, partiendo del reposo (para facilitar el razonamiento,
aunque ello sea irrelevante). Puesto que la única fuerza que trabaja es la fuerza aplicada F, será
W
esto es,
Fx
1
Mv 2
2
⎛1 2
2 ⎜ mvO
⎝2
Fx
ΔEk
11
⎞
mR 2ω 2⎟
22
⎠
[i]
1
Mv 2
2
2
mvO
1
mR 2ω 2
2
[ii]
donde v y vO son las velocidades de traslación del bloque y de los cilindros, respectivamente,
cuando ya se ha recorrido la distancia x.
Derivando la expr. [ii] con respecto al tiempo obtenemos las aceleraciones correspondientes;
i.e.,
Fv
Mva
2 mvOaO
mR 2ω α
[iii]
La condición de rodadura con respecto al suelo exige que la velocidad del punto Q del rodillo
sea nula; i.e.,
672
Lec. 22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido.
ωR
vO
⇒
aO
αR
[iv]
Además, la condición de rodadura con respecto al bloque exige que la velocidad del punto P del
bloque sea igual a la del punto P del rodillo; i.e.,
v
ωR
vO
⇒
2 vO
a
[v]
2 aO
De las expresiones [iv] y [v] se sigue:
1
v
2
vO
1
a
2
aO
1 v
2R
ω
1a
2R
α
[vi]
que sustituidas en [iii] conducen a
Fv
1
mva
2
Mva
3 ⎞
m⎟ va
4 ⎠
⎛
⎜M
⎝
1
mva
4
de modo que la aceleración pedida es
F
a
3
M
4
m
Ejemplo V.- Un cilindro macizo, de masa m y radio R,
está unido a un muelle, de constante elástica k, como se
muestra en la figura adjunta, de modo que el cilindro
puede rodar sin resbalar sobre un plano horizontal.
Abandonamos el cilindro, partiendo del reposo, desde
una posición en la que el muelle está deformado. Demostrar que el movimiento del centro de masa del
Figura 22.16
cilindro será armónico simple y determinar la frecuencia
y el periodo de las oscilaciones del sistema.
Escribimos la expresión de la energía total del sistema
E
Ek
Ep
1 2
mẋ
2
2
11
mR 2θ̇
22
1 2
kx
2
con la condición de rodadura
ẋ
R θ̇
de modo que podemos expresar la energía total en función de una sola variable (el sistema solo
tiene un grado de libertad) y de su derivada temporal; i.e.,
E
1 2
mẋ
2
1 2
mẋ
4
1 2
kx
2
3 2
mẋ
4
1 2
kx
2
cte
que es constante ya que el sistema es conservativo. Entonces, derivando con respecto del tiempo
dE
dt
3
mẋẍ
2
kxẋ
0
⇒
3
ẋ ( mẍ
2
kx)
0
y, puesto que ẋ no es siempre nula, deberá serlo el paréntesis, de modo que
673
§22.8.- Conservación de la energía.
ẍ
2k
x
3m
0
que es la ec. dif. de un movimiento armónico simple cuya frecuencia angular y periodo son
ω
2k
3m
T
2π
3m
2k
Problemas
reposo, cuando forma un ángulo θ0, expresar
la velocidad angular de la varilla en función
del ángulo θ. c) En el supuesto del apartado
anterior, determinar el valor del ángulo θ para
el cual la varilla pierde contacto con la pared
vertical.
Prob. 22.1
22.1.- Una varilla homogénea AB está guiada
por dos pasadores, A y B, que deslizan libremente por las guías situadas en un plano vertical que se indican en la figura adjunta. Se
abandona la varilla, partiendo del reposo, en la
posición 1 indicada. Determinar las velocidades de los pasadores A y B, así como la
velocidad de traslación y la velocidad angular
de la varilla, en las posiciones 2 y 3 indicadas.
22.2.- Una varilla de longitud L se sostiene
verticalmente apoyada sobre el suelo por un
extremo y se la deja caer. Suponiendo que el
extremo apoyado no resbala, determinar la
velocidad angular de la varilla en función del
ángulo que forma con la vertical y la velocidad del extremo libre cuando pega contra el
suelo.
22.3.- Los extremos de una varilla rectilínea
y homogénea, de longitud l, están apoyados
sin rozamiento en un suelo horizontal y en una
pared vertical. a) Determinar la aceleración
angular de la varilla en función del ángulo θ
que forma en cada instante con la vertical.
b) Si abandonamos la varilla, partiendo del
Prob. 22.4
22.4.- Las varillas homogéneas AB y BC que
se muestran en la figura están articuladas en B,
sus masas son 6 kg y 1.5 kg y sus longitudes
40 cm y 10 cm, respectivamente. El sistema se
abandona, partiendo del reposo, de la posición
horizontal (indicada con trazo continuo).
Calcular la velocidad angular que tendrá la
varilla BC cuando pase por la vertical
(indicada con trazo discontinuo).
22.5.- Las dos varillas homogéneas, de la misma masa m y longitud l, que se muestran en la
figura, están articuladas entre sí en el punto A.
El extremo O de la varilla superior está
articulada a un punto fijo y el extremo B de la
inferior lo está a una corredera que puede
deslizar sin fricción a lo largo de un eje vertical. Se abandona el sistema, partiendo del reposo, de la posición horizontal (θ=0). Determinar: a) la velocidad angular de cada varilla
en función del ángulo θ; b) la velocidad de la
674
Lec. 22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido.
corredera en
función de θ.
22.6.- Un cilindro macizo y
homogéneo, de
radio r y
generatriz 2r,
descansa apoyado
en una de sus
bases sobre un
plano horizontal
rugoso que no
Prob. 22.5
permite el
deslizamiento. Le
aplicamos una
fuerza horizontal, a una altura conveniente
sobre el plano, hasta que, apoyado en el borde
de su base inferior se desequilibra e inicia la
caída. a) Calcular el momento de inercia del
cilindro con respecto al eje AA′ tangente a la
periferia de la base. b) Determinar la velocidad
angular del cilindro en el instante en que su
generatriz llega al plano horizontal.
Prob. 22.6
22.7.- Un disco de 10 cm de radio y 5 kg de
masa está girando a razón de 1200 rpm. Al
aplicarle la zapata del freno, se detiene en 6 s.
El coeficiente de rozamiento entre la zapata y
el disco vale 0.25. a) Calcular la fuerza con
que debe aplicarse la zapata para conseguir el
efecto anterior y el número de vueltas que da
el disco hasta detenerse. b) Repetir el cálculo
de la fuerza del apartado anterior a partir de
consideraciones energéticas.
22.8.- Una rueda de fuegos artificiales de 1 m
de radio y 4 kg de masa lleva sujetos en los
extremos de un diámetro dos cohetes, de 3 kg
cada uno, que ejercen fuerzas tangenciales
iguales y opuestas. Sabiendo que cada cohete
desarrolla una fuerza de 10 N, y prescindiendo
de los rozamientos y de la pérdida de masa de
los cohetes, calcular la velocidad angular de la
rueda al cabo de 10 s de iniciarse el movimiento y el trabajo producido por la combustión de la pólvora durante ese tiempo.
22.9.- Una varilla homogénea de longitud L y
masa M puede girar sin rozamiento alrededor
de un eje vertical que pasa por su centro y que
es perpendicular a la varilla. A lo largo de la
varilla pueden moverse dos esferillas idénticas,
de masa m cada una, unidas entre sí por un
hilo inextensible de longitud d < L. Inicialmente, la varilla está girando con una
frecuencia ν0 y las esferillas se encuentran en
posiciones simétricas con respecto al eje de
rotación. En un instante determinado, el hilo se
rompe y las esferillas se desplazan hacia los
extremos de la varilla, que dando detenidas en
los topes que existen en dichos extremos.
a) Calcular la frecuencia de rotación final del
sistema. b) ¿Se conservará la energía cinética
en el proceso?
22.10.- En la figura adjunta se
representa un
regulador de
centrífuga en el
que cada una de
las varillas tiene
una longitud de
10 cm y masa
despreciable frente
Prob. 22.10
a las de las bolas,
que pesan 500 g
cada una. El
sistema está girando inicialmente con una
velocidad angular tal que el ángulo que forma
cada varilla con el eje de rotación es de 80°.
a) Calcular la velocidad angular del sistema.
b) Con el sistema siempre en rotación, se
obliga al collar C a desplazarse hacia abajo
hasta que el ángulo anteriormente citado se
reduce a 30°. ¿Cuál será la nueva velocidad
angular? c) ¿Qué fuerza deberemos mantener
aplicada en C para evitar que las bolas se
separen de nuevo? d) ¿Qué trabajo se ha
realizado al desplazar el collar?
22.11.- Un aro, un cilindro macizo y una
esfera bajan rodando sin resbalar por un
mismo plano inclinado. Los tres cuerpos
partieron simultáneamente del reposo desde
una misma altura en el plano. a) Ordenarlos de
acuerdo con el orden de llegada al pie del
plano. b) ¿Intervienen las masas o los radios
de los cuerpos en el orden de llegada? c) ¿Entonces, qué criterio se ha seguido para hacer la
clasificación? Explíquese.
22.12.- Dadas dos esferas de la misma masa y
del mismo radio, pero una maciza y la otra
hueca, describir detalladamente un experimento
que, sin dañar las esferas, nos permita averiguar cual es la maciza y cual la hueca.
22.13.- Determinar la frecuencia de las pequeñas oscilaciones del sistema que se muestra en
675
Problemas
la figura adjunta, suponiendo
que la polea sea un disco
homogéneo de masa M y radio R y que la cuerda sea
ligera y no resbale por la
garganta de la polea.
22.14.- El cilindro macizo y
homogéneo que se muestra
en la figura, de masa m y
radio R, está suspendido del
techo mediante una cuerda.
Uno de los extremos de la
cuerda está unido directamente al techo; el otro lo
está a un muelle de
constante elástica k.
Determinar la frecuencia de las
oscilaciones del
sistema.
pequeñas oscilaciones
de la varilla respecto a
su posición de
equilibrio.
Prob. 22.13
22.15.- Calcular el
periodo de las
pequeñas oscilaciones del sistema
representado en la
Prob. 22.14
figura adjunta. La
varilla, de longitud
L y masa m, puede
girar alrededor de un eje fijo y horizontal que
pasa por su centro.
22.18.- En el péndulo
simple representado en
la figura, la varilla
rígida, de masa despreciable, puede girar
alrededor del eje horizontal fijo que se
indica. Obtener la frecuencia natural de las
pequeñas oscilaciones
amortiguadas del péndulo.
22.19.- En el sistema
que se representa en la
figura, el rozamiento es
suficiente para que el
rodillo ruede sin
resbalamiento. a) Establecer la ec. diferencial
del movimiento del
Prob. 22.17
Prob. 22.18
Prob. 22.19
Prob. 22.15
22.16.- En el dispositivo que se muestra en la
figura, el collarín ligero
por el que pasa la
varilla y al que están
unidos dos muelles
idénticos, permite que
éstos permanezcan
Prob. 22.16
horizontales. Determinar la frecuencia de las
pequeñas oscilaciones de la varilla.
22.17.- En el dispositivo que se muestra en la
figura, el muelle está unido al extremo superior de la varilla y no está estirado cuando
θ=0°. a) Determinar la posición de equilibrio
del sistema. b) Encontrar la frecuencia de las
centro de masa de rodillo. b) Demostrar que
este sistema es equivalente, desde el punto de
vista analítico, al descrito en la Lec. 14, con
m=3M.
Prob. 22.20
22.20.- En el dispositivo de la figura, el
cilindro de 50 kg de masa y 30 cm de radio
rueda sobre la superficie horizontal rugosa. La
constante de amortiguamiento del amortiguador es 75 kg/s y la constante elástica del
muelle vale 300 N/m. A la base móvil se le
impone una oscilación armónica simple con
una amplitud de 1 cm. a) Determinar las
frecuencias de resonancia en la energía y en la
676
Lec. 22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido.
amplitud y la amplitud de las oscilaciones de
desplazamiento del centro del rodillo en esas
resonancias. b) Calcular la potencia media
transferida al rodillo en las resonancias de
energía y de amplitud.
Prob. 22.21
22.21.- a) Una varilla, de longitud l y masa m,
permanece en reposo sobre una superficie
semicilíndrica, como se muestra en la figura.
Determinar la frecuencia de las pequeñas
oscilaciones libres de la varilla cuando empujamos ligeramente hacia abajo uno de sus
extremos. b) Ídem si se tratase de un tablón de
espesor h.
22.22.- Una pequeña esfera de radio r permanece en equilibrio inestable en la cima de una
gran esfera fija de radio R. Desplazamos
ligeramente la esferilla de su posición de equilibrio, de modo que comience a rodar (sin
resbalar) sobre la esfera grande. Determinar la
posición en que la esferilla se despega de la
esfera grande y la velocidad que lleva en ese
instante.
Prob. 22.23
22.23.- Una bola maciza, de 2 cm de radio,
desciende rodando sin resbalar por una pista
que forma un rizo de 20 cm de radio, como se
muestra en la figura. Si la bola parte del
reposo de un punto situado a una altura h
sobre el fondo del rizo, calcular el valor
mínimo de h que permite a la bola "rizar el
rizo" sin despegarse de la pista.
22.24.- Una bolita de radio r se encuentra en
el interior de una oquedad hemiesférica de
radio R. a) Demostrar que si desplazamos la
bolita de su posición de equilibrio en el fondo
de la oquedad y después la abandonamos, las
oscilaciones de la bolita no serán armónicas
simples a menos que la amplitud de dichas
oscilaciones sea muy pequeña. b) En este
último caso, determinar el periodo de las
oscilaciones y la longitud del péndulo simple
equivalente.
22.25.- Una bolita, de
radio r, rueda por un
carril situado en un
plano vertical, de radio
interior R>r. a) ¿Cuál
deberá ser el valor
mínimo de v0 a fin de
que la bolita complete
Prob. 22.25
su trayectoria circular
sin despegarse del
carril? b) Sea vm el valor mínimo calculado
anteriormente; y supóngase ahora que v0 =
0.387 vm. Bajo estas condiciones, determinar la
posición angular θ del punto P en el que la
bolita se despega del carril, así como su
velocidad en ese instante.
22.26.- Un cubo homogéneo está apoyado
sobre una de sus aristas en contacto con un
plano horizontal, de modo que inicialmente se
encuentra en equilibrio inestable. Los desplazamos ligeramente de esa posición para que
comience a caer. Calcular su velocidad angular
cuando una de sus caras choca con el plano
horizontal: a) suponiendo que la arista no
resbale sobre el plano y b) suponiendo que el
plano sea perfectamente liso.
22.27.- Un rodillo
macizo, de sección circular, de
radio r y masa m,
descansa sobre el
borde horizontal
de un escalón y
empieza a rodar
Prob. 22.27
hacia afuera, sin
r e s b a l a r, c o n
velocidad inicial
despreciable. Calcular el ángulo que girará el
rodillo antes de que pierda contacto con el borde del escalón, así como su velocidad angular
en ese instante.
Prob. 22.28
22.28.- Dos discos idénticos, de 200 g de masa
cada uno de ellos y de 10 cm de radio, están
Problemas
unidos por un eje cilíndrico y ligero de 2 cm
de radio. El sistema rueda sin deslizar por un
plano inclinado (30°) angosto de forma que los
discos cuelgan a ambos lados del plano. El
sistema parte del reposo y recorre una longitud de 1 m sobre el plano antes de que los discos tomen contacto con el plano horizontal;
entonces se produce un aumento notable en la
velocidad de traslación del sistema. a) Calcular
la velocidad del sistema cuando está a punto
de alcanzarse el pie del plano. b) Calcular la
velocidad que finalmente adquiere el sistema
rodando sobre el plano horizontal. c) ¿Se conserva la energía cinética en el tránsito del
plano inclinado al horizontal?
Prob. 22.29
22.29.- Un rodillo macizo, de masa m y radio
r, desciende rodando (sin resbalar) por la cara
inclinada de un prisma triangular móvil, de
masa M e inclinación θ, como se ilustra en la
figura. a) Determinar las aceleraciones (absolutas) del rodillo y del prisma. b) Si el rodillo
partió del reposo en la parte superior del prisma, estando también éste inicialmente en reposo, ¿cuál será la velocidad final del prisma?
22.30.- Un cilindro
macizo y homogéneo, de masa m
y radio r, rueda sin
deslizar por el
interior de otro
cilindro hueco, de
masa M y radio R,
que puede girar
Prob. 22.30
alrededor de un eje
fijo horizontal (O)
que coincide con
su eje de simetría. En el instante inicial, se
abandona el sistema (partiendo del reposo) en
la posición que se indica en la figura. a) Determinar las velocidades angulares de cada uno
de los dos cilindros en el instante en que el
cilindro interior pasa por su posición más baja.
b) Determinar la velocidad de traslación del
cilindro interior en dicho instante.
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Lec. 22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido.